Ejercicios de repaso

La elipse

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{100} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{36} = 1$

$9 x^{2} + y^{2} + 54 x - 4 y + 76 = 0$

$9 x^{2} + 36 y^{2} - 36 x + 72 y + 36 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos.

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{49} = 1$

$4 x^{2} + y^{2} + 16 x + 4 y - 44 = 0$

$2 x^{2} + 3 y^{2} - 20 x + 12 y + 38 = 0$

En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse.

Centro en $(0, 0),$ foco en $(3, 0),$ vértice en $(−5, 0)$

10.

Centro en $(2, –2),$ vértice en $(7, –2),$ foco en $(4, –2)$

11.

Se construirá una galería de susurros de forma que los focos se sitúen a 35 pies del centro. Si la longitud de la galería es de 100 pies, ¿cuál debe ser la altura del techo?

La hipérbola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos.

12.

$\frac{x^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

13.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{36} = 1$

14.

$9 y^{2} - 4 x^{2} + 54 y - 16 x + 29 = 0$

15.

$3 x^{2} - y^{2} - 12 x - 6 y - 9 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos.

16.

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

17.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

18.

$x^{2} - 4 y^{2} + 6 x + 32 y - 91 = 0$

19.

$2 y^{2} - x^{2} - 12 y - 6 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola.

20.

Centro en $(0, 0),$ vértice en $(0, 4),$ foco en $(0, –6)$

21.

Focos en $(3, 7)$ y $(7, 7),$ vértice en $(6, 7)$

La parábola

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz.

22.

$y^{2} = 12 x$

23.

${(x + 2)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1)$

24.

$y^{2} - 6 y - 6 x - 3 = 0$

25.

$x^{2} + 10 x - y + 23 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz.

26.

$x^{2} + 4 y = 0$

27.

${(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2} (x + 3)$

28.

$x^{2} - 8 x - 10 y + 46 = 0$

29.

$2 y^{2} + 12 y + 6 x + 15 = 0$

En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada.

30.

Foco en $(-4, 0);$ la directriz es $x = 4$

31.

Foco en $(2, \frac{9}{8});$ la directriz es $y = \frac{7}{8}$

32.

Una antena receptora de televisión por cable tiene la forma de un paraboloide de revolución. Halle la ubicación del receptor, que se coloca en el foco, si la antena parabólica tiene 5 pies de diámetro en su apertura y 1,5 pies de profundidad.

Rotación de ejes

En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada.

33.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} + 24 x - 60 y - 60 = 0$

34.

$4 x^{2} + 14 x y + 5 y^{2} + 18 x - 6 y + 30 = 0$

35.

$4 x^{2} + x y + 2 y^{2} + 8 x - 26 y + 9 = 0$

En los siguientes ejercicios, determine el ángulo $θ$ que eliminará el término $x y$ , y escriba la ecuación correspondiente sin el término $x y$ .

36.

$x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} - 6 = 0$

37.

$x^{2} - x y + y^{2} - 6 = 0$

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema $x^{'} y^{'}$ en el que la ecuación no tiene el término $x^{'} y^{'}$ .

38.

$9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} - 80 x - 60 y + 100 = 0$

39.

$x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0$

40.

$6 x^{2} + 24 x y - y^{2} - 12 x + 26 y + 11 = 0$

Secciones cónicas en coordenadas polares

En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz.

41.

$r = \frac{10}{1 - 5 \cos θ}$

42.

$r = \frac{6}{3 + 2 \cos θ}$

43.

$r = \frac{1}{4 + 3 sen θ}$

44.

$r = \frac{3}{5 - 5 sen θ}$

En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.

45.

$r = \frac{3}{1 - sen θ}$

46.

$r = \frac{8}{4 + 3 sen θ}$

47.

$r = \frac{10}{4 + 5 \cos θ}$

48.

$r = \frac{9}{3 - 6 \cos θ}$

En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar.

49.

La directriz es $x = 3$ y excentricidad $e = 1$

50.

La directriz es $y = −2$ y excentricidad $e = 4$