关键术语

平均速度 (average velocity)

位置变化量与所经时间之比。若位置函数为 $s\left(t\right),$ 则在时间区间 $\left[t,a\right]$（当 $t<a$ 时）或 $\left[a,t\right]$（当 $t>a)$ 时）上，平均速度为 $v_{\text{ave}}=\frac{s\left(t\right)-s\left(a\right)}{t-a}$

极限的常数倍法则 (constant multiple law for limits)

极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}cf\left(x\right)=c·\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=cL$

在一点处连续 (continuity at a point)

若以下三个条件均成立，则 $f\left(x\right)$ 在点 a 处连续：(1) $f\left(a\right)$ 有定义，(2) $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 存在，且 (3) $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

左连续 (continuity from the left)

若 $\underset{x\to b^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(b\right)$，则称函数在 b 处左连续。

右连续 (continuity from the right)

若 $\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f(x)=f(a)$，则称函数在 a 处右连续。

在区间上连续 (continuity over an interval)

直观上可一笔画出的函数。函数在开区间内每一点连续，即称其在该开区间上连续。若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right),$ 上每一点连续，且在 a 处右连续、在 b 处左连续，则称其在闭区间 $\left[a,b\right]$ 上连续。

极限的差法则 (difference law for limits)

极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L-M$

微分学 (differential calculus)

研究导数及其应用的分支学科。

在一点处不连续 (discontinuity at a point)

函数在某点不连续，即称该点为间断点。

极限的ε-δ定义 (epsilon-delta definition of the limit)

$\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=L$ 当且仅当对任意 $\epsilon >0,$，均存在 $\delta >0$，使得当 $0<\left|x-a\right|<\delta ,$，则 $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

无穷间断点 (infinite discontinuity)

若 $\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{±}\infty$ 或 $\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{±}\infty$，则点 a 为无穷间断点。

无穷极限 (infinite limit)

函数趋近于点 a 时无限增大或无限减小，则称其在 a 处有无穷极限。

瞬时速度 (instantaneous velocity)

设物体位置函数为 $s\left(t\right)$，当 t 趋近于 $a,$ 时，在形如 $\left[t,a\right]$ 和 $\left[a,t\right]$ 的区间上平均速度所趋近的值即为瞬时速度（若该极限存在）。

积分学 (integral calculus)

研究积分及其应用的分支学科

介值定理 (Intermediate Value Theorem)

设 f 在闭区间 $\left[\text{a},\text{b}\right];$ 上连续。若 z 是介于 $f\left(a\right)$ 和 $f\left(b\right),$ 之间的任意实数，则 $\left[a,b\right]$ 中存在 c 使得 $f\left(c\right)=z$。

极限的直观定义 (intuitive definition of the limit)

若当 $x\left(\ne a\right)$ 趋近于 a 时， $f\left(x\right)$ 的值均趋近于实数 L，则称 $f\left(x\right)$ 趋近于 L。

跳跃间断点 (jump discontinuity)

若 $\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 和 $\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 均存在，但 $\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)\ne \underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)$，则点 a 为跳跃间断点。

极限 (limit)

使表达式中 x 或 t 趋近于 a 的过程。当 x 趋近于 a 时，$f\left(x\right)$ 所趋近的值即为其极限。

极限法则 (limit laws)

极限运算的各条性质。对每条法则，设 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在含 a 的某开区间内所有 $x\ne a$ 上有定义；设 L、M 为实数，满足 $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=L$ 和 $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=M;$；设 c 为常数。

多元微积分 (multivariable calculus)

研究二元及多元函数微积分的分支学科

单侧极限 (one-sided limit)

从左侧或右侧单方向趋近时所取的极限。

极限的幂法则 (power law for limits)

对于每个正整数 n，有极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}{\left(f\left(x\right)\right)}^n={\left(\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)\right)}^n=L^n$。

极限的乘法法则 (product law for limits)

极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)·\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L·M$

极限的除法法则 (quotient law for limits)

对于 $M\ne 0$，有极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)}=\frac{L}{M}$。

可去间断点 (removable discontinuity)

若 $f\left(x\right)$ 在点 a 处不连续，但 $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 存在，则点 a 为可去间断点。

极限的根式法则 (root law for limits)

当 n 为奇数时，对所有 L 有极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\sqrt[n]{f\left(x\right)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)}=\sqrt[n]{L}$；当 n 为偶数时，对 $L\ge 0$ 有极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\sqrt[n]{f\left(x\right)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)}=\sqrt[n]{L}$。

割线 (secant)

函数 $f\left(x\right)$ 在 a 处的割线是经过点 $\left(a,f\left(a\right)\right)$ 和函数上另一点的直线，其斜率为 $m_{\text{sec}}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$。

夹逼定理 (squeeze theorem)

若在含 a 的某开区间内，对所有 $x\ne a$，有 $f\left(x\right)\le g\left(x\right)\le h\left(x\right)$ 成立，且 $\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=L=\underset{x\to a}{\text{lim}}h\left(x\right)$（L 为实数），则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L$。

极限的和法则 (sum law for limits)

极限法则 $\underset{x\to a}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\text{lim}}g\left(x\right)=L+M$

切线 (tangent)

函数图形在点 $\left(a,f\left(a\right)\right)$ 处的切线是：当过 $\left(a,f\left(a\right)\right)$ 的割线上另一点的 x 值趋近于 a 时，割线所趋近的直线。切线在 a 处的斜率即函数在该点的变化率。

三角不等式 (triangle inequality)

对任意实数 a、b，有 $\left|a+b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$。

垂直渐近线 (vertical asymptote)

若函数当 x 从左侧或右侧趋近于 a 时极限为无穷大，则函数在 $x=a$ 处有垂直渐近线。