Capítulo 3

Inténtelo

3.1 Números complejos

$\sqrt{- 24} = 0 + 2 i \sqrt{6}$

$(3 - 4 i) - (2 + 5 i) = 1 - 9 i$

$- 8 - 24 i$

$18 + i$

$102 - 29 i$

$- \frac{3}{17} + \frac{5 i}{17}$

3.2 Funciones cuadráticas

La trayectoria pasa por el origen y tiene el vértice en $(- 4, 7),$ tal que $(h) x = - \frac{7}{16} {(x + 4)}^{2} + 7.$ Para hacer el lanzamiento, $h (- 7,5)$ tendría que ser de unos 4 pero $h (- 7,5) \approx 1,64;$ no lo consigue.

$g (x) = x^{2} - 6 x + 13$ en forma general; $g (x) = {(x - 3)}^{2} + 4$ en forma estándar

El dominio son todos los números reales. El rango es $f (x) \geq \frac{8}{11},$ o $[\frac{8}{11}, \infty) .$

Intersección en y en (0, 13). No hay intersecciones en $x$ .

Ⓐ 3 segundos
Ⓑ 256 pies
Ⓒ 7 segundos

3.3 Funciones potencia y funciones polinómicas

$f (x)$ es una función potencia porque se puede escribir como $f (x) = 8 x^{5} .$ Las demás funciones no son de potencia.

Dado que $x$ se acerca al infinito positivo o negativo, $f (x)$ disminuye sin límite: a medida que $x \to \pm \infty$ , $f (x) \to - \infty$ debido al coeficiente negativo.

El grado es 6. El término principal es $- x^{6} .$ El coeficiente principal es $- 1.$

Dado que $x \to \infty, f (x) \to - \infty; a s x \to - \infty, f (x) \to - \infty .$ Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo.

El término principal es $0,2 x^{3},$ por lo que es un polinomio de grado 3. A medida que $x$ se acerca al infinito positivo, $f (x)$ aumenta sin límites; a medida que $x$ se acerca al infinito negativo, $f (x)$ disminuye sin límites.

intersección en y $(0, 0);$ intersecciones en x $(0, 0), (- 2, 0),$ y $(5, 0)$

Hay, a lo sumo, 12 intersecciones en $x$ y como máximo 11 puntos de inflexión.

El comportamiento final indica una función polinómica de grado impar; hay 3 intersecciones en $x$ y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Por el comportamiento final, sabemos que el coeficiente principal deberá ser negativo.

Las intersecciones en $x$ son $(2, 0), (- 1, 0),$ y $(5, 0),$ la intersección en y es $(0, 2),$ y el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión.

3.4 Gráfico de funciones polinómicas

intersección en y $(0, 0);$ intersecciones en x $(0, 0), (- 5, 0), (2, 0),$ y $(3, 0)$

El gráfico tiene un cero de −5 con multiplicidad 3, un cero de −1 con multiplicidad 2 y un cero de 3 con multiplicidad 2.

Debido a que $f$ es una función polinómica y dado que $f (1)$ es negativo y $f (2)$ es positivo, hay al menos un cero real entre $x = 1$ y $x = 2.$

$f (x) = - \frac{1}{8} {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{2} (x - 4)$

El mínimo se produce aproximadamente en el punto $(0, - 6,5),$ y el máximo se produce aproximadamente en el punto $(3,5, 7) .$

3.5 Dividir polinomios

$4 x^{2} - 8 x + 15 - \frac{78}{4 x + 5}$

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 21 x - 150 + \frac{1, 090}{x + 7}$

$3 x^{2} - 4 x + 1$

3.6 Ceros de funciones polinómicas

$f (- 3) = - 412$

Los ceros son 2, –2 y –4.

No hay ceros racionales.

Los ceros son $–4, \frac{1}{2}, y 1 .$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 2 x + 10$

Deberá haber 4, 2 o 0 raíces reales positivas y 0 raíces reales negativas. El gráfico muestra que hay 2 ceros reales positivos y 0 ceros reales negativos.

3 por 4 por 7 metros

3.7 Funciones racionales

Comportamiento final: dado que $x \to \pm \infty, f (x) \to 0;$ Comportamiento local: dado que $x \to 0, f (x) \to \infty$ (no hay intersecciones en x o en y)

Gráfico de f(x)=1/(x-3)^2-4 con su asíntota vertical en x=3 y su asíntota horizontal en y=-4.

La función y las asíntotas están desplazadas 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Dado que $x \to 3, f (x) \to \infty,$ y dado que $x \to \pm \infty, f (x) \to - 4.$

La función es $f (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} - 4.$

$\frac{12}{11}$

El dominio son todos los números reales, excepto $x = 1$ y $x = 5.$

Discontinuidad removible en $x = 5.$ Asíntotas verticales $x = 0, x = 1.$

Asíntotas verticales en $x = 2$ y $x = - 3;$ asíntota horizontal en $y = 4.$

Para la función recíproca transformada al cuadrado, hallamos la forma racional $f (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} - 4 = \frac{1 - 4 {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{1 - 4 (x^{2} - 6 x + 9)}{(x - 3) (x - 3)} = \frac{- 4 x^{2} + 24 x - 35}{x^{2} - 6 x + 9}$

Ya que el numerador es del mismo grado que el denominador, sabemos que, dado que $x \to \pm \infty, f (x) \to - 4; por lo que y = - 4$ es la asíntota horizontal. A continuación, igualamos el denominador a cero, y hallamos que la asíntota vertical es $x = 3,$ porque, dado que $x \to 3, f (x) \to \infty .$ A continuación, igualamos el numerador a 0 y hallamos que las intersecciones en x están en $(2,5, 0)$ y $(3,5, 0) .$ Por último, evaluamos la función en 0 y hallamos que la intersección en y está en $(0, \frac{- 35}{9}) .$

Asíntota horizontal en $y = \frac{1}{2} .$ Asíntotas verticales en $x = 1 y x = 3.$ intersección en y, en $(0, \frac{4}{3} .)$

intersecciones en x en $(2, 0) y (- 2, 0) .$ $(- 2, 0)$ es un cero con multiplicidad 2, y el gráfico rebota en el eje x en este punto. $(2, 0)$ es un solo cero y el gráfico cruza el eje en este punto.

Gráfico de f(x)=(x+2)^2(x-2)/2(x-1)^2(x-3) con sus asíntotas vertical y horizontal.

3.8 Inversas y funciones radicales

$f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (\frac{x + 5}{3}) = 3 (\frac{x + 5}{3}) - 5 = (x - 5) + 5 = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = f (3 x - 5) = \frac{(3 x - 5) + 5}{3} = \frac{3 x}{3} = x$

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 4$

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}$

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} - 3}{2}, x \geq 0$

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$

3.9 Modelado mediante la variación

$\frac{128}{3}$

$\frac{9}{2}$

$x = 20$

3.1 Ejercicios de sección

Sume las partes reales y las partes imaginarias.

$i$ veces $i$ es igual a –1, que no es imaginario. (Las respuestas varían).

$- 8 + 2 i$

$14 + 7 i$

$- \frac{23}{29} + \frac{15}{29} i$

11.

2 reales y 0 no reales

13.

15.

17.

$8 - i$

19.

$- 11 + 4 i$

21.

$2 - 5 i$

23.

$6 + 15 i$

25.

$- 16 + 32 i$

27.

$- 4 - 7 i$

29.

31.

$2 - \frac{2}{3} i$

33.

$4 - 6 i$

35.

$\frac{2}{5} + \frac{11}{5} i$

37.

$15 i$

39.

$1 + i \sqrt{3}$

41.

$1$

43.

$- 1$

45.

128i

47.

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)}^{6} = - 1$

49.

$3 i$

51.

53.

5 – 5i

55.

$- 2 i$

57.

$\frac{9}{2} - \frac{9}{2} i$

3.2 Ejercicios de sección

Cuando se escribe de esa forma, el vértice se identifica fácilmente.

Si los valores de $a = 0$ entonces la función se convierte en una función lineal.

Si es posible, podemos utilizar la factorización. Si no, podemos utilizar la fórmula cuadrática.

$g (x) = {(x + 1)}^{2} - 4,$ Vértice $(- 1, - 4)$

$f (x) = {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{33}{4},$ Vértice $(- \frac{5}{2}, - \frac{33}{4})$

11.

$f (x) = 3 {(x - 1)}^{2} - 12,$ Vértice $(1, - 12)$

13.

$f (x) = 3 {(x - \frac{5}{6})}^{2} - \frac{37}{12},$ Vértice $(\frac{5}{6}, - \frac{37}{12})$

15.

El mínimo es $- \frac{17}{2}$ y se produce en $\frac{5}{2} .$ El eje de simetría es $x = \frac{5}{2} .$

17.

El mínimo es $- \frac{17}{16}$ y se produce en $- \frac{1}{8} .$ El eje de simetría es $x = - \frac{1}{8} .$

19.

El mínimo es $- \frac{7}{2}$ y se produce en $- 3.$ El eje de simetría es $x = - 3,$

21.

El dominio es $(- \infty, \infty) .$ El rango es $[2, \infty) .$

23.

El dominio es $(- \infty, \infty) .$ El rango es $[- 5, \infty) .$

25.

El dominio es $(- \infty, \infty) .$ El rango es $[- 12, \infty) .$

27.

${2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}}$

29.

${3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}}$

31.

${2 + i, 2 - i}$

33.

${2 + 3 i, 2 - 3 i}$

35.

${5 + i, 5 - i}$

37.

${2 + 2 \sqrt{6}, 2 - 2 \sqrt{6}}$

39.

${- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i}$

41.

${- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i, - \frac{3}{5} - \frac{1}{5} i}$

43.

${- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{7}, - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i \sqrt{7}}$

45.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$

47.

$f (x) = x^{2} + 1$

49.

$f (x) = \frac{6}{49} x^{2} + \frac{60}{49} x + \frac{297}{49}$

51.

$f (x) = - x^{2} + 1$

53.

Vértice $(1, - 1) .$ El eje de simetría es $x = 1.$ Las intersecciones son $(0, 0), (2, 0) .$

55.

Vértice $(\frac{5}{2}, \frac{- 49}{4}) .$ El eje de simetría es $x = \frac{5}{2},$ : $(6, 0), (- 1, 0) .$

57.

Vértice $(\frac{5}{4}, - \frac{39}{8}) .$ El eje de simetría es $x = \frac{5}{4} .$ Las intersecciones son $(0, - 8) .$

59.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

61.

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 1$

63.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{7}{2}$

65.

$f (x) = x^{2} + 1$

67.

$f (x) = 2 - x^{2}$

69.

$f (x) = 2 x^{2}$

71.

El gráfico se desplaza hacia arriba o hacia abajo (desplazamiento vertical).

73.

50 pies

75.

El dominio es $(- \infty, \infty) .$ El rango es $[- 2, \infty) .$

77.

El dominio es $(- \infty, \infty)$ El rango es $(- \infty, 11] .$

79.

$f (x) = 2 x^{2} - 1$

81.

$f (x) = 3 x^{2} - 9$

83.

$f (x) = 5 x^{2} - 77$

85.

50 por 50 pies. Maximice $f (x) = - x^{2} + 100 x .$

87.

125 por 62,5 pies. Maximice $f (x) = - 2 x^{2} + 250 x .$

89.

$6$ y $- 6;$ el producto es -36; maximice $f (x) = x^{2} + 12 x .$

91.

2.909,56 metros

93.

$10,70

3.3 Ejercicios de sección

El coeficiente de la función potencia es el número real que se multiplica por la variable elevada a una potencia. El grado es la potencia más elevada que aparece en la función.

En la medida en que $x$ disminuye sin límite, también lo hace $f (x) .$ Dado que $x$ aumenta sin límite, también lo hace $f (x) .$

La función polinómica es de grado par y el coeficiente principal es negativo.

$f (x)$ es una función potencia porque contiene una base variable elevada a una potencia fija. También es un polinomio, donde todos los coeficientes, excepto uno, son iguales a cero.

Ninguna de las dos

11.

Ninguna de las dos

13.

Grado = 2, coeficiente = -2

15.

Grado =4, coeficiente = -2

17.

Dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$

19.

Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$

21.

Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$

23.

Dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to - \infty$

25.

la intersección en y es $(0, 12),$ las intersecciones en t son $(1, 0); (- 2, 0); y (3, 0) .$

27.

la intersección en y es $(0, - 16) .$ las intersecciones en x son $(2, 0)$ y $(- 2, 0) .$

29.

la intersección en y es $(0, 0) .$ las intersecciones en x son $(0, 0), (4, 0),$ y $(- 2, 0) .$

31.

33.

35.

37.

39.

Sí. El número de puntos de inflexión es 2. El menor grado posible es el 3.

41.

Sí. El número de puntos de inflexión es 1. El menor grado posible es el 2.

43.

Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1.

44.

No.

45.

Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1.

47.

$x$	$f (x)$
10	9.500
100	99.950.000
-10	9.500
–100	99.950.000

dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

49.

$x$	$f (x)$
10	–504
100	–941.094
-10	1,716
–100	1.061.106

dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to - \infty$

51.

La intersección en $y$ es $(0, 0) .$ La intersección en $x$ son $(0, 0), (2, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

53.

La intersección en $y$ es $(0, 0)$ . Las intersecciones en $x$ son $(0, 0), (5, 0), (7, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

55.

La intersección en $y$ es $(0, 0) .$ La intersección en $x$ es $(- 4, 0), (0, 0), (4, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

57.

La intersección en $y$ es $(0, - 81) .$ La intersección en $x$ son $(3, 0), (- 3, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

59.

La intersección en $y$ es $(0, 0) .$ La intersección en $x$ son $(- 3, 0), (0, 0), (5, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $f (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $f (x) \to \infty$

61.

$f (x) = x^{2} - 4$

63.

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

65.

$f (x) = x^{4} + 1$

67.

$V (m) = 8 m^{3} + 36 m^{2} + 54 m + 27$

69.

$V (x) = 4 x^{3} - 32 x^{2} + 64 x$

3.4 Ejercicios de sección

Las intersecciones en $x$ es donde el gráfico de la función cruza el eje $x$ , y el cero de la función es el valor de entrada para el que $f (x) = 0 .$

Si evaluamos la función en $a$ y en $b$ y el signo del valor de la función cambia, entonces sabemos que existe un cero entre $a$ y $b .$

Habrá un factor elevado a una potencia par.

$(- 2, 0), (3, 0), (- 5, 0)$

$(3, 0), (- 1, 0), (0, 0)$

11.

$(0, 0), (- 5, 0), (2, 0)$

13.

$(0, 0), (- 5, 0), (4, 0)$

15.

$(2, 0), (- 2, 0), (- 1, 0)$

17.

$(- 2, 0), (2, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

19.

$(1, 0), (- 1, 0)$

21.

$(0, 0), (\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

23.

$(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(- 1, 0)$ , $(2, 0)$ , $(- 2, 0)$

25.

$f (2) = - 10$ y $f (4) = 28.$ Se confirma el cambio de signo.

27.

$f (1) = 3$ y $f (3) = - 77.$ Se confirma el cambio de signo.

29.

$f (0,01) = 1,000001$ y $f (0,1) = - 7,999.$ Se confirma el cambio de signo.

31.

0 con multiplicidad 2, $- \frac{3}{2}$ con multiplicidad 5, 4 con multiplicidad 2

33.

0 con multiplicidad 2, –2 con multiplicidad 2

35.

$- \frac{2}{3}$ con multiplicidad $5, 5$ con multiplicidad $2$

37.

$0$ con multiplicidad $4, 2$ con multiplicidad $1, - 1$ con multiplicidad $1$

39.

$\frac{3}{2}$ con multiplicidad 2, 0 con multiplicidad 3

41.

$0$ con multiplicidad $6, \frac{2}{3}$ con multiplicidad $2$

43.

intersecciones en x, $(1, 0)$ con multiplicidad 2, con intersección en $(- 4, 0)$ con multiplicidad 1, intersección en $y$ $(0, 4)$ . Dado que $x \to - \infty$ , $g (x) \to - \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $g (x) \to \infty$ .

45.

intersecciones en x $(3, 0)$ con multiplicidad 3, $(2, 0)$ con multiplicidad 2, con intersección en $y$ $(0, - 108)$ . Dado que $x \to - \infty$ , $k (x) \to - \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $k (x) \to \infty .$

47.

intersecciones en x $(0, 0), (- 2, 0), (4, 0)$ con multiplicidad 1, intersección en $y$ $(0, 0) .$ Dado que $x \to - \infty$ , $n (x) \to \infty$ , dado que $x \to \infty$ , $n (x) \to - \infty .$

49.

$f (x) = - \frac{2}{9} (x - 3) (x + 1) (x + 3)$

51.

$f (x) = \frac{1}{4} {(x + 2)}^{2} (x - 3)$

53.

-4, -2, 1, 3 con multiplicidad 1

55.

-2, 3 cada uno con multiplicidad 2

57.

$f (x) = - \frac{2}{3} (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

59.

$f (x) = \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2} {(x - 1)}^{2} (x + 3)$

61.

$f (x) = −15 {(x - 1)}^{2} {(x - 3)}^{3}$

63.

$f (x) = - 2 (x + 3) (x + 2) (x - 1)$

65.

$f (x) = - \frac{3}{2} {(2 x - 1)}^{2} (x - 6) (x + 2)$

67.

máximo local $(- .58, – 0,62),$ mínimo local $(.58, –1 0,38)$

69.

mínimo global $(- .63, – 0,47)$

71.

mínimo global $(0,75, 0,89)$

73.

$f (x) = {(x - 500)}^{2} (x + 200)$

75.

$f (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 80 x$

77.

$f (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 60 x + 100$

79.

$f (x) = 9 π (x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4)$

3.5 Ejercicios de sección

El binomio es un factor del polinomio.

$x + 6 + \frac{5}{x 1}$ , cociente $x + 6$ , restante: $5$

$3 x + 2$ , cociente: $3 x + 2$ , restante: $0$

$x - 5$ , cociente $x - 5$ , restante: $0$

$2 x - 7 + \frac{16}{x + 2}$ , cociente $2 x - 7$ , restante: $16$

11.

$x - 2 + \frac{6}{3 x + 1}$ , cociente $x - 2$ , restante: $6$

13.

$2 x^{2} - 3 x + 5$ , cociente $2 x^{2} - 3 x + 5$ , restante: $0$

15.

$2 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{10}{x - 4}$

17.

$2 x^{2} - 7 x + 1 - \frac{2}{2 x + 1}$

19.

$3 x^{2} - 11 x + 34 - \frac{106}{x + 3}$

21.

$x^{2} + 5 x + 1$

23.

$4 x^{2} - 21 x + 84 - \frac{323}{x + 4}$

25.

$x^{2} - 14 x + 49$

27.

$3 x^{2} + x + \frac{2}{3 x - 1}$

29.

$x^{3} - 3 x + 1$

31.

$x^{3} - x^{2} + 2$

33.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

35.

$x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$

37.

$2 x^{3} - 2 x + 2$

39.

Sí $(x - 2) (3 x^{3} - 5)$

41.

Sí $(x - 2) (4 x^{3} + 8 x^{2} + x + 2)$

43.

45.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x + 4)$

47.

$(x - 5) (x^{2} + x + 1)$

49.

Cociente: $4 x^{2} + 8 x + 16$ , restante: $- 1$

51.

Cociente: $3 x^{2} + 3 x + 5$ , restante: $0$

53.

Cociente: $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ , restante: $- 6$

55.

$x^{6} - x^{5} + x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$

57.

$x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

59.

$1 + \frac{1 + i}{x - i}$

61.

$1 + \frac{1 - i}{x + i}$

63.

$x^{2} - i x - 1 + \frac{1 - i}{x - i}$

65.

$2 x^{2} + 3$

67.

$2 x + 3$

69.

$x + 2$

71.

$x - 3$

73.

$3 x^{2} - 2$

3.6 Ejercicios de sección

El teorema se puede utilizar para evaluar un polinomio.

Los ceros racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los ceros reales incluyen números irracionales.

Las funciones polinómicas pueden tener ceros repetidos, por lo que el hecho de que un número sea un cero no excluye que vuelva a serlo.

$- 106$

$0$

11.

$255$

13.

$- 1$

15.

$- 2, 1, \frac{1}{2}$

17.

$- 2$

19.

$- 3$

21.

$- \frac{5}{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

23.

$2, - 4, - \frac{3}{2}$

25.

$4, - 4, - 5$

27.

$5, - 3, - \frac{1}{2}$

29.

$\frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

31.

$\frac{3}{2}$

33.

$2, 3, - 1, - 2$

35.

$\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 3$

37.

$- 1, - 1, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

39.

$- \frac{3}{4}, - \frac{1}{2}$

41.

$2, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

43.

$- \frac{2}{3}, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

45.

$- \frac{1}{2}, 1 + 4 i, 1 - 4 i$

47.

1 positivo, 1 negativo

49.

3 o 1 positivo, 0 negativo

51.

0 positivo, 3 o 1 negativo

53.

2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo

55.

2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo

57.

$\pm 5, \pm1, 1, \pm \frac{5}{2}$

59.

$\pm 1, \pm1, \frac{1}{2}, \pm1, \frac{1}{3}, \pm1, \frac{1}{6}$

61.

$1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}$

63.

$2, \frac{1}{4}, - \frac{3}{2}$

65.

$\frac{5}{4}$

67.

$f (x) = \frac{4}{9} (x^{3} + x^{2} - x - 1)$

69.

$f (x) = - \frac{1}{5} (4 x^{3} - x)$

71.

8 por 4 por 6 pulgadas

73.

5,5 por 4,5 por 3,5 pulgadas

75.

8 por 5 por 3 pulgadas

77.

Radio = 6 metros, altura = 2 metros

79.

Radio = 2,5 metros, altura = 4,5 metros

3.7 Ejercicios de sección

La función racional se representa por un cociente de funciones polinómicas.

El numerador y el denominador deberán tener un factor común.

Sí. El numerador de la fórmula de las funciones solo tendría raíces complejas o factores comunes al numerador y al denominador.

$Todos los reales x \neq - 1, 1$

$Todos los reales x \neq - 1, - 2, 1, 2$

11.

A.V. en $x = - \frac{2}{5};$ A.H. en $y = 0 .$ El dominio son todos los reales $x \neq - \frac{2}{5}$

13.

A.V. en $x = 4, - 9;$ A.H. en $y = 0 .$ El dominio son todos los reales $x \neq 4, - 9$

15.

A.V. en $x = 0, 4, - 4;$ A.H. en $y = 0 .$ El dominio son todos los reales $x \neq 0, 4, - 4$

17.

A.V. en $x = 5;$ A.H. en $y = 0 .$ El dominio son todos los reales $x \neq 5, - 5$

19.

A.V. en $x = \frac{1}{3};$ A.H. en $y = - \frac{2}{3} .$ El dominio son todos los reales $x \neq \frac{1}{3} .$

21.

ninguno

23.

$x no interseca ninguno, y interseca (0, \frac{1}{4})$

25.

Comportamiento local: $x \to - {\frac{1}{2}}^{+}, f (x) \to - \infty, x \to - {\frac{1}{2}}^{-}, f (x) \to \infty$

Comportamiento final: $x \to \pm \infty, f (x) \to \frac{1}{2}$

27.

Comportamiento local: $x \to 6^{+}, f (x) \to - \infty, x \to 6^{-}, f (x) \to \infty,$ Comportamiento final: $x \to \pm \infty, f (x) \to - 2$

29.

Comportamiento local: $x \to {\frac{1}{3}}^{+}, f (x) \to \infty, x \to {\frac{1}{3}}^{-},$ $f (x) \to - \infty, x \to - {\frac{5}{2}}^{-}, f (x) \to \infty, x \to - {\frac{5}{2}}^{+}$ , $f (x) \to - \infty$

Comportamiento final: $x \to \pm \infty,$ $f (x) \to \frac{1}{3}$

31.

$y = 2 x + 4$

33.

$y = 2 x$

35.

$V . A . x = 0, H . A . y = 2$

37.

$V . A . x = 2, H . A . y = 0$

39.

$V . A . x = - 4, H . A . y = 2; (\frac{3}{2}, 0); (0, - \frac{3}{4})$

Gráfico de p(x)=(2x-3)/(x+4) con su asíntota vertical en x=-4 y horizontal en y=2.

41.

$V . A . x = 2, H . A . y = 0, (0, 1)$

Gráfico de s(x)=4/(x-2)^2 con su asíntota vertical en x=2 y horizontal en y=0.

43.

$V . A . x = - 4, x = \frac{4}{3}, H . A . y = 1; (5, 0); (- \frac{1}{3}, 0); (0, \frac{5}{16})$

Gráfico de f(x)=(3x^2-14x-5)/(3x^2+8x-16) con sus asíntotas verticales en x=-4 y x=4/3 y horizontal en y=1.

45.

$V . A . x = - 1, H . A . y = 1; (- 3, 0); (0, 3)$ ; discontinuidad removible (agujero) en $(1, 2)$

Gráfico de a(x)=(x^2+2x-3)/(x^2-1) con su asíntota vertical en x=-1 y horizontal en y=1.

47.

$V . A . x = 4, S . A . y = 2 x + 9; (- 1, 0); (\frac{1}{2}, 0); (0, \frac{1}{4})$

Gráfico de h(x)=(2x^2+x-1)/(x-1) con su asíntota vertical en x=4 y asíntota oblicua en y=2x+9.

49.

$V . A . x = - 2, x = 4, H . A . y = 1, (1, 0); (5, 0); (- 3, 0); (0, - \frac{15}{16})$

Gráfico de w(x)=(x-1)(x+3)(x-5)/(x+2)^2(x-4) con sus asíntotas verticales en x=-2 y x=4 y horizontal en y=1.

51.

$y = 50 \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 25}$

53.

$y = 7 \frac{x^{2} + 2 x - 24}{x^{2} + 9 x + 20}$

55.

$y = \frac{1}{2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1}$

57.

$y = 4 \frac{x - 3}{x^{2} - x - 12}$

59.

27(x - 2) / ((x - 3)² (x + 3)) $y = 27 \frac{x - 2}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

61.

$y = \frac{1}{3} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 1}$

63.

$y = - 6 \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x + 3) {(x - 2)}^{2}}$

65.

$x$	2,01	2,001	2,0001	1,99	1,999
$y$	100	1.000	10.000	–100	–1.000

$x$	10	100	1.000	10.000	100.000
$y$	0,125	0,0102	0,001	0,0001	0,00001

Asíntota vertical $x = 2,$ asíntota horizontal $y = 0$

67.

$x$	–4,1	–4,01	–4,001	–3,99	–3,999
$y$	82	802	8.002	–798	–7.998

$x$	10	100	1.000	10.000	100.000
$y$	1,4286	1,9331	1,992	1,9992	1,999992

Asíntota vertical $x = - 4,$ asíntota horizontal $y = 2$

69.

$x$	–0,9	–0,99	–0,999	–1,1	–1,01
$y$	81	9.801	998.001	121	10.201

$x$	10	100	1.000	10.000	100.000
$y$	0,82645	0,9803	0,998	0,9998

Asíntota vertical $x = - 1,$ asíntota horizontal $y = 1$

71.

$(\frac{3}{2}, \infty)$

73.

$(- 2, 1) \cup (4, \infty)$

75.

$(2, 4)$

77.

$(2, 5)$

79.

$(- 1, 1)$

81.

$C (t) = \frac{8 + 2 t}{300 + 20 t}$

83.

Después de unas 6,12 horas.

85.

$A (x) = 50 x^{2} + \frac{800}{x} .$ 2 por 2 por 5 pies.

87.

$A (x) = π x^{2} + \frac{100}{x} .$ Radio = 2,52 metros.

3.8 Ejercicios de sección

Puede ser muy difícil o imposible de resolver para $x$ en términos de $y .$

Necesitaremos una restricción en el dominio de la respuesta.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x} + 4$

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 3} - 1$

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

11.

$f (x) = \sqrt{9 - x}$

13.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 5}$

15.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 - x}$

17.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2} - 1}{2}, [0, \infty)$

19.

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} + 4}{4}, [9, \infty)$

21.

$f^{- 1} (x) = {(\frac{x - 9}{2})}^{3}$

23.

$f^{- 1} (x) = {\frac{2 - 8 x}{x}}^{}$

25.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x - 3}{1 - x}$

27.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{4 x + 3}$

29.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 1} - 1$

31.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 6} + 3$

33.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{4 - x}$

Gráfico de f(x)=4- x^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(4-x).

35.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x} + 4$

Gráfico de f(x)= (x-4)^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(x)+4.

37.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{1 - x}$

Gráfico de f(x)= 1-x^3 y su inversa, f^(-1)(x)= (1-x)^(1/3).

39.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 8} + 3$

Gráfico de f(x)= x^2-6x+1 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(x+8)+3.

41.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$

Gráfico de f(x)= 1/x^2 y su inversa, f^(-1)(x)= cuadrado(1/x).

43.

$[- 2, 1) \cup [3, \infty)$

Gráfico de f(x)= cuadrado((x+2)(x-3)/(x-1)).

45.

$[- 4, 2) \cup [5, \infty)$

Gráfico de f(x)= cuadrado((x^2-x-20)/(x-2)).

47.

$(- 2, 0); (4, 2); (22, 3)$

49.

$(- 4, 0); (0, 1); (10, 2)$

51.

$(- 3, - 1); (1, 0); (7, 1)$

53.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + \frac{b^{2}}{4}} - \frac{b}{2}$

55.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3} - b}{a}$

57.

$t (h) = \sqrt{\frac{200 - h}{4,9}},$ 5,53 segundos

59.

$r (V) = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}},$ 3,63 pies

61.

$n (C) = \frac{100 C - 25}{0,6 - C},$ 250 mL

63.

$r (V) = \sqrt{\frac{V}{6 π}},$ 3,99 metros

65.

$r (V) = \sqrt{\frac{V}{4 π}},$ 1,99 pulgadas

3.9 Ejercicios de sección

El gráfico tendrá la apariencia de una función potencia.

No. Múltiples variables pueden variar conjuntamente.

$y = 5 x^{2}$

$y = \frac{1}{1.944} x^{3}$

$y = 6 x^{4}$

11.

$y = \frac{18}{x^{2}}$

13.

$y = \frac{81}{x^{4}}$

15.

$y = \frac{20}{\sqrt[3]{x}}$

17.

$y = 10 x c w$

19.

$y = 10 x \sqrt{z}$

21.

$y = 4 \frac{x c}{w}$

23.

$y = 40 \frac{x c}{\sqrt{w} t^{2}}$

25.

$y = 256$

27.

$y = 6$

29.

$y = 6$

31.

$y = 27$

33.

$y = 3$

35.

$y = 18$

37.

$y = 90$

39.

$y = \frac{81}{2}$

41.

$y = \frac{3}{4} x^{2}$

43.

$y = \frac{1}{3} \sqrt{x}$

45.

$y = \frac{4}{x^{2}}$

47.

≈ 1,89 años

49.

≈ 0,61 años

51.

3 segundos

53.

48 pulgadas

55.

≈ 49,75 libras

57.

≈ 33,33 amperios

59.

≈ 2,88 pulgadas

Ejercicios de repaso

$2 - 2 i$

$24 + 3 i$

${2 + i, 2 - i}$

$f (x) = {(x - 2)}^{2} - 9 vértice (2, -9), intersecciones (5, 0); (-1, 0); (0, –5)$

$f (x) = \frac{3}{25} {(x + 2)}^{2} + 3$

11.

300 por 150 metros, el lado más largo paralelo al río.

13.

Sí, grado = 5, coeficiente principal = 4

15.

Sí, grado = 4, coeficiente principal = 1

17.

$Dado que x \to - \infty, f (x) \to - \infty, dado que x \to \infty, f (x) \to \infty$

19.

$- 3 con multiplicidad 2, - \frac{1}{2}$ con multiplicidad $1, - 1 con multiplicidad 3$

21.

4 con multiplicidad 1

23.

$\frac{1}{2}$ con multiplicidad 1, 3 con multiplicidad 3

25.

$x^{2} + 4$ con restante 12

27.

$x^{2} - 5 x + 20 - \frac{61}{x + 3}$

29.

$2 x^{2} - 2 x - 3$ , por lo que la forma factorizada es $(x + 4) (2 x^{2} - 2 x - 3)$

31.

${- 2, 4, - \frac{1}{2}}$

33.

${1, 3, 4, \frac{1}{2}}$

35.

0 o 2 positivas, 1 negativa

37.

Intersecciones $(-2, 0) y (0, - \frac{2}{5})$ , Asíntotas $x = 5$ y $y = 1.$

39.

Intersecciones (3, 0), (-3, 0) y $(0, \frac{27}{2})$ , Asíntotas $x = 1, x = - 2, y = 3.$

41.

$y = x - 2$

43.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x} + 2$

45.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 11} - 3$

47.

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x + 3)}^{2} - 5}{4}, x \geq - 3$

49.

$y = 64$

51.

$y = 72$

53.

148,5 libras

Examen de práctica

$20 - 10 i$

${2 + 3 i, 2 - 3 i}$

$A s x \to - \infty, f (x) \to - \infty, a s x \to \infty, f (x) \to \infty$

$f (x) = {(x + 1)}^{2} - 9$ , vértice $(–1, –9)$ , intersecciones $(2, 0); (-4, 0); (0, −8)$

60.000 pies cuadrados

11.

0 con multiplicidad 4, 3 con multiplicidad 2

13.

$2 x^{2} - 4 x + 11 - \frac{26}{x + 2}$

15.

$2 x^{2} - x - 4$ . Así que la forma factorizada es $(x + 3) (2 x^{2} - x - 4)$

17.

$- \frac{1}{2}$ (tiene multiplicidad 2), $\frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2}$

19.

$- 2$ (tiene multiplicidad 3), $\pm i$

21.

$f (x) = 2 {(2 x - 1)}^{3} (x + 3)$

23.

Intersecciones $(- 4, 0), (0, - \frac{4}{3})$ , Asíntotas $x = 3, x = −1, y = 0$

25.

$y = x + 4$

27.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{\frac{x + 4}{3}}$

29.

$y = 18$

31.

4 segundos