Resolver sistemas con inversas

9.7 Resolver sistemas con inversas

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Hallar la inversa de una matriz.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante una matriz inversa.

Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del $10 %$ , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del $6 %$ . Para recibir un rendimiento del $8,5 %$ de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema?

Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz.

Hallar la inversa de una matriz

Sabemos que el multiplicador inverso de un número real $a$ es $a^{−1},$ y $a a^{−1} = a^{−1} a = (\frac{1}{a}) a = 1.$ Por ejemplo, $2^{−1} = \frac{1}{2}$ y $(\frac{1}{2}) 2 = 1.$ El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz $A$ y su inversa $A^{−1}$ es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante $I_{n}$ donde $n$ representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones.

I_{2} = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

I_{3} = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo, $A I = I A = A .$

Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades

\begin{array}{l} A A^{−1} = I \\ A^{−1} A = I \end{array}

Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible. Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad, $A A^{−1} = A^{−1} A = I,$ es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si $A$ es invertible, entonces $A^{−1}$ es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz $2 \times 2$ y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices $2 \times 2$ y $3 \times 3$ .

La matriz identidad y el multiplicador inverso

La matriz identidad, $I_{n},$ es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} I_{2} = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \begin{matrix}  \end{matrix} I_{3} = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array} \\ 2 \times 2 3 \times 3 \end{array} \end{array}

Si $A$ es una matriz $n \times n$ y $B$ es una matriz $n \times n$ , tal que $A B = B A = I_{n},$ entonces $B = A^{−1},$ el multiplicador inverso de una matriz $A .$

Ejemplo 1

Demostrar que la matriz identidad actúa como un 1

Dada la matriz A, demuestre que $A I = I A = A .$

A = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{matrix}]

Solución

Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que el producto de $A$ y la identidad es igual al producto de la identidad y A.

A I = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ −2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & −2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

I A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (−2) & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (−2) & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

Cómo

Dadas dos matrices, demuestre que una es el multiplicador inverso de la otra.

Matriz dada $A$ de orden $n \times n$ y la matriz $B$ de orden $n \times n$ multiplique $A B .$
Si $A B = I,$ entonces halle el producto $B A .$ Si $B A = I,$ entonces $B = A^{−1}$ y $A = B^{−1} .$

Ejemplo 2

Demostrar que la matriz A es el multiplicador inverso de la matriz B

Demuestre que las matrices dadas son multiplicadores inversos entre sí.

A = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}]

Solución

Multiplique $A B$ y $B A .$ Si ambos productos son iguales a la identidad, entonces las dos matrices son inversas entre sí.

\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 (−9) + 5 (2) & 1 (−5) + 5 (1) \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 (1) −5 (−2) & −9 (5) −5 (−9) \\ 2 (1) + 1 (−2) & 2 (5) + 1 (−9) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

$A$ y $B$ son inversas entre sí.

Inténtelo #1

Demuestre que las dos matrices siguientes son inversas entre sí.

A = [\begin{array}{r} 1 & 4 \\ −1 & −3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −3 & -4 \\ 1 & 1 \end{array}]

Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices

Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices.

Ejemplo 3

Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices

Utilice la multiplicación de matrices para hallar la inversa de la matriz dada.

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}]

Solución

Para este método, multiplicamos $A$ por una matriz que contiene constantes desconocidas y la hace igual a la identidad.

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Halle la multiplicación de las dos matrices del lado izquierdo del signo de igual.

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 a −2 c & 1 b −2 d \\ 2 a −3 c & 2 b −3 d \end{array}]

A continuación, establezca un sistema de ecuaciones con la entrada de la fila 1, columna 1 de la nueva matriz igual a la primera entrada de la identidad, 1. Establezca la entrada de la fila 2, columna 1 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, que es 0.

\begin{matrix} 1 a −2 c = 1 R_{1} \\ 2 a −3 c = 0 R_{2} \end{matrix}

Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: $(−2) R_{1} + R_{2} \to R_{2} .$ Sume las ecuaciones y resuelva para $c .$

\begin{array}{r} 1 a - 2 c = 1 \\ 0 + 1 c = - 2 \\ c = - 2 \end{array}

Vuelva a sustituir para resolver $a .$

\begin{array}{r} a −2 (−2) = 1 \\ a + 4 = 1 \\ a = −3 \end{array}

Escriba otro sistema de ecuaciones estableciendo la entrada de la fila 1, columna 2 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, 0. Establezca la entrada de la fila 2, columna 2 igual a la entrada correspondiente de la identidad.

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 & R_{1} \\ 2 b −3 d = 1 & R_{2} \end{array}

Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: $(−2) R_{1} + R_{2} = R_{2} .$ Sume las dos ecuaciones y resuelva para $d .$

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 \\ \frac{0 + 1 d = 1}{d = 1} \end{array}

Una vez más, vuelva a sustituir y resuelva para $b .$

\begin{array}{r} b −2 (1) = 0 \\ b −2 = 0 \\ b = 2 \end{array}

A^{−1} = [\begin{array}{r} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{array}]

Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad

Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz $A$ se transforma en $I,$ la matriz aumentada $I$ se transforma en $A^{−1} .$

Por ejemplo, dado

A = [\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array}]

aumente $A$ con la identidad

[\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Realice operaciones de fila con la meta de convertir $A$ en la identidad.

Cambie la fila 1 y la fila 2.
$[\begin{array}{r} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
Multiplique la fila 2 por $−2$ y sume a la fila 1.
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
Multiplique la fila 1 por $−2$ y sume a la fila 2.
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
Sume la fila 2 a la fila 1.
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
Multiplique la fila 2 por $−1.$
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]$

La matriz que hemos hallado es $A^{−1} .$

A^{−1} = [\begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]

Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula

Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz $2 \times 2$ , podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad.

Si los valores de $A$ es una matriz $2 \times 2$ , de forma que

A = [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}]

el multiplicador inverso de $A$ viene dado por la fórmula

A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{r} d & - b \\ - c & a \end{array}]

donde $a d - b c \neq 0 .$ Si $a d - b c = 0,$ entonces $A$ no tiene inversa.

Ejemplo 4

Usar la fórmula para hallar el multiplicador inverso de la matriz A

Utilice la fórmula para hallar el multiplicador inverso de

A = [\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix}]

Solución

Con la fórmula tenemos

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{(1) (−3) - (−2) (2)} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{−3 + 4} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \end{array}

Análisis

Podemos comprobar que nuestra fórmula funciona utilizando uno de los otros métodos para calcular la inversa. Aumentemos $A$ con la identidad.

[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Realice operaciones de fila con la meta de convertir $A$ en la identidad.

Multiplique la fila 1 por $−2$ y sume a la fila 2.
$[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$
Multiplique la fila 1 por 2 y súmela a la fila 1.
$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$

Así, hemos verificado nuestra solución original.

A^{−1} = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]

Inténtelo #2

Utilice la fórmula para hallar la inversa de la matriz $A .$ Verifique su respuesta mediante el aumento con la matriz identidad.

A = [\begin{matrix} 1 & −1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

Ejemplo 5

Hallar la inversa de la matriz, si existe

Halle la inversa de la matriz dada, si existe.

A = [\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

Solución

Utilizaremos el método de aumento con la identidad.

[\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Cambie la fila 1 y la fila 2.
$[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$
Multiplique la fila 1 por –3 y súmela a la fila 2.
$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −3 & 1 \end{matrix}]$
No hay nada más que podamos hacer. Los ceros de la fila 2 indican que esta matriz no tiene inversa.

Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3

Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz $2 \times 2$ para hallar la inversa de una matriz $3 \times 3$ . En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa.

Dada una matriz $3 \times 3$

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

aumente $A$ con la matriz identidad

A | I = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y $A$ a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente.

Cómo

Dada una matriz $3 \times 3$ , hallar la inversa.

Escriba la matriz original aumentada con la matriz identidad a la derecha.
Utilice las operaciones de fila elementales para que la identidad aparezca a la izquierda.
Lo que se obtiene a la derecha es la inversa de la matriz original.
Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que $A A^{−1} = I$ y $A^{−1} A = I .$

Ejemplo 6

Hallar la inversa de una matriz 3 × 3

Dada la matriz $3 \times 3$ $A,$ halle la inversa.

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

Solución

Aumente $A$ con la matriz identidad, y luego comience las operaciones de fila hasta que la matriz identidad sustituya a $A .$ La matriz de la derecha será la inversa de $A .$

[\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{Intercambie la R_{2} y R_{1}}{\to} [\begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

- R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

- R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{array}]

R_{3} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & −2 & 0 \end{array}]

−3 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}]

Por lo tanto,

A^{−1} = B = [\begin{matrix} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{matrix}]

Análisis

Para demostrar que $B = A^{−1},$ multipliquemos las dos matrices para ver si el producto es igual a la identidad, si $A A^{−1} = I$ y $A^{−1} A = I .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A A^{−1} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{matrix} 2 (–1) + 3 (–1) + 1 (6) & 2 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 3 (–1) + 3 (–1) + 1 (6) & 3 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 3 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 2 (–1) + 4 (–1) + 1 (6) & 2 (1) + 4 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 4 (1) + 1 (−3) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A^{−1} A = [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & - 3 \end{array}] [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −1 (2) + 1 (3) + 0 (2) & −1 (3) + 1 (3) + 0 (4) & −1 (1) + 1 (1) + 0 (1) \\ −1 (2) + 0 (3) + 1 (2) & −1 (3) + 0 (3) + 1 (4) & −1 (1) + 0 (1) + 1 (1) \\ 6 (2) + −2 (3) + −3 (2) & 6 (3) + −2 (3) + −3 (4) & 6 (1) + −2 (1) + −3 (1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

Inténtelo #3

Halle la inversa de la matriz $3 \times 3$ .

A = [\begin{matrix} 2 & -17 & 11 \\ −1 & 11 & −7 \\ 0 & 3 & −2 \end{matrix}]

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz

Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: $X$ es la matriz que representa las variables del sistema y $B$ es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como

A X = B

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa, consideremos que $A$ representa la matriz de coeficientes, consideremos que $X$ representa la matriz variable y que $B$ representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema $A X = B .$ Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones.

\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es

A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}]

La matriz variable es

X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

Y la matriz constante es

B = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Luego $A X = B$ parece

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso, $(2^{−1}) 2 = (\frac{1}{2}) 2 = 1.$ Para resolver una sola ecuación lineal $a x = b$ por $x,$ simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de $a .$ Así,

\begin{matrix} a x = b \\ (\frac{1}{a}) a x = (\frac{1}{a}) b \\ (a^{−1}) a x = (a^{−1}) b \\ [(a^{−1}) a] x = (a^{−1}) b \\ 1 x = (a^{−1}) b \\ x = (a^{−1}) b \end{matrix}

La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.

Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema $2 \times 2$ y luego pasar a un sistema $3 \times 3$ .

Resolver un sistema de ecuaciones mediante la inversa de una matriz

Dado un sistema de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes $A,$ la matriz variable $X$ y la matriz constante $B .$ Entonces

A X = B

Multiplique ambos lados por la inversa de $A$ para obtener la solución.

\begin{array}{r} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [(A^{−1}) A] X = (A^{−1}) B \\ I X = (A^{−1}) B \\ X = (A^{−1}) B \end{array}

Preguntas y respuestas

Si la matriz de coeficientes no tiene una inversa, ¿significa que el sistema no tiene solución?

No, si la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema podría ser inconsistente y no tener solución o ser dependiente y tener infinitas soluciones.

Ejemplo 7

Resolver un sistema 2 × 2 mediante la inversa de una matriz

Resuelva el sistema de ecuaciones dado utilizando la inversa de una matriz.

\begin{array}{r} 3 x + 8 y = 5 \\ 4 x + 11 y = 7 \end{array}

Solución

Escriba el sistema en términos de una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante.

A = [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}], X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

Entonces

[\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

Primero, tenemos que calcular $A^{−1} .$ Mediante la fórmula para calcular la inversa de una matriz 2 por 2, tenemos:

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] \\ = \frac{1}{3 (11) −8 (4)} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ -4 & 3 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{1} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ -4 & 3 \end{matrix}] \end{array}

Así que,

A^{−1} = [\begin{matrix} 11 & −8 \\ -4 & ​ ​ 3 \end{matrix}]

Ahora estamos listos para resolver. Multiplique ambos lados de la ecuación por $A^{−1} .$

\begin{array}{l} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ -4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ -4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 (5) + (−8) 7 \\ -4 (5) + 3 (7) \end{array}] \\ [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −1 \\ 1 \end{array}] \end{array}

La solución es $(–1, 1) .$

Preguntas y respuestas

¿Podemos resolver para $X$ hallando el producto $B A^{−1} ?$

No, recuerde que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que $A^{−1} B \neq B A^{−1} .$ Considere nuestros pasos para resolver la ecuación de la matriz.

\begin{array}{r} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [(A^{−1}) A] X = (A^{−1}) B \\ I X = (A^{−1}) B \\ X = (A^{−1}) B \end{array}

Observe que en el primer paso hemos multiplicado ambos lados de la ecuación por $A^{−1},$ pero el $A^{−1}$ estaba a la izquierda de $A$ en el lado izquierdo y a la izquierda de $B$ en el lado derecho. Como la multiplicación de matrices no es conmutativa, el orden es importante.

Ejemplo 8

Resolver un sistema 3 × 3 mediante la inversa de una matriz

Resuelva el siguiente sistema utilizando la inversa de una matriz.

\begin{array}{r} 5 x + 15 y + 56 c = 35 \\ -4 x −11 y −41 c = -26 \\ - x −3 y −11 c = −7 \end{array}

Solución

Escriba la ecuación $A X = B .$

[\begin{matrix} 5 & 15 & 56 \\ -4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 35 \\ -26 \\ −7 \end{array}]

Primero, hallaremos la inversa de $A$ aumentándola con la identidad.

[\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ -4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiplique la fila 1 por $\frac{1}{5} .$

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ -4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiplique la fila 1 por 4 y súmela a la fila 2.

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Sume la fila 1 a la fila 3.

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiplique la fila 2 por –3 y súmela a la fila 1.

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Multiplique la fila 3 por 5.

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiplique la fila 3 por $\frac{1}{5}$ y sume a la fila 1.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiplique la fila 3 por $- \frac{19}{5}$ y sume a la fila 2.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Así que,

A^{−1} = [\begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Multiplique ambos lados de la ecuación por $A^{−1} .$ Queremos $A^{−1} A X = A^{−1} B :$

[\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ -4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 35 \\ -26 \\ −7 \end{array}]

Por lo tanto,

A^{−1} B = [\begin{array}{r} −70 + 78 −7 \\ -105 -26 + 133 \\ 35 + 0 −35 \end{array}] = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}]

La solución es $(1, 2, 0) .$

Inténtelo #4

Resuelva el sistema utilizando la inversa de la matriz de coeficientes.

\begin{array}{l} 2 x - 17 y + 11 c = 0 \\ - x + 11 y - 7 z = 8 \\ 3 y - 2 z = –2 \end{array}

Cómo

Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices inversas utilizando una calculadora.

Guarde la matriz de coeficientes y la matriz constante como variables de la matriz $[A]$ y $[B] .$
Introduzca la multiplicación en la calculadora, y llame cada variable de la matriz según sea necesario.
Si la matriz de coeficientes es invertible, la calculadora presentará la matriz solución; si la matriz de coeficientes no es invertible, la calculadora presentará un mensaje de error.

Ejemplo 9

Uso de la calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas

Resuelva el sistema de ecuaciones con matrices inversas utilizando una calculadora

\begin{array}{l} 2 x + 3 y + z = 32 \\ 3 x + 3 y + z = −27 \\ 2 x + 4 y + z = –2 \end{array}

Solución

En la página de matrices de la calculadora, introduzca la matriz de coeficientes como variable de la matriz $[A],$ e introduzca la matriz constante como variable de la matriz $[B] .$

[A] = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}], [B] = [\begin{matrix} 32 \\ −27 \\ −2 \end{matrix}]

En la pantalla de inicio de la calculadora, escriba la multiplicación para resolver $X,$ y llame cada variable de la matriz según sea necesario.

{[A]}^{−1} \times [B]

Evaluar la expresión.

[\begin{matrix} −59 \\ −34 \\ 252 \end{matrix}]

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de sistemas con inversos.

9.7 Ejercicios de sección

Verbales

En una sección anterior mostramos que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, $A B \neq B A$ en la mayoría de los casos. ¿Puede explicar por qué la multiplicación de matrices es conmutativa para las matrices inversas, es decir, $A^{−1} A = A A^{−1} ?$

¿Todas las matrices $2 \times 2$ tienen una inversa? Explique por qué sí o por qué no. Explique qué condición es necesaria para que exista una inversa.

¿Puede explicar si una matriz $2 \times 2$ con una fila entera de ceros puede tener una inversa?

¿Una matriz con una columna entera de ceros puede tener una inversa? Explique por qué sí o por qué no.

¿Una matriz con ceros en la diagonal puede tener una inversa? Si es así, busque un ejemplo. Si no es así, demuestre por qué no. Para simplificar, supongamos una matriz $2 \times 2$ .

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz $A$ es la inversa de la matriz $B .$

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}]$

$A = [\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{5} & - \frac{4}{35} \end{matrix}]$

$A = [\begin{matrix} −2 & \frac{1}{2} \\ 3 & −1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & −1 \\ −6 & -4 \end{matrix}]$

10.

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}], B = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 2 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}]$

11.

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 6 & 9 \end{matrix}], B = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 6 & 0 & −2 \\ 17 & −3 & −5 \\ −12 & 2 & 4 \end{matrix}]$

12.

$A = [\begin{matrix} 3 & 8 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 12 \end{matrix}], B = \frac{1}{36} [\begin{matrix} −6 & 84 & −6 \\ 7 & -26 & 1 \\ −1 & −22 & 5 \end{matrix}]$

En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe.

13.

$[\begin{matrix} 3 & −2 \\ 1 & 9 \end{matrix}]$

14.

$[\begin{matrix} −2 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}]$

15.

$[\begin{matrix} −3 & 7 \\ 9 & 2 \end{matrix}]$

16.

$[\begin{matrix} -4 & −3 \\ −5 & 8 \end{matrix}]$

17.

$[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

18.

$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

19.

$[\begin{matrix} 0,5 & 1,5 \\ 1 & -0,5 \end{matrix}]$

20.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 6 \\ −2 & 1 & 7 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}]$

21.

$[\begin{matrix} 0 & 1 & −3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]$

22.

$[\begin{matrix} 1 & 2 & −1 \\ −3 & 4 & 1 \\ −2 & -4 & −5 \end{matrix}]$

23.

$[\begin{matrix} 1 & 9 & −3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 4 & −2 & 7 \end{matrix}]$

24.

$[\begin{matrix} 1 & −2 & 3 \\ -4 & 8 & −12 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix}]$

25.

$[\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \end{matrix}]$

26.

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz $2 \times 2$ .

27.

$\begin{array}{l} 5 x - 6 y = - 61 \\ 4 x + 3 y = - 2 \end{array}$

28.

$\begin{array}{l} 8 x + 4 y = -100 \\ 3 x -4 y = 1 \end{array}$

29.

$\begin{array}{l} 3 x −2 y = 6 \\ - x + 5 y = –2 \end{array}$

30.

$\begin{array}{l} 5 x -4 y = −5 \\ 4 x + y = 2,3 \end{array}$

31.

$\begin{array}{l} −3 x -4 y = 9 \\ 12 x + 4 y = −6 \end{array}$

32.

$\begin{array}{l} −2 x + 3 y = \frac{3}{10} \\ - x + 5 y = \frac{1}{2} \end{array}$

33.

$\begin{array}{l} \frac{8}{5} x - \frac{4}{5} y = \frac{2}{5} \\ - \frac{8}{5} x + \frac{1}{5} y = \frac{7}{10} \end{array}$

34.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{1}{5} y = - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y = - \frac{9}{4} \end{array}$

En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz $3 \times 3$ .

35.

$\begin{array}{l} 3 x −2 y + 5 z = 21 \\ 5 x + 4 y = 37 \\ x −2 y −5 c = 5 \end{array}$

36.

$\begin{array}{l} 4 x + 4 y + 4 z = 40 \\ 2 x - 3 y + 4 z = −12 \\ - x + 3 y + 4 z = 9 \end{array}$

37.

$\begin{array}{l} 6 x - 5 y - z = 31 \\ - x + 2 y + z = –6 \\ 3 x + 3 y + 2 z = 13 \end{array}$

38.

$\begin{array}{l} 6 x −5 y + 2 z = -4 \\ 2 x + 5 y - z = 12 \\ 2 x + 5 y + z = 12 \end{array}$

39.

$\begin{array}{l} 4 x −2 y + 3 z = −12 \\ 2 x + 2 y −9 c = 33 \\ 6 y -4 c = 1 \end{array}$

40.

$\begin{array}{l} \frac{1}{10} x - \frac{1}{5} y + 4 z = \frac{−41}{2} \\ \frac{1}{5} x -20 y + \frac{2}{5} z = −101 \\ \frac{3}{10} x + 4 y - \frac{3}{10} z = 23 \end{array}$

41.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} y + \frac{1}{5} z = \frac{31}{100} \\ - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} z = \frac{7}{40} \\ - \frac{4}{5} x - \frac{1}{2} y + \frac{3}{2} z = \frac{1}{4} \end{array}$

42.

$\begin{array}{l} 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = −1,4 \\ 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 0,6 \\ 0,4 y + 0,9 c = –2 \end{array}$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas.

43.

$\begin{array}{l} 2 x - y = −3 \\ - x + 2 y = 2,3 \end{array}$

44.

$\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} y = - \frac{43}{20} \\ \frac{5}{2} x + \frac{11}{5} y = \frac{31}{4} \end{array}$

45.

$\begin{array}{l} 12,3 x −2 y -2,5 c = 2 \\ 36,9 x + 7 y -7,5 c = −7 \\ 8 y −5 c = −10 \end{array}$

46.

$\begin{array}{l} 0,5 x −3 y + 6 z = -0,8 \\ 0,7 x −2 y = -0,06 \\ 0,5 x + 4 y + 5 z = 0 \end{array}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada.

47.

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$

48.

$[\begin{array}{r} - 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

49.

$[\begin{array}{r} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

50.

$[\begin{array}{r} 1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

51.

$[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Aplicaciones en el mundo real

En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz.

52.

Se vendieron 2.400 entradas para un partido de baloncesto. Si los precios de la zona 1 y de la zona 2 eran diferentes, y la cantidad total de dinero recaudado es de 64.000 dólares, ¿cuál era el precio de cada entrada?

53.

En el ejercicio anterior, si le dicen que se han vendido 400 entradas más para la zona 2 que para la zona 1, ¿cuál es el precio de cada entrada?

54.

Una colecta de alimentos recogió dos tipos diferentes de productos enlatados, judías verdes y frijoles rojos. El número total de latas recogidas fue de 350 y el peso total de todos los alimentos donados fue de $348 lb$ , $12 oz$ . Si las latas de judías verdes pesan 2 oz menos que las latas de frijoles rojos, ¿cuántas de cada lata se donaron?

55.

Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El $95 %$ de las frutas consistían en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas son dos veces más populares que las bananas, y las manzanas son el $5 %$ menos populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta?

56.

El club de enfermería organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 1 dólar y el de las galletas de chocolate de 0,75 dólares. Recaudaron 700 dólares y vendieron 850 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron?

57.

Una tienda de ropa necesita pedir un nuevo inventario. Tiene tres tipos de sombreros a la venta: sombreros de paja, gorros y sombreros de vaquero. El sombrero de paja tiene un precio de 13,99 dólares, el gorro de 7,99 dólares y el sombrero de vaquero de 14,49 dólares. Si el trimestre pasado se vendieron 100 sombreros, se recaudaron 1.119 dólares por las ventas, y la cantidad de gorros vendidos fue 10 más que la de sombreros de vaquero, ¿cuántos de cada uno debería pedir la tienda de ropa para reponer los ya vendidos?

58.

Anna, Percy y Morgan pesan conjuntamente $370 lb$ . Si Morgan pesa $20 lb$ más que Percy, y Anna pesa 1,5 veces más que Percy, ¿cuánto pesa cada persona?

59.

Tres compañeros de apartamento compartieron un paquete de 12 barritas de helado, pero nadie recuerda cuántas comió cada quien. Si Micah comió el doble de barritas de helado que Joe, y Albert comió tres menos que Micah, ¿cuántas barritas de helado comió cada compañero?

60.

Un granjero construyó un gallinero con malla metálica, madera y madera contrachapada. La malla metálica cuesta 2 dólares por pie cuadrado, la madera 10 dólares por pie cuadrado y el contrachapado 5 dólares por pie cuadrado. El agricultor gastó un total de 51 dólares, y la cantidad total de materiales utilizados fue $14 {ft}^{2} .$ Utilizó ${3 ft}^{2}$ más de alambre de gallinero que de madera contrachapada. ¿Qué cantidad de cada material utilizó el agricultor?

61.

Jay tiene limoneros, naranjos y granados en su patio trasero. Una naranja pesa 8 oz, un limón 5 oz y una granada 11 oz. Jay recogió 142 piezas de fruta con un peso total de 70 lb, 10 oz. Recogió 15,5 veces más naranjas que granadas. ¿Cuántas de cada fruta recogió Jay?