极限法则

极限法则

2.3 极限法则

学习目标

2.3.1 识别基本极限法则。
2.3.2 使用极限法则求函数的极限。
2.3.3 通过因式分解求函数的极限。
2.3.4 使用极限法则求多项式函数或有理函数的极限。
2.3.5 通过因式分解或利用共轭式求函数的极限。
2.3.6 使用夹逼定理求函数的极限。

上一节通过观察图形或构造数值表来求极限。本节将建立求极限的法则，并学习其运用方法。本节末尾的学生项目中，读者将有机会运用极限法则，通过改编古希腊数学家阿基米德的方法来推导圆的面积公式。首先重述上一节中两个有用的极限结果。这两个结果与极限法则一起，构成了求解许多极限问题的基础。

使用极限法则求极限

前两条极限法则已在两个重要极限中给出，此处重述。这些基本结果与后续极限法则结合，可求出许多代数函数的极限。

定理 2.4

基本极限结果

对于任意实数 a 和任意常数 c，

$lim_{x \to a} x = a$
(2.14)
$lim_{x \to a} c = c$
(2.15)

例 2.13

计算基本极限

使用基本极限结果计算下列各极限。

$lim_{x \to 2} x$
$lim_{x \to 2} 5$

解

当 x 趋近于 a 时，x 的极限为 a： $lim_{x \to 2} x = 2 .$
常数的极限就是该常数： $lim_{x \to 2} 5 = 5 .$

下面来看极限法则，即极限的各项运算性质。其证明在此略去。

定理 2.5

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在含 a 的某开区间内对所有 $x \neq a$ 有定义。设 L、M 为实数，满足 $lim_{x \to a} f (x) = L$ 和 $lim_{x \to a} g (x) = M .$ 。设 c 为常数，则下列各式成立：

极限的和法则： $lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = L + M$

极限的差法则： $lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x) = L - M$

极限的常数倍法则： $lim_{x \to a} c f (x) = c \cdot lim_{x \to a} f (x) = c L$

极限的乘法法则： $lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x) = L \cdot M$

极限的除法法则： $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{L}{M}$ ，当 $M \neq 0$ 时。

极限的幂法则： $lim_{x \to a} {(f (x))}^{n} = {(lim_{x \to a} f (x))}^{n} = L^{n}$ ，对每个正整数 n 成立。

极限的根式法则： $lim_{x \to a} \sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{lim_{x \to a} f (x)} = \sqrt[n]{L}$ ，当 n 为奇数时对所有 L 成立；当 n 为偶数且 $f (x) \geq 0$ ，则对 $L \geq 0$ 成立。

下面通过例题练习这些极限法则的应用。

例 2.14

使用极限法则求极限

使用极限法则计算 $lim_{x \to −3} (4 x + 2) .$ 。

解

下面逐步应用极限法则，以便理解其运作方式。注意每次应用时，新极限须存在，方可使用相应法则。

$\begin{matrix} lim_{x \to −3} (4 x + 2) & = lim_{x \to −3} 4 x + lim_{x \to −3} 2 & 应用和法则。 \\ = 4 \cdot lim_{x \to −3} x + lim_{x \to −3} 2 & 应用常数倍法则。 \\ = 4 \cdot (−3) + 2 = −10 . & 代入基本极限结果并化简。 \end{matrix}$

例 2.15

反复应用极限法则

使用极限法则计算 $lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} .$ 。

解

此极限需多次应用极限法则。同样须注意：每次将极限改写为其他极限的组合时，各新极限须存在，相应法则方可使用。

$\begin{matrix} lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{3} + 4} & = \frac{lim_{x \to 2} (2 x^{2} - 3 x + 1)}{lim_{x \to 2} (x^{3} + 4)} & 应用除法法则，确保 {(2)}^{3} + 4 \neq 0 \\ = \frac{2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4} & 应用和法则与常数倍法则。 \\ = \frac{2 \cdot {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 3 \cdot lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4} & 应用幂法则。 \\ = \frac{2 (4) - 3 (2) + 1}{{(2)}^{3} + 4} = \frac{1}{4} . & 代入基本极限结果并化简。 \end{matrix}$

检验点 2.11

使用极限法则计算 $lim_{x \to 6} (2 x - 1) \sqrt{x + 4} .$ 。每一步注明所应用的极限法则。

多项式函数和有理函数的极限

读者可能已注意到，前述每个例题中均有 $lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$ 成立。此性质并非对所有函数成立，但对多项式函数在任意 a 处，以及有理函数在其有定义的 a 处，均成立。

定理 2.6

多项式函数和有理函数的极限

设 $p (x)$ 和 $q (x)$ 为多项式函数。设 a 为实数。则：

lim_{x \to a} p (x) = p (a)

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} 当 q (a) \neq 0 .

证明如下。考虑多项式 $p (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0} .$ 。依次应用和法则、常数倍法则和幂法则，得

\begin{matrix} lim_{x \to a} p (x) & = lim_{x \to a} (c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}) \\ = c_{n} {(lim_{x \to a} x)}^{n} + c_{n - 1} {(lim_{x \to a} x)}^{n - 1} + \dots + c_{1} (lim_{x \to a} x) + lim_{x \to a} c_{0} \\ = c_{n} a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} + \dots + c_{1} a + c_{0} \\ = p (a) . \end{matrix}

再由除法法则，设 $p (x)$ 和 $q (x)$ 均为多项式且 $q (a) \neq 0,$ ，则

lim_{x \to a} \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{p (a)}{q (a)} .

例 2.16 应用了这一结果。

例 2.16

求有理函数的极限

计算 $lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} .$ 。

解

因 3 在有理函数 $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4},$ 的定义域内，可直接代入 x = 3 求极限。故

lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{5 x + 4} = \frac{10}{19} .

检验点 2.12

计算 $lim_{x \to −2} (3 x^{3} - 2 x + 7) .$ 。

其他求极限的技巧

如前所见，直接代入即可求出多项式函数的极限以及部分有理函数的极限。然而，当 $f (a)$ 无定义时， $lim_{x \to a} f (x)$ 仍可能存在。下述观察为求解此类极限提供了依据：

若在含 a 的某开区间内，对所有 $x \neq a, f (x) = g (x)$ 成立，那么 $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) .$

为理解此性质，考虑极限 $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} .$

函数

\begin{matrix} f (x) & = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \end{matrix}

与函数 $g (x) = x + 1$ 在所有 $x \neq 1 .$ 处相等。两函数的图形如图 2.24所示。

两个并排的图形。第一个是 g(x) = x + 1 的图形，一个线性函数，y轴截距为 (0,1)，x轴截距为 (-1,0)。第二个是 f(x) = (x^2 – 1) / (x – 1) 的图形。对于所有不等于 1 的 x，此图形与第一个图形相同，因为第二个图形在 (1,2) 处有一个空心圆。

图 2.24

f (x)

和

g (x)

的图形对于所有

x \neq 1 .

都是相同的。它们在 1 处的极限相等。

于是

\begin{matrix} lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & = lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} (x + 1) \\ = 2 . \end{matrix}

此极限具有 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},$ 的形式，其中 $lim_{x \to a} f (x) = 0$ 和 $lim_{x \to a} g (x) = 0 .$ 。（此时称 $f (x) / g (x)$ 具有未定式 $0 / 0 .)$ 。）以下问题解决策略给出了求此类极限的一般步骤。

问题解决策略

当 $f (x) / g (x)$ 具有 0/0 未定式时的极限计算

确认函数具有适当形式，且无法直接用极限法则求值。
寻找一个函数，使其在含 a 的某区间上对所有 $x \neq a$ 都等于 $h (x) = f (x) / g (x)$ 。可尝试以下方法：
1. 若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 均为多项式，分别因式分解后约去公因子。
2. 若分子或分母含带平方根的差式，将分子分母同乘以其共轭式。
3. 若 $f (x) / g (x)$ 为繁分式，先化简。
应用极限法则求值。

以下例题展示此策略的应用。例 2.17 演示因式分解与约分；例 2.18 演示乘以共轭式；例 2.19 处理繁分式的化简。

例 2.17

通过因式分解与约分求极限

计算 $lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} .$

解

步骤 1. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3}$ 在 $x = 3 .$ 处无定义。将 3 代入后得到 $0 / 0,$ ，为未定式。因式分解并约分即可：

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)}

步骤 2. 对于所有 $x \neq 3, \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 5 x - 3} = \frac{x}{2 x + 1} .$ 。因此，

lim_{x \to 3} \frac{x (x - 3)}{(x - 3) (2 x + 1)} = lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} .

步骤 3. 应用极限法则求值：

lim_{x \to 3} \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3}{7} .

检验点 2.13

计算 $lim_{x \to −3} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 9} .$

例 2.18

利用共轭式求极限

计算 $lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} .$

解

步骤 1. $\frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1}$ 在 −1 处具有 $0 / 0$ 的未定式。将分子和分母同乘以 $\sqrt{x + 2} - 1,$ 的共轭 $\sqrt{x + 2} + 1,$ ：

lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to −1} \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{x + 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 2} + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

步骤 2. 展开分子，但保留分母不展开，以便分母中的 $(x + 1)$ 可被消去：

= lim_{x \to −1} \frac{x + 1}{(x + 1) (\sqrt{x + 2} + 1)} .

步骤 3. 约去公因子：

= lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} .

步骤 4. 最后，应用极限法则：

lim_{x \to −1} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} = \frac{1}{2} .

检验点 2.14

计算 $lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} .$

例 2.19

通过化简繁分式求极限

计算 $lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} .$

解

步骤 1. $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1}$ 在 1 处具有 $0 / 0$ 的未定式。分子分母同乘以 $2 (x + 1) / 2 (x + 1) :$ 来化简：

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)} .

步骤 2. 展开分子，保留分母不展开，以便消去因子 $(x - 1) :$

= lim_{x \to 1} \frac{2 - (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

步骤 3. 化简分子：

= lim_{x \to 1} \frac{- x + 1}{2 (x - 1) (x + 1)} .

步骤 4. 从分子中提出 −1：

= lim_{x \to 1} \frac{- (x - 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} .

步骤 5. 约去公因子 $(x - 1) :$ ：

= lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} .

步骤 6. 最后，应用极限法则求值：

lim_{x \to 1} \frac{−1}{2 (x + 1)} = - \frac{1}{4} .

检验点 2.15

计算 $lim_{x \to −3} \frac{\frac{1}{x + 2} + 1}{x + 3} .$

例 2.20 不属于前述模式，但稍加变通即可运用同样的技巧。

例 2.20

极限法则不直接适用时的求极限

计算 $lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) .$

解

$1 / x$ 和 $5 / x (x - 5)$ 在零处的极限均不存在，故不能直接应用极限的和法则。先将两项通分相加，再用前述方法求极限。注意：

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)} & = \frac{x - 5 + 5}{x (x - 5)} \\ = \frac{x}{x (x - 5)} . \end{matrix}

因此，

\begin{matrix} lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{5}{x (x - 5)}) & = lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x - 5)} \\ = lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 5} \\ = - \frac{1}{5} . \end{matrix}

检验点 2.16

计算 $lim_{x \to 3} (\frac{1}{x - 3} - \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}) .$

下面重新讨论单侧极限。极限法则稍作调整即可用于单侧极限。例如，要将极限法则用于 $lim_{x \to a^{-}} h (x),$ 形式的极限，需 $h (x)$ 在 $(b, a);$ 形式的开区间上有定义；对于 $lim_{x \to a^{+}} h (x),$ 形式的极限，需 $h (x)$ 在 $(a, c) .$ 形式的开区间上有定义。例 2.21 说明了这一点。

例 2.21

使用极限法则求单侧极限

若可能，求下列各极限。

$lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$
$lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3}$

解

图 2.25 给出了 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ 的图形，有助于理解。

函数 f(x) = sqrt(x-3) 的图形。从视觉上看，该函数类似于一个顶点在 (3,0) 处向右开口的抛物线的上半部分。

图 2.25 函数

f (x) = \sqrt{x - 3} .

函数 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ 在区间 $[3, + \infty) .$ 上定义。此函数在 3 的左侧无定义，故不能应用极限法则计算 $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3} .$ 。实际上，因 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ 在 3 左侧无定义， $lim_{x \to 3^{-}} \sqrt{x - 3}$ 不存在。
由于 $f (x) = \sqrt{x - 3}$ 在 3 的右侧有定义，极限法则适用于 $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} .$ 。应用极限法则得 $lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{x - 3} = 0 .$

例 2.22 考察分段函数的单侧极限，并据此对其双侧极限得出结论。

例 2.22

使用极限法则求双侧极限

对于 $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 3 & 若 x < 2 \\ {(x - 3)}^{2} & 若 x \geq 2 \end{matrix},$ ，计算以下每个极限：

$lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
$lim_{x \to 2} f (x)$

解

图 2.26 给出了 $f (x)$ 的图形，有助于理解。

一个分段函数的图形，包含两个部分。对于 x<2，函数是线性的，方程为 4x-3。在 (2,5) 处有一个空心圆。第二部分是抛物线，存在于 x>=2，方程为 (x-3)^2。在 (2,1) 处有一个实心圆。抛物线的顶点在 (3,0) 处。

图 2.26 函数

f (x) .

对 x 在 $(− \infty, 2),$ 内， $f (x) = 4 x - 3$ ，代入并应用极限法则：

$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} (4 x - 3) = 5 .$
对 x 在 $(2, + \infty),$ 内， $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ ，代入并应用极限法则：

$lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} {(x - 3)}^{2} = 1 .$
由于 $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 5$ 和 $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1,$ ，故 $lim_{x \to 2} f (x)$ 不存在。

检验点 2.17

绘制 $f (x) = {\begin{matrix} - x - 2 若 x < − 1 \\ 2 若 x = −1 \\ x^{3} 若 x > − 1 \end{matrix}$ 的图形并计算 $lim_{x \to {−1}^{-}} f (x) .$

下面考虑 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)},$ 形式的极限，其中 $lim_{x \to a} f (x) = K,$ ，且 $K \neq 0$ 和 $lim_{x \to a} g (x) = 0 .$ 。即 $f (x) / g (x)$ 在 a 处具有 $K / 0, K \neq 0$ 的形式。

例 2.23

求 $K / 0, K \neq 0$ 形式的极限

计算 $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} .$

解

步骤 1. 代入 $x = 2,$ 后，此极限具有 $−1 / 0 .$ 的形式。即当 x 从左侧趋近于 2 时，分子趋于 −1，分母趋于 0。故 $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ 的绝对值趋于无穷大。为进一步判断极限，将分母因式分解：

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x (x - 2)} .

步骤 2. 由于 $x - 2$ 是代入 2 时分母中唯一等于零的因子，将 $1 / (x - 2)$ 分离出来：

= lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} .

步骤 3. $lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x} = - \frac{1}{2}$ 和 $lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2} = − \infty .$ 。因此， $(x - 3) / x$ 和 $1 / (x - 2)$ 的乘积的极限为 $+∞:$

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x} = + \infty .

检验点 2.18

计算 $lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}} .$

夹逼定理

前述方法对代数函数非常有效，但仍不足以求出一些基本三角函数极限。下一个定理称为夹逼定理，在求三角函数极限时尤为有用。其思想是：若某函数在 a 处的极限未知，但它被两个在 a 处极限相同的函数夹在中间，则可由此确定其极限。图 2.27 直观地展示了这一思想。

在小区间上三个函数的图形。所有三个函数都是曲线。在该区间上，函数 g(x) 被函数 h(x) 和 f(x) 夹在中间，其中 h(x) 对于相同的 x 值给出更大的 y 值，f(x) 对于相同的 x 值给出更小的 y 值。当 x=a 时，所有函数都趋近于相同的极限。

图 2.27 当

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

和

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} h (x) .

时，夹逼定理适用。

定理 2.7

夹逼定理

设 $f (x), g (x),$ 和 $h (x)$ 在含 a 的某开区间内对所有 $x \neq a$ 有定义。若

f (x) \leq g (x) \leq h (x)

对含 a 的开区间内所有 $x \neq a$ ，并且

lim_{x \to a} f (x) = L = lim_{x \to a} h (x)

其中 L 是一个实数，则 $lim_{x \to a} g (x) = L .$

例 2.24

应用夹逼定理

应用夹逼定理计算 $lim_{x \to 0} x cos x .$ 。

解

对所有 x 均有 $−1 \leq cos x \leq 1$ ，故有 $- | x | \leq x cos x \leq | x |$ 。由于 $lim_{x \to 0} (- | x |) = 0 = lim_{x \to 0} | x |,$ ，由夹逼定理得 $lim_{x \to 0} x cos x = 0 .$ 。 $f (x) = - | x |, g (x) = x cos x,$ 和 $h (x) = | x |$ 的图形如图 2.28 所示。

三个函数的图形：h(x) = x, f(x) = -x, 和 g(x) = xcos(x)。第一个函数 h(x) = x 是一个斜率为 1 且过原点的线性函数。第二个函数 f(x) 也是一个斜率为 −1 且过原点的线性函数。第三个函数 g(x) = xcos(x) 在前两个函数之间弯曲并过原点。当 x>0 时，它向上开口；当 x>0 时，它向下开口。

图 2.28

f (x), g (x),

和

h (x)

的图形显示在点

x = 0 .

附近。

检验点 2.19

使用夹逼定理计算 $lim_{x \to 0} x^{2} sin \frac{1}{x} .$ 。

下面用夹逼定理求几个极为重要的极限。以下推导虽篇幅较长，但这些极限对后续章节的展开不可或缺。首先求 $lim_{θ \to 0} sin θ .$ 。考虑图 2.29 所示的单位圆。由图可知 $sin θ$ 为单位圆上的 y 坐标，即图中蓝色线段。角 θ 的弧度值等于其在单位圆上所对弧长。因此，对 $0 < θ < \frac{π}{2}, 0 < sin θ < θ .$ ，有

x,y 平面上的单位圆图——它是一个半径为 1 且圆心在原点的圆。在圆周上第一象限标记了一个特定点 (cos(theta), sin(theta))。该点是圆内一个直角三角形的一个顶点，其他顶点在原点和 (cos(theta), 0)。因此，边的长度分别为底边为 cos(theta) 和高为 sin(theta)，其中 theta 是斜边和底边形成的角。角 theta 的弧度测量值是它在单位圆上所对弧的长度。该图显示，对于 0 < theta < pi/2，有 0 < sin(theta) < theta。

图 2.29 正弦函数在单位圆上显示为一条线。

因为 $lim_{θ \to 0^{+}} 0 = 0$ 且 $lim_{θ \to 0^{+}} θ = 0,$ ，由夹逼定理可得：

lim_{θ \to 0^{+}} sin θ = 0 .

为证 $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0$ 亦成立，注意对 $- \frac{π}{2} < θ < 0, 0 < − θ < \frac{π}{2}$ ，因此 $0 < sin (- θ) < − θ .$ 。因此， $0 < - sin θ < − θ .$ 。由此可得 $0 > sin θ > θ .$ 。再次应用夹逼定理即得所需结果。由于 $lim_{θ \to 0^{+}} sin θ = 0$ 和 $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0,$ ，

lim_{θ \to 0} sin θ = 0 .

(2.16)

接下来利用恒等式 $cos θ = \sqrt{1 - {sin}^{2} θ}$ 对于 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2},$ ，可得

lim_{θ \to 0} cos θ = lim_{θ \to 0} \sqrt{1 - {sin}^{2} θ} = 1 .

(2.17)

下面求一个后续章节中至关重要的极限： $lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} .$ 。利用图 2.30 中的单位圆。该图在图 2.30 基础上增加了一个三角形，其中角 θ 的对边长度为 $tan θ .$ 。故对 $0 < θ < \frac{π}{2}, sin θ < θ < tan θ .$ ，有

与前一个图相同的图。然而，三角形被扩展了。底边现在是从原点到 (1,0)。高是从 (1,0) 到 (1, tan(theta))。斜边是从原点到 (1, tan(theta))。因此，高现在是 tan(theta)。它显示，对于 0 < theta < pi/2，有 sin(theta) < theta < tan(theta)。

图 2.30 正弦和正切函数在单位圆上显示为线。

各项同除以 $sin θ$ ，得

1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} .

即

1 > \frac{sin θ}{θ} > cos θ .

由于 $lim_{θ \to 0^{+}} 1 = 1 = lim_{θ \to 0^{+}} cos θ,$ ，故 $lim_{θ \to 0^{+}} \frac{sin θ}{θ} = 1 .$ 。类似于证明 $lim_{θ \to 0^{-}} sin θ = 0,$ 的方法，可证 $lim_{θ \to 0^{-}} \frac{sin θ}{θ} = 1 .$ 。因此，

lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} = 1 .

(2.18)

例 2.25 利用此极限建立 $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .$ 。此极限在后续章节中同样重要。

例 2.25

求一个重要的三角函数极限

计算 $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} .$ 。

解

第一步，分子分母同乘以共轭式，以便利用三角恒等式将分子中的余弦转化为正弦：

\begin{matrix} lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} & = lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} \cdot \frac{1 + cos θ}{1 + cos θ} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{1 - {cos}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{{sin}^{2} θ}{θ (1 + cos θ)} \\ = lim_{θ \to 0} \frac{sin θ}{θ} \cdot \frac{sin θ}{1 + cos θ} \\ = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0 . \end{matrix}

因此，

lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{θ} = 0 .

(2.19)

检验点 2.20

计算 $lim_{θ \to 0} \frac{1 - cos θ}{sin θ} .$ 。

学生项目

推导圆面积的公式

今天视为理所当然的一些几何公式，最初由预示微积分的方法推导而来。希腊数学家阿基米德（约公元前 287-212 年）尤富创造力：他以圆的内接正多边形近似圆的面积，边数越多则近似越精确。他虽未提出极限概念，但借助这一思想，可体会其几何构造如何预见了极限。

通过计算圆的内接正多边形面积可估计圆的面积。将正多边形视为由 n 个等腰三角形拼成，令其顶角趋于零取极限，即得圆面积。请按以下步骤操作：

用 $θ$ 和 r 表示图 2.31 中等腰三角形的高 h 和底 b。

图 2.31
使用你在步骤 1 中得到的表达式，用 θ 和 r 表示等腰三角形的面积。
（在你的表达式中用 $(1 / 2) sin θ$ 替换 $sin (θ / 2) cos (θ / 2)$ 。）
若正 n 边形内接于半径为 r 的圆中，求 θ 与 n 之间的关系，并解出 n。注意一个圆对应 2π 弧度。（用弧度制，不用角度制。）
用 r 和 θ 表示 n 边多边形的面积。
求步骤 4 中表达式当 θ 趋近于零时的极限，从而得到圆面积公式。（提示： $lim_{θ \to 0} \frac{(sin θ)}{θ} = 1).$

以多边形估计面积的方法将在积分学导论中再次用到。

第2.3节练习

在以下练习中，使用极限法则求各极限。每一步需注明所应用的极限法则。

83.

$lim_{x \to 0} (4 x^{2} - 2 x + 3)$

84.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 5}{4 - 7 x}$

85.

$lim_{x \to −2} \sqrt{x^{2} - 6 x + 3}$

86.

$lim_{x \to −1} {(9 x + 1)}^{2}$

在以下练习中，使用直接代入法求各极限。

87.

$lim_{x \to 7} x^{2}$

88.

$lim_{x \to −2} (4 x^{2} - 1)$

89.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + sin x}$

90.

$lim_{x \to 2} e^{2 x - x^{2}}$

91.

$lim_{x \to 1} \frac{2 - 7 x}{x + 6}$

92.

$lim_{x \to 3} ln e^{3 x}$

在以下练习中，先用直接代入验证各极限为未定式 $0 / 0 .$ ，再求该极限。

93.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{x - 4}$

94.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

95.

$lim_{x \to 6} \frac{3 x - 18}{2 x - 12}$

96.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{2} - 1}{h}$

97.

$lim_{t \to 9} \frac{t - 9}{\sqrt{t} - 3}$

98.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h},$ 其中 a 是一个非零实常数

99.

$lim_{θ \to π} \frac{sin θ}{tan θ}$

100.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

101.

$lim_{x \to 1 / 2} \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

102.

$lim_{x \to −3} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x + 3}$

在以下练习中，先用直接代入说明表达式无意义，再参照例 2.23 的方法化简函数，确定极限。

103.

$lim_{x \to {−2}^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

104.

$lim_{x \to {−2}^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

105.

$lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

106.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{x^{2} + x - 2}$

在以下练习中，假设 $lim_{x \to 6} f (x) = 4, lim_{x \to 6} g (x) = 9,$ 和 $lim_{x \to 6} h (x) = 6 .$ 。使用这三个事实和极限法则来计算每个极限。

107.

$lim_{x \to 6} 2 f (x) g (x)$

108.

$lim_{x \to 6} \frac{g (x) - 1}{f (x)}$

109.

$lim_{x \to 6} (f (x) + \frac{1}{3} g (x))$

110.

$lim_{x \to 6} \frac{{(h (x))}^{3}}{2}$

111.

$lim_{x \to 6} \sqrt{g (x) - f (x)}$

112.

$lim_{x \to 6} x \cdot h (x)$

113.

$lim_{x \to 6} [(x + 1) \cdot f (x)]$

114.

$lim_{x \to 6} (f (x) \cdot g (x) - h (x))$

[T] 在以下练习中，用计算器画出各分段函数的图形，并利用图形求给定的极限。

115.

$f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \leq 3 \\ x + 4, & x > 3 \end{cases}$

$lim_{x \to 3^{-}} f (x)$
$lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

116.

$g (x) = {\begin{cases} x^{3} - 1, & x \leq 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
$lim_{x \to 0^{+}} g (x)$

117.

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1, & x < 2 \\ 3 - x, & x \geq 2 \end{cases}$

$lim_{x \to 2^{-}} h (x)$
$lim_{x \to 2^{+}} h (x)$

在以下练习中，利用下图和极限法则求各极限。

两个分段函数的图形。上面是 f(x) 的图形，它由两个线性段组成。第一个是斜率为负的直线，存在于 x < -3。它在 x = -3 处趋向于点 (-3,0)。下一个的斜率递增，在 x = -3 处趋向于点 (-3,-2)。它存在于 x > -3。其他关键点是 (0, 1)、(-5,2)、(1,2)、(-7, 4) 和 (-9,6)。下面的分段函数有一个线性段和一个曲线段。线性段存在于 x < -3 且斜率递减。它在 x = -3 处趋向于 (-3,-2)。曲线段似乎是向下开口抛物线的右半部分。它在 x = -3 处趋向于顶点 (-3,2)。它在 y = -2 稍下方穿过 y轴。其他关键点是 (0, -7/3)、(-5,0)、(1,-5)、(-7, 2) 和 (-9, 4)。

118.

$lim_{x \to {−3}^{+}} (f (x) + g (x))$

119.

$lim_{x \to {−3}^{-}} (f (x) - 3 g (x))$

120.

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) g (x)}{3}$

121.

$lim_{x \to −5} \frac{2 + g (x)}{f (x)}$

122.

$lim_{x \to 1} {(f (x))}^{2}$

123.

$lim_{x \to 1} \sqrt[3]{f (x) - g (x)}$

124.

$lim_{x \to −7} (x \cdot g (x))$

125.

$lim_{x \to −9} [x \cdot f (x) + 2 \cdot g (x)]$

对于以下问题，使用夹逼定理计算极限。如果可能，使用计算器绘制函数 $f (x), g (x),$ 和 $h (x)$ 的图形。

126.

[T] 判断对错？如果 $2 x - 1 \leq g (x) \leq x^{2} - 2 x + 3,$ 那么 $lim_{x \to 2} g (x) = 0 .$

127.

[T] $lim_{θ \to 0} θ^{2} cos (\frac{1}{θ})$

128.

$lim_{x \to 0} f (x),$ 其中 $f (x) = {\begin{cases} 0, & x 有理数 \\ x^{2}, & x 无理数 \end{cases}$

129.

[T] 在物理学中，由真空中点电荷在距离 r 处产生的电场强度由库仑定律决定： $E (r) = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}},$ ，其中 E 表示电场强度，q 是粒子的电荷，r 是粒子与测量场强位置之间的距离， $\frac{1}{4 π ε_{0}}$ 是库仑常数： $8.988 \times 10^{9} N \cdot m^{2} / C^{2} .$

使用图形计算器绘制 $E (r)$ 的图形，已知粒子电荷为 $q = 10^{−10} .$ 。
计算 $lim_{r \to 0^{+}} E (r) .$ 。这个量的物理意义是什么？它是否具有物理相关性？为什么从右侧计算？

130.

[T] 物体的密度由其质量除以体积给出： $ρ = m / V .$

使用计算器绘制体积作为密度 $(V = m / ρ),$ 的函数，假设你正在研究一个质量为 8 kg 的物体 ( $m = 8).$ )。
计算 $lim_{ρ \to 0^{+}} V (ρ)$ 并解释其物理意义。

2.3 极限法则

学习目标

使用极限法则求极限

定理 2.4

基本极限结果

例 2.13

计算基本极限

解

定理 2.5

极限法则

例 2.14

使用极限法则求极限

解

例 2.15

反复应用极限法则

解

检验点 2.11

多项式函数和有理函数的极限

定理 2.6

多项式函数和有理函数的极限

例 2.16

求有理函数的极限

解

检验点 2.12

其他求极限的技巧

问题解决策略

当 f(x)/g(x)f(x)/g(x) 具有 0/0 未定式时的极限计算

例 2.17

通过因式分解与约分求极限

解

检验点 2.13

例 2.18

利用共轭式求极限

解

检验点 2.14

例 2.19

通过化简繁分式求极限

解

检验点 2.15

例 2.20

极限法则不直接适用时的求极限

解

检验点 2.16

例 2.21

使用极限法则求单侧极限

解

例 2.22

使用极限法则求双侧极限

解

检验点 2.17

例 2.23

求 K/0,K≠0K/0,K≠0 形式的极限

解

检验点 2.18

夹逼定理

定理 2.7

夹逼定理

例 2.24

应用夹逼定理

解

检验点 2.19

例 2.25

求一个重要的三角函数极限

解

检验点 2.20

学生项目

推导圆面积的公式

第2.3节 练习

当 $f (x) / g (x)$ 具有 0/0 未定式时的极限计算

求 $K / 0, K \neq 0$ 形式的极限

第2.3节练习