指数函数和对数函数 - 微积分：第一卷

1.5 指数函数和对数函数

学习目标

1.5.1 识别指数函数的形式。
1.5.2 解释 $x^{b}$ 和 $b^{x} .$ 的图形之间的区别。
1.5.3 认识数 $e .$ 的重要性。
1.5.4 识别对数函数的形式。
1.5.5 解释指数函数和对数函数之间的关系。
1.5.6 描述如何计算不同底数的对数。
1.5.7 识别双曲函数、它们的图形和基本恒等式。

本节研究指数函数与对数函数，利用其性质求解含指数项或对数项的方程，并探讨自然常数 $e .$ 的意义。此外还将定义双曲函数与反双曲函数——它们由指数函数与对数函数组合而成。（注：《积分的应用》一章将给出指数函数与对数函数的另一种定义，并证明两种定义下性质相同。）

指数函数

指数函数在各类应用中广泛出现，人口增长即为常见一例。

例如，设某人口初始规模为 $P_{0}$ 个个体，年增长率为 $2 %,$ ，则 1 年后的人口为

P (1) = P_{0} + 0.02 P_{0} = P_{0} (1 + 0.02) = P_{0} (1.02) .

2 年后的人口为

P (2) = P (1) + 0.02 P (1) = P (1) (1.02) = P_{0} {(1.02)}^{2} .

一般而言， $t$ 年后的人口为

P (t) = P_{0} {(1.02)}^{t},

此即指数函数。更一般地，任何形如 $f (x) = b^{x},$ 的函数，其中 $b > 0, b \neq 1,$ ，都是以 $b$ 为底数、以 x 为指数的指数函数。其底数为常数，指数为变量。注意，形如 $f (x) = x^{b}$ 的函数（其中 $b$ 为某个常数）不是指数函数，而是幂函数。

为看出指数函数与幂函数的区别，比较函数 $y = x^{2}$ 和 $y = 2^{x} .$ 。由表 1.10 可见，当 $x \to \infty .$ 时， $2^{x}$ 和 $x^{2}$ 都趋近于无穷大。但当 $x$ 充分大时， $2^{x}$ 将超过 $x^{2}$ ，并且当 $x \to \infty .$ 时增长得更快。反过来，当 $x \to − \infty, x^{2} \to \infty,$ 时， $2^{x} \to 0 .$ 。直线 $y = 0$ 是 $y = 2^{x} .$ 的水平渐近线。

图 1.43 绘制了 $y = x^{2}$ 和 $y = 2^{x}$ 的图形以比较二者。

一张图形图像。x 轴范围从 -10 到 10，y 轴范围从 0 到 50。该图包含两个函数。第一个函数是“y = x 平方”，它是一个抛物线。该函数递减直到到达原点，然后开始递增。第二个函数是“y = 2 的 x 次方”，它从略高于 x 轴的位置开始，然后非常迅速地递增，比第一个函数增长得更快。

图 1.43 当

x \to \infty,

时，

2^{x}

和

x^{2}

都趋近于无穷大，但

2^{x}

比

x^{2} .

增长得更快。当

x \to − \infty, x^{2} \to \infty,

时，

2^{x} \to 0 .

。

指数函数的求值

回顾指数的性质：若 $x$ 为正整数，则定义 $b^{x} = b \cdot b \dots b$ （其中有 $x$ 个 $b) .$ 相乘）。若 $x$ 为负整数，则 $x = − y$ （其中 $y,$ 为正整数），此时 $b^{x} = b^{− y} = 1 / b^{y} .$ 。此外， $b^{0}$ 定义为 $1 .$ 。若 $x$ 为有理数，则 $x = p / q,$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是整数且 $b^{x} = b^{p / q} = \sqrt[q]{b^{p}} .$ 。例如， $9^{3 / 2} = \sqrt{9^{3}} = 27 .$ 。然而，若 $x$ 为无理数， $b^{x}$ 如何定义？例如， $2^{\sqrt{2}} ?$ 是什么意思？要完全回答此问题目前为时尚早；不过可以进行近似。表 1.11 列出了若干趋近于 $\sqrt{2},$ 的有理数及对应的 $2^{x}$ 值。可以断言，若选取越来越接近 $\sqrt{2},$ 的有理数 $x$ ，则 $2^{x}$ 将越来越接近某个数 $L .$ 。此数 $L$ 定义为 $2^{\sqrt{2}} .$ 。

例 1.33

细菌生长

已知某细菌种群每 $4$ 小时数量翻倍。若培养物初始有 $1000$ 个细菌，则 $4$ 小时后的细菌数量是 $n (4) = 1000 \cdot 2 .$ 。 $8$ 小时后的细菌数量是 $n (8) = n (4) \cdot 2 = 1000 \cdot 2^{2} .$ 。一般而言， $4 m$ 小时后的细菌数量是 $n (4 m) = 1000 \cdot 2^{m} .$ 。令 $t = 4 m,$ ，可知 $t$ 小时后的细菌数量是 $n (t) = 1000 \cdot 2^{t / 4} .$ 。求 $6$ 小时、 $10$ 小时和 $24$ 小时后的细菌数量。

解

6 小时后的细菌数量为 $n (6) = 1000 \cdot 2^{6 / 4} \approx 2828$ 个。 $10$ 小时后的细菌数量为 $n (10) = 1000 \cdot 2^{10 / 4} \approx 5657$ 个。 $24$ 小时后的细菌数量为 $n (24) = 1000 \cdot 2^{6} = 64,000$ 个。

检验点 1.27

给定指数函数 $f (x) = 100 \cdot 3^{x / 2},$ ，计算 $f (4)$ 和 $f (10) .$ 。

媒体资源

访问人口平衡，查看指数人口增长的另一个例子。

指数函数的图形

对任意底数 $b > 0, b \neq 1,$ ，指数函数 $f (x) = b^{x}$ 对所有实数 $x$ 和 $b^{x} > 0 .$ 都有定义。因此， $f (x) = b^{x}$ 的定义域是 $(− \infty, \infty)$ ，值域是 $(0, \infty) .$ 。为绘制 $b^{x},$ 的图形，注意对于 $b > 1, b^{x}$ ，它在 $(− \infty, \infty)$ 上是递增的，并且当 $x \to \infty,$ 时 $b^{x} \to \infty$ ，而当 $x \to − \infty .$ 时 $b^{x} \to 0$ 。若 $0 < b < 1, f (x) = b^{x}$ ，它在 $(− \infty, \infty)$ 上是递减的，并且当 $x \to \infty$ 时 $b^{x} \to 0$ ，而当 $x \to − \infty$ 时 $b^{x} \to \infty$ （图 1.44）。

一张图形图像。x 轴范围从 -3 到 3，y 轴范围从 0 到 4。该图包含四个函数。第一个函数是“f(x) = 2 的 x 次方”，这是一个递增的曲线函数，从略高于 x 轴的位置开始并递增。第二个函数是“f(x) = 4 的 x 次方”，这是一个递增的曲线函数，从略高于 x 轴的位置开始并迅速递增，比第一个函数增长得更快。第三个函数是“f(x) = (1/2) 的 x 次方”，这是一个递减的曲线函数，递减直到接近 x 轴但不触及。第四个函数是“f(x) = (1/4) 的 x 次方”，这是一个递减的曲线函数，递减直到接近 x 轴但不触及。它比第三个函数递减得更快。

图 1.44 如果

b > 1,

，则

b^{x}

在

(− \infty, \infty) .

上是递增的。如果

0 < b < 1,

，则

b^{x}

在

(− \infty, \infty) .

上是递减的。

媒体资源

访问此网站，进一步探索指数函数的图形。

指数函数满足一般的指数运算法则，列举如下以备参考。

法则：指数定律

对于任意常数 $a > 0, b > 0,$ 以及所有 x 和 y，

$b^{x} \cdot b^{y} = b^{x + y}$
$\frac{b^{x}}{b^{y}} = b^{x - y}$
${(b^{x})}^{y} = b^{x y}$
${(a b)}^{x} = a^{x} b^{x}$
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$

例 1.34

使用指数定律

用指数定律简化下列各式。

$\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}}$
$\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}}$

解

按如下方式简化：
$\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{2^{3} {(x^{2 / 3})}^{3}}{4^{2} {(x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{8 x^{2}}{16 x^{−2 / 3}} = \frac{x^{2} x^{2 / 3}}{2} = \frac{x^{8 / 3}}{2} .$
按如下方式简化：
$\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}} = \frac{{(x^{3})}^{2} {(y^{−1})}^{2}}{x^{−2} {(y^{2})}^{−2}} = \frac{x^{6} y^{−2}}{x^{−2} y^{−4}} = x^{6} x^{2} y^{−2} y^{4} = x^{8} y^{2} .$

检验点 1.28

使用指数定律简化 $(6 x^{−3} y^{2}) / (12 x^{−4} y^{5}) .$ 。

数 e

有一种特殊的指数函数在实际应用中极为常见。为引出它，考虑储蓄账户中复利 (compounding interest)产生的指数增长。设某人将 $P$ 美元存入一个年利率为 $r,$ 按年复利计算的储蓄账户。1年后的金额为

A (1) = P + r P = P (1 + r) .

$2$ 年后的金额为

A (2) = A (1) + r A (1) = P (1 + r) + r P (1 + r) = P {(1 + r)}^{2} .

更一般地， $t$ 年后的金额为

A (t) = P {(1 + r)}^{t} .

若每年计息2次（即半年复利），则半年后的金额为

A (\frac{1}{2}) = P + (\frac{r}{2}) P = P (1 + (\frac{r}{2})) .

$1$ 年后的金额为

A (1) = A (\frac{1}{2}) + (\frac{r}{2}) A (\frac{1}{2}) = P (1 + \frac{r}{2}) + \frac{r}{2} (P (1 + \frac{r}{2})) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2} .

$t$ 年后，账户中的金额为

A (t) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2 t} .

更一般地，若每年计息 $n$ 次，则 $t$ 年后账户中的金额为

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} .

当 $n \to \infty ?$ 时会怎样？为此，令 $m = n / r$ 并写出

{(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = {(1 + \frac{1}{m})}^{m r t},

并借助数值表（表 1.12）观察 ${(1 + 1 / m)}^{m}$ 随 $m \to \infty,$ 的变化趋势。

$m$	$10$	$100$	$1000$	$10,000$	$100,000$	$1,000,000$
${(1 + \frac{1}{m})}^{m}$	$2.5937$	$2.7048$	$2.71692$	$2.71815$	$2.718268$	$2.718280$

表 1.12

{(1 + \frac{1}{m})}^{m}

随

m \to \infty

的值

可见，当 $m \to \infty .$ 时， ${(1 + 1 / m)}^{m}$ 趋近于 $2.7$ 和 $2.8$ 之间的某个数。事实上，当 $m \to \infty .$ 时， ${(1 + 1 / m)}^{m}$ 趋近于一个确定的极限值，称为数 $e$ (number e)。精确到小数点后六位，

e \approx 2.718282 .

字母 $e$ 最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于18世纪20年代引入。虽然欧拉并非此数的发现者，但他揭示了 $e$ 与对数函数之间的许多重要联系。为纪念其贡献，记号 $e$ 沿用至今，广泛出现在数学各分支及众多实际应用中。

回到储蓄账户的例子，可以得出：若以年利率 $r,$ 将 $P$ 美元存入连续复利计息的账户，则 $A (t) = P e^{r t} .$ 。由于以 $e$ 为底的函数在应用中极为常见，称函数 $f (x) = e^{x}$ 为自然指数函数 (natural exponential function)。此函数不仅与常数 $e,$ 的定义密切相关，其图形还具有如下重要性质。

由于 $e > 1,$ ，知 $e^{x}$ 在 $(− \infty, \infty) .$ 上是递增的。在图 1.45中，展示了 $f (x) = e^{x}$ 的图形以及在 $x = 0 .$ 处图形的切线。下一章将给出切线的精确定义；非正式地说，函数 $f$ 在 $x = a$ 处的切线即过点 $(a, f (a))$ 且与 $f$ 在该点斜率相同的直线。函数 $f (x) = e^{x}$ 是唯一一个在 $x = 0$ 处切线斜率为1的指数函数 $b^{x}$ 。正如后文将要看到的，正是这一性质使自然指数函数在许多场景下最便于处理。

图。x轴范围从-3到3，y轴范围从0到4。图形表示的是函数”f(x) = eˣ”，一条从略高于x轴处开始的递增曲线。y截距在点(0, 1)。在该点处，画了一条函数的切线。该切线标记为”斜率 = 1”。

图 1.45

f (x) = e^{x}

的图形在

x = 0 .

处有一条斜率为

1

的切线。

例 1.35

复利计算

设将 $$ 500$ 存入一个年利率为 $r = 5.5 %,$ 连续复利计算的账户。

设 $t$ 表示初始投资后的年数， $A (t)$ 表示在时间 $t .$ 账户中的金额。求 $A (t) .$ 的公式。
求 $10$ 年后和 $20$ 年后账户中的金额。

解

若将 $P$ 美元以年利率 $r,$ 连续复利存入账户，则 $A (t) = P e^{r t} .$ 。这里 $P = $ 500$ 且 $r = 0.055 .$ 。因此， $A (t) = 500 e^{0.055 t} .$ 。
$10$ 年后，账户中的金额为
$A (10) = 500 e^{0.055 \cdot 10} = 500 e^{0.55} \approx $ 866.63 .$

$20$ 年后，账户中的金额为
$A (20) = 500 e^{0.055 \cdot 20} = 500 e^{1.1} \approx $ 1, 502.08 .$

检验点 1.29

如果将 $$ 750$ 以年利率 $4 %,$ 连续复利存入账户，求 $t$ 年后账户中金额的公式。求 $30$ 年后的金额。

对数函数

基于对指数函数的理解，可以讨论其逆函数——对数函数。在描述变化范围极大的量时，如化学中的pH值或声学中的分贝，对数函数尤为有用。

指数函数 $f (x) = b^{x}$ 为一一对应函数，定义域为 $(− \infty, \infty)$ ，值域为 $(0, \infty) .$ 。故存在逆函数，称为以 $b .$ 为底的对数函数。对于任意 $b > 0, b \neq 1,$ ，以 b 为底的对数函数，记作 ${log}_{b},$ ，定义域为 $(0, \infty)$ ，值域为 $(− \infty, \infty),$ ，并满足

{log}_{b} (x) = y 当且仅当 b^{y} = x .

例如，

\begin{matrix} {log}_{2} (8) = 3 & 因为 2^{3} = 8, \\ {log}_{10} (\frac{1}{100}) = −2 & 因为 10^{−2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100}, \\ {log}_{b} (1) = 0 & 因为 b^{0} = 1 对任意底数 b > 0 . \end{matrix}

又因 $y = {log}_{b} (x)$ 和 $y = b^{x}$ 是反函数，

{log}_{b} (b^{x}) = x 且 b^{{log}_{b} (x)} = x .

最常用的对数函数为 ${log}_{e} .$ 。因其以自然常数 $e$ 为底，故称为自然对数 (natural logarithm)。此处用记号 $ln (x)$ 或 $ln x$ 表示 ${log}_{e} (x) .$ 。例如，

ln (e) = {log}_{e} (e) = 1, ln (e^{3}) = {log}_{e} (e^{3}) = 3, ln (1) = {log}_{e} (1) = 0 .

因函数 $f (x) = e^{x}$ 和 $g (x) = ln (x)$ 互为反函数，

ln (e^{x}) = x 且 e^{ln x} = x,

其图形关于直线 $y = x$ 对称（图 1.46）。

图。x轴范围从-3到3，y轴范围从-3到4。图形包含两个函数。第一个函数是”f(x) = eˣ”，一条从略高于x轴处开始的递增曲线。y截距在点(0, 1)，没有x截距。第二个函数是”f(x) = ln(x)”，一条递增曲线。x截距在点(1, 0)，没有y截距。图上还绘制了一条标记为”y = x”的虚线，以显示两个函数关于该直线互为镜像。

图 1.46 函数

y = e^{x}

和

y = ln (x)

互为反函数，因此它们的图形关于直线

y = x .

对称。

媒体资源

在此网站上可见以10为底的对数刻度示例。

一般地，对任意底数 $b > 0, b \neq 1,$ ，函数 $g (x) = {log}_{b} (x)$ 关于直线 $y = x$ 与函数 $f (x) = b^{x} .$ 对称。据此及指数函数图形，可绘制 $b > 1$ 的几个值对应的函数 ${log}_{b}$ 的图形（图 1.47）。

图。x轴范围从-3到3，y轴范围从0到4。图形包含三个函数。三个函数都是对数函数，是从y轴稍右侧开始的递增曲线，且都在(1, 0)处有x截距。第一个函数是”y = log₁₀(x)”，第二个函数是”f(x) = ln(x)”，第三个函数是”y = log₂(x)”。第三个函数递增最快，第二个函数次之，第一个函数递增最慢。

图 1.47 描绘了

b = 2, e, 10 .

对应的

y = {log}_{b} (x)

的图形。

在求解涉及指数函数与对数函数的方程之前，先回顾对数的基本性质。

法则：对数的性质

若 $a, b, c > 0, b \neq 1,$ 且 $r$ 为任意实数，则

\begin{matrix} 1. {log}_{b} (a c) = {log}_{b} (a) + {log}_{b} (c) & （积性质） \\ 2. {log}_{b} (\frac{a}{c}) = {log}_{b} (a) - {log}_{b} (c) & （商性质） \\ 3. {log}_{b} (a^{r}) = r {log}_{b} (a) & （幂性质） \end{matrix}

例 1.36

求解涉及指数函数的方程

求解下列方程中的 $x .$ 。

$5^{x} = 2$
$e^{x} + 6 e^{− x} = 5$

解

对两边取自然对数，得
$ln 5^{x} = ln 2 .$

由幂性质，
$x ln 5 = ln 2 .$

因此， $x = ln 2 / ln 5 .$ 。
两边乘以 $e^{x},$ ，得
$e^{2 x} + 6 = 5 e^{x} .$

改写为
$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0,$

视为关于 $e^{x} :$ 的二次方程：
${(e^{x})}^{2} - 5 (e^{x}) + 6 = 0 .$

因式分解，得
$(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0 .$

故解满足 $e^{x} = 3$ 和 $e^{x} = 2 .$ 。取自然对数，得 $x = ln 3, ln 2 .$ 。

检验点 1.30

求解 $e^{2 x} / (3 + e^{2 x}) = 1 / 2 .$ 。

例 1.37

求解涉及对数函数的方程

求解下列方程中的 $x .$ 。

$ln (\frac{1}{x}) = 4$
${log}_{10} \sqrt{x} + {log}_{10} x = 2$
$ln (2 x) - 3 ln (x^{2}) = 0$

解

由自然对数的定义，
$ln (\frac{1}{x}) = 4 当且仅当 e^{4} = \frac{1}{x} .$

故 $x = 1 / e^{4} .$ 。
利用积性质与幂性质，将左边改写为
${log}_{10} \sqrt{x} + {log}_{10} x = {log}_{10} x \sqrt{x} = {log}_{10} x^{3 / 2} = \frac{3}{2} {log}_{10} x .$

故方程化为
$\frac{3}{2} {log}_{10} x = 2 或 {log}_{10} x = \frac{4}{3} .$

解为 $x = 10^{4 / 3} = 10 \sqrt[3]{10} .$ 。
由幂性质，方程改写为 $ln (2 x) - ln (x^{6}) = 0 .$ 。
由商性质，
$ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0 .$

因此， $2 / x^{5} = 1,$ ，即 $x = \sqrt[5]{2} .$ 。需验证此解非增根。

检验点 1.31

求解 $ln (x^{3}) - 4 ln (x) = 1 .$ 。

用计算器计算对数时，可能注意到只有 ${log}_{10}$ （即常用对数 (common logarithm)）和 ln（自然对数）两个按键。但指数函数与对数函数可取任意底数 $b .$ 来表示。若需计算其他底数的对数，可利用换底公式将其转化为自然对数或常用对数。

法则：换底公式

设 $a > 0, b > 0,$ 且 $a \neq 1, b \neq 1 .$ 。

$a^{x} = b^{x {log}_{b} a}$ 对任意实数 $x .$ 。
如果 $b = e,$ ，此方程简化为 $a^{x} = e^{x {log}_{e} a} = e^{x ln a} .$ 。
${log}_{a} x = \frac{{log}_{b} x}{{log}_{b} a}$ 对任意实数 $x > 0 .$ 。
如果 $b = e,$ ，此方程简化为 ${log}_{a} x = \frac{ln x}{ln a} .$ 。

证明

对于第一个换底公式，先利用对数的幂性质。对任意底数 $b > 0, b \neq 1, {log}_{b} (a^{x}) = x {log}_{b} a .$ 。因此，

b^{{log}_{b} (a^{x})} = b^{x {log}_{b} a} .

又知 $b^{x}$ 和 ${log}_{b} (x)$ 互为反函数，故

b^{{log}_{b} (a^{x})} = a^{x} .

综合以上两式，得 $a^{x} = b^{x {log}_{b} a} .$ 。

为证第二个性质，需证

({log}_{b} a) \cdot ({log}_{a} x) = {log}_{b} x .

设 $u = {log}_{b} a, v = {log}_{a} x,$ 且 $w = {log}_{b} x .$ 。下证 $u \cdot v = w .$ 。由对数的定义，知 $b^{u} = a, a^{v} = x,$ 和 $b^{w} = x .$ 。由此可得

b^{u v} = {(b^{u})}^{v} = a^{v} = x = b^{w} .

因此， $b^{u v} = b^{w} .$ 。因指数函数一一对应，故 $u \cdot v = w .$ 。

□

例 1.38

换底

利用换底公式计算 ${log}_{3} 7$ 。

解

使用第二个公式，其中 $a = 3$ 且 $e = 3 :$ 。

${log}_{3} 7 = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1.77124 .$

检验点 1.32

使用换底公式和计算工具计算 ${log}_{4} 6 .$ 。

例 1.39

章节引言：地震的里氏震级

图 1.48 (图片来源：Robb Hannawacker, NPS 作品修改)

1935年，查尔斯·里希特（Charles Richter）提出了一种测量地震震级的标度（现称里氏震级）。此标度以10为底的对数为基础，描述如下：考虑一次震级为 $R_{1}$ 的地震和另一次震级为 $R_{2}$ 的地震。假设 $R_{1} > R_{2},$ ，即震级为 $R_{1}$ 的地震更强——但强多少？一种方法是用地震仪测量地震波的振幅。设 $A_{1}$ 为第一次地震的振幅， $A_{2}$ 为第二次地震的振幅，则振幅与震级满足：

R_{1} - R_{2} = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

考虑震级分别为8和7的两次地震。则

8 - 7 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

因此，

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 1,

这意味着 $A_{1} / A_{2} = 10$ 或 $A_{1} = 10 A_{2} .$ 。由于 $A_{1}$ 是 $A_{2},$ 的10倍，即第一次地震的强度为第二次的10倍。若一次地震震级为8、另一次为6，则相对强度满足

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 8 - 6 = 2 .

因此， $A_{1} = 100 A_{2} .$ 。即第一次地震的强度为第二次的100倍。

用对数函数比较2011年日本9级地震与2010年海地7.3级地震的相对强度。

解

由前述方程：

$9 - 7.3 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .$

因此， $A_{1} / A_{2} = 10^{1.7},$ ，故日本地震的强度约为海地地震的 $50$ 倍。

检验点 1.33

比较一次 $8.4$ 级地震与一次 $7.4$ 级地震的相对严重程度。

双曲函数

双曲函数是由 $e^{x}$ 和 $e^{− x} .$ 的特定组合定义。它们自然出现在水波、弹性膜振动等工程与物理问题中。另一常见应用是描述悬挂链条或电缆的形状，即悬链线（图 1.49）。若引入坐标系使链条最低点位于 $y$ 轴上，即可用双曲函数描述链条的高度。首先定义双曲函数。

图 1.49 蜘蛛网中一根丝线的形状可以用双曲函数来描述。同样的形状也适用于仅靠自身重量悬挂在两个支架上的链条或电缆。（图片来源：“Mtpaley”，维基共享资源）

定义

双曲余弦

cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2}

双曲正弦

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2}

双曲正切

tanh x = \frac{sinh x}{cosh x} = \frac{e^{x} - e^{− x}}{e^{x} + e^{− x}}

双曲余割

csch x = \frac{1}{sinh x} = \frac{2}{e^{x} - e^{− x}}

双曲正割

sech x = \frac{1}{cosh x} = \frac{2}{e^{x} + e^{− x}}

双曲余切

coth x = \frac{cosh x}{sinh x} = \frac{e^{x} + e^{− x}}{e^{x} - e^{− x}}

英语中，cosh 读如 gosh，sinh 读如 cinch，tanh、sech、csch、coth 分别读作 tanch、seech、coseech、cotanch。

利用 $cosh (x)$ 的定义与物理原理，可证悬挂链条的高度（如图 1.49所示）可以用函数 $h (x) = a cosh (x / a) + c$ 描述，其中 $a$ 和 $c .$ 是某些常数。

为何称其为双曲函数？考虑量 ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t .$ 。利用 $cosh$ 和 $sinh,$ 的定义，有

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = \frac{e^{2 t} + 2 + e^{−2 t}}{4} - \frac{e^{2 t} - 2 + e^{−2 t}}{4} = 1 .

此恒等式是三角恒等式 ${cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1 .$ 的类比。给定值 $t,$ ，点 $(x, y) = (cosh t, sinh t)$ 位于单位双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上（图 1.50）。

图。x轴从-1到3，y轴从-3到3。该图是关系“(x的平方) - (y的平方) -1”的图像。该关系的最左点位于x轴截距处，即点(1, 0)。从这一点开始，随着x的增加，该关系以曲线形式增加和减少。这种关系被称为双曲线，它类似于一个侧向的“U”形。图上绘制了一个点，标记为“(cosh(1), sinh(1))”，大约在点(1.5, 1.2)处。

图 1.50 单位双曲线

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1 .

双曲函数的图形

为绘制 $cosh x$ 和 $sinh x,$ 的图形，利用以下事实：当 $x \to \infty,$ 时二者均趋近于 $(1 / 2) e^{x}$ ，因为当 $x \to \infty .$ 时， $e^{− x} \to 0$ 。当 $x \to − \infty, cosh x$ 趋近于 $1 / 2 e^{− x},$ 时， $sinh x$ 趋近于 $−1 / 2 e^{− x} .$ 。因此，以 $1 / 2 e^{x}, 1 / 2 e^{− x},$ 和 $− 1 / 2 e^{− x}$ 的图形为指导，可绘制 $cosh x$ 和 $sinh x .$ 的图形。为绘制 $tanh x,$ 的图形，利用以下事实：对所有 $x, tanh x \to 1$ ， $tanh (0) = 0, −1 < tanh (x) < 1$ ，且当 $x \to \infty,$ 时， $tanh x \to − 1$ ，当 $x \to − \infty .$ 时。其余三个双曲函数的图形可由 $cosh x, sinh x,$ 和 $tanh x$ 的图形导出（图 1.51）。

六张图的图像。每张图的x轴范围从-3到3，y轴范围从-4到4。第一张图是函数“y = cosh(x)”的图像，它是一条双曲线。该函数递减直到达到点(0, 1)，然后开始递增。还有两个函数作为该函数的边界。第一个函数是“y = (1/2)(e的-x次方)”，一个递减的曲线函数；第二个函数是“y = (1/2)(e的x次方)”，一个递增的曲线函数。函数“y = cosh(x)”始终在这两个函数之上，但从不接触它们。第二张图是函数“y = sinh(x)”的图像，它是一个递增的曲线函数。还有两个函数作为该函数的边界。第一个函数是“y = (1/2)(e的x次方)”，一个递增的曲线函数；第二个函数是“y = -(1/2)(e的-x次方)”，一个递增的曲线函数，它趋近于x轴但从不接触它。函数“y = sinh(x)”始终在这两个函数之间，但从不接触它们。第三张图是函数“y = sech(x)”的图像，它递增直到达到点(0, 1)，然后开始递减。该函数的图像有一个驼峰。第四张图是函数“y = csch(x)”的图像。在y轴的左侧，该函数从略低于x轴处开始递减，直到趋近于y轴，但从不接触它。在y轴的右侧，该函数从略微偏右于y轴处开始递减，直到趋近于x轴，但从不接触它。第五张图是函数“y = tanh(x)”的图像，它是一个递增的曲线函数。还有两个函数作为该函数的边界。第一个函数是“y = 1”，一个水平线函数；第二个函数是“y = -1”，另一个水平线函数。函数“y = tanh(x)”始终在这两个函数之间，但从不接触它们。第六张图是函数“y = coth(x)”的图像。在y轴的左侧，该函数从略低于边界线“y = 1”处开始递减，直到趋近于y轴，但从不接触它。在y轴的右侧，该函数从略微偏右于y轴处开始递减，直到趋近于边界线“y = -1”，但从不接触它。

图 1.51 双曲函数涉及

e^{x}

和

e^{− x} .

的组合。

双曲函数恒等式

图 1.50中所示的恒等式 ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t,$ 是涉及双曲函数的若干恒等式之一，部分列举如下。前四条性质可直接从定义得出。除个别符号差异外，这些性质与三角恒等式大体相似。

法则：双曲函数恒等式

$cosh (− x) = cosh x$
$sinh (− x) = − sinh x$
$cosh x + sinh x = e^{x}$
$cosh x - sinh x = e^{− x}$
${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$
$1 - {tanh}^{2} x = {sech}^{2} x$
${coth}^{2} x - 1 = {csch}^{2} x$
$sinh (x \pm y) = sinh x cosh y \pm cosh x sinh y$
$cosh (x \pm y) = cosh x cosh y \pm sinh x sinh y$

例 1.40

计算双曲函数

化简 $sinh (5 ln x) .$
如果 $sinh x = 3 / 4,$ ，求其余五个双曲函数的值。

解

利用 $sinh$ 的定义，写出
$sinh (5 ln x) = \frac{e^{5 ln x} - e^{−5 ln x}}{2} = \frac{e^{ln (x^{5})} - e^{ln (x^{−5})}}{2} = \frac{x^{5} - x^{−5}}{2} .$
利用恒等式 ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1,$ ，有
${cosh}^{2} x = 1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{25}{16} .$

由于对所有 $x,$ ， $cosh x \geq 1$ ，故必有 $cosh x = 5 / 4 .$ 。再由其余双曲函数的定义，得 $tanh x = 3 / 5, csch x = 4 / 3, sech x = 4 / 5,$ 和 $coth x = 5 / 3 .$ 。

检验点 1.34

化简 $cosh (2 ln x) .$

反双曲函数

由双曲函数的图形可见，除 $cosh x$ 和 $sech x .$ 外，其余函数均为一一对应。若将这两个函数的定义域限制于 $[0, \infty),$ ，则所有双曲函数均为一一对应，可定义反双曲函数。因双曲函数涉及指数函数，反双曲函数自然涉及对数函数。

定义

反双曲函数

\begin{array}{lccl} {sinh}^{−1} x = arcsinh x = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) & {cosh}^{−1} x = arccosh x = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \\ {tanh}^{−1} x = arctanh x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}) & {coth}^{−1} x = arccoth x = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{x - 1}) \\ {sech}^{−1} x = arcsech x = ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) & {csch}^{−1} x = arccsch x = ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{| x |}) \end{array}

下面推导第一个公式，其余类似。设 $y = {sinh}^{−1} x .$ 。那么， $x = sinh y$ ，由双曲正弦的定义， $x = \frac{e^{y} - e^{− y}}{2} .$ 。因此，

e^{y} - 2 x - e^{− y} = 0 .

两边乘以 $e^{y},$ ，得

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

视为关于 $e^{y}$ 的二次方程求解，得

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

由于 $e^{y} > 0,$ ，故只取正号。两边取自然对数，得

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

例 1.41

计算反双曲函数

计算下列各项表达式。

{sinh}^{−1} (2)

{tanh}^{−1} (1 / 4)

解

${sinh}^{−1} (2) = ln (2 + \sqrt{2^{2} + 1}) = ln (2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436$

${tanh}^{−1} (1 / 4) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 1 / 4}{1 - 1 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5 / 4}{3 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}) \approx 0.2554$

检验点 1.35

计算 ${tanh}^{−1} (1 / 2) .$

第1.5节练习

以下练习中，计算给定指数函数的值，精确到小数点后两位。

229.

$f (x) = 5^{x}$ a. $x = 3$ b. $x = \frac{1}{2}$ c. $x = \sqrt{2}$

230.

$f (x) = {(0.3)}^{x}$ a. $x = −1$ b. $x = 4$ c. $x = −1.5$

231.

$f (x) = 10^{x}$ a. $x = −2$ b. $x = 4$ c. $x = \frac{5}{3}$

232.

$f (x) = e^{x}$ a. $x = 2$ b. $x = −3.2$ c. $x = π$

以下练习中，将指数方程与正确的图形匹配。

$y = 4^{− x}$
$y = 3^{x - 1}$
$y = 2^{x + 1}$
$y = {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$
$y = − 3^{− x}$
$y = 1 - 5^{x}$

233.

图。x轴范围从-5到5，y轴范围从-2到8。该图是一个递减的曲线函数。该函数递减直到趋近于“y = 2”这条线，但从不触及这条线。y轴截距在点(0, 3)处，没有x轴截距。

234.

图。x轴范围从-4到4，y轴范围从-9到2。该图是一个函数，它从略低于“y = 1”的线开始，并以曲线形式迅速递减。x轴截距和y轴截距都在原点。

235.

图。x轴范围从-5到5，y轴范围从-5到5。该图是一个曲线递增函数，它从略高于x轴的位置开始，并迅速递增。没有x轴截距，y轴截距在点(0, (1/3))处。图上的另一个点是(1, 1)。

236.

图。x轴范围从-5到5，y轴范围从-5到5。该图是一个曲线递减函数，它递减直到接近x轴但不触及。没有x轴截距，y轴截距在点(0, 1)处。图上的另一个点是(-1, 4)。

237.

图。x轴范围从-5到5，y轴范围从-5到5。该图是一个曲线递增函数，它递增直到接近x轴但不触及。没有x轴截距，y轴截距在点(0, -1)处。图上的另一个点是(-1, -3)。

238.

图。x轴范围从-5到5，y轴范围从-5到5。该图是一个曲线递增函数，它从略高于x轴的位置开始，并迅速递增。没有x轴截距，y轴截距在点(0, 2)处。图上的另一个点是(-1, 1)。

以下练习中，绘制指数函数的图形，并确定定义域、值域和水平渐近线。

239.

$f (x) = e^{x} + 2$

240.

$f (x) = − 2^{x}$

241.

$f (x) = 3^{x + 1}$

242.

$f (x) = 4^{x} - 1$

243.

$f (x) = 1 - 2^{− x}$

244.

$f (x) = 5^{x + 1} + 2$

245.

$f (x) = e^{− x} - 1$

对于以下练习，将方程写成等价的指数形式。

246.

${log}_{3} 81 = 4$

247.

${log}_{8} 2 = \frac{1}{3}$

248.

${log}_{5} 1 = 0$

249.

${log}_{5} 25 = 2$

250.

$log 0.1 = −1$

251.

$ln (\frac{1}{e^{3}}) = −3$

252.

${log}_{9} 3 = 0.5$

253.

$ln 1 = 0$

对于以下练习，将方程写成等价的对数形式。

254.

$2^{3} = 8$

255.

$4^{−2} = \frac{1}{16}$

256.

$10^{2} = 100$

257.

$9^{0} = 1$

258.

${(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$

259.

$\sqrt[3]{64} = 4$

260.

$e^{x} = y$

261.

$9^{y} = 150$

262.

$b^{3} = 45$

263.

$4^{−3 / 2} = 0.125$

对于以下练习，绘制对数函数的图形。确定定义域、值域和垂直渐近线。

264.

$f (x) = 3 + ln x$

265.

$f (x) = ln (x - 1)$

266.

$f (x) = ln (− x)$

267.

$f (x) = 1 - ln x$

268.

$f (x) = log x - 1$

269.

$f (x) = ln (x + 1)$

对于以下练习，使用对数的性质将表达式写成对数的和、差和/或积。

270.

$log x^{4} y$

271.

${log}_{3} \frac{9 a^{3}}{b}$

272.

$ln a \sqrt[3]{b}$

273.

${log}_{5} \sqrt{125 x y^{3}}$

274.

${log}_{4} \frac{\sqrt[3]{x y}}{64}$

275.

$ln (\frac{6}{\sqrt{e^{3}}})$

对于以下练习，精确求解指数方程。

276.

$5^{x} = 125$

277.

$e^{3 x} - 15 = 0$

278.

$8^{x} = 4$

279.

$4^{x + 1} - 32 = 0$

280.

$3^{x / 14} = \frac{1}{10}$

281.

$10^{x} = 7.21$

282.

$4 \cdot 2^{3 x} - 20 = 0$

283.

$7^{3 x - 2} = 11$

对于以下练习，如果可能，请精确求解对数方程。

284.

${log}_{3} x = 0$

285.

${log}_{5} x = −2$

286.

${log}_{4} (x + 5) = 0$

287.

$log (2 x - 7) = 0$

288.

$ln \sqrt{x + 3} = 2$

289.

${log}_{6} (x + 9) + {log}_{6} x = 2$

290.

${log}_{4} (x + 2) - {log}_{4} (x - 1) = 0$

291.

$ln x + ln (x - 2) = ln 4$

对于以下练习，使用换底公式和以10为底或以e为底来计算给定表达式。以精确形式和近似形式作答，四舍五入到小数点后四位。

292.

${log}_{5} 47$

293.

${log}_{7} 82$

294.

${log}_{6} 103$

295.

${log}_{0.5} 211$

296.

${log}_{2} π$

297.

${log}_{0.2} 0.452$

298.

将以下表达式改写为指数形式并化简。

a. $2 cosh (ln x)$ b. $cosh 4 x + sinh 4 x$ c. $cosh 2 x - sinh 2 x$ d. $ln (cosh x + sinh x) + ln (cosh x - sinh x)$

299.

[T] 培养物中经过 t 天后的细菌数量 N 可以用函数 $N (t) = 1300 \cdot {(2)}^{t / 4} .$ 建模。求15天后存在的细菌数量。

300.

[T] 石油富裕国家对石油的需求量 D（单位：百万桶）由函数 $D (p) = 150 \cdot {(2.7)}^{−0.25 p},$ 给出，其中 p 是每桶石油的价格（单位：美元）。当价格在15美元到20美元之间时，求石油需求量（精确到百万桶）。

301.

[T] 一笔100,000美元的投资，以连续复利方式支付并复利 t 年后的金额 A 由 $A (t) = 100,000 \cdot e^{0.055 t} .$ 给出。求5年后累积的金额 A。

302.

[T] 一笔投资按月、按季度或按年复利，由函数 $A = P {(1 + \frac{j}{n})}^{n t},$ 给出，其中 $A$ 是投资在时间 $t, P$ 的价值， $j$ 是初始投资本金， $n$ 是年利率， $n$ 是每年复利次数。给定年利率为3.5%和初始本金100,000美元，求5年后按a. 每日，b. 每月，c. 每季度，d. 每年复利累积的金额 $A$ 。

303.

[T] 物质中氢离子的浓度用 $[H^{+}],$ 表示，单位为摩尔/升。物质的pH值由对数函数 $pH = − log [H^{+}] .$ 定义。此函数用于测量物质的酸度。水的pH值为7。pH值小于7的物质是酸，而pH值大于7的物质是碱。

求以下物质的pH值。将答案四舍五入到一位小数。
判断该物质是酸还是碱。
1. 鸡蛋： $[H^{+}] = 1.6 \times 10^{−8}$ 摩尔/升
2. 啤酒： $[H^{+}] = 3.16 \times 10^{−3}$ 摩尔/升
3. 番茄汁： $[H^{+}] = 7.94 \times 10^{−5}$ 摩尔/升

304.

[T] 碘-131是一种放射性物质，其衰变遵循函数 $Q (t) = Q_{0} \cdot e^{−0.08664 t},$ ，其中 $Q_{0}$ 是物质样本的初始量，t 的单位是天。确定95%的物质衰变所需的时间（精确到天）。

305.

[T] 根据世界银行的数据，2013年底（ $t = 0$ ）美国人口为3.16亿，并根据以下模型增长：

$P (t) = 316 e^{0.0074 t},$ 其中 P 以百万人为单位，t 以2013年后的年份为单位。

根据此模型，2020年美国人口将是多少？
确定美国人口何时将达到2013年的两倍。

306.

[T] 1000美元以4%的利率投资 t 年后累积的金额 A 由函数 $A (t) = 1000 {(1.04)}^{t} .$ 建模。

求5年和10年后累积的金额。
确定原始投资翻三倍所需的时间。

307.

[T] 实验室培养的细菌菌落已知每12小时数量翻倍。假设初始有1000个细菌。

使用指数函数 $Q = Q_{0} e^{k t}$ 确定值 $k,$ ，它是细菌的增长率。四舍五入到小数点后四位。
确定大约需要多长时间才能增长到200,000个细菌。

308.

[T] 野生动物保护区的兔子数量每6个月翻倍。假设初始有120只兔子。

使用指数函数 $P = P_{0} a^{t}$ 确定增长率常数 $a .$ 。四舍五入到小数点后四位。
使用a部分中的函数，确定兔子数量大约需要多长时间才能达到3500只。

309.

[T] 1906年旧金山地震里氏震级为8.3级。同时，日本发生了一次4.9级的地震，仅造成轻微破坏。旧金山地震比日本地震大约强多少？请参阅本节例 1.39 中里氏震级的定义。

$x$	$−3$	$−2$	$−1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$2^{x}$	$1 / 8$	$1 / 4$	$1 / 2$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

$x$	$1.4$	$1.41$	$1.414$	$1.4142$	$1.41421$	$1.414213$
$2^{x}$	$2.639$	$2.65737$	$2.66475$	$2.665119$	$2.665138$	$2.665143$

1.5 指数函数和对数函数

学习目标

指数函数

指数函数的求值

例 1.33

细菌生长

解

检验点 1.27

媒体资源

指数函数的图形

媒体资源

法则：指数定律

例 1.34

使用指数定律

解

检验点 1.28

数 e

例 1.35

复利计算

解

检验点 1.29

对数函数

媒体资源

法则：对数的性质

例 1.36

求解涉及指数函数的方程

解

检验点 1.30

例 1.37

求解涉及对数函数的方程

解

检验点 1.31

法则：换底公式

证明

例 1.38

换底

解

检验点 1.32

例 1.39

章节引言：地震的里氏震级

解

检验点 1.33

双曲函数

定义

双曲函数的图形

双曲函数恒等式

法则：双曲函数恒等式

例 1.40

计算双曲函数

解

检验点 1.34

反双曲函数

定义

例 1.41

计算反双曲函数

解

检验点 1.35

第1.5节 练习

第1.5节练习