如果 $f\left(\mathrm{-1}\right)=\mathrm{-6}$ 且 $f\left(1\right)=2,$，则存在至少一个点 $x\in \left[\mathrm{-1},1\right]$ 使得 $f^{\prime }\left(x\right)=4.$

存在一个函数使得 $f\left(x\right)<0,f^{\prime }\left(x\right)>0,$ 且 $f^{″}\left(x\right)<0.$。（本题可用图形”证明”。）

给定 $f^{\prime },$ 的图形，确定 $f$ 在何处递增或递减。

求 $y=x^2+\text{tan}\left(\pi x\right)$ 在 $x=\frac{1}{4}.$ 附近的线性近似 $L\left(x\right)$。

$f\left(x\right)=x+{\text{sin}}^2\left(x\right)$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上

$x\left(t\right)=3t^4-8t^3-18t^2$

$g\left(x\right)=x-\sqrt{x}$

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{3x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^4-1}}$

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{x-1}{\text{sin}\left(\pi x\right)}$

$y=x^3+1,x_0=0.5$

$g\left(x\right)=\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}$

$y=\frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}$

一辆汽车正被压实成长方体。体积以 $2$ m³/秒的速率减小。压实机的长和宽相等，但高度与长宽不同。如果长和宽方向的壁以 $0.25$ m/秒的速率相互靠近，当长和宽为 $2$ m 且高为 $1.5$ m 时，求高度的变化速率。

著名的雷吉奥蒙塔努斯问题是15世纪提出的一个关于角度最大化的问题。一幅画挂在墙上，画的底边高于视线 $a$ 英尺，画的顶边高于视线 $b$ 英尺。问观众应站在离墙多远（$x$ 英尺）处，才能使画作所对的视角 $\theta$ 最大？