Probabilidad - Precálculo

11.7 Probabilidad

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Construir modelos de probabilidades.
Calcular las probabilidades de resultados igualmente probables.
Calcular las probabilidades de la unión de dos eventos.
Utilizar la regla del complemento para encontrar probabilidades.
Calcular la probabilidad utilizando la teoría del conteo.

Mapa de espaguetis de las posibles trayectorias de un huracán sobre el sureste de Estados Unidos

Figura 1 Un ejemplo de "modelo de espagueti", el cual se puede usar para predecir las posibles trayectorias de una tormenta tropical.1

Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la Figura 1. Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones.

Construir modelos de probabilidades

Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento, o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados, de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es ${1, 2, 3, 4, 5, 6} .$ Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.

La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad. La probabilidad de un evento $p$ es un número que siempre satisface $0 \leq p \leq 1,$ donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la Tabla 1.

Resultado	Probabilidad
Ganar la rifa	1 %
Perder la rifa	99 %

Tabla 1

La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %.

Cómo

Dado un evento de probabilidad en el que cada evento es igualmente posible, construya un modelo de probabilidades.

Identifique cada resultado.
Determine el número total de resultados posibles.
Compare cada resultado con el número total de resultados posibles.

Ejemplo 1

Construir un modelo de probabilidades

Construya un modelo de probabilidades para lanzar un único dado imparcial, siendo el evento el número que aparece en el dado.

Solución

Comience haciendo una lista de todos los posibles resultados del experimento. Los posibles resultados son los números que se pueden lanzar: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Hay seis resultados posibles que conforman el espacio muestral.

Asigne probabilidades a cada resultado en el espacio muestral determinando una relación entre el resultado y el número de resultados posibles. Hay uno de cada uno de los seis números en el cubo, y no hay ninguna razón para pensar que una cara en particular tenga más probabilidades de aparecer que cualquier otra, por lo que la probabilidad de lanzar cualquier número es $\frac{1}{6} .$

Resultado	Lanzamiento del 1	Lanzamiento del 2	Lanzamiento del 3	Lanzamiento del 4	Lanzamiento del 5	Lanzamiento del 6
Probabilidad	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Tabla 2

Preguntas y respuestas

¿Hay que expresar siempre las probabilidades en forma de fracciones?

No. Las probabilidades se pueden expresar como fracciones, decimales o porcentajes. La probabilidad debe ser siempre un número entre 0 y 1, incluso 0 y 1.

Inténtelo #1

Construya un modelo de probabilidades para lanzar una moneda justa.

Calcular probabilidades de resultados igualmente probables

Supongamos que $S$ es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de $S .$ Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en $S .$ Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en $S,$ por lo que la probabilidad del evento es $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} .$

Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables

La probabilidad de un evento $E$ en un experimento con espacio muestral $S$ con resultados igualmente probables está dada por

P (E) = \frac{número de elementos en E}{número de elementos en S} = \frac{n (E)}{n (S)}

$E$ es un subconjunto de $S,$ por lo que siempre es cierto que $0 \leq P (E) \leq 1.$

Ejemplo 2

Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables

Se lanza un cubo numérico de seis caras. Calcule la probabilidad de lanzar un número impar.

Solución

El evento "lanzar un número impar" contiene tres resultados. Hay 6 resultados igualmente probables en el espacio muestral. Divida para calcular la probabilidad del evento.

P (E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Inténtelo #2

Se lanza un cubo numérico. Calcule la probabilidad de lanzar un número mayor que 2.

Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos

A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos $E y F, escrita como E \cup F,$ es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos.

P (E \cup F) = P (E) + P (F) - P (E \cap F)

Supongamos que se hace girar la ruleta de la Figura 2. Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a $b .$

Un gráfico circular con seis piezas con dos a de color anaranjado, una b de color anaranjado y otra b de color rojo, una d de color azul y una c de color verde.

Figura 2

Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$ Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una $b .$ Así que la probabilidad de girar a $b$ es $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$ Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y $b$ dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a $b,$ tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y $b .$

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

La probabilidad de girar a anaranjado o a $b$ es $\frac{2}{3} .$

Probabilidad de la unión de dos eventos

La probabilidad de la unión de dos eventos $E$ y $F$ (escrita como $E \cup F$ ) es igual a la suma de la probabilidad de $E$ y la probabilidad de $F$ menos la probabilidad de que $E$ y $F$ ocurran juntos $($ lo cual se llama la intersección de $E$ y $F$ y se escribe como $E \cap F$ ).

P (E \cup F) = P (E) + P (F) - P (E \cap F)

Ejemplo 3

Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos

Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o un 7.

Solución

Una baraja estándar contiene el mismo número de corazones, diamantes, tréboles y picas. Así que la probabilidad de sacar un corazón es $\frac{1}{4} .$ Hay cuatro 7 en una baraja estándar, y hay un total de 52 cartas. Así que la probabilidad de sacar un 7 es $\frac{1}{13} .$

La única carta de la baraja que es a la vez un corazón y un 7 es el 7 de corazones, por lo que la probabilidad de sacar tanto un corazón como un 7 es $\frac{1}{52} .$ Sustituya $P (H) = \frac{1}{4}, P (7) = \frac{1}{13}, y P (H \cap 7) = \frac{1}{52}$ en la fórmula.

\begin{array}{l} P (E \cup^{​} F) = P (E) + P (F) - P (E \cap^{​} F) \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} \\ = \frac{4}{13} \end{array}

La probabilidad de sacar un corazón o un 7 es $\frac{4}{13} .$

Inténtelo #3

Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar una carta roja o un as.

Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la Figura 2, pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a $d .$ No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una $d,$ por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es

P (E \cup F) = P (E) + P (F)

Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de $E$ y $F$ es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ y la probabilidad de girar a $d$ es $\frac{1}{6} .$ Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a $d$ simplemente al sumar las dos probabilidades.

\begin{array}{l} P (E \cup^{​} F) = P (E) + P (F) \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\ = \frac{2}{3} \end{array}

La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a $d$ es $\frac{2}{3} .$

Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes

La probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes $E y F$ viene dada por

P (E \cup F) = P (E) + P (F)

Cómo

Dado un conjunto de eventos, calcule la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes.

Determine el número total de resultados del primer evento.
Calcule la probabilidad del primer evento.
Determine el número total de resultados del segundo evento.
Calcule la probabilidad del segundo evento.
Sume las probabilidades.

Ejemplo 4

Calcular la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes

Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o una pica.

Solución

Los eventos "sacar un corazón" y "sacar una pica" son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. La probabilidad de sacar un corazón es $\frac{1}{4},$ y la probabilidad de sacar una pica también es $\frac{1}{4},$ por lo que la probabilidad de sacar un corazón o una pica es

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Inténtelo #4

Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un as o un rey.

Usar la regla del complemento para calcular probabilidades

Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento $E,$ denotado $E^{'},$ es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en $E .$ Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento $W$ es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento $W$ es que el caballo pierda la carrera.

Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1.

P (E^{'}) = 1 - P (E)

La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es $\frac{1}{9},$ la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente

1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

La regla del complemento

La probabilidad de que se produzca el complemento de un evento está dada por

P (E^{'}) = 1 - P (E)

Ejemplo 5

Usar la regla del complemento para calcular probabilidades

Se lanzan dos cubos numéricos de seis caras.

Ⓐ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea menor que o igual a 3.
Ⓑ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3.

Solución

El primer paso es identificar el espacio muestral, que consiste en todos los resultados posibles. Hay dos cubos numéricos, y cada cubo numérico tiene seis resultados posibles. Utilizando el principio de multiplicación, hallamos que hay $6 \times 6,$ o $36$ resultados posibles totales. Así, por ejemplo, el 1-1 representa un 1 sacado en cada cubo numérico.

$1-1$	$1-2$	$1-3$	$1-4$	$1-5$	$1-6$
$2-1$	$2-2$	$2-3$	$2-4$	$2-5$	$2-6$
$3-1$	$3-2$	$3-3$	$3-4$	$3-5$	$3-6$
$4-1$	$4-2$	$4-3$	$4-4$	$4-5$	$4-6$
$5-1$	$5-2$	$5-3$	$5-4$	$5-5$	$5-6$
$6-1$	$6-2$	$6-3$	$6-4$	$6-5$	$6-6$

Tabla 3

Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de lanzar una suma de 3 o menos. Esto incluiría los siguientes resultados: 1-1, 1-2 y 2-1. Así que solo hay tres maneras de sacar una suma de 3 o menos. La probabilidad es
$\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Ⓑ En vez de enumerar todas las posibilidades, podemos utilizar la regla del complemento. Como ya hemos calculado la probabilidad del complemento de este evento, podemos simplemente restar esa probabilidad de 1 para calcular la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3.
$\begin{array}{l} P (E^{'}) = 1 - P (E) \\ = 1 - \frac{1}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{array}$

Inténtelo #5

Se lanzan dos cubos numéricos. Utilice la regla del complemento para calcular la probabilidad de que la suma sea menor que 10.

Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo

Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños.

Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay $C (5, 2)$ maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay $C (8, 2)$ maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es:

\begin{array}{l} \frac{maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos}{maneras de seleccionar 2 teléfonos} = \frac{C (5, 2)}{C (8, 2)} \\ = \frac{10}{28} \\ = \frac{5}{14} \end{array}

Ejemplo 6

Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo

Un niño selecciona al azar 5 juguetes de una caja que contiene 3 conejos, 5 perros y 6 osos.

Ⓐ Calcule la probabilidad de que solo se elijan osos.
Ⓑ Calcule la probabilidad de que se elijan 2 osos y 3 perros.
Ⓒ Calcule la probabilidad de que, al menos, se elijan 2 perros.

Solución

Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de elegir solo osos y el número total de maneras posibles de seleccionar 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay $C (6, 5)$ maneras de elegir 5 osos. Hay 14 juguetes, por lo que hay $C (14, 5)$ maneras de elegir 5 juguetes cualesquiera.
$\frac{C (6, 5)}{C (14, 5)} = \frac{6}{2.002} = \frac{3}{1.001}$
Ⓑ Tenemos que contar el número de maneras de elegir 2 osos y 3 perros y el número total de maneras posibles de elegir 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay $C (6, 2)$ maneras de elegir 2 osos. Hay 5 perros, así que hay $C (5, 3)$ maneras de elegir 3 perros. Como estamos eligiendo tanto osos como perros al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay $C (6, 2) \cdot C (5, 3)$ maneras de elegir 2 osos y 3 perros. Podemos utilizar este resultado para calcular la probabilidad.
$\frac{C (6, 2) C (5, 3)}{C (14, 5)} = \frac{15 \cdot 10}{2.002} = \frac{75}{1.001}$
Ⓒ A menudo es más fácil resolver los problemas de "al menos" utilizando la regla del complemento. Empezaremos por calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros. Si se eligen menos de 2 perros, entonces o bien no se puede elegir ningún perro, o bien se puede elegir 1 perro.
Cuando no se eligen perros, los 5 juguetes provienen de los 9 juguetes que no son perros. Hay $C (9, 5)$ maneras de elegir juguetes de los 9 juguetes que no son perros. Dado que hay 14 juguetes, hay $C (14, 5)$ maneras de elegir los 5 juguetes de entre todos los juguetes.

$\frac{C (9, 5)}{C (14, 5)} = \frac{63}{1.001}$

Si se elige 1 perro, entonces 4 juguetes deben proceder de los 9 juguetes que no son perros, y 1 debe proceder de los 5 perros. Como estamos eligiendo tanto perros como otros juguetes al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay $C (5, 1) \cdot C (9, 4)$ maneras de elegir 1 perro y 1 otro juguete.
$\frac{C (5, 1) C (9, 4)}{C (14, 5)} = \frac{5 \cdot 126}{2.002} = \frac{315}{1.001}$
Dado que estos sucesos no ocurrirían juntos y, por tanto, son mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades para calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros.

$\frac{63}{1.001} + \frac{315}{1.001} = \frac{378}{1.001}$
A continuación, restamos esa probabilidad de 1 para hallar la probabilidad de que se elijan, al menos, 2 perros.

$1 - \frac{378}{1.001} = \frac{623}{1.001}$

Inténtelo #6

Un niño selecciona al azar 3 bolas de chicle de un recipiente que contiene 4 bolas de chicle moradas, 8 amarillas y 2 verdes.

Ⓐ Calcule la probabilidad de que las 3 bolas de chicle seleccionadas sean moradas.
Ⓑ Calcule la probabilidad de que no se seleccione ninguna bola de chicle amarilla.
Ⓒ Calcule la probabilidad de que se seleccione, al menos, 1 bola de chicle amarilla.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la probabilidad.

11.7 Ejercicios de sección

Verbales

¿Qué término se utiliza para expresar la posibilidad de que se produzca un evento? ¿Hay restricciones en sus valores? Si es así, ¿cuáles son? Si no es así, explique.

¿Qué es un espacio muestral?

¿Qué es un experimento?

¿Cuál es la diferencia entre eventos y resultados? Dé un ejemplo de ambos utilizando el espacio muestral de lanzar una moneda 50 veces.

La unión de dos conjuntos se define como un conjunto de elementos que están presentes en, al menos, uno de los conjuntos. ¿En qué se parece esto a la definición utilizada para la unión de dos eventos de un modelo de probabilidades? ¿En qué se diferencia?

Numéricos

En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la Figura 3 para calcular las probabilidades indicadas.

Un gráfico circular con ocho piezas con una A de color azul, una B de color morado, una C de color anaranjado, una D de color azul, una E de color rojo, una F de color verde, una I de color verde y una O de color amarillo.

Figura 3

Cae en rojo

Cae en una vocal

No cae en azul

Cae en morado o en una vocal

10.

Cae en azul o en una vocal

11.

Cae en verde o en azul

12.

Cae en amarillo o en una consonante

13.

No cae en amarillo ni en una consonante

En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas.

14.

¿Cuál es el espacio muestral?

15.

Calcule la probabilidad de lanzar dos caras.

16.

Calcule la probabilidad de lanzar exactamente una cruz.

17.

Calcule la probabilidad de lanzar, al menos, una cruz.

En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas.

18.

¿Cuál es el espacio muestral?

19.

Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras.

20.

Calcule la probabilidad de lanzar exactamente tres caras.

21.

Calcule la probabilidad de lanzar cuatro caras o cuatro cruces.

22.

Calcule la probabilidad de lanzar todas cruces.

23.

Calcule la probabilidad de lanzar no todas cruces.

24.

Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras o, al menos, dos cruces.

25.

Calcule la probabilidad de lanzar dos caras o tres caras.

En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de $52$ cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente:

26.

Un trébol

27.

Un dos

28.

Seis o siete

29.

Seis rojo

30.

Un as o un diamante

31.

Una carta que no sea as

32.

Un corazón o una carta que no sea jota

En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados.

33.

Construya una tabla que muestre el espacio muestral de los resultados y las sumas.

34.

Calcule la probabilidad de sacar una suma de $3.$

35.

Calcule la probabilidad de sacar, al menos, un cuatro o una suma de $8.$

36.

Calcule la probabilidad de sacar una suma impar menor que $9.$

37.

Calcule la probabilidad de sacar una suma mayor que o igual a $15.$

38.

Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que $15.$

39.

Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que $6$ o mayor que $9.$

40.

Calcule la probabilidad de sacar una suma entre $6$ y $9,$ , inclusive.

41.

Calcule la probabilidad de sacar una suma de $5$ ni $6.$

42.

Calcule la probabilidad de sacar cualquier suma que no sea $5$ ni $6.$

En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente:

43.

Una cara en la moneda o un trébol

44.

Una cruz en la moneda o un as rojo

45.

Una cara en la moneda o una carta con cara

46.

No hay ases

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene $12$ azules, $6$ marrones, $10$ anaranjados, $8$ amarillos, $8$ rojos y $4$ M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M.

47.

¿Cuál es la probabilidad de obtener todos los M&M azules?

48.

¿Cuál es la probabilidad de obtener $4$ M&M azules?

49.

¿Cuál es la probabilidad de obtener $3$ M&M azules?

50.

¿Cuál es la probabilidad de no obtener M&M marrones?

Extensiones

Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de $20$ números de los números del $1$ al $80.$ Después de que el jugador haga sus selecciones, $20$ números ganadores se seleccionan al azar entre los números del $1$ al $80.$ Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente $3, 4,$ o $5$ de los $20$ números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana).

51.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 3 números ganadores?

52.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 4 números ganadores?

53.

¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione los 5 números ganadores?

54.

¿Cuál es el porcentaje de posibilidades de ganar?

55.

¿Qué tan menor es la probabilidad de que un jugador seleccione 3 números ganadores comparada a la probabilidad de que seleccione 4 o 5 números ganadores?

Aplicaciones en el mundo real

Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años).2

56.

Si conoce a un ciudadano estadounidense, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que esa persona sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana).

57.

Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente uno sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana).

58.

Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que tres sean de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana).

59.

Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que cuatro sean de edad avanzada? (Redondee a la milésima de porcentaje más cercana).

60.

Se prevé que en 2030 uno de cada cinco ciudadanos estadounidenses será de edad avanzada. ¿Cuántas más posibilidades habrá de conocer a una persona de edad avanzada en ese momento? ¿Qué cambios políticos prevé si se cumplen estas estadísticas?