Ejercicios de repaso

Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 1.

Gráfico de una función definida por partes con dos segmentos. El primer segmento va de (–1, 2), un punto cerrado, a (3, –6), un punto cerrado, y el segundo segmento va de (3, 5), un punto abierto, a (7, 9), un punto cerrado.

Figura 1

$\underset{x \to {−1}^{+}}{lím} f (x)$

$\underset{x \to {−1}^{-}}{lím} f (x)$

$\underset{x \to - 1}{lím} f (x)$

$\underset{x \to 3}{lím} f (x)$

¿En qué valores de $x$ la función es discontinua? ¿Qué condición de continuidad se viola?

Utilizando la Tabla 1, estime $\underset{x \to 0}{lím} f (x) .$

$x$	$F (x)$
-0,1	2,875
-0,01	2,92
-0,001	2,998
0	Indefinida
0,001	2,9987
0,01	2,865
0,1	2,78145
0,15	2,678

Tabla 1

En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que $x$ se acerca a $a .$ Si la función tiene límite a medida que $x$ se acerca a $a,$ indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

$f (x) = {\begin{array}{l} | x | - 1, & i f & x \neq 1 \\ x^{3}, & i f & x = 1 \end{array} a = 1$

$f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1}, & i f & x = - 2 \\ {(x + 1)}^{2}, & i f & x \neq - 2 \end{array} a = - 2$

$f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x + 3}, & i f & x < 1 \\ - \sqrt[3]{x}, & i f & x > 1 \end{array} a = 1$

Hallar los límites: propiedades de los límites

En los siguientes ejercicios, halle los límites si $\underset{x \to c}{lím} f (x) = −3$ y $\underset{x \to c}{lím} g (x) = 5.$

10.

$\underset{x \to c}{lím} (f (x) + g (x))$

11.

$\underset{x \to c}{lím} \frac{f (x)}{g (x)}$

12.

$\underset{x \to c}{lím} (f (x) \cdot g (x))$

13.

$\underset{x \to 0^{+}}{lím} f (x), f (x) = {\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 x + 1 \\ 5 x + 3 \end{matrix} \begin{matrix} x > 0 \\ x < 0 \end{matrix}$

14.

$\underset{x \to 0^{-}}{lím} f (x), f (x) = {\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 x + 1 \\ 5 x + 3 \end{matrix} \begin{matrix} x > 0 \\ x < 0 \end{matrix}$

15.

$\underset{x \to 3^{+}}{lím} (3 x - [x])$

En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas.

16.

$\underset{h \to 0}{lím} (\frac{{(h + 6)}^{2} - 36}{h})$

17.

$\underset{x \to 25}{lím} (\frac{x^{2} - 625}{\sqrt{x} - 5})$

18.

$\underset{x \to 1}{lím} (\frac{- x^{2} - 9 x}{x})$

19.

$\begin{matrix} lím \\ ^{x \to 4} \end{matrix} \frac{7 - \sqrt{12 x + 1}}{x - 4}$

20.

$\underset{x \to - 3}{lím} (\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{x}}{3 + x})$

Continuidad

En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en $x = a .$ En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en $x = a .$

21.

$f (x) = \frac{- 2}{x - 4}; a = 4$

22.

$f (x) = \frac{- 2}{{(x - 4)}^{2}}; a = 4$

23.

$f (x) = \frac{- x}{x^{2} - x - 6}; a = 3$

24.

$f (x) = \frac{6 x^{2} + 23 x + 20}{4 x^{2} - 25}; a = - \frac{5}{2}$

25.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - 3}{9 - x}; a = 9$

En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada $f (x)$ es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades.

26.

$f (x) = x^{2} - 2 x - 15$

27.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 5}$

28.

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}$

29.

$f (x) = \frac{x^{3} - 125}{2 x^{2} - 12 x + 10}$

30.

$f (x) = \frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{2 - x}$

31.

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

32.

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$

Derivados

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio $\frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$

33.

$f (x) = 3 x + 2$

34.

$f (x) = 5$

35.

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

36.

$f (x) = \ln (x)$

37.

$f (x) = e^{2 x}$

En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función.

38.

$f (x) = 4 x - 6$

39.

$f (x) = 5 x^{2} - 3 x$

40.

Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de $f (x)$ en el valor $x$ indicado.

$f (x) = - x^{3} + 4 x$ ; $x = 2.$

En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.

41.

$f (x) = \frac{x}{| x |}$

42.

Dado que el volumen de un cono circular recto es $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ y que un cono dado tiene una altura fija de 9 cm y una longitud de radio variable, calcule la tasa instantánea de cambio del volumen con respecto a la longitud del radio cuando este es de 2 cm. Dé una respuesta exacta en términos de $π$