←
Moc

7.4 Moc

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • jak powiązać pracę z czasem, w którym została ona wykonana, poprzez wyznaczenie mocy;
  • jak wyznaczyć moc wyzwoloną na skutek działania siły.

Pojęcie pracy jest związane z siłą oraz przemieszczeniem, natomiast zasada równoważności pracy i energii kinetycznej wiąże ze sobą pracę wykonaną nad ciałem i jego energię kinetyczną. Żadne ze wspomnianych pojęć bezpośrednio nie wiąże się z czasem, jednakże wiemy z doświadczenia, że czasami ważne jest, w jakim czasie wykonana jest dana praca. We wstępie do rozdziału umieszczono zdjęcie sprinterek, z których każda wykonuje taką samą pracę na tym samym odcinku, ale w różnym czasie – i to czas właśnie jest w tym przypadku najistotniejszy.

Aby powiązać ze sobą pracę i czas, w którym została wykonana, używamy nowego pojęcia – mocy. Jako że praca może być funkcją czasu, wprowadzono termin mocy średniej (ang. average power) jako skończoną wartość pracy wykonanej w skończonym czasie:

P śr = Δ W Δ t . P śr = Δ W Δ t .
7.10

Możemy więc zdefiniować pojęcie mocy chwilowej, często określanej po prostu jako moc (ang. power).

Moc

Moc jest definiowana jako nieskończenie mała praca wykonana w nieskończenie krótkim czasie:

P = d W d t . P= d W d t .
7.11

Jeżeli moc jest stała w danym przedziale czasu, to średnia moc jest równa mocy chwilowej. Wtedy pracę możemy zapisać jako W = P Δ t W = P Δ t . Jeżeli praca ma wartość zmienną w czasie, to jej wartość jest wyrażana jako całka w postaci:

W = ∫ P d t . W = ∫ P d t .

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej opisuje zamianę jednej formy energii na drugą. Analogicznie pojęcie mocy opisuje szybkość takiej zamiany. Jednostką energii (pracy) w układzie SI jest dżul (1 J), więc zgodnie z definicją mocy jednostką mocy jest dżul na sekundę czyli wat: 1 J / s = 1 W 1 J / s =1 W . Inną często spotykaną (szczególnie w technice) jednostką jest koń mechaniczny: 1 K M = 746 W 1 K M =746 W .

Przykład 7.11

Podciąganie się na drążku

Rekrut ważący 80 kg wykonuje 10 podciągnięć na drążku w 10 sekund (Ilustracja 7.14). Jaka jest średnia moc uwalniana przez jego mięśnie? (Wskazówka: Aby rozwiązać to zadanie, musisz dokonać rozsądnych przybliżeń.)
Postać mężczyzny podciągająca się na drążku. Mężczyzna podciąga się na wysokość oznaczoną delta y. Oznaczono pionową siłę odpowiadającą sile grawitacji i oznaczono ją jako m razy g.
Ilustracja 7.14 Jaka moc wyzwalana jest w przypadku wykonania przez rekruta 10 podciągnięć w 10 sekund?

Strategia rozwiązania

Praca przeciwko sile grawitacji przy ruchu z góry w dół na odcinku Δ y Δ y może zostać zapisana w postaci m g Δ y . m g Δ y . (Jeśli będziesz wykonywał w trakcie podciągania ruch w dół ze stałą prędkością, siła Twoich mięśni będzie działała również przeciwko sile grawitacji.) Zatem praca wykonana podczas całego ruchu (w górę i w dół) wynosi: 2 m g Δ y . 2 m g Δ y . Przyjmijmy, że Δ y = 2 f t ≈ 60 c m Δy=2 f t ≈60 c m . Przyjmijmy również, że ręce stanowią 10% masy ciała i nie są podnoszone w trakcie podciągania się. Przy tych założeniach możemy wyznaczyć pracę wykonaną w trakcie 10 podciągnięć i wyznaczyć moc wyzwoloną w ciągu 10 sekund.

Rozwiązanie

Uwzględniając wcześniejsze założenia otrzymujemy:
P śr = 10 ⋅ 2 ⋅ ( 0,9 ⋅ 80 k g ) ⋅ 9,8 m / s 2 ⋅ 0,6 m 10 s = 850 W . P śr = 10 ⋅ 2 ⋅ ( 0,9 ⋅ 80 k g ) ⋅ 9,8 m / s 2 ⋅ 0,6 m 10 s =850 W .

Znaczenie

Wynik ten odpowiada mocy wydzielonej przy standardowych ćwiczeniach wysiłkowych. Odpowiada to mocy trochę większej niż jeden koń mechaniczny ( 1 K M = 746 W 1 K M =746 W ).

Sprawdź, czy rozumiesz 7.8

Oszacuj moc wydzielaną przy podnoszeniu sztangi o masie 150 kg na wysokość 2 m w czasie 3 s.

Moc związaną z wprowadzeniem ciała w ruch można wyrazić poprzez siłę działają na to ciało. Jeżeli siła F → F → działa na ciało, które zostaje przemieszczone o d r → d r → w czasie d t d t, to moc będzie równa:

P = d W d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ v → , P= d W d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ d r → d t = F → ⋅ v → ,
7.12

gdzie v → v → jest prędkością ciała. Zależność jest prawdziwa przy założeniu, że siła F → F → jest stała w czasie.

Przykład 7.12

Moc samochodu poruszającego w górę zbocza

Jaka musi być minimalna moc silnika samochodu o masie 1200 kg, aby wjechać pod górę zbocza o nachyleniu 15% z prędkością 90 km/h (Ilustracja 7.15)? Przyjmij, że 25% mocy samochodu jest wykorzystywane do przeciwdziałania siłom oporu ruchu.
Samochód wjeżdżający po zboczu o nachyleniu 15% z prędkością v = 90 km na godzinę. Masa samochodu 1200 kg.
Ilustracja 7.15 Chcemy obliczyć moc silnika samochodu wjeżdżającego pod górę ze stałą prędkością.

Strategia rozwiązania

Przy stałej prędkości zmiana energii kinetycznej równa jest zero, w związku z tym cała wykonana praca jest wykorzystywana do przeciwdziałania sile grawitacji i siłom oporu ruchu. Z założeń zadania wiemy, że 75% mocy jest wykorzystywane tylko do przeciwdziałania sile grawitacji. Moc ta jest równa m g → ⋅ v → = m g v sin ⁡ θ m g → ⋅ v → =mgvsin⁡θ, gdzie θ θ jest kątem nachylenia zbocza. Nachylenie zbocza odpowiada zależności tg ⁡ θ = 0,15 tg⁡θ=0,15.

Rozwiązanie

Na podstawie wcześniej prowadzonych zależności otrzymujemy:
0,75 P = m g v sin ⁡ ( arctg ⁡ 0,15 ) , 0,75P=mgvsin⁡ ( arctg ⁡ 0,15 ) ,

lub

P=1200⋅9,8⁢N/3,6⁢s⋅sin8,53°0,75=58⁢kW⁢,P=1200⋅9,8⁢N/3,6⁢s⋅sin8,53°0,75=58⁢kW⁢,

co odpowiada 78 KM.

Znaczenie

Wartość obliczona odpowiada mocy silnika małego samochodu. Zauważ jednak, że wyznaczona wartość odpowiada tylko i wyłącznie ruchowi samochodu, a nie uwzględnia mocy traconej np. na ciepło. Aby samochód faktycznie mógł poruszać się w świecie rzeczywistym, moc jego silnika musiałaby być znacznie większa.