Ejercicios de repaso

Gráficos de las funciones seno y coseno

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

$f (x) = - 3 \cos x + 3$

$f (x) = \frac{1}{4} sen x$

$f (x) = 3 \cos (x + \frac{π}{6})$

$f (x) = - 2 sen (x - \frac{2 π}{3})$

$f (x) = 3 sen (x - \frac{π}{4}) - 4$

$f (x) = 2 (\cos (x - \frac{4 π}{3}) + 1)$

$f (x) = 6 sen (3 x - \frac{π}{6}) - 1$

$f (x) = - 100 sen (50 x - 20)$

Gráficos de las demás funciones trigonométricas

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.

$f (x) = \tan x - 4$

10.

$f (x) = 2 \tan (x - \frac{π}{6})$

11.

$f (x) = - 3 \tan (4 x) - 2$

12.

$f (x) = 0,2 \cos (0,1 x) + 0,3$

En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.

13.

$f (x) = \frac{1}{3} \sec x$

14.

$f (x) = 3 \cot x$

15.

$f (x) = 4 \csc (5 x)$

16.

$f (x) = 8 \sec (\frac{1}{4} x)$

17.

$f (x) = \frac{2}{3} \csc (\frac{1}{2} x)$

18.

$f (x) = - \csc (2 x + π)$

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función $y = 12, 000 + 8, 000 sen (0,628 x),$ donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.

19.

¿Cuál es la mayor y menor población que puede tener la ciudad?

20.

Grafique la función en el dominio de $[0, 40]$ .

21.

¿Cuáles son la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función?

22.

Sobre este dominio, ¿cuándo alcanza la población los 18.000 habitantes? ¿Los 13.000 habitantes?

23.

¿Cuál es la población prevista en 2007? ¿En 2010?

En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría.

24.

Supongamos que el gráfico de la función de desplazamiento se muestra en la Figura 1, donde los valores en el eje xrepresentan el tiempo en segundos y en el eje y representa el desplazamiento en pulgadas. Determine la ecuación que modela el desplazamiento vertical del peso sobre el resorte.

Gráfico de una función coseno en un periodo. Graficado en el dominio de [0,10]. El rango es [-5,5].

Figura 1

25.

En el tiempo = 0, ¿cuál es el desplazamiento del peso?

26.

¿En qué momento el desplazamiento desde el punto de equilibrio es igual a cero?

27.

¿Cuál es el tiempo necesario para que el peso vuelva a su altura inicial de 5 pulgadas? En otras palabras, ¿cuál es el periodo de la función de desplazamiento?

Funciones trigonométricas inversas

En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora.

28.

${sen}^{- 1} (1)$

29.

$\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

30.

$\tan^{–1} (–1)$

31.

$\cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}})$

32.

${sen}^{- 1} (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

33.

${sen}^{- 1} (\cos (\frac{π}{6}))$

34.

$\cos^{- 1} (\tan (\frac{3 π}{4}))$

35.

$sen (\sec^{- 1} (\frac{3}{5}))$

36.

$\cot ({sen}^{- 1} (\frac{3}{5}))$

37.

$\tan (\cos^{- 1} (\frac{5}{13}))$

38.

$sen (\cos^{- 1} (\frac{x}{x + 1}))$

39.

Grafique $f (x) = \cos x$ y $f (x) = \sec x$ en el intervalo $[0, 2 π)$ y explique las observaciones.

40.

Grafique $f (x) = sen x$ y $f (x) = \csc x$ y explique las observaciones.

41.

Grafique la función $f (x) = \frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!}$ en el intervalo $[- 1, 1]$ y compare este gráfico con el de $f (x) = sen x$ en el mismo intervalo. Describa las observaciones.