核心概念
4.1
相关变化率
- 求解相关变化率问题时，首先画出示意图，展示两个或多个随时间变化的量之间的关系。
- 用这些量来表述已知信息和待求的变化率。
- 建立这些量之间的关系方程。
- 对方程求导，必要时应用链式法则，得到各变化率之间的关系式。
- 在得到变化率之间的关系式之前，不要将变量替换为具体数值。
4.2
线性近似与微分
- 可微函数 在 处可用线性函数近似：
- 对于函数 ，如果 从 变化到 ，那么
是 变化的近似值。 的实际变化量是
- 测量误差 可能导致由此计算的量 产生误差，这种误差称为传播误差。传播误差可以用
来估算。
- 要估算某个量 的相对误差，只需估算 。
4.3
最大值与最小值
- 一个函数可能同时具有绝对最大值和绝对最小值，或者只有一个绝对极值，或者没有绝对最大值或绝对最小值。
- 如果一个函数有局部极值，则取得极值的点必定是临界点。但反过来，函数在临界点不一定有局部极值。
- 在闭有界区间上连续的函数必有绝对最大值和绝对最小值。每个极值都在临界点或端点处取得。
4.4
中值定理
- 如果 在 上连续且在 上可微，并且 ，那么存在一点 使得 。此即罗尔定理。
- 如果 在 上连续且在 上可微，那么存在一点 使得
此即中值定理。
- 如果在区间 上 ，那么 在 上是常数。
- 如果两个可微函数 和 在 上满足 ，那么 ，其中 是某个常数。
- 如果在区间 上 ，那么 在 上是递增的。如果在 上 ，那么 在 上是递减的。
4.5
导数与函数图形的形状
- 如果 是 的临界点，且当 有 ，当 有 ，那么 在 处有局部最大值。
- 如果 是 的临界点，且当 有 ，当 有 ，那么 在 处有局部最小值。
- 如果在区间 上 ，那么 在 上是凹的。
- 如果在区间 上 ，那么 在 上是凸的。
- 如果 且 ，那么 在 处有局部最小值。
- 如果 且 ，那么 在 处有局部最大值。
- 如果 且 ，则需要分别在 左侧和 右侧各取一个检验点 ，计算 ，以确定 在 处是否有局部极值。
4.6
无穷远处的极限与渐近线
- 若当 充分大时， 的值可以任意接近 ，则称当 （或 ）时， 的极限为 。
- 若当 充分大时 可以任意大，则当 时 的极限为 。若当 充分大时 且 可以任意大，则当 时 的极限为 。类似地，可以定义当 趋近于 时 的极限。
- 对于多项式函数 ，其中 ，其端部行为由首项 决定。如果 ，那么 在两端趋近于 或 。
- 对于有理函数 ，其端部行为由 的次数与 的次数之间的关系决定。如果 的次数小于 的次数，则直线 是 的水平渐近线。如果 的次数等于 的次数，则直线 是水平渐近线，其中 和 分别是 和 的首项系数。如果 的次数大于 的次数，那么 在两端趋近于 或 。
4.7
最优化问题应用
- 求解最优化问题时，首先画出示意图并引入变量。
- 建立变量之间的关系方程。
- 将需要最小化或最大化的量表示为单变量函数。
- 通过求临界点来确定局部极值。
4.8
洛必达法则
- 当出现未定式 或 时，洛必达法则可用于计算商的极限。
- 如果其他类型的未定式可以化为含有 或 型未定式的商的极限，则也可以使用洛必达法则。
- 指数函数 比任何幂函数 （其中 ）增长得更快。
- 对数函数 比任何幂函数 （其中 ）增长得更慢。
4.9
牛顿法
- 牛顿法从初始近似值 出发，利用 图形的切线逐步生成近似值序列 ，以此逼近方程 的根。
- 通常，牛顿法是寻找特定根的有效方法。在某些情况下，牛顿法会失效，因为数列 不趋近于有限值，或者它趋近于所求根以外的值。
- 给定初始值 ，并按递推公式 （其中 为某一函数）依次生成数列 的过程称为迭代过程。牛顿法就是迭代过程的一个实例，其中对于给定函数 迭代函数为 。
4.10
原函数
- 如果 是 的一个原函数，那么 的每个原函数都可以写成 的形式，其中 为某个常数。
- 求解初值问题
需要先求出 的全部原函数，再从中确定满足初始条件的那个特定原函数。