关键术语

绝对值函数 (absolute value function)

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\text{−}x,x<0\\ x,x\ge 0\end{array}$

代数函数 (algebraic function)

仅对输入变量 $x$ 施加加、减、乘、除、乘方及开方等基本运算的任意组合所得的函数。

底数 (base)

指数函数 $f\left(x\right)=b^x$ 及对数函数 $f\left(x\right)={\text{log}}_{b}x$ 中的数 $b$。

复合函数 (composite function)

给定函数 $f$ 与 $g,$，记新函数为 $g\circ f,$，使得 $\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$。

三次函数 (cubic function)

3次多项式，即形如 $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$ 的函数，其中 $a\ne 0$。

在区间 $I$ 上递减 (decreasing on the interval)

对区间 $I$ 中任意 $x_1,x_2$，若 $x_1<x_2$ 则 $f(x_1)\ge f(x_2)$，则称函数在 $I$ 上递减。

次数 (degree)

多项式函数中各项指数的最大值。

因变量 (dependent variable)

函数的输出变量。

定义域 (domain)

函数的输入集合。

偶函数 (even function)

若对 $f$ 定义域中所有 $x$ 均有 $f(\text{−}x)=f(x)$，则称其为偶函数。

指数 (exponent)

表达式 $b^x$ 中的值 $x$。

函数 (function)

由输入集合、输出集合及将每个输入恰好对应一个输出的规则所组成。

函数的图形 (graph of a function)

点集 $(x,y)$，使得 $x$ 属于 $f$ 的定义域中且 $y=f(x)$。

水平线检验 (horizontal line test)

函数 $f$ 为一一对应函数，当且仅当每条水平线与其图形至多相交一次。

双曲函数 (hyperbolic functions)

记作 $\text{sinh},\text{cosh},\text{tanh},\text{csch},\text{sech},$ 和 $\text{coth},$ 的函数，由 $e^x$ 与 $e^{\text{−}x}$ 的特定组合定义。

在区间 $I$ 上递增 (increasing on the interval)

对区间 $I$ 中任意 $x_1,x_2$，若 $x_1<x_2$ 则 $f(x_1)\le f(x_2)$，则称函数在 $I$ 上递增。

自变量 (independent variable)

函数的输入变量。

反函数 (inverse function)

对于函数 $f,$，若 $f\left(x\right)=y$，则其反函数 $f^{\mathrm{-1}}$ 满足 $f^{\mathrm{-1}}\left(y\right)=x$。

反双曲函数 (inverse hyperbolic functions)

双曲函数的反函数，其中 $\text{cosh}$ 与 $\text{sech}$ 的定义域限制为 $\left[0,\infty \right);$。每个反双曲函数均可表示为自然对数与代数函数的复合。

反三角函数 (inverse trigonometric functions)

将三角函数限制在适当定义域上使其成为一一对应函数后所定义的反函数。

线性函数 (linear function)

可以写成 $f\left(x\right)=mx+b$ 形式的函数。

对数函数 (logarithmic function)

形如 $f\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)$ 的函数，其中底数 $b>0,b\ne 1$，且 $y={\log }_b(x)$ 当且仅当 $b^y=x$。

数学模型 (mathematical model)

用数学方程模拟现实问题的方法。

自然指数函数 (natural exponential function)

函数 $f\left(x\right)=e^x$。

自然对数 (natural logarithm)

函数 $\text{ln}x={\text{log}}_{e}x$。

自然常数e (number e)

当 $m$ 不断增大时，$(1+{(1\text{/}m))}^m$ 趋近于某实数，将此实数定义为 $e;$。$e$ 的值大约是 $2.718282$。

奇函数 (odd function)

若对 $f$ 定义域中所有 $x$ 均有 $f(\text{−}x)=\text{−}f(x)$，则称其为奇函数。

一一对应函数 (one-to-one function)

若 $x_1\ne x_2$ 时必有 $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$，则称函数 $f$ 是一一对应函数。

周期函数 (periodic function)

随 $x$ 从左到右变化，函数值呈现重复规律，则称其为周期函数。

分段函数 (piecewise-defined function)

在定义域不同部分上由不同表达式定义的函数。

点斜式方程 (point-slope equation)

利用斜率与图形上一个已知点表示线性函数的方程。

多项式函数 (polynomial function)

形如 $f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\text{…}+a_{1}x+a_0$ 的函数。

幂函数 (power function)

对任意正整数 $n\ge 1$，形如 $f\left(x\right)=x^n$ 的函数。

二次函数 (quadratic function)

2次多项式，即形如 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ 的函数，其中 $a\ne 0$。

弧度 (radians)

半径为1的圆上，若弧长为 $s$，则所对圆心角 $\theta$ 的弧度数为 $s$。

值域 (range)

函数的输出集合。

有理函数 (rational function)

形如 $f\left(x\right)=p(x)\text{/}q\left(x\right),$ 的函数，其中 $p\left(x\right)$ 和 $q\left(x\right)$ 是多项式。

限制定义域 (restricted domain)

函数 $f$ 定义域的一个子集。

根式函数 (root function)

对任意整数 $n\ge 2$，形如 $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ 的函数。

斜率 (slope)

x 每变化一个单位时 y 的变化量。

斜截式 (slope-intercept form)

利用斜率与 y 轴截距表示线性函数的方程。

关于原点对称 (symmetry about the origin)

若 $(x,y)$ 在函数 $f$ 的图形上，则 $(\text{−}x,\text{−}y)$ 也在其图形上，此时称函数 $f$ 的图形关于原点对称。

关于y轴对称 (symmetry about the y-axis)

若 $(x,y)$ 在函数 $f$ 的图形上，则 $(\text{−}x,y)$ 也在其图形上，此时称函数 $f$ 的图形关于 $y$ 轴对称。

数值表 (table of values)

列出输入及其对应输出的表格。

超越函数 (transcendental function)

不能用基本算术运算的组合表示的函数。

函数的变换 (transformation of a function)

对函数的平移、缩放或反射。

三角函数 (trigonometric functions)

以直角三角形各边之比定义的角度函数。

三角恒等式 (trigonometric identity)

含三角函数的等式，对式中各函数有定义的所有角 $\theta$ 均成立。

垂直线检验 (vertical line test)

给定函数图形，任意一条垂直线至多与其相交一次。

函数的零点 (zeros of a function)

若实数 $x$ 满足 $f(x)=0$，则称 $x$ 为函数 $f$ 的零点。