Examen de práctica

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de $f$ en la Figura 1.

Gráfico de una función definida por partes con dos segmentos. El primer segmento va del infinito negativo a (–1, 0), un punto abierto, y el segundo segmento va de (–1, 3), un punto abierto, al infinito positivo.

Figura 1

$f (1)$

$\underset{x \to {−1}^{+}}{lím} f (x)$

$\underset{x \to {−1}^{-}}{lím} f (x)$

$\underset{x \to −1}{lím} f (x)$

$\underset{x \to −2}{lím} f (x)$

¿En qué valores de $x$ es $f$ discontinua? ¿Qué propiedad de la continuidad se viola?

En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que $x$ se acerca a $a .$ Si la función tiene un límite a medida que $x$ se acerca a $a,$ indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} - 3, i f & x \leq 2 \\ x^{3} + 1, i f & x > 2 \end{array} a = 2$

$f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 1, & i f & x < 1 \\ 3 x^{2} - 1, & i f & x = 1 \\ - \sqrt{x + 3} + 4, & i f & x > 1 \end{array} a = 1$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas.

$\underset{x \to −5}{lím} (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{10 + 2 x})$

10.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{\sqrt{h^{2} + 25} - 5}{h^{2}})$

11.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{1}{h} - \frac{1}{h^{2} + h})$

En los siguientes ejercicios, determine si la función dada $f$ es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan.

12.

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

13.

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6}$

En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en $x = a .$

14.

$f (x) = \frac{3}{5 + 2 x}$

15.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$

16.

$f (x) = 2 x^{2} + 9 x$

17.

Para el gráfico en la Figura 2, determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable.

Gráfico de una función definida por partes con tres segmentos. El primer segmento va del infinito negativo a (-2, -1), un punto abierto, el segundo segmento va de (-2, -4), un punto abierto, a (0, 0), un punto cerrado; el último segmento va de (0, 1), un punto abierto, al infinito positivo.

Figura 2

En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.

18.

$f (x) = | x - 2 | - | x + 2 |$

19.

$f (x) = \frac{2}{1 + e^{\frac{2}{x}}}$

En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies, $s,$ es una función de tiempo $t$ en segundos después del lanzamiento y está dada por la función $s (t) .$

20.

$s (0)$

21.

$s (2)$

22.

$s' (2)$

23.

$\frac{s (2) - s (1)}{2 - 1}$

24.

$s (t) = 0$

En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite.

25.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen (x)}{3 x}$

26.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{\tan^{2} (x)}{2 x}$

27.

$\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen (x) (1 - \cos (x))}{2 x^{2}}$

28.

Evalúe el límite a mano.

$\begin{matrix} lím \\ ^{x \to 1} \end{matrix} f (x), donde f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 7 & x \neq 1 \\ x^{2} - 4 & x = 1 \end{matrix}$

¿En qué valor(es) de $x$ la siguiente función es discontinua?

$f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 7 x \neq 1 \\ x^{2} - 4 x = 1 \end{matrix}$

En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la Figura 3.

Figura 3

29.

Halle la tasa media de cambio de la función de $x = 1 para x = 3.$

30.

Halle todos los valores de $x$ en los que $f' (x) = 0 .$

31.

Halle todos los valores de $x$ en los que $f' (x)$ no existe.

32.

Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de $f$ del punto indicado: $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 6, x = - 2$

En los siguientes ejercicios, utilice la función $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ .

33.

Grafique la función $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ e introduzca $f (x) = x {({(1 - x)}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ y luego introduzca $f (x) = x {({(1 - x)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

34.

Explore el comportamiento del gráfico de $f (x)$ alrededor de $x = 1$ y haga un gráfico de la función en los siguientes dominios, [0,9, 1,1], [0,99, 1,01], [0,999, 1,001] y [0,9999, 1,0001]. Utilice esta información para determinar si la función parece ser diferenciable en $x = 1.$

En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición: $\underset{h \to 0}{lím} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

35.

$f (x) = 2 x - 8$

36.

$f (x) = 4 x^{2} - 7$

37.

$f (x) = x - \frac{1}{2} x^{2}$

38.

$f (x) = \frac{1}{x + 2}$

39.

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$

40.

$f (x) = - x^{3} + 1$

41.

$f (x) = x^{2} + x^{3}$

42.

$f (x) = \sqrt{x - 1}$