指数函数的导数

正如我们求其他函数的导数一样，我们也可以使用公式求指数函数和对数函数的导数。在推导这些公式时，我们需要做一些基本假设。证明这些假设成立超出了本课程的范围。

首先，我们假设函数 $B\left(x\right)=b^x,b>0,$ 对每个实数都有定义并且是连续的。在之前的课程中，我们定义了指数函数在所有有理数处的值——从 $b^n,$ 的定义开始，其中 $n$ 是一个正整数——作为 $b$ 自身相乘 $n$ 次的积。后来，对于正整数 $n,$ 我们定义了 $b^0=1,b^{\text{−}n}=\frac{1}{b^n},$ 并对正整数 $s$ 和 $t.$ 定义了 $b^{s\text{/}t}=(\sqrt[t]{b}{)}^s$。但这些定义尚未确定 $b^r$ 的值，其中 $r$ 是一个任意实数。通过假设 $B\left(x\right)=b^x,b>0,$ 的连续性，我们可以将 $b^r$ 解释为 $\underset{x\to r}{\text{lim}}{b}^x$，其中取极限时 $x$ 取有理数值。例如，我们可以将 $4^{\pi }$ 视为满足以下条件的数：

如下表所示，$4^{\pi }\approx 77.88.$

我们还假设对于 $B\left(x\right)=b^x,b>0,$，导数 $B^{\prime }\left(0\right)$ 的值存在。在本节中，我们将说明，只要增加这一个假设，就可以证明函数 $B\left(x\right)$ 处处可微。

最后再作一个假设：存在一个唯一的 $b>0$ 值，使得 $B^{\prime }\left(0\right)=1.$。我们将 $e$ 定义为这个唯一值，正如我们在函数与图形导论中所做的那样。图 3.33 给出了函数 $y=2^x,y=3^x,y={2.7}^x,$ 和 $y={2.8}^x.$ 的图形。通过目测这些函数在 0 处的切线斜率，可估计 e 的值介于 2.7 和 2.8 之间。函数 $E\left(x\right)=e^x$ 称为自然指数函数。它的反函数 $L\left(x\right)={\text{log}}_{e}x=\text{ln}x$ 称为自然对数函数。

图 3.33 $E\left(x\right)=e^x$ 的图形介于 $y=2^x$ 和 $y=3^x.$ 之间

为了更好地估计 $e,$，我们可以构建一个形如 $B\left(x\right)=b^x.$ 的函数 $B^{\prime }\left(0\right)$ 的估计值表。在此之前，回想一下

对于非常接近零的 $x$ 值。为了进行估计，我们选择 $x=0.00001$ 和 $x=\mathrm{-0.00001}$ 来得到估计值

参见下表。

表中的数据表明 $2.7182<e<2.7183.$

函数 $E\left(x\right)=e^x$ 的图形以及直线 $y=x+1$ 显示在图 3.34中。这条直线是 $E\left(x\right)=e^x$ 在 $x=0.$ 处的切线。

图 3.34 $E\left(x\right)=e^x$ 在 $x=0$ 处的切线斜率为 1。

说明上述基本假设后，我们开始研究 $B\left(x\right)=b^x,b>0.$ 的导数。回想一下，我们已经假设 $B^{\prime }\left(0\right)$ 存在。利用导数的极限定义，可得

接着求 $B^{\prime }\left(x\right),$，得到如下结果。

由此可见，只要假设 $B\left(x\right)=b^x$ 在 $0,B\left(x\right)$ 处可微，则它不仅处处可微，而且其导数为

对于 $E\left(x\right)=e^x,E^{\prime }\left(0\right)=1.$，因此 $E^{\prime }\left(x\right)=e^x.$。（形如 $B\left(x\right)=b^x,b>0,$ 的任意函数的 $B^{\prime }\left(0\right)$ 值将在后文推导。）

对数函数的导数

既然已经求得了自然指数函数的导数，我们就可以利用隐函数求导法来求其反函数——自然对数函数——的导数。

证明

如果 $x>0$ 且 $y=\text{ln}x,$，则 $e^y=x.$。对该方程两边求导，得到方程

$$e^y\frac{dy}{dx}=1.$$

解出 $\frac{dy}{dx}$，得到

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}.$$

最后，我们代入 $x=e^y$，得到

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.$$

这个结果也可以利用反函数定理推导，过程如下。由于 $y=g(x)=\text{ln}x$ 是 $f\left(x\right)=e^x,$ 的反函数，由反函数定理，得

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)}=\frac{1}{e^{\text{ln}x}}=\frac{1}{x}.$$

利用此结果并对 $h\left(x\right)=\text{ln}\left(g\left(x\right)\right)$ 应用链式法则，得到

$$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}{g}^{\prime }\left(x\right).$$

□

函数 $y=\text{ln}x$ 及其导数 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$ 的图形显示在图 3.35中。

图 3.35 $\text{函数}y=\text{ln}x$ 在 $(0,\text{+}\infty ).$ 上递增。其导数 $y\prime =\frac{1}{x}$ 在 $(0,\text{+}\infty ).$ 上大于零。

例 3.77

求自然对数的导数

求 $f\left(x\right)=\text{ln}\left(x^3+3x-4\right).$ 的导数。

解

直接使用公式 3.31。

$$\begin{array}{ccccc}\hfill f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{x^3+3x-4}·\left(3x^2+3\right)\hfill & & & \text{利用}g\left(x\right)=x^3+3x-4\text{代入}{h}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}{g}^{\prime }\left(x\right).\hfill \\ & =\frac{3x^2+3}{x^3+3x-4}\hfill & & & \text{改写。}\hfill \end{array}$$

例 3.78

在求导中使用对数性质

求 $f\left(x\right)=\text{ln}\left(\frac{x^2\text{sin}x}{2x+1}\right).$ 的导数。

解

乍一看，求这个导数似乎相当复杂。然而，在求导之前使用对数性质，可以使问题大大简化。

$$\begin{array}{cccccc}\hfill f\left(x\right)& =\hfill & \text{ln}\left(\frac{x^2\text{sin}x}{2x+1}\right)=2\text{ln}x+\text{ln}\left(\text{sin}x\right)-\text{ln}\left(2x+1\right)\hfill & & & \text{应用对数性质。}\hfill \\ \hfill f^{\prime }\left(x\right)& =\hfill & \frac{2}{x}+\text{cot}x-\frac{2}{2x+1}\hfill & & & \text{应用和法则且}{h}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}{g}^{\prime }\left(x\right).\hfill \end{array}$$

检验点 3.52

求导：$f\left(x\right)=\text{ln}{\left(3x+2\right)}^5.$

既然我们已经能够对自然对数函数求导，就可以利用这一结果来求 $y=lo{g}_{b}x$ 和 $y=b^x$ 的导数，其中 $b>0,b\ne 1.$。

定理 3.16

一般指数函数和对数函数的导数

设 $b>0,b\ne 1,$，并设 $g\left(x\right)$ 是一个可微函数。

1. 如果 $y={\text{log}}_{b}x,$，则
   
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\text{ln}b}.$$

   (3.32)
   
   更一般地，如果 $h\left(x\right)={\text{log}}_b\left(g\left(x\right)\right),$，则对于所有使得 $g\left(x\right)>0,$ 的 x 值，
   
   $$h^{\prime }\left(x\right)=\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{g\left(x\right)\text{ln}b}.$$

   (3.33)
2. 如果 $y=b^x,$，则
   
   $$\frac{dy}{dx}=b^x\text{ln}b.$$

   (3.34)
   
   更一般地，如果 $h\left(x\right)=b^{g(x)},$，则
   
   $$h^{\prime }\left(x\right)=b^{g(x)}g\text{′}\left(x\right)\text{ln}b.$$

   (3.35)

对数求导法

到目前为止，我们已经能够对形如 $y={\left(g\left(x\right)\right)}^n$ 的函数求导（对于 $n,$ 的某些值）以及形如 $y=b^{g(x)},$ 的函数求导（其中 $b>0$ 且 $b\ne 1.$）。然而，对于形如 $y=x^x$ 或 $y=x^{\pi }.$ 的函数，我们仍然不知道如何求导。这类函数需要一种称为对数求导法的技术，利用它可以对任何形如 $h\left(x\right)=g{\left(x\right)}^{f(x)}.$ 的函数求导。该方法还可以将非常复杂的求导问题化为较简单的问题，例如求 $y=\frac{x\sqrt{2x+1}}{e^x{\text{sin}}^{3}x}.$ 的导数。下面的解题策略对这一方法作了概述。