隐函数求导

3.8 隐函数求导

学习目标

3.8.1 使用隐函数求导法求复杂函数的导数。
3.8.2 使用隐函数求导法确定切线方程。

前面已经学习了如何求函数的切线方程，以及函数在特定点处的变化率。在这些情形中，函数都以显式形式给出，因此可直接求导。现在考虑另一类问题：只给出曲线方程，仍要确定切线方程或某点处的变化率。本节将通过求隐式定义 $y$ 关于 $x .$ 的函数的导数来解决这类问题。

在大多数数学问题中，如果因变量 $y$ 是自变量 $x,$ 的函数，我们通常将 y 表示为 $x .$ 的函数。在这种情况下，我们称 $y$ 是 $x .$ 的显函数。例如，当我们写出方程 $y = x^{2} + 1,$ 时，我们就是显式地将 y 定义为 $x .$ 的函数。另一方面，如果函数 $y$ 与变量 $x$ 之间的关系由一个方程表示，其中 $y$ 没有完全用 $x,$ 表示，我们称该方程隐式地定义了 y 关于 $x .$ 的函数。例如，方程 $y - x^{2} = 1$ 隐式地定义了函数 $y = x^{2} + 1$ 。

隐函数求导法使我们能够求那些明显不是函数（不满足垂直线检验）的曲线的切线斜率。其基本思想是：虽然 $y$ 整体上并不是 $x$ 的函数，但 $y$ 的某些部分可以看作满足给定方程的函数。

一般来说，如果某个函数满足一个方程，则该方程就隐式地定义了该函数。一个方程可以隐式地定义许多不同的函数。例如，函数

$y = \sqrt{25 - x^{2}}, y = - \sqrt{25 - x^{2}},$ 和 $y = {\begin{matrix} \sqrt{25 - x^{2}} 若 - 5 < x < 0 \\ − \sqrt{25 - x^{2}} 若 0 < x < 25 \end{matrix},$ ，如图 3.30 所示，只是方程 $x^{2} + y^{2} = 25 .$ 隐式定义的众多函数中的三个。

一个半径为5、圆心在原点的圆被完整地绘制出来。然后，只绘制了它在第一象限和第二象限的部分。然后，只绘制了它在第三象限和第四象限的部分。最后，只绘制了它在第二象限和第四象限的部分。

图 3.30 方程

x^{2} + y^{2} = 25

隐式地定义了许多函数。

如果我们想求曲线 $x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(3, 4),$ 处的切线斜率，我们可以计算函数 $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ 在 $x = 3 .$ 处的导数。另一方面，如果我们想求点 $(3, −4),$ 处的切线斜率，我们可以使用 $y = − \sqrt{25 - x^{2}} .$ 的导数。然而，从方程中显式地解出函数并不总是容易的。所幸，隐函数求导法使我们无需显式地解出函数，就能求得隐式定义函数的导数。利用隐函数求导法求 $\frac{d y}{d x}$ 的过程如下述解题策略所示。

解题策略

隐函数求导

对于隐式定义 $y$ 关于变量 $x,$ 的方程进行隐函数求导时，请遵循以下步骤：

对方程两边关于 x 求导。注意 y 是 x 的函数，因此虽然 $\frac{d}{d x} (sin x) = cos x, \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x}$ ，但对 $sin y$ 关于 $x$ 求导时必须使用链式法则。
重写方程，使所有包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项都在左边，所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项都在右边。
在左边提取公因子 $\frac{d y}{d x}$ 。
将方程两边除以适当的代数表达式，解出 $\frac{d y}{d x}$ 。

例 3.68

使用隐函数求导

假设 $y$ 由方程 $x^{2} + y^{2} = 25,$ 隐式定义，求 $\frac{d y}{d x} .$ 。

解

遵循解题策略中的步骤。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = & \frac{d}{d x} (25) & 步骤1：对等式两边求导。 \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = & 0 & \begin{matrix} 步骤1.1：左边应用和法则。 \\ 右边 \frac{d}{d x} (25) = 0 . \end{matrix} \\ 2 x + 2 y \frac{d y}{d x} & = & 0 & \begin{matrix} 步骤1.2：求导，得 \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x \\ 且 \frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 2 y \frac{d y}{d x} & = & −2 x & \begin{matrix} 步骤2：保留含 \frac{d y}{d x} 的项在左边。 \\ 将其余项移到右边。 \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} & = & - \frac{x}{y} & \begin{matrix} 步骤4：等式两边除以 \\ 2 y . （此处无需步骤3。） \end{matrix} \end{matrix}

分析

注意， $\frac{d y}{d x}$ 的结果同时包含自变量 $x$ 和因变量 $y .$ 。虽然在某些情况下可以将 $\frac{d y}{d x}$ 仅用 $x$ 来表示，但一般情况下这是做不到的。

例 3.69

使用隐函数求导和乘法法则

假设 $y$ 由方程 $x^{3} sin y + y = 4 x + 3,$ 隐式定义，求 $\frac{d y}{d x} .$ 。

解

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (x^{3} sin y + y) & = & \frac{d}{d x} (4 x + 3) & 步骤1：对等式两边求导。 \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) + \frac{d}{d x} (y) & = & 4 & \begin{matrix} 步骤1.1：左边应用和法则。 \\ 右边， \frac{d}{d x} (4 x + 3) = 4 . \end{matrix} \\ (\frac{d}{d x} (x^{3}) \cdot sin y + \frac{d}{d x} (sin y) \cdot x^{3}) + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} 步骤1.2：利用乘法法则求 \\ \frac{d}{d x} (x^{3} sin y) . 注意到 \frac{d}{d x} (y) = \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ 3 x^{2} sin y + (cos y \frac{d y}{d x}) \cdot x^{3} + \frac{d y}{d x} & = & 4 & \begin{matrix} 步骤1.3：已知 \frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2} . 利用 \\ 链式法则得到 \frac{d}{d x} (sin y) = cos y \frac{d y}{d x} . \end{matrix} \\ x^{3} cos y \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} & = & 4 - 3 x^{2} sin y & \begin{matrix} 步骤2：将所有含 \frac{d y}{d x} 的项留在 \\ 左边。将其余项移到右边。 \end{matrix} \\ \frac{d y}{d x} (x^{3} cos y + 1) & = & 4 - 3 x^{2} sin y & 步骤3：提取公因子 \frac{d y}{d x} 的项在左边。 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{4 - 3 x^{2} sin y}{x^{3} cos y + 1} & \begin{matrix} 步骤4：解出 \frac{d y}{d x} 将等式两边除以 \\ x^{3} cos y + 1 . \end{matrix} \end{matrix}

例 3.70

使用隐函数求导求二阶导数

如果 $x^{2} + y^{2} = 25 .$ ，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。

解

在例 3.68 中，我们已求得 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$ 。对该等式两边再次求导，即可得到 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$ 。

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) & 两边求导 \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = - \frac{(1 \cdot y - x \frac{d y}{d x})}{y^{2}} & 利用商法则求 \frac{d}{d y} (- \frac{x}{y}) . \\ = \frac{− y + x \frac{d y}{d x}}{y^{2}} & 化简。 \\ = \frac{− y + x (- \frac{x}{y})}{y^{2}} & 代入 \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} . \\ = \frac{− y^{2} - x^{2}}{y^{3}} & 化简。 \end{matrix}

至此，我们已得到 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} .$ 的表达式。如果需要，利用 $x^{2} + y^{2} = 25$ 对分子进行替换，可进一步化简为 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{25}{y^{3}} .$ 。

检验点 3.48

对于由方程 $4 x^{5} + tan y = y^{2} + 5 x .$ 隐式定义的 $y$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

隐式求切线

掌握了隐函数求导法之后，我们可以将其应用于求由方程描述的曲线的切线方程。

例 3.71

求圆的切线

求曲线 $x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(3, −4) .$ 处的切线方程。

解

虽然不使用隐函数求导也能解这道题，但这种方法更简便。在例 3.68 中，我们求得了 $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} .$ 。

将 $(3, −4)$ 代入此表达式，得切线的斜率为 $\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(3, −4)} \end{array} = - \frac{3}{−4} = \frac{3}{4} .$ 。

将点 $(3, −4)$ 和斜率 $\frac{3}{4}$ 代入直线的点斜式方程，得 $y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}$ (图 3.31)。

图 3.31 直线

y = \frac{3}{4} x - \frac{25}{4}

在点 (3, -4) 处与

x^{2} + y^{2} = 25

相切。

例 3.72

求曲线的切线方程

求曲线 $y^{3} + x^{3} - 3 x y = 0$ 在点 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 处的切线方程 (图 3.32)。这条曲线被称为笛卡儿叶形线。

显示了一个叶形线，它是一条自身交叉形成环的曲线。在此图中，它在 (0, 0) 处自身交叉。显示了它在 (3/2, 3/2) 处的切线。

图 3.32 求笛卡儿叶形线在

(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) .

处的切线。

解

先求 $\frac{d y}{d x} .$ 。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (y^{3} + x^{3} - 3 x y) & = & \frac{d}{d x} (0) \\ 3 y^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} - (3 y + \frac{d y}{d x} 3 x) & = & 0 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x} . \end{matrix}

接下来，将 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 代入 $\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 3 x}$ 以求切线的斜率：

\frac{d y}{d x} | \begin{array}{l} _{(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})} \end{array} = −1 .

最后，代入点斜式方程，得切线方程为

y = − x + 3 .

例 3.73

应用隐函数求导

在一个简易视频游戏中，一枚火箭沿椭圆轨道飞行，其轨迹满足方程 $4 x^{2} + 25 y^{2} = 100 .$ 。火箭可以沿轨道切线方向发射导弹。游戏目标是摧毁一颗沿正 x 轴向 $(0, 0) .$ 飞来的小行星。若火箭在 $(3, \frac{8}{5}),$ 处发射导弹，问导弹在何处与 x 轴相交？

解

为求解此问题，需要确定曲线

$4 x^{2} + 25 y^{2} = 100$ 在 $(3, \frac{8}{5})$ 处的切线与 x 轴的交点。先用隐函数求导法求 $\frac{d y}{d x}$ 。

求导后可得

8 x + 50 y \frac{d y}{d x} = 0 .

解出 $\frac{d y}{d x},$ ，可得

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{25 y} .

切线的斜率为 $\frac{d y}{d x} |_{(3, \frac{8}{5})} = - \frac{3}{10} .$ 。切线方程为 $y = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ 。为确定该直线与 x 轴的交点，令 $0 = - \frac{3}{10} x + \frac{5}{2} .$ 。解为 $x = \frac{25}{3} .$ 。因此导弹在点 $(\frac{25}{3}, 0) .$ 处与 x 轴相交。

检验点 3.49

求双曲线 $x^{2} - y^{2} = 16$ 在点 $(5, 3) .$ 处的切线方程。

第 3.8 节练习

在以下各题中，用隐函数求导法求 $\frac{d y}{d x} .$ 。

300.

$x^{2} - y^{2} = 4$

301.

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

302.

$x^{2} y = y - 7$

303.

$3 x^{3} + 9 x y^{2} = 5 x^{3}$

304.

$x y - cos (x y) = 1$

305.

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

306.

$− x y - 2 = \frac{x}{7}$

307.

$y sin (x y) = y^{2} - 2$

308.

${(x y)}^{2} + 3 x = y^{2}$

309.

$x^{3} y + x y^{3} = −8$

在以下各题中，求给定方程图形在指定点处的切线方程。请使用计算器或计算机软件绘制函数图形和切线。

310.

[T] $x^{4} y - x y^{3} = −2, (−1, −1)$

311.

[T] $x^{2} y^{2} + 5 x y = 14, (2, 1)$

312.

[T] $tan (x y) = y, (\frac{π}{4}, 1)$

313.

[T] $x y^{2} + sin (π y) - 2 x^{2} = 10, (2, −3)$

314.

[T] $\frac{x}{y} + 5 x - 7 = - \frac{3}{4} y, (1, 2)$

315.

[T] $x y + sin (x) = 1, (\frac{π}{2}, 0)$

316.

[T] 方程为 $2 x^{3} + 2 y^{3} - 9 x y = 0$ 的笛卡儿叶形线图形如下所示。

绘制了一个方程为 2x3 + 2y3 – 9xy = 0 的叶形线。它在 (0, 0) 处自身交叉。

求点 $(2, 1) .$ 处的切线方程。绘制切线和叶形线。
求 a 中切线在点 $(2, 1) .$ 处的法线方程。

317.

对于方程 $x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0,$ ，

求点 $(1, 1) .$ 处切线的法线方程。
a 中的法线还在哪个点与方程的图形相交？

318.

求曲线 $y^{3} - 27 y = x^{2} - 90$ 上所有切线为垂直线的点。

319.

对于方程 $x^{2} + x y + y^{2} = 7,$ ，

求 $x$ 截距。
求 x 截距处切线的斜率。
b 中的值说明了切线什么？

320.

求方程 ${sin}^{−1} x + {sin}^{−1} y = \frac{π}{6}$ 的图形在点 $(0, \frac{1}{2}) .$ 处的切线方程。

321.

求方程 ${tan}^{−1} (x + y) = x^{2} + \frac{π}{4}$ 的图形在点 $(0, 1) .$ 处的切线方程。

322.

对于 $x^{2} + 6 x y - 2 y^{2} = 3 .$ ，求 $y^{'}$ 和 $y^{″}$ 。

323.

[T] 某制造商在劳动力上投入 $x$ 美元，在资本上投入 $y$ 美元时，生产的手机数量满足方程 $60 x^{3 / 4} y^{1 / 4} = 3240 .$ 。

求 $\frac{d y}{d x}$ 并在点 $(81, 16) .$ 处计算其值。
解释 (a) 的结果。

324.

[T] 某制造商在劳动力上投入 $x$ 美元，在资本上投入 $y$ 美元时，生产的汽车数量满足方程 $30 x^{1 / 3} y^{2 / 3} = 360 .$ 。

（ $x$ 和 $y$ 都以千美元为单位。）

求 $\frac{d y}{d x}$ 并在点 $(27, 8) .$ 处计算其值。
解释 (a) 的结果。

325.

半径为 $x$ 、高为 $y$ 的直圆锥的体积由 $V = \frac{1}{3} π x^{2} y .$ 给出。假设圆锥的体积为常数，当 $x = 4$ 和 $y = 16 .$ 时，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

在以下各题中，考虑一个底面为边长 $x$ 的正方形、高为 $y .$ 的封闭长方体。

326.

求长方体的表面积 $S (x, y) .$ 的方程。

327.

若长方体的表面积为 78 平方英尺，当 $x = 3$ 英尺和 $y = 5$ 英尺时，求 $\frac{d y}{d x}$ 。

在以下各题中，用隐函数求导法求 $y^{'} .$ 。所得结果是否与之前推导的公式一致？

328.

$x = sin y$

329.

$x = cos y$

330.

$x = tan y$