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极限的精确定义
极限的精确定义

2.5 极限的精确定义

学习目标

  • 2.5.1 描述极限的ε-δ定义。
  • 2.5.2 应用ε-δ定义求函数的极限。
  • 2.5.3 描述单侧极限和无穷极限的ε-δ定义。
  • 2.5.4 使用ε-δ定义证明极限法则。

至此，你已从本章引言中粗略的极限概念逐步建立起直观认识，对函数极限的含义及求法应已有较强的直觉。本节将这一直观概念转化为精确的数学定义。此定义很可能是微积分初学阶段最具挑战性的定义之一；然而，努力将其与直觉融会贯通是值得的。理解此定义，是深入掌握微积分的关键。

量化“接近”

给出极限的严格定义之前，先引入若干预备概念。回顾数轴上两点 a 和 b 之间的距离为 |a−b|.|a−b|. 。

  • 语句 |f(x)−L|<ε|f(x)−L|<ε 可以解释为：f(x)f(x) 与 L 之间的距离小于 ε。
  • 语句 0<|x−a|<δ0<|x−a|<δ 可以解释为：x≠ax≠a 且 x 与 a 之间的距离小于 δ。

以下绝对值的等价关系亦很重要：

  • 语句 |f(x)−L|<ε|f(x)−L|<ε 等价于语句 L−ε<f(x)<L+ε.L−ε<f(x)<L+ε.
  • 语句 0<|x−a|<δ0<|x−a|<δ 等价于语句 a−δ<x<a+δa−δ<x<a+δ 和 x≠a.x≠a.

有了以上准备，即可给出极限的ε-δ定义了。

定义

设 f(x)f(x) 在包含 a 的某个开区间上对所有 x≠ax≠a 有定义。设 L 为实数。则

limx→af(x)=Llimx→af(x)=L

如果对每个 ε>0,ε>0,，都存在一个 δ>0,δ>0,，使得当 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ, 时，有 |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε.。

从数学角度看，此定义初看颇为复杂，但逐句分解后便容易理解。整个陈述包含一个全称量词（对每个 ε>0),ε>0),），一个存在量词（存在一个 δ>0),δ>0),），以及一个条件语句（如果 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ, 则 |f(x)−L|<ε).|f(x)−L|<ε).）。下面的表 2.9 逐条分解并解释定义的各部分。

定义 翻译
1. 对每个 ε>0,ε>0, 1. 对每个与 L 的正距离 ε，
2. 存在一个 δ>0,δ>0, 2. 存在一个与 a 的正距离 δδ，
3. 使得 3. 使得
4. 如果 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ, 则 |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε. 4. 如果 x 与 a 的距离小于 δδ 且 x≠a,x≠a,，则 f(x)f(x) 与 L 的距离小于 ε。
表 2.9 极限的ε-δ定义逐句解释

从几何角度审视此定义，有助于深化理解。图 2.39 展示了对给定函数 f(x),f(x),、数 a 以及在 a 处的极限 L，在不同 ε>0ε>0 选择下 δδ 的可能值。注意，随着 ε（函数值与极限值之间的距离）越取越小，总能找到足够小的 δδ，使得只要 x 值落在 a 的 δδ 范围内，f(x)f(x) 的值就在极限 L 的 ε 范围内。

并排显示了三个图，展示了在依次选择更小的 ε 值时，δ 的可能值。每个图在第一象限都有一条递减的、凸的曲线。每个图上都标出了点 (a, L)，其中 L 是函数在 x=a 处的极限。在 y 轴上 L 的两侧，标记了距离 ε ——即，在 y = L + ε 和 y = L – ε 处绘制了一条穿过函数的线。从图一到图三，随着 ε 值的选择越来越小，可以找到点 a 左右两侧更小的 δ 值，使得如果我们选择的 x 值在 a 的 δ 范围内，那么 f(x) 的值就在极限 L 的 ε 范围内。
图 2.39 这些图显示了在依次选择更小的 ε 值时，δδ 的可能值。

媒体

访问以下小程序，尝试为选定的 ε 值寻找 δδ 的值：

例 2.39 展示了如何用此定义证明某一特定函数在给定点处的极限。

例 2.39

证明特定函数的极限

证明 limx→1(2x+1)=3.limx→1(2x+1)=3.

解

设 ε>0.ε>0.。

定义以”对每个 ε>0.”ε>0.””开头，即须对任意正值 ε 证明后续结论成立。写下”设 ε>0,”ε>0,””即表达此意。

选择 δ=ε2.δ=ε2.。

定义接着是”存在一个 δ>0.δ>0.”。数学中”存在”一词意味着须构造性地找出满足条件的对象，即必须找到 δ.δ.。那么 δ=ε/2δ=ε/2 是怎么得到的？确定 δ.δ. 有两种基本方法：代数方法与几何方法。

先从代数角度入手。由于最终要证明 |(2x+1)−3|<ε,|(2x+1)−3|<ε,，先化简此表达式：|(2x+1)−3|<ε|(2x+1)−3|<ε 等价于 |2x−2|<ε,|2x−2|<ε,，而这又等价于 |2||x−1|<ε.|2||x−1|<ε.。最后，这等价于 |x−1|<ε/2.|x−1|<ε/2.。因此，δ=ε/2δ=ε/2 是合适的选择。

亦可用几何方法找到 δδ。图 2.40 展示了具体做法。

此图展示了如何通过几何方法找到 δ。函数 2x + 1 用红色从 x=0 绘制到 x=2。在 y=3 处绘制了一条绿色直线，它与函数在 (1,3) 处相交。在 3 + ε 和 3 – ε 处绘制了两条蓝色直线，它们分别绘制在 5 和 6 之间以及 0 和 1 之间。最后，从函数与蓝色直线的交点处向下绘制了两条粉色直线——较长的一条在 1 和 2 之间，较短的一条在 0 和 1 之间。由于蓝色直线与函数相交，我们可以解出 x。对于较短的线，对应于 y = 3 – ε，我们有 3 – ε = 2x + 1，简化为 x = 1 – ε / 2。对于较长的线，对应于 y = 3 + ε，我们有 3 + ε = 2x + 1，简化为 x = 1 + ε / 2。δ 是 1 与粉色直线和 x 轴交点之间两个距离中较小的一个。我们有 δ 是 min(1 + ε / 2 - 1, 1 – (1 – ε / 2))，即 min(ε / 2, ε / 2)，简化为 ε / 2。
图 2.40 此图展示了用几何方法找到 δδ。

假设 0<|x−1|<δ.0<|x−1|<δ.。选定 δδ 后，需证明：若 0<|x−1|<δ,0<|x−1|<δ,，则 |(2x+1)−3|<ε.|(2x+1)−3|<ε.。证明”若 P 则 Q”形式的命题，先假设 P 成立，再推导出 Q。

因此，

| ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | 绝对值的性质 = | 2 ( x − 1 ) | = | 2 | | x − 1 | | 2 | = 2 = 2 | x − 1 | < 2 · δ 此处使用假设 0 < | x − 1 | < δ = 2 · ε 2 = ε 此处代入所选的 δ = ε / 2 | ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | 绝对值的性质 = | 2 ( x − 1 ) | = | 2 | | x − 1 | | 2 | = 2 = 2 | x − 1 | < 2 · δ 此处使用假设 0 < | x − 1 | < δ = 2 · ε 2 = ε 此处代入所选的 δ = ε / 2

分析

在证明的这部分中，从 |(2x+1)−3||(2x+1)−3| 出发，在不等式链的关键步骤中利用了假设 0<|x−1|<δ0<|x−1|<δ，得到了 |(2x+1)−3||(2x+1)−3| 小于 ε。亦可反过来，从假设的不等式 0<|x−1|<δ0<|x−1|<δ 出发推导出 |(2x+1)−3|<ε|(2x+1)−3|<ε，如下所示：

0<|x−1|<δ⇒|x−1|<δ⇒−δ<x−1<δ⇒−ε2<x−1<ε2⇒−ε<2x−2<ε⇒|2x−2|<ε⇒|(2x+1)−3|<ε.0<|x−1|<δ⇒|x−1|<δ⇒−δ<x−1<δ⇒−ε2<x−1<ε2⇒−ε<2x−2<ε⇒|2x−2|<ε⇒|(2x+1)−3|<ε.

因此，limx→1(2x+1)=3.limx→1(2x+1)=3.。（证毕，写出结论。）

去掉注解后，证明的简洁版本如下：

设 ε>0.ε>0.。

选择 δ=ε/2.δ=ε/2.。

假设 0<|x−1|<δ.0<|x−1|<δ.。

因此，

|(2x+1)−3|=|2x−2|=|2(x−1)|=|2||x−1|=2|x−1|<2·δ=2·ε2=ε.|(2x+1)−3|=|2x−2|=|2(x−1)|=|2||x−1|=2|x−1|<2·δ=2·ε2=ε.

因此，limx→1(2x+1)=3.limx→1(2x+1)=3.。

以下解题策略总结了例 2.39 中所用证明方法的一般步骤。

解题策略

证明特定函数 f(x)f(x) 的 limx→af(x)=Llimx→af(x)=L

  1. 证明以如下陈述开始：设 ε>0.ε>0.。
  2. 接下来，确定 δδ 的值。确定后，写出以下陈述，用所选 δδ 填空：选择 δ=_______.δ=_______.。
  3. 下一步（此处填入给定的 a 值）：
     假设 0<|x−a|<δ.0<|x−a|<δ.。
  4. 接下来，在此假设下证明 |f(x)−L|<ε,|f(x)−L|<ε,，其中 f(x)f(x) 和 L 分别代入具体的函数和极限值。推导中须用到 0<|x−a|<δ.0<|x−a|<δ.。
  5. 最后，以结论”因此limx→af(x)=L.limx→af(x)=L.”结束证明。

例 2.40

证明极限命题

通过填空完成 limx→−1(4x+1)=−3limx→−1(4x+1)=−3 的证明。

设 _____。

选择 δ=_______.δ=_______.

假设 0<|x−_______|<δ.0<|x−_______|<δ.

因此，|________−________|=_____________________________________ε.|________−________|=_____________________________________ε.

解

先按照定义逐项填空，得到

设 ε>0.ε>0.。

选择 δ=_______.δ=_______.。

假设 0<|x−(−1)|<δ.0<|x−(−1)|<δ.（或等价地，0<|x+1|<δ.)0<|x+1|<δ.)）。

因此，|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ_______ε.|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ_______ε.。

由最后一行可知，应选 δ=ε4.δ=ε4.。

写出证明的完整版本：

设 ε>0.ε>0.。

选择 δ=ε4.δ=ε4.。

假设 0<|x−(−1)|<δ0<|x−(−1)|<δ（或等价地，0<|x+1|<δ.)0<|x+1|<δ.)）。

因此，|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ=4(ε/4)=ε.|(4x+1)−(−3)|=|4x+4|=|4||x+1|<4δ=4(ε/4)=ε.。

检验点 2.27

通过填空完成 limx→2(3x−2)=4limx→2(3x−2)=4 的证明。

设 _______。

选择 δ=_______.δ=_______.

假设 0<|x−____|<____.0<|x−____|<____.

因此，

|_______−____|=______________________________ε.|_______−____|=______________________________ε.

因此，limx→2(3x−2)=4.limx→2(3x−2)=4.。

例 2.39 和例 2.40 中的证明较为简单，因为所涉函数是线性的。例 2.41 将展示如何调整证明方法以处理非线性函数。

例 2.41

证明特定函数的极限（几何方法）

证明 limx→2x2=4.limx→2x2=4.

解

  1. 设 ε>0.ε>0.。定义以”对每个 ε>0,”ε>0,””开头，故须证明对任意正值 ε 后续结论均成立。写下”设 ε>0,”ε>0,””即表达此意。
  2. 不失一般性，假设 ε≤4.ε≤4.。此处有两个问题：为什么需要 ε≤4ε≤4？以及为何此假设合理？对第一个问题：稍后求解 δ,δ, 时会发现 δδ 涉及量 4−ε.4−ε.。因此，我们需要 ε≤4.ε≤4.。对第二个问题：若能找到一个对 ε≤4,ε≤4, “有效”的 δ>0δ>0，则它对任何 ε>4ε>4 也将”有效”。注意，对 ε 设置上界始终允许，但绝不能对 ε 设正的下界。
  3. 选择 δ=min{2−4−ε,4+ε−2}.δ=min{2−4−ε,4+ε−2}.。图 2.41展示了如何确定 δ.δ. 的选择。
    此图展示了如何为上述证明在给定 ε 的情况下通过几何方法找到 δ。首先，函数 f(x) = x² 在 [-1, 3] 上绘制。在 y 轴上标记了极限值 4，并绘制直线 y=4 与函数在 (2,4) 处相交。对于给定的 ε，在 y 轴上 4 的上方和下方分别标记 4 + ε 和 4 − ε。从这些点绘制蓝色水平线与函数相交，再从交点绘制粉色竖线到 x 轴，落在 x=2 的两侧。解出这些 x 值（均为正数）：x² = 4 − ε 得 x = √(4−ε)；x² = 4 + ε 得 x = √(4+ε)。δ 取两个距离中较小者，即 δ = min{2 − √(4−ε), √(4+ε) − 2}。
    图 2.41 此图展示了如何在例 2.41 的证明中，对给定 ε 用几何方法找到 δ。
  4. 须证：若 0<|x−2|<δ,0<|x−2|<δ, 则 |x2−4|<ε,|x2−4|<ε,，故先假设
    0<|x−2|<δ.0<|x−2|<δ.

     此证明中实际上不需要 0<|x−2|0<|x−2|（换句话说，x≠2)x≠2)）。由于 0<|x−2|<δ⇒|x−2|<δ,0<|x−2|<δ⇒|x−2|<δ,，可省略 0<|x−2|.0<|x−2|.。
    |x−2|<δ.|x−2|<δ.

     因此，
    −δ<x−2<δ.−δ<x−2<δ.

     回想一下 δ=min{2−4−ε,4+ε−2}.δ=min{2−4−ε,4+ε−2}.。因此，δ≤2−4−εδ≤2−4−ε，从而 −(2−4−ε)≤−δ.−(2−4−ε)≤−δ.。此处亦用到 δ≤4+ε−2δ≤4+ε−2。此时可能会问：为何在不等式左侧用 2−4−ε2−4−ε 代替 δδ，而右侧用 4+ε−24+ε−2 代替？查看图 2.41可知，2−4−ε2−4−ε对应 x 轴上 2 左侧的距离，而 4+ε−24+ε−2对应右侧的距离。因此，
    −(2−4−ε)≤−δ<x−2<δ≤4+ε−2.−(2−4−ε)≤−δ<x−2<δ≤4+ε−2.

     化简左端：
    −2+4−ε<x−2<4+ε−2.−2+4−ε<x−2<4+ε−2.

     各部分加 2：
    4−ε<x<4+ε.4−ε<x<4+ε.

     各部分平方（因各部分均为正数，不等号方向不变）：
    4−ε<x2<4+ε.4−ε<x2<4+ε.

     各部分减 4：
    −ε<x2−4<ε.−ε<x2−4<ε.

     最后，
    |x2−4|<ε.|x2−4|<ε.
  5. 因此，
    limx→2x2=4.limx→2x2=4.

检验点 2.28

为证明 limx→9x=3.limx→9x=3.，求与 ε>0ε>0 对应的 δ。

几何方法对某些函数非常有效，且能加深对极限严格定义的理解。然而，纯代数方法往往更简洁，也是证明极限一般性质的主要工具。例 2.42 即采用纯代数方法。

例 2.42

证明特定函数的极限（代数方法）

证明 limx→−1(x2−2x+3)=6.limx→−1(x2−2x+3)=6.

解

按照解题策略的框架进行：

  1. 设 ε>0.ε>0.
  2. 选择 δ=min{1,ε/5}.δ=min{1,ε/5}.。初看之下，δδ 的选择似乎奇怪，但它来自对最终不等式 |(x2−2x+3)−6|<ε.|(x2−2x+3)−6|<ε.的分析。此不等式等价于 |x+1|·|x−3|<ε.|x+1|·|x−3|<ε.。容易想到直接令 δ=εx−3δ=εx−3 。然而 δδ 只能依赖于 ε，不能含其他变量。若能用常数替代 |x−3||x−3|，问题便迎刃而解。这正是假设 δ≤1δ≤1的用武之地。此处选取 δ≤1δ≤1是任意的，换成其他正数亦可；某些证明中此选择需更审慎。现在，由于 δ≤1δ≤1 和 |x+1|<δ≤1,|x+1|<δ≤1,，可推出 |x−3|<5.|x−3|<5.。因此，|x+1|·|x−3|<|x+1|·5.|x+1|·|x−3|<|x+1|·5.。于是还需 δ≤ε/5.δ≤ε/5.。故选 δ=min{1,ε/5}.δ=min{1,ε/5}.。
  3. 假设 0<|x+1|<δ.0<|x+1|<δ.。因此，
    |x+1|<1且|x+1|<ε5.|x+1|<1且|x+1|<ε5.

     由 |x+1|<1,|x+1|<1, 可得 −1<x+1<1.−1<x+1<1.。各部分减 4，得 −5<x−3<−1.−5<x−3<−1.。故 |x−3|<5.|x−3|<5.。于是
    |(x2−2x+3)−6|=|x+1|·|x−3|<ε5·5=ε.|(x2−2x+3)−6|=|x+1|·|x−3|<ε5·5=ε.

     因此，
    limx→−1(x2−2x+3)=6.limx→−1(x2−2x+3)=6.

检验点 2.29

完成证明 limx→1x2=1.limx→1x2=1.

设 ε>0;ε>0;，选择 δ=min{1,ε/3};δ=min{1,ε/3};，假设 0<|x−1|<δ.0<|x−1|<δ.。

由于 |x−1|<1,|x−1|<1,，可得 −1<x−1<1.−1<x−1<1.。因此，1<x+1<3.1<x+1<3.。所以，|x+1|<3.|x+1|<3.。

一般而言，函数越复杂，代数方法往往越简便。代数方法在证明极限一般性质时也更为实用。

证明极限法则

下面演示如何用ε-δ定义严格证明极限法则之一。证明的关键步骤用到三角不等式，故先回顾绝对值的这一重要性质。

定义

三角不等式指出，如果 a 和 b 是任意实数，则 |a+b|≤|a|+|b|.|a+b|≤|a|+|b|.。

证明

证明以下极限法则：若 limx→af(x)=Llimx→af(x)=L 且 limx→ag(x)=M,limx→ag(x)=M,，则 limx→a(f(x)+g(x))=L+M.limx→a(f(x)+g(x))=L+M.。

设 ε>0.ε>0.。

选择 δ1>0δ1>0，使得如果 0<|x−a|<δ1,0<|x−a|<δ1,，则 |f(x)−L|<ε/2.|f(x)−L|<ε/2.。

选择 δ2>0δ2>0，使得如果 0<|x−a|<δ2,0<|x−a|<δ2,，则 |g(x)−M|<ε/2.|g(x)−M|<ε/2.。

选择 δ=min{δ1,δ2}.δ=min{δ1,δ2}.。

假设 0<|x−a|<δ.0<|x−a|<δ.。

因此，

0<|x−a|<δ1且0<|x−a|<δ2.0<|x−a|<δ1且0<|x−a|<δ2.

所以，

|(f(x)+g(x))−(L+M)|=|(f(x)−L)+(g(x)−M)|≤|f(x)−L|+|g(x)−M|<ε2+ε2=ε.|(f(x)+g(x))−(L+M)|=|(f(x)−L)+(g(x)−M)|≤|f(x)−L|+|g(x)−M|<ε2+ε2=ε.

□

现在探讨极限不存在的含义。若不存在实数 L 使得 limx→af(x)=L.limx→af(x)=L.，则极限 limx→af(x)limx→af(x) 不存在。因此，对于所有实数 L，limx→af(x)≠L.limx→af(x)≠L.。为理解其含义，逐条考察 limx→af(x)=Llimx→af(x)=L 定义的每个部分及其否定。具体对照见表 2.10。

定义 否定
1. 对每个 ε>0,ε>0, 1. 存在 ε>0ε>0 使得
2. 存在 δ>0,δ>0, 使得 2. 对每个 δ>0,δ>0,
3. 如果 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，则 |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε. 3. 存在一个 x 满足 0<|x−a|<δ0<|x−a|<δ 使得 |f(x)−L|≥ε.|f(x)−L|≥ε.
表 2.10 lim x → a f ( x ) = L lim x → a f ( x ) = L 定义及其否定

综合各条的否定，极限不存在可精确表述为：若对每个实数 L，存在一个实数 ε>0ε>0，使得对于所有 δ>0,δ>0,，存在一个 x 满足 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，使得 |f(x)−L|≥ε.|f(x)−L|≥ε.，则极限 limx→af(x)limx→af(x) 不存在。例 2.43 即运用此方法证明某一极限不存在。

例 2.43

证明极限不存在

证明 limx→0|x|xlimx→0|x|x 不存在。f(x)=|x|/xf(x)=|x|/x 的图形如下所示：

一个由两段组成的函数图。第一段存在于 x<0，它是一条没有斜率的直线，在 y 轴上以 (0,-1) 处的空心圆结束。第二段存在于 x>0，它是一条没有斜率的直线，在 y 轴上以 (1,0) 处的空心圆开始。

解

假设 L 是极限的候选值。取 ε=1/2.ε=1/2.。

设 δ>0.δ>0.。或者 L≥0L≥0，或者 L<0.L<0.。如果 L≥0,L≥0,，则设 x=−δ/2.x=−δ/2.。因此，

| x − 0 | = | − δ 2 − 0 | = δ 2 < δ | x − 0 | = | − δ 2 − 0 | = δ 2 < δ

且

| | − δ 2 | − δ 2 − L | = | −1 − L | = L + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . | | − δ 2 | − δ 2 − L | = | −1 − L | = L + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε .

另一方面，如果 L<0,L<0,，则设 x=δ/2.x=δ/2.。因此，

| x − 0 | = | δ 2 − 0 | = δ 2 < δ | x − 0 | = | δ 2 − 0 | = δ 2 < δ

且

| | δ 2 | δ 2 − L | = | 1 − L | = | L | + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . | | δ 2 | δ 2 − L | = | 1 − L | = | L | + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε .

因此，对于 L 的任何值，limx→0|x|x≠L.limx→0|x|x≠L.。

单侧极限和无穷极限

正如先建立直观认识再给出严格定义一样，现在重新审视单侧极限。只需对ε-δ定义稍加修改，即可给出右极限和左极限的严格定义。在右极限的定义中，不等式 0<x−a<δ0<x−a<δ 替换了 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，从而仅考虑 a 右侧（大于 a）的 x 值。类似地，在左极限的定义中，不等式 −δ<x−a<0−δ<x−a<0 替换了 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，从而仅考虑 a 左侧（小于 a）的 x 值。

定义

右极限： 设 f(x)f(x) 定义在形如 (a,b)(a,b) 的开区间上，其中 a<b.a<b.。则，

limx→a+f(x)=Llimx→a+f(x)=L

如果对每个 ε>0,ε>0,，存在一个 δ>0δ>0，使得如果 0<x−a<δ,0<x−a<δ,，则 |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε.。

左极限： 设 f(x)f(x) 定义在形如 (b,a)(b,a) 的开区间上，其中 b<a.b<a.。则，

limx→a−f(x)=Llimx→a−f(x)=L

如果对每个 ε>0,ε>0,，存在一个 δ>0δ>0，使得如果 −δ<x−a<0,−δ<x−a<0,，则 |f(x)−L|<ε.|f(x)−L|<ε.。

例 2.44

证明右极限

证明 limx→4+x−4=0.limx→4+x−4=0.

解

设 ε>0.ε>0.。

选择 δ=ε2.δ=ε2.。由于最终希望 |x−4−0|<ε,|x−4−0|<ε,，化简得 x−4<εx−4<ε，或者等价地，0<x−4<ε2,0<x−4<ε2,，故 δ=ε2δ=ε2是自然的选择。亦可用几何方法确定 δδ，如图 2.42 所示。

此图展示了如何为上述证明找到 δ。函数 f(x) = √(x−4) 在 x > 4 时绘制。由于极限值为 0，绘制了蓝色水平线 y = 0 + ε 和 y = 0 − ε。只有上方的蓝色线 y = ε 与函数相交，因此从交点到 x 轴绘制了一条红色竖线。由 √(x−4) = ε 解得 x = ε² + 4。δ 即该点与 4 之间的距离，等于 ε²。
图 2.42 此图展示了例 2.44 的证明中如何找到 δ。

假设 0<x−4<δ.0<x−4<δ.。因此，0<x−4<ε2.0<x−4<ε2.。所以，0<x−4<ε.0<x−4<ε.。最后，|x−4−0|<ε.|x−4−0|<ε.。

因此，limx→4+x−4=0.limx→4+x−4=0.。

检验点 2.30

为证明 limx→1−1−x=0.limx→1−1−x=0.，求与 ε 对应的 δδ。

最后给出无穷极限的严格定义，完成将各类极限的直观概念转化为形式定义的工作。为使 limx→af(x)=+∞,limx→af(x)=+∞, 成立，需要当 x 趋近于 a 时，函数 f(x)f(x) 的值可无限增大。此时不再要求当 0<|x−a|<δ0<|x−a|<δ 且 δ,δ, 足够小时，|f(x)−L|<ε|f(x)−L|<ε 对于任意小的 ε 成立，而是要求当 0<|x−a|<δ0<|x−a|<δ 且 δ.δ. 足够小时，f(x)>Mf(x)>M 对于任意大的正 M 成立。图 2.43 展示了 δδ 当 M 取越来越大的值时的情形，直观地说明了这一思想。

两个图并排显示。每个图都包含两条在 x 轴上方、由 x=a 处的渐近线分隔的曲线。左侧的曲线在 x 趋近于 a 时趋向无穷大，在 x 趋近于负无穷大时趋向 0。右侧的曲线在 x 趋近于 a 时趋向无穷大，在 x 趋近于无穷大时趋向 0。第一个图在 y 轴上标记了一个大于零的值 M，并从那里绘制了一条水平线 y=M 与两条曲线相交。从交点向下绘制竖线到 x 轴。δ 取点 a 与 x 轴上这些交点之间距离的较小者。第二个图绘制了相同的线条，但 M 值更大，δ 也相应更小。
图 2.43 这些图展示了 δδ 随 M 增大时的变化，以说明 limx→af(x)=+∞.limx→af(x)=+∞.。

定义

设 f(x)f(x) 定义在包含 a 的开区间内的所有 x≠ax≠a 上。则

limx→af(x)=+∞limx→af(x)=+∞

如果对每个 M>0,M>0,，存在 δ>0δ>0，使得如果 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，则 f(x)>M.f(x)>M.。

设 f(x)f(x) 定义在包含 a 的开区间内的所有 x≠ax≠a 上。则

limx→af(x)=−∞limx→af(x)=−∞

如果对每个 M>0,M>0,，存在 δ>0δ>0，使得如果 0<|x−a|<δ,0<|x−a|<δ,，则 f(x)<−M.f(x)<−M.。

第2.5节练习

在以下练习中，写出每个给定命题对应的εε-δδ定义。

176.

lim x → a f ( x ) = N lim x → a f ( x ) = N

177.

lim t → b g ( t ) = M lim t → b g ( t ) = M

178.

lim x → c h ( x ) = L lim x → c h ( x ) = L

179.

lim x → a φ ( x ) = A lim x → a φ ( x ) = A

以下函数 f 的图形 满足limx→2f(x)=2.limx→2f(x)=2.。在以下练习中，确定一个满足每个陈述的δ>0δ>0值。

一个在第一象限绘制的函数，其中 x > 0。它是一个递增的凹函数，近似点为 (0,0)、(1, 0.5)、(2,2) 和 (3,4)。
180.

如果0<|x−2|<δ,0<|x−2|<δ,，那么|f(x)−2|<1.|f(x)−2|<1.

181.

如果0<|x−2|<δ,0<|x−2|<δ,，那么|f(x)−2|<0.5.|f(x)−2|<0.5.

以下函数 f 的图形 满足limx→3f(x)=−1.limx→3f(x)=−1.。在以下练习中，确定一个满足每个陈述的δ>0δ>0值。

一个递减的线性函数的图形，点为 (0,2)、(1,1)、(2,0)、(3,-1)、(4,-2)，等等，其中 x ≥ 0。
182.

如果0<|x−3|<δ,0<|x−3|<δ,，那么|f(x)+1|<1.|f(x)+1|<1.

183.

如果0<|x−3|<δ,0<|x−3|<δ,，那么|f(x)+1|<2.|f(x)+1|<2.

以下函数 f 的图形 满足limx→3f(x)=2.limx→3f(x)=2.。在以下练习中，对于每个 ε 值，找到一个δ>0δ>0值，使得极限的ε-δ定义 成立。

一个递增的线性函数的图形，与x轴大约在 (2.25, 0) 处相交，并穿过点 (3,2) 以及近似点 (1,-5) 和 (4,5)。
184.

ε = 1.5 ε = 1.5

185.

ε = 3 ε = 3

[T] 在以下练习中，使用图形计算器 找到一个数δδ，使得陈述成立。

186.

|sin(2x)−12|<0.1,|sin(2x)−12|<0.1,，只要|x−π12|<δ|x−π12|<δ

187.

| x − 4 − 2 | < 0.1 , 每当 | x − 8 | < δ | x − 4 − 2 | < 0.1 , 每当 | x − 8 | < δ

在以下练习中，使用极限的ε-δ定义 来证明给定的极限。

188.

lim x → 2 ( 5 x + 8 ) = 18 lim x → 2 ( 5 x + 8 ) = 18

189.

lim x → 3 x 2 − 9 x − 3 = 6 lim x → 3 x 2 − 9 x − 3 = 6

190.

lim x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 = 5 lim x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 = 5

191.

lim x → 0 x 4 = 0 lim x → 0 x 4 = 0

192.

lim x → 2 ( x 2 + 2 x ) = 8 lim x → 2 ( x 2 + 2 x ) = 8

在以下练习中，使用极限的ε-δ定义 来证明给定的单侧极限。

193.

lim x → 5 − 5 − x = 0 lim x → 5 − 5 − x = 0

194.

lim x → 0 + f ( x ) = −2 , 其中 f ( x ) = { 8 x − 3 , 若 x < 0 4 x − 2 , 若 x ≥ 0 . lim x → 0 + f ( x ) = −2 , 其中 f ( x ) = { 8 x − 3 , 若 x < 0 4 x − 2 , 若 x ≥ 0 .

195.

lim x → 1 − f ( x ) = 3 , 其中 f ( x ) = { 5 x − 2 , 若 x < 1 7 x − 1 , 若 x ≥ 1 . lim x → 1 − f ( x ) = 3 , 其中 f ( x ) = { 5 x − 2 , 若 x < 1 7 x − 1 , 若 x ≥ 1 .

在以下练习中，使用极限的ε-δ定义 来证明给定的无穷极限。

196.

lim x → 0 1 x 2 = ∞ lim x → 0 1 x 2 = ∞

197.

lim x → −1 3 ( x + 1 ) 2 = ∞ lim x → −1 3 ( x + 1 ) 2 = ∞

198.

lim x → 2 − 1 ( x − 2 ) 2 = − ∞ lim x → 2 − 1 ( x − 2 ) 2 = − ∞

199.

一位工程师正在使用一台机器切割一块面积为 144 cm2 的平板气凝胶。如果面积的最大误差容许度为 8 cm2，那么假设所有边长都相同，工程师在切割边长时必须有多精确？这些数字与δ,δ,、ε、a 和 L 有何关系？

200.

使用极限的ε-δ定义 来证明以下极限 不存在：limx→1|x−1|x−1.limx→1|x−1|x−1.

201.

使用极限的ε-δ定义，证明limx→0f(x)limx→0f(x)不存在，已知f(x)f(x)是上取整函数。（提示：尝试任何δ<1.)δ<1.)）

202.

使用极限的ε-δ定义，证明limx→0f(x)limx→0f(x)不存在：f(x)={1若x是有理数0若x是无理数.f(x)={1若x是有理数0若x是无理数.。（提示：思考如何总是可以选择一个有理数 0<r<d,0<r<d,，但|f(r)−0|=1.)|f(r)−0|=1.)）

203.

使用极限的ε-δ定义，确定limx→0f(x)limx→0f(x)，其中f(x)={x若x是有理数0若x是无理数.f(x)={x若x是有理数0若x是无理数.。（提示：分为两种情况，x 为有理数 和 x 为无理数。）

204.

使用上一练习中的函数，使用极限的ε-δ定义 来证明limx→af(x)limx→af(x)对于a≠0.a≠0.不存在。

在以下练习中，假设limx→af(x)=Llimx→af(x)=L和limx→ag(x)=Mlimx→ag(x)=M都存在。使用极限的ε-δ定义 来证明以下极限法则：

205.

lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M

206.

limx→a[cf(x)]=cLlimx→a[cf(x)]=cL，对于任何实常数 c。（提示：考虑两种情况：c=0c=0 和 c≠0.)c≠0.)。）

207.

limx→a[f(x)g(x)]=LM.limx→a[f(x)g(x)]=LM.。（提示：|f(x)g(x)−LM|=|f(x)g(x)−LM|= |f(x)g(x)−f(x)M+f(x)M−LM|≤|f(x)||g(x)−M|+|M||f(x)−L|.)|f(x)g(x)−f(x)M+f(x)M−LM|≤|f(x)||g(x)−M|+|M||f(x)−L|.)。）