2.25

12.006001

17 单位²

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=\mathrm{-1}$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}h\left(x\right)=\mathrm{-1}.$

$\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}$ 不存在。

a. $\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}=\mathrm{-4};$ b. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}\frac{\left|x^2-4\right|}{x-2}=4$

a. $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty ;$ b. $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty ;$ c. $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{1}{x^2}=\text{+}\infty$

a. $\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}=\text{−}\infty ;$ b. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}=\text{+}\infty ;$ c. $\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(x-2\right)}^3}$ 不存在。直线 $x=2$ 是 $f\left(x\right)=1\text{/}{\left(x-2\right)}^3.$ 的垂直渐近线。

不存在。

$11\sqrt{10}$

−13;

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

−1;

$\frac{1}{4}$

$\underset{x\to {\mathrm{-1}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-1}$

+∞

0

0

f 在 1 处不连续，因为 $f\left(1\right)=2\ne 3=\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right).$

$f\left(x\right)$ 在每个实数处都是连续的。

在 1 处不连续；可去间断点

$\left[\mathrm{-3},\text{+}\infty \right)$

0

$f\left(0\right)=1>0,f\left(1\right)=\mathrm{-2}<0;f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right].$ 上是连续的。它在该区间上必有一个零点。

设 $\epsilon >0;$，选择 $\delta =\frac{\epsilon }{3};$，假设 $0<\left|x-2\right|<\delta .$

因此，$\left|\left(3x-2\right)-4\right|=\left|3x-6\right|=\left|3\right|·\left|x-2\right|<3·\delta =3·\left(\epsilon \text{/}3\right)=\epsilon .$

所以，$\underset{x\to 2}{\text{lim}}3x-2=4.$

选择 $\delta =\text{min}\left\{9-{\left(3-\epsilon \right)}^2,{\left(3+\epsilon \right)}^2-9\right\}.$

$\left|x^2-1\right|=\left|x-1\right|·\left|x+1\right|<\epsilon \text{/}3·3=\epsilon$

$\delta ={\epsilon }^2$

a. 2.2100000; b. 2.0201000; c. 2.0020010; d. 2.0002000; e. (1.1000000, 2.2100000); f. (1.0100000, 2.0201000); g. (1.0010000, 2.0020010); h. (1.0001000, 2.0002000); i. 2.1000000; j. 2.0100000; k. 2.0010000; l. 2.0001000

$y=2x$

3

a. 2.0248457; b. 2.0024984; c. 2.0002500; d. 2.0000250; e. (4.1000000,2.0248457); f. (4.0100000,2.0024984); g. (4.0010000,2.0002500); h. (4.00010000,2.0000250); i. 0.24845673; j. 0.24984395; k. 0.24998438; l. 0.24999844

$y=\frac{x}{4}+1$

π

a. −0.95238095; b. −0.99009901; c. −0.99502488; d. −0.99900100; e. (−1;.0500000,−0;.95238095); f. (−1;.0100000,−0;.9909901); g. (−1;.0050000,−0;.99502488); h. (1.0010000,−0;.99900100); i. −0.95238095; j. −0.99009901; k. −0.99502488; l. −0.99900100

$y=\text{−}x-2$

−49 米/秒 (球的速度为向下 49 米/秒)

5.2 米/秒

−9.8 米/秒

6 米/秒

下和为 1 单位²；上和为 4 单位²。这两个三角形的精确面积为 $\frac{1}{2}\left(1\right)\left(1\right)+\frac{1}{2}\left(2\right)\left(2\right)=2.5{\text{单位}}^2.$

下和为 0.96 单位²；上和为 1.92 单位²。半径为 1 的半圆的精确面积为 $\frac{\pi {\left(1\right)}^2}{2}=\frac{\pi }{2}$ 单位²。

约 1.3333333 单位²

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 不存在，因为 $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-2}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=2.$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{\left(1+x\right)}^{1\text{/}x}=2.7183$

a. 1.98669331; b. 1.99986667; c. 1.99999867; d. 1.99999999; e. 1.98669331; f. 1.99986667; g. 1.99999867; h. 1.99999999; $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}2x}{x}=2$

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin}ax}{x}=a$

a. −0.80000000; b. −0.98000000; c. −0.99800000; d. −0.99980000; e. −1.2000000; f. −1.0200000; g. −1.0020000; h. −1.0002000; $\underset{x\to 1}{\text{lim}}\left(1-2x\right)=\mathrm{-1}$

a. −37.931934; b. −3377.9264; c. −333,777.93; d. −33,337,778; e. −29.032258; f. −3289.0365; g. −332,889.04; h. −33,328,889 $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{z-1}{z^2\left(z+3\right)}=\text{−}\infty$

a. 0.13495277; b. 0.12594300; c. 0.12509381; d. 0.12500938; e. 0.11614402; f. 0.12406794; g. 0.12490631; h. 0.12499063; $\therefore \underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{1-\frac{2}{x}}{x^2-4}=0.1250=\frac{1}{8}$

a. 10.00000; b. 100.00000; c. 1000.0000; d. 10,000.000; 猜测: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\alpha }\text{cos}\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=\infty ,$ 实际值: 不存在

假； $\underset{x\to {\mathrm{-2}}^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{+}\infty$

假； $\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)$ 不存在，因为 $\underset{x\to 6^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=2$ 和 $\underset{x\to 6^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=5.$

2

1

1

不存在

0

不存在

2

3

不存在

0

−2

不存在

0

答案可能不同。

答案可能不同。

a. ${\rho }_2$ b. ${\rho }_1$ c. 不存在，除非 ${\rho }_1={\rho }_2.$ 从左侧趋近 $x_{\text{SF}}$ 时对应冲击波后的高密度区域，从右侧趋近时则尚未穿过冲击波，仍处于较低密度区域。

使用常数倍法则和差法则： $\underset{x\to 0}{\text{lim}}\left(4x^2-2x+3\right)=4\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^2-2\underset{x\to 0}{\text{lim}}x+\underset{x\to 0}{\text{lim}}3=3$

使用根式法则： $\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}\sqrt{x^2-6x+3}=\sqrt{\underset{x\to \mathrm{-2}}{\text{lim}}\left(x^2-6x+3\right)}=\sqrt{19}$

49

1

$-\frac{5}{7}$

$\underset{x\to 4}{\text{lim}}\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ 则， $\underset{x\to 4}{\text{lim}}\frac{x^2-16}{x-4}=\underset{x\to 4}{\text{lim}}\frac{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}{x-4}=8$

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}\frac{3x-18}{2x-12}=\frac{18-18}{12-12}=\frac{0}{0};$ 则， $\underset{x\to 6}{\text{lim}}\frac{3x-18}{2x-12}=\underset{x\to 6}{\text{lim}}\frac{3\left(x-6\right)}{2\left(x-6\right)}=\frac{3}{2}$

$\underset{x\to 9}{\text{lim}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0};$ 则， $\underset{t\to 9}{\text{lim}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\underset{t\to 9}{\text{lim}}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\underset{t\to 9}{\text{lim}}\left(\sqrt{t}+3\right)=6$

$\underset{\theta \to \pi }{\text{lim}}\frac{\text{sin}\theta }{\text{tan}\theta }=\frac{\text{sin}\pi }{\text{tan}\pi }=\frac{0}{0};$ 则， $\underset{\theta \to \pi }{\text{lim}}\frac{\text{sin}\theta }{\text{tan}\theta }=\underset{\theta \to \pi }{\text{lim}}\frac{\text{sin}\theta }{\frac{\text{sin}\theta }{\text{cos}\theta }}=\underset{\theta \to \pi }{\text{lim}}\text{cos}\theta =\mathrm{-1}$

$\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lim}}\frac{2x^2+3x-2}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2}{1-1}=\frac{0}{0};$ 则， $\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lim}}\frac{2x^2+3x-2}{2x-1}=\underset{x\to 1\text{/}2}{\text{lim}}\frac{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}{2x-1}=\frac{5}{2}$

−∞

−∞

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}2f\left(x\right)g\left(x\right)=2\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)\underset{x\to 6}{\text{lim}}g\left(x\right)=72$

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)+\frac{1}{3}g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)+\frac{1}{3}\underset{x\to 6}{\text{lim}}g\left(x\right)=7$

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}\sqrt{g\left(x\right)-f\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to 6}{\text{lim}}g\left(x\right)-\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)}=\sqrt{5}$

$\underset{x\to 6}{\text{lim}}\left[\left(x+1\right)f\left(x\right)\right]=\left(\underset{x\to 6}{\text{lim}}\left(x+1\right)\right)\left(\underset{x\to 6}{\text{lim}}f\left(x\right)\right)=28$

a. 9; b. 7

a. 1; b. 1

$\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lim}}\left(f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right)=\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)-3\underset{x\to {\mathrm{-3}}^{-}}{\text{lim}}g\left(x\right)=0+6=6$

$\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lim}}\frac{2+g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2+\left(\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lim}}g\left(x\right)\right)}{\underset{x\to \mathrm{-5}}{\text{lim}}f\left(x\right)}=\frac{2+0}{2}=1$

$\underset{x\to 1}{\text{lim}}\sqrt[3]{f\left(x\right)-g\left(x\right)}=\sqrt[3]{\underset{x\to 1}{\text{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\text{lim}}g\left(x\right)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}$

$\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lim}}\left(xf\left(x\right)+2g\left(x\right)\right)=\left(\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lim}}x\right)\left(\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lim}}f\left(x\right)\right)+2\underset{x\to \mathrm{-9}}{\text{lim}}\left(g\left(x\right)\right)=\left(\mathrm{-9}\right)\left(6\right)+2\left(4\right)=\mathrm{-46}$

极限为零。

a.

b. ∞。当趋近粒子 q 时，电场强度变为无穷大。计算负距离没有物理意义。

该函数对区间内所有 x 定义 $\left(0,\infty \right).$

在 $x=0;$ 处有可去间断点；在 $x=1$ 处有无穷间断点

在 $x=\text{ln}2$ 处有无穷间断点

无穷间断点 在 $x=\frac{\left(2k+1\right)\pi }{4},$ 处，当 $k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\text{,…}$

不。这是一个可去间断点。

是。它是连续的。

是。它是连续的。

$k=\mathrm{-5}$

$k=\mathrm{-1}$

$k=\frac{16}{3}$

由于 s 和 $y=t$ 在处处连续，因此 $h\left(t\right)=s\left(t\right)-t$ 在处处连续，特别地，它在闭区间 $\left[2,5\right].$ 上连续。此外，$h\left(2\right)=3>0$ 和 $h\left(5\right)=\mathrm{-3}<0.$。因此，根据介值定理，存在一个值 $x=c$ 使得 $h\left(c\right)=0.$

函数 $f\left(x\right)=2^x-x^3$ 在区间 $\left[1.25,1.375\right]$ 上连续，并且在端点处具有相反的符号。

a.

b. 无法重新定义 $f\left(1\right)$，因为该间断点是跳跃间断点。

答案可能不同；请参见以下示例：

答案可能不同；请参见以下示例：

错误。它在 $\left(\text{−}\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right).$ 上连续。

错误。考虑 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x\text{若}x\ne 0\\ 4\text{若}x=0\end{array}.$。

错误。介值定理 只说明至少存在一个解；它不保证恰好存在一个解。考虑 $f\left(x\right)=\text{cos}\left(x\right)$ 在 $\left[-\pi ,2\pi \right].$ 上。

错误。介值定理 不可逆！考虑 ${\left(x-1\right)}^2$ 在区间 $\left[\mathrm{-2},2\right].$ 上。

$R=0.0001519\text{m}$

$D=\mathrm{345,826}\text{km}$

对于 $a,f\left(a\right)$ 的所有值，$\underset{\theta \to a}{\text{lim}}f\left(\theta \right)$ 存在，并且 $\underset{\theta \to a}{\text{lim}}f\left(\theta \right)=f\left(a\right).$。因此，$f(\theta )$ 在处处连续。

无处

对于每个 $\epsilon >0,$，存在一个 $\delta >0,$，使得如果 $0<\left|t-b\right|<\delta ,$，则 $\left|g\left(t\right)-M\right|<\epsilon$。

对于每个 $\epsilon >0,$，存在一个 $\delta >0,$，使得如果 $0<\left|x-a\right|<\delta ,$，则 $\left|\phi \left(x\right)-A\right|<\epsilon$。

$\delta \le 0.25$

$\delta \le 2$

$\delta \le 1$

$\delta <0.3900$

设 $\delta =\epsilon .$。如果 $0<\left|x-3\right|<\epsilon ,$，则 $\left|x+3-6\right|=\left|x-3\right|<\epsilon .$。

设 $\delta =\sqrt[4]{\epsilon }.$。如果 $0<\left|x\right|<\sqrt[4]{\epsilon },$，则 $\left|x^4\right|=x^4<\epsilon .$。

设 $\delta ={\epsilon }^2.$。如果 $5-{\epsilon }^2<x<5,$，则 $\left|\sqrt{5-x}\right|=\sqrt{5-x}<\epsilon .$。

设 $\delta =\epsilon \text{/}5.$。如果 $1-\epsilon \text{/}5<x<1,$，则 $\left|f\left(x\right)-3\right|=5x-5<\epsilon .$。

设 $\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}.$。如果 $0<\left|x+1\right|<\sqrt{\frac{3}{M}},$，则 $f\left(x\right)=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>M.$。

工程师必须在 12 厘米的每一侧切割，误差在 0.328 厘米以内；$\epsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$。

答案可能不同。

0

$\begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim }\left(f\left(x\right)\right)+\underset{x\to a}{\lim }\left(g\left(x\right)\right)\\ =L+M\end{array}$

答案可能不同。

错误

错误。可能存在可去间断点。

5

$8\text{/}7$

不存在

$2\text{/}3$

−4；

由于 $\mathrm{-1}\le \text{cos}(2\pi x)\le 1,$，因此 $-x^2\le x^2\text{cos}(2\pi x)\le x^2.$。由于 $\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^2=0=\underset{x\to 0}{\text{lim}}-x^2,$，可得 $\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^2\text{cos}\left(2\pi x\right)=0.$。

$[2,\infty ]$

$c=\mathrm{-1}$

$\delta =\sqrt[3]{\epsilon }$

$0\text{m}\text{/}\text{sec}$