Zadania trudniejsze

68.

Zawieszenie linowe mocujące most oscyluje z efektywnym współczynnikiem sprężystości $1,00 \cdot 10^{8} N/m$ . a) Jaka jest potrzebna energia, aby wprowadzić układ w drgania o amplitudzie 0,1 m? b) Jeśli żołnierze maszerują przez most synchronicznie w cyklu odpowiadającym częstotliwości własnej mostu i w każdej sekundzie zwiększają energię o $1,00 \cdot 10^{4} J$ , to ile potrzeba czasu, aby most zwiększył amplitudę drgań z 0,100 m do 0,500 m?

69.

25 października 1964 roku w trakcie sztormu na Bałtyku podmuchy wiatru w Trójmieście osiągały prędkość 162 km/h. Obecnie inżynierowie przygotowują projekt wieżowca, którego konstrukcja będzie niewrażliwa na takie podmuchy. Na szczycie budynku zostanie zainstalowane ciało o masie $4 \cdot 10^{5} kg$ zawieszone na sprężynach z możliwością regulacji współczynnika sprężystości. Jest to układ tłumika masowego o takiej samej częstotliwości jak częstotliwość drgań budynku, a więc w warunkach silnych wiatrów ciało to będzie wprowadzane w oscylacje zamiast budynku.

Jaki musi być efektywny współczynnik sprężystości, aby tłumik masowy oscylował z okresem drgań równym 2 s?
Jaka energia jest zmagazynowana w sprężynach dla przemieszczenia 2 m z położenia równowagi?

70.

W atmosferze w warunkach równowagi stabilnej (kiedy temperatura wzrasta wraz z wysokością) małe objętości powietrza mogą wykonywać drgania w górę i w dół na skutek siły zwrotnej zapewnionej przez siłę wyporu powietrza. Częstotliwość drgań cząstek powietrza jest miarą stabilności atmosfery. Zakładając, że przyspieszenie cząstki powietrza można opisać jako $\frac{\partial^{2} z^{^{'}}}{\partial t^{2}} = \frac{g}{ρ_{0}} \frac{\partial ρ (z)}{\partial z} z^{^{'}}$ , wykaż, że $z^{'} = z_{0}^{'} e^{t \sqrt{− N^{2}}}$ jest rozwiązaniem, gdzie $N$ jest częstotliwością Brunta-Vaisali. Pamiętaj, że w warunkach stabilnej atmosfery gęstość maleje wraz z wysokością, a małe objętości powietrza wykonują drgania w górę i w dół.

71.

Rozważ potencjał van der Waalsa $U (r) = U_{o} [{(\frac{R_{o}}{r})}^{12} - 2 {(\frac{R_{o}}{r})}^{6}]$ stosowany do opisywania oddziaływania dwóch cząsteczek z minimum energii potencjalnej przy $r = R_{o}$ . Znajdź wzór na siłę jako funkcję odległości $r$ . Następnie załóż, że przemieszczenia są małe ( $r = R_{o} + r^{'}$ ) i użyj wzoru dwumianowego Newtona:

\begin{array}{l} {(1 + n)}^{n} = 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2!} x^{2} \\ + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} x^{3} + \dots, \end{array}

aby pokazać, że w przybliżeniu małych wychyleń siła ta zachowuje się analogicznie do prawa Hooke’a.

72.

Zegar wahadłowy dokładnie odmierzał czas, ale pewnego dnia, dokładnie w południe, długość wahadła uległa zmianie o 1,000 %. Jaki czas wskaże zegar 24 godziny później? Przeprowadź obliczenia z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, mając też na uwadze, że w odpowiedzi powinny się znaleźć dwa wyniki.

73.

Sprężyny w samochodzie terenowym działają jak pojedyncza sprężyna o współczynniku sprężystości $1,30 \cdot 10^{5} N/m$ . O jaki dystans obniży się zawieszenie samochodu przy obciążeniu go ładunkiem o masie 1000 kg?
Jeśli samochód ma cztery identyczne sprężyny, to ile wynosi współczynnik sprężystości każdej z nich?