Funciones de valor absoluto

1.6 Funciones de valor absoluto

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Graficar la función de valor absoluto.
Resolver una ecuación de valor absoluto.
Resolver una inecuación de valor absoluto.

Figura 1 Las distancias en el espacio profundo pueden medirse en todas las direcciones. Por ello, es útil considerar la distancia en términos de valores absolutos (créditos: "s58y"/Flickr)

Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto.

Comprensión del valor absoluto

Recordemos que en su forma básica $f (x) = | x |,$ la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo.

Función de valor absoluto

La función de valor absoluto se define como una función definida por partes

f (x) = | x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \\ - x & si & x < 0 \end{matrix}

Ejemplo 1

Determinar un número dentro de una distancia prescrita

Describa todos los valores $x$ dentro de o que incluyan una distancia de 4 del número 5.

Solución

Queremos que la distancia entre $x$ y 5 sea menor o igual a 4. Podemos dibujar una línea numérica, como la que aparece en la Figura 2, para representar la condición a satisfacer.

Línea numérica que describe la diferencia de la distancia del 4 con respecto al 5.

Figura 2

La distancia de $x$ a 5 se puede representar con el valor absoluto como $| x - 5 | .$ Queremos los valores de $x$ que cumplen la condición $| x - 5 | \leq 4.$

Análisis

Observe que

\begin{array}{l} - 4 \leq x - 5 & \begin{matrix}  \end{matrix} & x - 5 \leq 4 \\ 1 \leq x & x \leq 9 \end{array}

Así que $| x - 5 | \leq 4$ equivale a $1 \leq x \leq 9.$

Sin embargo, los matemáticos suelen preferir la notación en valor absoluto.

Inténtelo #1

Describa todos los valores $x$ a una distancia de 3 del número 2.

Ejemplo 2

Resistencia de un resistor

Las piezas eléctricas, como los resistores y los condensadores, vienen con valores especificados de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían un poco de una pieza a otra, incluso cuando se supone que sean los mismos. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango específico, a menudo $±1 %, \pm 5 %,$ o $\pm 10% .$

Supongamos que tenemos un resistor de 680 ohmios, $\pm 5 % .$ Utilice la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real.

Solución

El 5 % de 680 ohmios es 34 ohmios. El valor absoluto de la diferencia entre la resistencia real y la nominal no debería superar la variabilidad indicada, por lo que, con la resistencia $R$ en ohmios,

| R - 680 | \leq 34

Inténtelo #2

Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 20 puntos de 80 superarán la prueba. Escríbalo como una distancia de 80 con la notación de valor absoluto.

Graficar una función de valor absoluto

La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la Figura 3.

Figura 3

La Figura 4 muestra el gráfico de $y = 2 | x - 3 | + 4.$ El gráfico de $y = | x |$ se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en $(3, 4)$ para esta función transformada.

Gráfico de los diferentes tipos de transformaciones para una función absoluta.

Figura 4

Ejemplo 3

Escribir una ecuación para una función de valor absoluto

Escriba una ecuación para la función graficada en la Figura 5.

Figura 5

Solución

La función básica de valor absoluto cambia de dirección en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo desde la función básica de la caja de herramientas. Vea la Figura 6.

Gráfico de dos transformaciones para una función absoluta en (3, -2).

Figura 6

También observamos que el gráfico aparece estirado verticalmente, porque la anchura del gráfico final sobre una línea horizontal no es igual al doble de la distancia vertical desde la esquina a esta línea, como lo sería para una función de valor absoluto no estirada. En cambio, la anchura es igual a 1 vez la distancia vertical, como se indica en la Figura 7.

Gráfico de dos transformaciones para una función absoluta en (3, -2), que describe las relaciones entre las dos transformaciones diferentes.

Figura 7

A partir de esta información escribimos la ecuación

\begin{array}{l} f (x) = 2 | x - 3 | - 2, & al tratar el estiramiento como vertical; o \\ f (x) = | 2 (x - 3) | - 2, & al tratar el estiramiento como compresión horizontal . \end{array}

Análisis

Observe que estas ecuaciones son equivalentes desde el punto de vista algebraico: el estiramiento de una función de valor absoluto se escribe indistintamente como estiramiento o compresión vertical u horizontal. Nótese además que, si el factor de estiramiento vertical es negativo, también hay una reflexión sobre el eje de la x.

Preguntas y respuestas

Si no pudiéramos observar el estiramiento de la función a partir de los gráficos, ¿podríamos determinarlo algebraicamente?

Sí. Si no podemos determinar el estiramiento con base en la anchura del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento al colocar un par de valores conocidos para $x$ y $f (x) .$

f (x) = a | x - 3 | - 2

Ahora, sustituyendo en el punto (1, 2)

\begin{array}{l} 2 = a | 1 - 3 | - 2 \\ 4 = 2 a \\ a = 2 \end{array}

Inténtelo #3

Escriba la ecuación de la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente 2 unidades a la izquierda, se invierte verticalmente y se desplaza verticalmente hacia arriba 3 unidades.

Preguntas y respuestas

¿Los gráficos de las funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? ¿Con el eje horizontal?

Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto intersecará el eje vertical cuando la entrada sea cero.

No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no intersecar el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto se cruce con el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (ver la Figura 8).

Figura 8 (a) La función valor absoluto no interseca el eje horizontal. (b) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en un punto. (c) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en dos puntos.

Resolver una ecuación de valor absoluto

Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como $8 = | 2 x - 6 |,$ observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente.

\begin{array}{l} 2 x - 6 = 8 & o & 2 x - 6 = - 8 \\ 2 x = 14 & 2 x = - 2 \\ x = 7 & x = - 1 \end{array}

Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto. Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado.

La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo,

\begin{array}{l} | x | = 4, \\ | 2 x - 1 | = 3 \\ | 5 x + 2 | - 4 = 9 \end{array}

Soluciones a las ecuaciones de valor absoluto

Para los números reales $A$ y $B,$ una ecuación de la forma $| A | = B,$ con la $B \geq 0,$ tendrá soluciones cuando $A = B$ o $A = - B .$ Si $B < 0,$ la ecuación $| A | = B$ no tiene solución.

Cómo

Dada la fórmula de una función de valor absoluto, hallar las intersecciones horizontales de su gráfico.

Aísle el término de valor absoluto.
Utilice $| A | = B$ para escribir $A = B$ o $−A = B,$ asumiendo que $B > 0 .$
Resuelva para $x .$

Ejemplo 4

Hallar los ceros de una función de valor absoluto

Para la función $f (x) = | 4 x + 1 | - 7$ , halle los valores de $x$ tales que $f (x) = 0$ .

Solución

$\begin{array}{l} 0 = \| 4 x + 1 \| - 7 \end{array}$	Sustituya f(x) por 0.
$\begin{array}{l} 7 = \| 4 x + 1 \| \end{array}$	Aísle el valor absoluto en un lado de la ecuación.
$\begin{array}{l} 7 = 4 x + 1 & o & - 7 = 4 x + 1 \\ 6 = 4 x & - 8 = 4 x \\ x = \frac{6}{4} = 1,5 & x = \frac{- 8}{4} = - 2 \end{array}$	Divida en dos ecuaciones y resuelva.

La función da como resultado 0 cuando $x = 1,5$ o $x = - 2.$ Vea la Figura 9.

Gráfico de una función absoluta con intersecciones x en -2 y 1,5.

Figura 9

Inténtelo #4

Para la función $f (x) = | 2 x - 1 | - 3,$ calcule los valores de $x$ tales que $f (x) = 0 .$

Preguntas y respuestas

¿Debemos esperar siempre dos respuestas al resolver $| A | = B ?$

No. Podemos encontrar una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para $2 + | 3 x - 5 | = 1.$

Cómo

Dada una ecuación de valor absoluto, resolverla.

Aísle el término de valor absoluto.
Utilice $| A | = B$ para escribir $A = B$ o $A = −B .$
Resuelva para $x .$

Ejemplo 5

Resolver una ecuación de valor absoluto

Resuelva $1 = 4 | x - 2 | + 2.$

Solución

Aislando el valor absoluto en un lado de la ecuación se obtiene lo siguiente.

\begin{array}{l} 1 = 4 | x - 2 | + 2 \\ - 1 = 4 | x - 2 | \\ - \frac{1}{4} = | x - 2 | \end{array}

El valor absoluto siempre arroja un valor positivo, por lo que es imposible que sea igual a un valor negativo. En este punto, observamos que esta ecuación no tiene soluciones.

Preguntas y respuestas

En el Ejemplo 5, si $f (x) = 1$ y $g (x) = 4 | x - 2 | + 2$ se graficarán en el mismo conjunto de ejes, ¿se cruzarían los gráficos?

No. Los gráficos de $f$ y $g$ no se cruzarían, como se muestra en la Figura 10. Esto confirma gráficamente que la ecuación $1 = 4 | x - 2 | + 2$ no tiene solución.

Figura 10

Inténtelo #5

Halle dónde el gráfico de la función $f (x) = - | x + 2 | + 3$ cruza los ejes horizontal y vertical.

Resolver una inecuación de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma

| A | < B, | A | \leq B, | A | > B, o | A | \geq B,

donde la expresión $A$ (y posiblemente, pero no usualmente $B$ ) depende de una variable $x .$ Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores $x$ que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos.

Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico.

Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como

| x | < 200 o - 200 < x < 200

Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores $x$ tales que la distancia entre $x$ y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre $x$ y 600 como $| x - 600 | .$

\begin{array}{l} | x - 600 | < 200 o - 200 < x - 600 < 200 \\ - 200 + 600 < x - 600 + 600 < 200 + 600 \\ 400 < x < 800 \end{array}

Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares.

A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva.

Cómo

Dada una inecuación de valor absoluto de la forma $| x - A | \leq B$ para números reales $a$ y $b$ donde $b$ es positivo, resolver la inecuación de valor absoluto algebraicamente.

Halle los puntos límite al resolver $| x - A | = B .$
Pruebe los intervalos creados por los puntos límite para determinar dónde $| x - A | \leq B .$
Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la inecuación en notación de intervalo, inecuación o constructor de conjuntos.

Ejemplo 6

Resolver una inecuación de valor absoluto

Resuelva $| x - 5 | < 4.$

Solución

Con ambos enfoques, tendremos que saber primero dónde se cumple la igualdad correspondiente. En este caso, primero hallaremos dónde $| x - 5 | = 4.$ Hacemos esto porque el valor absoluto es una función ininterrumpida, por lo que la única manera de que los valores de la función pasen de ser menores a 4 a ser mayores que 4 es pasando por donde los valores son iguales a 4. Resuelva $| x - 5 | = 4.$

\begin{array}{l} \begin{matrix} x - 5 = 4 \\ x = 9 \end{matrix} & o & \begin{matrix} x - 5 = - 4 \\ x = 1 \end{matrix} \end{array}

Tras determinar que el valor absoluto es igual a 4 en $x = 1$ y $x = 9,$ sabemos que el gráfico solo pasa de ser menor a mayor que 4 en estos valores. Esto divide la línea numérica en tres intervalos:

x < 1, 1 < x < 9, y x > 9.

Para determinar cuándo la función es menor que 4, podríamos elegir un valor en cada intervalo y ver si la salida es menor o mayor que 4, como se muestra en la Tabla 1.

Prueba para los intervalos $x$	$f (x)$	$< 4$ o $> 4 ?$
$x < 1$	0	$\| 0 - 5 \| = 5$	Mayor que
$1 < x < 9$	6	$\| 6 - 5 \| = 1$	Menor que
$x > 9$	11	$\| 11 - 5 \| = 6$	Mayor que

Tabla 1

Ya que $1 < x < 9$ es el único intervalo en el que la salida en el valor de prueba es menor que 4, podemos concluir que la solución de $| x - 5 | < 4$ es $1 < x < 9,$ o $(1, 9) .$

Para utilizar un gráfico, podemos esbozar la función $f (x) = | x - 5 | .$ Para ver dónde las salidas son 4, la línea $g (x) = 4$ también podría esbozarse como en la Figura 11.

Gráfico de función absoluta y línea vertical, que explica cómo ver qué salidas son menores que la línea vertical.

Figura 11 Gráfico para hallar los puntos que satisfacen una inecuación de valor absoluto.

Podemos ver lo siguiente:

Los valores de salida del valor absoluto son iguales a 4 en $x = 1$ y $x = 9.$
El gráfico de $f$ está por debajo del gráfico de $g$ sobre $1 < x < 9.$ Esto significa que los valores de salida de $f (x)$ son menores que los de $g (x) .$
El valor absoluto es menor o igual a 4 entre estos dos puntos, cuando $1 < x < 9.$ En notación de intervalo, este sería el intervalo $(1, 9) .$

Análisis

Para inecuaciones de valor absoluto,

\begin{array}{l} | x - A | < C, & | x - A | > C, \\ - C < x - A < C, & x - A < - C o x - A > C . \end{array}

Los símbolos $<$ o $>$ pueden sustituirse por $\leq o \geq .$

Así que, para este ejemplo, podríamos utilizar este otro enfoque.

\begin{array}{l} | x - 5 | < 4 \\ - 4 < x - 5 < 4 & Reescriba al eliminar las barras de valor absoluto . \\ - 4 + 5 < x - 5 + 5 < 4 + 5 & Aísle x . \\ 1 < x < 9 \end{array}

Inténtelo #6

Resuelva $| x + 2 | \leq 6.$

Cómo

Dada una función de valor absoluto, resolver el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa)

Iguale la función a cero y resuelva los puntos límite del conjunto de soluciones.
Utilice puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa.

Ejemplo 7

Usar el enfoque gráfico para resolver inecuaciones de valor absoluto

Dada la función $f (x) = - \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3,$ determine los valores $x$ para los que los valores de la función son negativos.

Solución

Tratamos de determinar dónde $f (x) < 0,$ que es cuando $- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0 .$ Empezamos por aislar el valor absoluto.

\begin{array}{l} - \frac{1}{2} | 4 x - 5 | < - 3 \begin{matrix}  \end{matrix} & Multiplique ambos lados por –2 e invierta la inecuación . \\ | 4 x - 5 | > 6 \end{array}

A continuación, resolvemos la igualdad $| 4 x - 5 | = 6.$

\begin{array}{l} 4 x - 5 = 6 o & 4 x - 5 = - 6 \\ 4 x - 5 = 6 & 4 x = - 1 \\ x = \frac{11}{4} & x = - \frac{1}{4} \end{array}

Ahora, examinamos el gráfico de $f$ para observar dónde la salida es negativa. Observaremos dónde están las ramas por debajo del eje x. Observe que ni siquiera es importante el aspecto exacto del gráfico, siempre que sepamos que cruza el eje horizontal en $x = - \frac{1}{4}$ y $x = \frac{11}{4}$ y que el gráfico se ha reflejado verticalmente. Vea la Figura 12.

Gráfico de función absoluta con intersecciones x en -0,25 y 2,75.

Figura 12

Observamos que el gráfico de la función está por debajo del eje x a la izquierda de $x = - \frac{1}{4}$ y a la derecha de $x = \frac{11}{4} .$ Esto significa que los valores de la función son negativos a la izquierda de la primera intersección horizontal en $x = - \frac{1}{4},$ y negativos a la derecha de la segunda intersección en $x = \frac{11}{4} .$ Esto nos da la solución a la inecuación.

x < - \frac{1}{4} o x > \frac{11}{4}

En notación de intervalo, esto sería $(- \infty, - 0,25) \cup (2,75, \infty) .$

Inténtelo #7

Resuelva $- 2 | k - 4 | \leq - 6.$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el valor absoluto.

1.6 Ejercicios de sección

Verbales

¿Cómo se resuelve la ecuación de valor absoluto?

¿Cómo sabe si una función de valor absoluto tiene dos intersecciones en x sin representar gráficamente la función?

Al resolver una función de valor absoluto, el término de valor absoluto aislado es igual a un número negativo. ¿Qué le dice eso sobre el gráfico de la función de valor absoluto?

¿Cómo utilizar el gráfico de una función de valor absoluto para determinar los valores x para los que los valores de la función son negativos?

¿Cómo se resuelve algebraicamente una inecuación de valor absoluto?

Algebraicos

Describa todos los números $x$ que estén a una distancia de 4 del número 8. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

Describa todos los números $x$ que estén a una distancia de $\frac{1}{2}$ del número −4. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

Describa la situación en la que la distancia en el punto $x$ desde 10 es al menos 15 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

Halle todos los valores de la función $f (x)$ tales que la distancia desde $f (x)$ hasta el valor 8 sea inferior a 0,03 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto.

En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos.

10.

$| x + 3 | = 9$

11.

$| 6 - x | = 5$

12.

$| 5 x - 2 | = 11$

13.

$| 4 x - 2 | = 11$

14.

$2 | 4 - x | = 7$

15.

$3 | 5 - x | = 5$

16.

$3 | x + 1 | - 4 = 5$

17.

$5 | x - 4 | - 7 = 2$

18.

$0 = - | x - 3 | + 2$

19.

$2 | x - 3 | + 1 = 2$

20.

$| 3 x - 2 | = 7$

21.

$| 3 x - 2 | = - 7$

22.

$| \frac{1}{2} x - 5 | = 11$

23.

$| \frac{1}{3} x + 5 | = 14$

24.

$- | \frac{1}{3} x + 5 | + 14 = 0$

En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función.

25.

$f (x) = 2 | x + 1 | - 10$

26.

$f (x) = 4 | x - 3 | + 4$

27.

$f (x) = - 3 | x - 2 | - 1$

28.

$f (x) = - 2 | x + 1 | + 6$

En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo.

29.

$| x - 2 | > 10$

30.

$2 | v - 7 | - 4 \geq 42$

31.

$| 3 x - 4 | \leq 8$

32.

$| x - 4 | \geq 8$

33.

$| 3 x - 5 | \geq 13$

34.

$| 3 x - 5 | \geq - 13$

35.

$| \frac{3}{4} x - 5 | \geq 7$

36.

$| \frac{3}{4} x - 5 | + 1 \leq 16$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico.

37.

$y = | x - 1 |$

38.

$y = | x + 1 |$

39.

$y = | x | + 1$

En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas.

40.

$y = | x | - 2$

41.

$y = - | x |$

42.

$y = - | x | - 2$

43.

$y = - | x - 3 | - 2$

44.

$f (x) = - | x - 1 | - 2$

45.

$f (x) = - | x + 3 | + 4$

46.

$f (x) = 2 | x + 3 | + 1$

47.

$f (x) = 3 | x - 2 | + 3$

48.

$f (x) = | 2 x - 4 | - 3$

49.

$f (x) = | 3 x + 9 | + 2$

50.

$f (x) = - | x - 1 | - 3$

51.

$f (x) = - | x + 4 | - 3$

52.

$f (x) = \frac{1}{2} | x + 4 | - 3$

En tecnología

53.

Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico $f (x) = 10 | x - 2 |$ en la ventana de visualización $[0, 4] .$ Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico.

54.

Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico $f (x) = - 100 | x | + 100$ en la ventana de visualización $[- 5, 5] .$ Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico.

En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización.

55.

$f (x) = - 0,1 | 0,1 (0,2 - x) | + 0,3$

56.

$f (x) = 4 \times 10^{9} | x - (5 \times 10^{9}) | + 2 \times 10^{9}$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación.

57.

$| - 2 x - \frac{2}{3} (x + 1) | + 3 > −1$

58.

Si es posible, halle todos los valores de $a$ tales que no haya $x$ para $f (x) = 2 | x + 1 | + a .$

59.

Si es posible, halle todos los valores de $a$ tales que no haya $intersecciones en y$ para $f (x) = 2 | x + 1 | + a .$

Aplicaciones en el mundo real

60.

Las ciudades A y B están en la misma línea este-oeste. Supongamos que la ciudad A está situada en el origen. Si la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de al menos 100 millas y $x$ representa la distancia de la ciudad B a la ciudad A, expréselo con la notación de valor absoluto.

61.

La verdadera proporción $p$ de personas que dan una calificación favorable al Congreso es del 8 % con un margen de error del 1,5 %. Describa esta afirmación mediante una ecuación de valor absoluto.

62.

Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 18 puntos del número 82 aprobarán un examen en particular. Escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto y utilice la variable $x$ para la puntuación.

63.

Un maquinista debe producir un rodamiento que esté dentro de 0,01 pulgadas del diámetro correcto de 5,0 pulgadas. Utilizando $x$ como el diámetro del rodamiento, escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto.

64.

La tolerancia de un rodamiento de bolas es de 0,01. Si el diámetro real del rodamiento debe ser de 2,0 pulgadas y el valor medido del diámetro es $x$ pulgadas, exprese la tolerancia con la notación de valor absoluto.