Examen de práctica

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.

$\cos (- x) sen x \cot x + {sen}^{2} x$

$sen (- x) \cos (- 2 x) - sen (- x) \cos (- 2 x)$

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.

$\cos (\frac{7 π}{12})$

$\tan (\frac{3 π}{8})$

$\tan ({sen}^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \tan^{- 1} \sqrt{3})$

$2 sen (\frac{π}{4}) sen (\frac{π}{6})$

En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en $[0, 2 π) .$

$\cos^{2} x - {sen}^{2} x - 1 = 0$

$\cos^{2} x = \cos x$

$\cos (2 x) + {sen}^{2} x = 0$

10.

$2 {sen}^{2} x - sen x = 0$

11.

Rescriba la expresión como producto en vez de suma: $\cos (2 x) + \cos (- 8 x) .$

12.

Halle todas las soluciones de $\tan (x) - \sqrt{3} = 0 .$

13.

Halle las soluciones de $\sec^{2} x - 2 \sec x = 15$ en el intervalo $[0, 2 π)$ algebraicamente; luego grafique ambos lados de la ecuación para determinar la respuesta.

14.

Halle $sen (2 θ), \cos (2 θ),$ y $\tan (2 θ)$ dado $\cot θ = - \frac{3}{4}$ y $θ$ están en el intervalo $[\frac{π}{2}, π] .$

15.

Halle $sen (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2}),$ y $\tan (\frac{θ}{2})$ dado $\cos θ = \frac{7}{25}$ y $θ$ está en el cuadrante IV.

16.

Rescriba la expresión ${sen}^{4} x$ sin potencia mayor a 1.

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.

17.

$\tan^{3} x - \tan x \sec^{2} x = \tan (- x)$

18.

$sen (3 x) - \cos x sen (2 x) = \cos^{2} x sen x - {sen}^{3} x$

19.

$\frac{sen (2 x)}{sen x} - \frac{\cos (2 x)}{\cos x} = \sec x$

20.

Grafique los puntos y halle una función de la forma $y = A \cos (B x + C) + D$ que se ajusta a los datos dados.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$−2$	$2$	$−2$	$2$	$−2$	$2$

21.

El desplazamiento $h (t)$ en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función $h (t) = \frac{1}{4} sen (120 π t),$ donde $t$ se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento.

22.

Una mujer está parada a 300 pies de un edificio de 2.000 pies. Si mira hacia la parte superior del edificio, ¿en qué ángulo sobre la horizontal está mirando? Un trabajador aburrido la observa desde el 15.^o piso (1.500 pies por encima de ella). ¿En qué ángulo la está mirando? Redondee a la décima más próxima de un grado.

23.

Dos frecuencias de sonido se tocan en un instrumento que se rige por la ecuación $n (t) = 8 \cos (20 π t) \cos (1.000 π t) .$ ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de las oscilaciones “rápida” y “lenta”? ¿Cuál es la amplitud?

24.

La nevada mensual promedio en una pequeña aldea en los Himalayas es de 6 pulgadas, donde la baja de 1 pulgada se produce en julio. Construya una función que modele este comportamiento. ¿En qué periodo hay más de 10 pulgadas de nevada?

25.

Un resorte se hala del techo a 20 cm. A los 3 segundos, cuando realiza 6 periodos completos, la amplitud es de apenas 15 cm. Halle la función al modelar la posición del resorte $t$ segundos después de ser liberado. ¿En qué momento el resorte entra en reposo? En este caso, utilice 1 cm de amplitud en el reposo.

26.

El promedio actual del nivel de agua cerca de un glaciar es de 9 pies, y varía estacionalmente en 2 pulgadas por encima y por debajo del promedio, para alcanzar su punto máximo en enero. A causa del calentamiento global, el glaciar ha empezado a derretirse más rápido de lo normal. Cada año, el nivel del agua experimenta un ascenso sostenido de 3 pulgadas. Halle una función que modele la profundidad del agua $t$ meses a partir de ahora. Si los diques tienen 2 pies por encima del nivel actual del agua, ¿en qué punto se elevará el agua por primera vez por encima de los diques?