Comprender la notación de límites

Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia

se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función $f(x)=L\text{,}$ entonces a medida que la entrada $x$ se acerca cada vez más a $a,$ la coordenada y de salida se acerca cada vez más a $L.$ Decimos que la salida "se acerca a" $L.$

La Figura 1 proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada $x$ se acerca a $a,$ el valor de salida $f\left(x\right)$ se acerca a $L.$

Figura 1 La salida (coordenada y) se acerca a $L$ a medida que la entrada (coordenada x) se acerca a $a.$

Escribimos la ecuación de un límite como

Esta notación indica que a medida que $x$ se acerca a $a$ tanto desde la izquierda de $x=a$ y desde la derecha de $x=a,$ el valor de salida se acerca a $L.$

Considere la función

Podemos factorizar la función como se muestra.

Observe que $x$ no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición, $x\ne 7,$ para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la Figura 2.

Figura 2 Como el 7 no está permitido como entrada, no hay ningún punto en $x=7.$

Lo que sucede en $x=7$ es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a $x=7$ a cada lado. La notación

indica que a medida que la entrada $x$ se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7.

¿Qué sucede en $x=7?$ Cuando $x=7,$ no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como

Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como

Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando $f(x)$ no está definida en $x=a.$ Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que $x$ se acerca a $a,$ aunque la salida en $x=a$ no existe.

Comprender los límites izquierdo y derecho

Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La Figura 3 muestra los valores de

$$f(x)=x+1,x\ne 7$$

como se han descrito anteriormente y se han representado en la Figura 2.

Figura 3

Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la Figura 3 son $\mathrm{6,9},$ $\mathrm{6,99},$ y $\mathrm{6,999.}$ Las salidas correspondientes son $\mathrm{7,9},\mathrm{7,99},$ y $\mathrm{7,999.}$ Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de $f\left(x\right)$ cuando $x$ se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función $f(x)=x+1,x\ne 7$ a medida que $x$ se acerca a 7.

Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la Figura 3 son $\mathrm{7,1},$ $\mathrm{7,01},$ y $\mathrm{7,001.}$ Las salidas correspondientes son $\mathrm{8,1},$ $\mathrm{8,01},$ y $\mathrm{8,001.}$ Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de $f\left(x\right)$ cuando $x$ se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función $f(x)=x+1,x\ne 7$ a medida que $x$ se acerca a 7.

La Figura 3 muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de $x$ dentro del intervalo $\mathrm{6,9}<x<\mathrm{7,1}$ para producir un valor de salida de $f\left(x\right)$ dentro del intervalo $\mathrm{7,9}<f(x)<\mathrm{8,1.}$

También vemos que podemos obtener valores de salida de $f(x)$ sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados.

La Figura 4 proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de $f(x),$ observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a $L=8$ a medida que $x$ se acerca a 7 por la izquierda y a medida que $x$ se acerca a 7 por la derecha.

Para indicar el límite izquierdo, escribimos

$$\underset{x\to 7^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=8.$$

Para indicar el límite derecho, escribimos

$$\underset{x\to 7^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=8.$$

Figura 4 Los límites izquierdo y derecho son los mismos para esta función.

Límites izquierdo y derecho

El límite izquierdo de una función $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ desde la izquierda es igual a $L,$ denotado por

$$\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=L.$$

Los valores de $f(x)$ pueden acercarse al límite $L$ tanto como queramos tomando valores de $x$ lo suficientemente cerca de $a$ de manera que $x<a$ y $x\ne a.$

El límite derecho de una función $f(x),$ a medida que $x$ se acerca a $a$ desde la derecha, es igual a $L,$ denotado por

$$\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=L.$$

Los valores de $f(x)$ pueden acercarse al límite $L$ tanto como queramos tomando valores de $x$ lo suficientemente cerca de $a$ pero mayores que $a.$ Ambos $a$ y $L$ son números reales.

Hallar un límite utilizando un gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que $x$ se acerca a $a,$ observamos el gráfico de la función cuando $x$ está muy cerca de $x=a.$ En la Figura 5 observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de $a.$

Figura 5

Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de $x=a,$ pero cerca de $x=a.$ Aquí es donde $x<a.$ Vemos que las salidas se acercan a algún número real $L$ por lo que hay un límite izquierdo.

Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de $x=a,$ pero cerca de $x=a.$ Aquí es donde $x>a.$ Vemos que las salidas se acercan a algún número real $L,$ por lo que hay un límite derecho.

Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la Figura 5, entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado.

Por último, podemos buscar un valor de salida para la función $f\left(x\right)$ cuando el valor de entrada $x$ es igual a $a.$ El par de coordenadas del punto sería $\left(a,f\left(a\right)\right).$ Si ese punto existe, entonces $f\left(a\right)$ tiene un valor. Si el punto no existe, como en la Figura 5, entonces decimos que $f\left(a\right)$ no existe.

Inténtelo #2

Utilizando el gráfico de la función $y=f\left(x\right)$ que se muestra en la Figura 8, estime los siguientes límites.

1. $\underset{x\to 0^{}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
2. $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
3. $\underset{x\to 0}{\text{lím}}f\left(x\right)$
4. $\underset{x\to 2^{}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
5. $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
6. $\underset{x\to 2}{\text{lím}}f\left(x\right)$
7. $\underset{x\to 4^{}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
8. $\underset{x\to 4^{+}}{\text{lím}}f\left(x\right)$
9. $\underset{x\to 4}{\text{lím}}f\left(x\right)$

Figura 8

Hallar un límite utilizando una tabla

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de $x$ se acercan a $a$ de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite $L.$

Veamos un ejemplo con la siguiente función:

Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a $x=5.$ Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la Figura 9. Los valores de la tabla muestran que cuando $x>5$ pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando $x>5$ pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75.

Figura 9

Dado que

entonces

Recuerde que $f\left(5\right)$ no existe.

Ejemplo 3

Hallar un límite utilizando una tabla

Estime numéricamente el límite de la siguiente expresión mediante una tabla de valores a ambos lados del límite.

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}\left(\frac{5\mathrm{sen}(x)}{3x}\right)$$

Solución

Podemos estimar el valor de un límite, si existe, evaluando la función en valores cercanos a $x=\mathrm{0,}$ No podemos hallar un valor de la función para $x=0$ directamente porque el resultado tendría un denominador igual a 0, y por lo tanto sería indefinido.

$$f(x)=\frac{5\mathrm{sen}(x)}{3x}$$

Para crear la Figura 10 elegimos varios valores de entrada cercanos a $x=0,$ con la mitad de ellos menores que $x=0$ y la mitad de ellos mayores que $x=\mathrm{0,}$ Tenga en cuenta que tenemos que estar seguros de que estamos utilizando el modo radián. Evaluamos la función en cada valor de entrada para completar la tabla.

Los valores de la tabla indican que cuando $x<0$ pero acercándose a 0, la salida correspondiente se acerca a $\frac{5}{3}.$

Cuando $x>0$ pero acercándose a 0, la salida correspondiente también se acerca a $\frac{5}{3}.$

Figura 10

Dado que

$$\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=\frac{5}{3}=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{lím}}f(x),$$

entonces

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}f(x)=\frac{5}{3}.$$

Preguntas y respuestas

¿Es posible comprobar nuestra respuesta utilizando una herramienta gráfica?

Sí. Anteriormente utilizamos una tabla para hallar un límite de 75 para la función $f(x)=\frac{x^3-125}{x-5}$ a medida que $x$ se acerca a 5. Para comprobarlo, graficamos la función en una ventana de visualización como se muestra en la Figura 11. Una comprobación gráfica muestra que ambas ramas del gráfico de la función se acercan a la salida 75 a medida que $x$ se acerca a 5. Además, podemos utilizar la función de "trace" de una calculadora gráfica. Al acercarse a $x=5$ podemos observar numéricamente que las salidas correspondientes se acercan a $75.$

Figura 11

Ejemplo 4

Usar una herramienta gráfica para determinar un límite

Con el uso de una herramienta gráfica, si es posible, determine los límites izquierdo y derecho de la siguiente función a medida que $x$ se acerca a 0. Si la función tiene un límite a medida que $x$ se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.

$$f(x)=3\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{x}\right)$$

Solución

Podemos utilizar una herramienta gráfica para investigar el comportamiento del gráfico cerca de $x=\mathrm{0,}$ Centrándonos alrededor de $x=0,$ elegimos dos ventanas de visualización de manera que la segunda se amplíe más cerca de $x=0$ que la primera. El resultado se parecería a la Figura 12 para $[-2,2]$ entre $[-3,3].$

Figura 12

El resultado se parecería a la Figura 13 para $[\mathrm{-0,1},\mathrm{0,1}]$ entre $[\mathrm{-3},3].$

Figura 13 Incluso más cerca de cero, somos aún menos capaces de distinguir cualquier límite.

Cuanto más nos acerquemos a 0, mayores serán las oscilaciones de los valores de salida. Ese no es el comportamiento de una función con límite izquierdo o derecho. Y si no hay límite izquierdo ni derecho, ciertamente no hay límite para la función $f\left(x\right)$ cuando $x$ se acerca a 0.

Escribimos

$$\underset{x\to 0^{-}}{\mathrm{lím}}\left(3\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{x}\right)\right)\text{ no existe}.$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{lím}}\left(3\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{x}\right)\right)\text{ no existe}.$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{lím}}\left(3\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{x}\right)\right)\text{ no existe}\text{.}$$