Visión geométrica de los vectores

Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:

• Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo $v,$ $u,$ $w,$ $\overrightarrow{v},$ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}.$
• Dado el punto inicial $P$ y punto terminal $Q,$ un vector se puede representar como $\overrightarrow{PQ}.$ La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido.
• Dado un punto inicial de $\left(0,0\right)$ y punto terminal $\left(a,b\right),$ un vector se puede representar como $\langle a,b\rangle .$

Este último símbolo $\langle a,b\rangle$ tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial $\left(0,0\right)$ y un punto terminal $\left(a,b\right).$ Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y. Por lo tanto, si el punto inicial de un vector $\overrightarrow{CD}$ es $C\left(x_1,y_1\right)$ y el punto terminal es $D\left(x_2,y_2\right),$ entonces el vector de posición se halla calculando

En la Figura 2 vemos el vector original $\overrightarrow{CD}$ y el vector de posición $\overrightarrow{Ab}.$

Figura 2

Ejemplo 1

Hallar el vector de posición

Consideremos el vector cuyo punto inicial es $P\left(2,3\right)$ y el punto terminal es $Q\left(6,4\right).$ Halle el vector de posición.

Solución

El vector de posición se halla al restar una coordenada x de la otra coordenada x, y una coordenada y de la otra coordenada y. Así,

$$\begin{array}{l}v=\langle 6-2,4-3\rangle \hfill \\ =\langle 4,1\rangle \hfill \end{array}$$

El vector de posición comienza en $\left(0,0\right)$ y termina en $\left(4,1\right).$ Los gráficos de ambos vectores se muestran en la Figura 3.

Figura 3

Vemos que el vector de posición es $\langle 4,1\rangle .$

Ejemplo 2

Dibujar un vector con el criterio dado y su vector de posición equivalente

Halle el vector de posición dado el vector $v$ tiene un punto inicial en $\left(-3,2\right)$ y un punto terminal en $\left(4,5\right),$ luego, grafique ambos vectores en el mismo plano.

Solución

El vector de posición se halla utilizando el siguiente cálculo:

$$\begin{array}{l}v=\langle 4-(-3),5-2\rangle \hfill \\ =\langle 7,3\rangle \hfill \end{array}$$

Así, el vector de posición comienza en $\left(0,0\right)$ y termina en $\left(7,3\right).$ Vea la Figura 4.

Figura 4

Hallar la magnitud y la dirección

Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.

Magnitud y dirección de un vector

Dado un vector de posición $v$ $=\langle a,b\rangle ,$ la magnitud se halla por $\left|v\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$ La dirección es igual al ángulo formado con el eje x, o con el eje y, según la aplicación. Para un vector de posición, la dirección se halla mediante $\tan \theta =\left(\frac{b}{a}\right)\Rightarrow \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right),$ como se ilustra en la Figura 5.

Figura 5

Dos vectores v y u se consideran iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Además, si ambos vectores tienen el mismo vector de posición, son iguales.

Ejemplo 3

Hallar la magnitud y la dirección de un vector

Halle la magnitud y la dirección del vector con punto inicial $P\left(-8,1\right)$ y punto terminal $Q\left(–2,-5\right).$ Dibuje el vector.

Solución

Primero, halle el vector de posición.

$$\begin{array}{l}u=\langle \mathrm{–2},-(\mathrm{-8}),\mathrm{-5}\mathrm{-1}\rangle \hfill \\ =\langle 6,-6\rangle \hfill \end{array}$$

Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la magnitud.

$$\begin{array}{l}\left|u\right|=\sqrt{{(6)}^2+{(-6)}^2}\hfill \\ =\sqrt{72}\hfill \\ =6\sqrt{2}\hfill \end{array}$$

La dirección está dada como

$$\begin{array}{l}\tan \theta =\frac{\mathrm{-6}}{6}=\mathrm{-1}\Rightarrow \theta ={\tan }^{\mathrm{–1}}(\mathrm{–1})\hfill \\ =-\mathrm{45°}\hfill \end{array}$$

Sin embargo, el ángulo termina en el cuarto cuadrante, por lo que sumamos 360° para obtener un ángulo positivo. Así, $-\mathrm{45°}+\mathrm{360°}=\mathrm{315°}.$ Vea la Figura 6.

Figura 6

Ejemplo 4

Demostrar que dos vectores son iguales

Demuestre que el vector v con punto inicial en $\left(5,\mathrm{-3}\right)$ y punto terminal en $\left(\mathrm{–1},2\right)$ es igual al vector u con punto inicial en $\left(\mathrm{–1},\mathrm{-3}\right)$ y punto terminal en $\left(\mathrm{–7},2\right).$ Dibuje el vector de posición en la misma cuadrícula que v y u. A continuación, calcule la magnitud and dirección de cada vector.

Solución

Como se muestra en la Figura 7, dibuje el vector $v$ comenzando por el punto inicial $\left(5,\mathrm{-3}\right)$ y punto terminal $\left(\mathrm{–1},2\right).$ Dibuje el vector $u$ con punto inicial $\left(\mathrm{–1},\mathrm{-3}\right)$ y punto terminal $\left(\mathrm{–7},2\right).$ Calcule la posición estándar de cada uno.

A continuación, halle y dibuje el vector de posición para v y u. Tenemos

$$\begin{array}{l}v=\langle \mathrm{-1}-5,2-(-3)\rangle \hfill \\ =\langle \mathrm{–6},5\rangle \hfill \\ \hfill \\ u=\langle \mathrm{-7}-(\mathrm{–1}),2-(\mathrm{-3})\rangle \hfill \\ =\langle \mathrm{–6},5\rangle \hfill \end{array}$$

Dado que los vectores de posición son los mismos v y u son iguales.

Otra manera de comprobar la igualdad de los vectores es demostrar que la magnitud y la dirección son iguales para ambos vectores. Para demostrar que las magnitudes son iguales, utilice el teorema de Pitágoras.

$$\begin{array}{l}\left|v\right|=\sqrt{{(\mathrm{-1}-5)}^2+{(2-(\mathrm{-3}))}^2}\hfill \\ =\sqrt{{(\mathrm{-6})}^2+{(5)}^2}\hfill \\ =\sqrt{36+25}\hfill \\ =\sqrt{61}\hfill \\ \left|u\right|=\sqrt{{(\mathrm{-7}-(\mathrm{–1}))}^2+{(2-(\mathrm{-3}))}^2}\hfill \\ =\sqrt{{(\mathrm{-6})}^2+{(5)}^2}\hfill \\ =\sqrt{36+25}\hfill \\ =\sqrt{61}\hfill \end{array}$$

Como las magnitudes son iguales, ahora tenemos que verificar la dirección. Al utilizar la función tangente con el vector de posición se obtiene

$$\begin{array}{l}\tan \theta =-\frac{5}{6}\Rightarrow \theta ={\tan }^{-1}\left(-\frac{5}{6}\right)\hfill \\ =-\mathrm{39,8°}\hfill \end{array}$$

Sin embargo, podemos ver que el vector de posición termina en el segundo cuadrante, por lo que sumamos $\mathrm{180°}.$ Así, la dirección es $-\mathrm{39,8°}+\mathrm{180°}=\mathrm{140,2\; °}.$

Figura 7

Realizar suma de vectores y multiplicación escalar

Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector $u$ $=\langle x,y\rangle$ como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto $(x,y),$ los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores u y v, o suma de vectores, produce un tercer vector u+ v, el vector resultante.

Para calcular u + v, primero dibujamos el vector u, y desde el punto terminal de u, dibujamos el vector v. Es decir, tenemos que el punto inicial de v se encuentra con el punto terminal de u. Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma u + v es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de u hasta el final de v en una trayectoria recta, como se muestra en Figura 8.

Figura 8

La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar u − v, véalo como u + (−v). Para sumar -v se invierte el sentido de vpara sumarlo al extremo de u. El nuevo vector comienza en el inicio de u y se detiene en el punto final de -v. Ver Figura 9 para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos.

Figura 9

Ejemplo 5

Sumar y restar vectores

Dado $u$ $=\langle 3,-2\rangle$ y $v$ $=\langle \mathrm{–1},4\rangle ,$ hallar dos nuevos vectores u + v y u − v.

Solución

Para dar con la suma de dos vectores, sumamos sus componentes. Por lo tanto,

$$\begin{array}{l}u+v=\langle 3,-2\rangle +\langle -1,4\rangle \hfill \\ =\langle 3+(-1),-2+4\rangle \hfill \\ =\langle 2,2\rangle \hfill \end{array}$$

Vea la Figura 10(a).

Para hallar la diferencia de dos vectores, se suman los componentes negativos de $v$ a $u.$ Así,

$$\begin{array}{l}u+(-v)=\langle 3,-2\rangle +\langle 1,-4\rangle \hfill \\ =\langle 3+1,-2+(-4)\rangle \hfill \\ =\langle 4,-6\rangle \hfill \end{array}$$

Vea la Figura 10(b).

Figura 10 (a) Suma de dos vectores (b) Diferencia de dos vectores

Multiplicar por un escalar

Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.

Ejemplo 6

Realizar multiplicación escalar

Vector dado $v$ $=\langle 3,1\rangle ,$ hallar 3v, $\frac{1}{2}$ $v,$ y –v.

Solución

Véase Figura 11 para una interpretación geométrica. Si $v$ $=\langle 3,1\rangle ,$ entonces

$$\begin{array}{l}3v=\langle 3\cdot 3,3\cdot 1\rangle \hfill \\ =\langle 9,3\rangle \hfill \\ \frac{1}{2}v=\langle \frac{1}{2}\cdot 3,\frac{1}{2}\cdot 1\rangle \hfill \\ =\langle \frac{3}{2},\frac{1}{2}\rangle \hfill \\ -v=\langle \mathrm{-3},\mathrm{-1}\rangle \hfill \end{array}$$

Figura 11

Análisis

Observe que el vector 3v es tres veces la longitud de v, $\frac{1}{2}$ $v$ es la mitad de la longitud de v, y –v es la misma longitud de v, pero en sentido contrario.

Hallar la forma en componentes

En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección $x$ y el componente vertical es la dirección $y$. Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la Figura 12 que el vector de posición $\langle 2,3\rangle$ resulta de sumar los vectores v₁ y v₂. Tenemos v₁ con punto inicial $\left(0,0\right)$ y punto terminal $\left(2,0\right).$

También tenemos v₂ con punto inicial $\left(0,0\right)$ y punto terminal $\left(0,3\right).$

Por lo tanto, el vector de posición es

Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de v₁ es 2, y la magnitud de v₂ es 3. Para hallar la magnitud de v, utilice la fórmula con el vector de posición.

La magnitud de v es $\sqrt{13}.$ Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente $\tan \theta =\frac{y}{x}.$

Figura 12

Así, la magnitud de $v$ es $\sqrt{13}$ y la dirección es ${\mathrm{56,3}}^{\circ }$ de la horizontal.

Ejemplo 8

Hallar los componentes del vector

Halle los componentes del vector $v$ con punto inicial $\left(3,2\right)$ y punto terminal $\left(7,4\right).$

Solución

Primero, halle la posición estándar.

$$\begin{array}{l}v=\langle 7-3,4–2\rangle \hfill \\ =\langle 4,2\rangle \hfill \end{array}$$

Vea la ilustración en la Figura 13.

Figura 13

El componente horizontal es $v_1$ $=\langle 4,0\rangle$ y el componente vertical es $v_2$ $=\langle 0,2\rangle .$

Hallar el vector unitario en la dirección de v

Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.

Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como $i$ $=\langle 1,0\rangle$ y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como $j$ $=\langle 0,1\rangle$ y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la Figura 14.

Figura 14

Ejemplo 9

Hallar el vector unitario en la dirección de v

Halle un vector unitario en la misma dirección que $v$ $=\langle \mathrm{-5},12\rangle .$

Solución

Primero hallaremos la magnitud.

$$\begin{array}{l}\left|v\right|=\sqrt{{(-5)}^2+{(12)}^2}\hfill \\ =\sqrt{25+144}\hfill \\ =\sqrt{169}\hfill \\ =13\hfill \end{array}$$

A continuación, dividimos cada componente entre $|v|,$ lo cual resulta en un vector unitario en la misma dirección que v:

$$\frac{v}{\left|v\right|}=-\frac{5}{13}i+\frac{12}{13}j$$

o en forma de componente

$$\frac{v}{\left|v\right|}=\langle -\frac{5}{13},\frac{12}{13}\rangle$$

Vea la Figura 15.

Figura 15

Compruebe que la magnitud del vector unitario es igual a 1. La magnitud de $-\frac{5}{13}i+\frac{12}{13}j$ se da como

$$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{169}+\frac{144}{169}}\hfill \\ =\sqrt{\frac{169}{169}}=1\hfill \end{array}$$

El vector u $=\frac{5}{13}$ i $+\frac{12}{13}$ j es el vector unitario en la misma dirección que v $=\langle -5,12\rangle .$

Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de i y j.

Vectores en el plano rectangular

Dado un vector $v$ con punto inicial $P=\left(x_1,y_1\right)$ y punto terminal $Q=(x_2,y_2),$ v se escribe como

$$v=\left(x_2-x_1\right)i+\left(y_2-y_1\right)j$$

El vector de posición de $\left(0,0\right)$ al $\left(a,b\right),$ donde $\left(x_2-x_1\right)=a$ y $\left(y_2-y_1\right)=b,$ se escribe como v = ai + bj. Esta suma vectorial se denomina a) combinación lineal de los vectores i y j.

La magnitud de v = ai + bj viene dada como $\left|v\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$ Vea la Figura 16.

Figura 16

Realizar operaciones con vectores en términos de i y j

Cuando los vectores se escriben en términos de $i$ y $j,$ podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.

Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección

Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando $i\text{y}j.$ Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.

El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con $\left|v\right|$ sustituyendo a $r.$

Calcular el producto punto de dos vectores

Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.

El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar.

Ejemplo 15

Hallar el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos

Halle el producto punto de v₁ = 5i + 2j y v₂ = 3i + 7j. Luego, halle el ángulo entre los dos vectores.

Solución

Al hallar el producto punto, multiplicamos los componentes correspondientes.

$$\begin{array}{l}{v}_1\cdot v_2=\langle 5,2\rangle \cdot \langle 3,7\rangle \hfill \\ =5\cdot 3+2\cdot 7\hfill \\ =15+14\hfill \\ =29\hfill \end{array}$$

Para hallar el ángulo entre ellos, utilizamos la fórmula $\cos \theta =\frac{v}{\left|v\right|}\cdot \frac{u}{\left|u\right|}.$

$$\begin{array}{l}\frac{v}{\left|v\right|}\cdot \frac{u}{\left|u\right|}=\langle \frac{5}{\sqrt{29}}+\frac{2}{\sqrt{29}}\rangle \cdot \langle \frac{3}{\sqrt{58}}+\frac{7}{\sqrt{58}}\rangle \hfill \\ =\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot \frac{3}{\sqrt{58}}+\frac{2}{\sqrt{29}}\cdot \frac{7}{\sqrt{58}}\hfill \\ =\frac{15}{\sqrt{1682}}+\frac{14}{\sqrt{1682}}=\frac{29}{\sqrt{1682}}\hfill \\ \begin{array}{l}=\mathrm{0,707107}\hfill \\ {\cos }^{-1}(\mathrm{0,707107})=\mathrm{45°}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

Vea la Figura 17.

Figura 17