关键术语

加速度

速度的变化率，即速度的导数

变化量

函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[x,x+h\right]$ 上的变化量为 $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$

平均变化率

函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[x,x+h\right]$ 上的平均变化率为 $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

链式法则

复合函数的导数等于外函数对内函数求导的值乘以内函数的导数

常数倍法则

常数 c 与函数 f 乘积的导数等于该常数乘以函数的导数：$\frac{d}{dx}\left(cf\left(x\right)\right)=c{f}^{\prime }\left(x\right)$

常数法则

常数函数的导数为零：$\frac{d}{dx}\left(c\right)=0,$，其中 c 为常数

导数

函数在某一点处切线的斜率，通过求差商的极限得到

导函数

给出原函数在其定义域内每一个导数存在的点处的导数值

差商

函数 $f\left(x\right)$ 在 $a$ 处的差商由下式给出：

$$\frac{f\left(a+h\right)-f(a)}{h}\text{或}\frac{f\left(x\right)-f(a)}{x-a}$$

差法则

函数 f 与函数 g 之差的导数等于函数 f 的导数与函数 g 的导数之差：$\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x\right)-g^{\prime }\left(x\right)$

在a点可微

若 $f^{\prime }(a)$ 存在，则称该函数在 $a$ 处可微

可微函数

若 $f^{\prime }(x)$ 存在，则称该函数为可微函数

在S上可微

若 $f^{\prime }(x)$ 对开集 $S$ 中的每个 $x$ 都存在，则称该函数在 $S$ 上可微

求导

求导数的过程

高阶导数

导数的导数，包括二阶导数、三阶导数直至 n 阶导数，统称为高阶导数

隐函数求导

一种对由方程隐式定义的函数求 $\frac{dy}{dx}$ 的方法：对方程两边同时求导（将 $y$ 视为 $x$ 的函数），然后解出 $\frac{dy}{dx}$

瞬时变化率

函数在曲线上某一点 $a$ 处的变化率，也记作 $f^{\prime }(a)$，即函数在 $a$ 处的导数

对数求导法

一种求导技术：先对方程两边取自然对数，再利用对数性质化简，最后通过隐函数求导求解

边际成本

成本函数的导数，即多生产一件产品的近似成本

边际利润

利润函数的导数，即多生产并销售一件产品所获得的近似利润

边际收入

收入函数的导数，即多销售一件产品所获得的近似收入

人口增长率

人口关于时间的导数

幂法则

幂函数求导时，指数降为系数，同时指数减 1：若 $n$ 为整数，则 $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

乘法法则

两个函数乘积的导数等于前函数的导数乘后函数，加上后函数的导数乘前函数：$\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)g(x)\right)=f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)f\left(x\right)$

商法则

两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方：$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)-g^{\prime }\left(x\right)f\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)\right)}^2}$

速率

速度的绝对值。若物体在时刻 $t$ 的速度为 $v\left(t\right)$，则其速率为 $\left|v\left(t\right)\right|$

和法则

函数 f 与函数 g 之和的导数等于函数 f 的导数与函数 g 的导数之和：$\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)$