Secciones cónicas en coordenadas polares

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Identificar una sección cónica en forma polar.
Graficar las ecuaciones polares de secciones cónicas.
Definir secciones cónicas en términos de un foco y una directriz.

Figura 1 Los planetas que orbitan el sol siguen trayectorias elípticas. (Créditos: NASA Blueshift, Flickr).

La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas.

En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.

Identificar una sección cónica en forma polar.

Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola $x = 2 + y^{2}$ que se muestra en la Figura 2.

Se muestra una parábola horizontal, marcada como x = 2 + y al cuadrado, que se abre hacia la derecha. El foco está marcado como foco @ polo y está en el eje polar horizontal. Se muestra la directriz vertical. Un punto de la cara superior de la parábola se denomina P veces (r, theta) y desde él se trazan dos líneas de igual longitud r, una hacia el foco y otra hacia la directriz y perpendicular a ella. La línea al foco hace un ángulo theta con el eje polar.

Figura 2

En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco $P (r, θ)$ en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.

Si los valores de $F$ es un punto fijo, el foco, y $D$ es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que $e$ sea un número fijo positivo, llamado excentricidad, que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos $P$ de manera que $e = \frac{P F}{P D}$ es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos $P$ con la propiedad de que la relación de la distancia de $P$ con $F$ con la distancia de $P$ con $D$ es igual a la constante $e .$

Para una cónica con excentricidad $e,$

si $0 \leq e < 1,$ la cónica es una elipse
si $e = 1,$ la cónica es una parábola
si $e > 1,$ la cónica es una hipérbola

Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, $x = \pm p,$ la excentricidad $e,$ y el ángulo $θ .$ Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar, una ecuación escrita en términos de $r$ y $θ .$

La ecuación polar de una cónica

Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es $x = \pm p,$ donde $p$ es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo $e,$ la cónica tiene una ecuación polar

r = \frac{e p}{1 \pm e \cos θ}

Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es $y = \pm p,$ donde $p$ es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo $e,$ la cónica tiene una ecuación polar

r = \frac{e p}{1 \pm e sen θ}

Cómo

Dada la ecuación polar de una cónica, identifique el tipo de cónica, la directriz y la excentricidad.

Multiplique el numerador y el denominador por el recíproco de la constante en el denominador para reescribir la ecuación en forma estándar.
Identifique la excentricidad $e$ como el coeficiente de la función trigonométrica en el denominador.
Compare $e$ con 1 para determinar la forma de la cónica.
Determine la directriz como $x = p$ si el coseno está en el denominador y $y = p$ si el seno está en el denominador. Establezca $e p$ igual al numerador en forma estándar para resolver $x$ o $y .$

Ejemplo 1

Identificación de una sección cónica dada la forma polar

Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad.

$r = \frac{6}{3 + 2 sen θ}$
$r = \frac{12}{4 + 5 \cos θ}$
$r = \frac{7}{2 - 2 sen θ}$

Solución

Para cada una de las tres cónicas reescribiremos la ecuación en forma estándar. La forma estándar tiene un 1 como constante en el denominador. Por lo tanto, en las tres partes, el primer paso será multiplicar el numerador y el denominador por el recíproco de la constante de la ecuación original, $\frac{1}{c},$ donde $c$ es esa constante.

Multiplique el numerador y el denominador por $\frac{1}{3} .$
$r = \frac{6}{3 + 2 sen θ} \cdot \frac{(\frac{1}{3})}{(\frac{1}{3})} = \frac{6 (\frac{1}{3})}{3 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{3}) sen θ} = \frac{2}{1 + \frac{2}{3} sen θ}$

Dado que $sen θ$ está en el denominador, la directriz es $y = p .$ En comparación con la forma estándar, tenga en cuenta que $e = \frac{2}{3} .$ Por lo tanto, desde el numerador,

$\begin{array}{l} 2 = e p \\ 2 = \frac{2}{3} p \\ (\frac{3}{2}) 2 = (\frac{3}{2}) \frac{2}{3} p \\ 3 = p \end{array}$
Dado que $e < 1,$ la cónica es una elipse. La excentricidad es $e = \frac{2}{3}$ y la directriz es $y = 3.$
Multiplique el numerador y el denominador por $\frac{1}{4} .$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{12}{4 + 5 \cos θ} \cdot \frac{(\frac{1}{4})}{(\frac{1}{4})} \end{array} \\ r = \frac{12 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{4}) \cos θ} \\ r = \frac{3}{1 + \frac{5}{4} \cos θ} \end{array}$

Dado que $cos θ$ está en el denominador, la directriz es $x = p .$ Comparación con la forma estándar, $e = \frac{5}{4} .$ Por lo tanto, desde el numerador,

$\begin{array}{l} 3 = e p \\ 3 = \frac{5}{4} p \\ (\frac{4}{5}) 3 = (\frac{4}{5}) \frac{5}{4} p \\ \frac{12}{5} = p \end{array}$

Dado que $e > 1,$ la cónica es una hipérbola. La excentricidad es $e = \frac{5}{4}$ y la directriz es $x = \frac{12}{5} = 2,4.$
Multiplique el numerador y el denominador por $\frac{1}{2} .$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{7}{2 - 2 sen θ} \cdot \frac{(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})} \\ r = \frac{7 (\frac{1}{2})}{2 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) sen θ} \\ r = \frac{\frac{7}{2}}{1 - sen θ} \end{array} \end{array}$

Como el seno está en el denominador, la directriz es $y = - p .$ Comparación con la forma estándar, $e = 1.$ Por lo tanto, desde el numerador,

$\begin{array}{l} \frac{7}{2} = e p \\ \frac{7}{2} = (1) p \\ \frac{7}{2} = p \end{array}$

Dado que $e = 1,$ la cónica es una parábola. La excentricidad es $e = 1$ y la directriz es $y = - \frac{7}{2} = -3,5.$

Inténtelo #1

Identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad para $r = \frac{2}{3 - \cos θ} .$

Graficar las ecuaciones polares de las cónicas

Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar $e$ y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de $θ$ y resolver para $r$ para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que $θ$ igual a $0, \frac{π}{2}, π,$ y $\frac{3 π}{2}$ proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.

Ejemplo 2

Graficar una parábola en forma polar

Grafique $r = \frac{5}{3 + 3 \cos θ} .$

Solución

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 3, que es $\frac{1}{3} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{5}{3 + 3 \cos θ} = \frac{5 (\frac{1}{3})}{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1}{3}) \cos θ} \end{array} \\ r = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \cos θ} \end{array}

Dado que $e = 1,$ graficaremos una parábola con foco en el origen. La función tiene un $\cos θ,$ y hay un signo de suma en el denominador, por lo que la directriz es $x = p .$

\begin{array}{l} \frac{5}{3} = e p \\ \frac{5}{3} = (1) p \\ \frac{5}{3} = p \end{array}

La directriz es $x = \frac{5}{3} .$

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla 1 nos permitirá ver los vértices. Vea la Figura 3.

	A	B	C	D
$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$r = \frac{5}{3 + 3 \cos θ}$	$\frac{5}{6} \approx 0,83$	$\frac{5}{3} \approx 1,67$	indefinida	$\frac{5}{3} \approx 1,67$

Tabla 1

Se muestra una parábola horizontal que se abre hacia la izquierda en un sistema de coordenadas polares. El foco está en el polo. Se muestra la directriz, la línea vertical x = 5/3. El vértice está marcado como A. Los puntos en los que la parábola se interseca con el eje vertical a través del polo están identificados: el punto superior es B, el punto inferior es D. Las marcas del eje polar están identificadas como 2, 3, 4, 5.

Figura 3

Análisis

Podemos comprobar nuestro resultado con una herramienta gráfica. Vea la Figura 4.

Se muestra una parábola horizontal que se abre hacia la izquierda en un sistema de coordenadas polares. El vértice está en el eje polar en r = 1. Las marcas del eje polar están identificadas como 2, 3, 4, 5.

Figura 4

Ejemplo 3

Graficar una hipérbola en forma polar

Grafique $r = \frac{8}{2 - 3 sen θ} .$

Solución

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 2, que es $\frac{1}{2} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{8}{2 - 3 sen θ} = \frac{8 (\frac{1}{2})}{2 (\frac{1}{2}) - 3 (\frac{1}{2}) sen θ} \end{array} \\ r = \frac{4}{1 - \frac{3}{2} sen θ} \end{array}

Dado que $e = \frac{3}{2}, e > 1,$ por lo que graficaremos una hipérbola con foco en el origen. La función tiene un $sen θ$ y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es $y = - p .$

\begin{array}{l} 4 = e p \\ 4 = (\frac{3}{2}) p \\ 4 (\frac{2}{3}) = p \\ \frac{8}{3} = p \end{array}

La directriz es $y = - \frac{8}{3} .$

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla 2 nos permitirá ver los vértices. Vea la Figura 5.

	A	B	C	D
$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$r = \frac{8}{2 - 3 sen θ}$	$4$	$- 8$	$4$	$\frac{8}{5} = 1,6$

Tabla 2

Se muestra una hipérbola vertical en un sistema de coordenadas polares, centrada por debajo del polo. Los vértices están en el eje vertical a través del polo. El vértice superior se marca como D y el inferior como B. Los puntos en los que la rama superior de la hipérbola interseca el eje polar y su extensión horizontal se marcan como A y C respectivamente. Las marcas del eje polar están identificadas como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Figura 5

Ejemplo 4

Graficar una elipse en forma polar

Grafique $r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ} .$

Solución

Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 5, que es $\frac{1}{5} .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ} = \frac{10 (\frac{1}{5})}{5 (\frac{1}{5}) - 4 (\frac{1}{5}) \cos θ} \\ r = \frac{2}{1 - \frac{4}{5} \cos θ} \end{array} \end{array}

Dado que $e = \frac{4}{5}, e < 1,$ por lo que graficaremos una elipse con un foco en el origen. La función tiene un $cos θ,$ y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es $x = - p .$

\begin{array}{l} 2 = e p \\ 2 = (\frac{4}{5}) p \\ 2 (\frac{5}{4}) = p \\ \frac{5}{2} = p \end{array}

La directriz es $x = - \frac{5}{2} .$

Trazar algunos puntos clave como en la Tabla 3 nos permitirá ver los vértices. Vea la Figura 6.

	A	B	C	D
$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ}$	$10$	$2$	$\frac{10}{9} \approx 1,1$	$2$

Tabla 3

Se muestra una elipse horizontal en un sistema de coordenadas polares, centrada en el eje polar a la derecha del polo. Los vértices están en el eje polar. El vértice de la derecha está marcado como A y el vértice de la izquierda está marcado como C y está a la izquierda del polo. El punto A está en el eje polar en r = 10. Las marcas del eje polar están identificadas como 2, 4, 6, 8, 10, 12. Los puntos superior e inferior en los que la elipse se interseca con el eje vertical que pasa por el polo se denominan B y D respectivamente. Se muestra la directriz, la línea vertical x = 5/2 negativo.

Figura 6

Análisis

Podemos comprobar nuestro resultado utilizando una herramienta gráfica. Vea la Figura 7.

Figura 7

r = \frac{10}{5 - 4 \cos θ}

graficado en una ventana de visualización de

[-3, 12, 1]

entre

[- 4, 4, 1], θ mín. = 0

θ máx. = 2 π .

Inténtelo #2

Grafique $r = \frac{2}{4 - \cos θ} .$

Definir cónicas en términos de un foco y una directriz

Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.

Cómo

Dado el foco, la excentricidad y la directriz de una cónica, determine la ecuación polar.

Determine si la directriz es horizontal o vertical. Si la directriz se da en términos de $y,$ utilizamos la forma polar general en términos de seno. Si la directriz se da en términos de $x,$ utilizamos la forma polar general en términos de coseno.
Determine el signo del denominador. Si los valores de $p < 0,$ utilice la resta. Si los valores de $p > 0,$ utilice la adición.
Escriba el coeficiente de la función trigonométrica como la excentricidad dada.
Escriba el valor absoluto de $p$ en el numerador y simplifique la ecuación.

Ejemplo 5

Hallar la forma polar de una sección cónica vertical dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz

Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, $e = 3$ y directriz $y = - 2.$

Solución

La directriz es $y = - p,$ por lo que sabemos que la función trigonométrica en el denominador es el seno.

Dado que $y = –2, -2 < 0,$ por lo que sabemos que hay un signo de resta en el denominador. Utilizamos la forma estándar de

r = \frac{e p}{1 - e sen θ}

y $e = 3$ y $| −2 | = 2 = p .$

Por lo tanto,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{(3) (2)}{1 - 3 sen θ} \\ r = \frac{6}{1 - 3 sen θ} \end{array} \end{array}

Ejemplo 6

Hallar la forma polar de una sección cónica horizontal dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz

Halle la forma polar de una cónica dado un foco en el origen, $e = \frac{3}{5},$ y directriz $x = 4.$

Solución

Como la directriz es $x = p,$ sabemos que la función en el denominador es coseno. Dado que $x = 4, 4 > 0,$ entonces sabemos que hay un signo de suma en el denominador. Utilizamos la forma estándar de

r = \frac{e p}{1 + e \cos θ}

y $e = \frac{3}{5}$ y $| 4 | = 4 = p .$

Por lo tanto,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} r = \frac{(\frac{3}{5}) (4)}{1 + \frac{3}{5} \cos θ} \end{array} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{1 + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{1 (\frac{5}{5}) + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5} \cos θ} \\ r = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5 + 3 \cos θ} \\ r = \frac{12}{5 + 3 \cos θ} \end{array}

Inténtelo #3

Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, $e = 1,$ y directriz $x = −1.$

Ejemplo 7

Convertir una cónica en forma polar a forma rectangular

Convertir la sección cónica $r = \frac{1}{5 - 5 sen θ}$ a la forma rectangular.

Solución

Reorganizaremos la fórmula para utilizar las identidades $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, x = r \cos θ, y y = r sen θ .$

\begin{array}{l} r = \frac{1}{5 - 5 sen θ} \\ r \cdot (5 - 5 sen θ) = \frac{1}{5 - 5 sen θ} \cdot (5 - 5 sen θ) & Eliminar la fracción . \\ 5 r - 5 r sen θ = 1 & Distribuya . \\ 5 r = 1 + 5 r sen θ & Aísle 5 r . \\ 25 r^{2} = {(1 + 5 r sen θ)}^{2} & Eleve ambos lados al cuadrado . \\ 25 (x^{2} + y^{2}) = {(1 + 5 y)}^{2} & Sustituya r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} y y = r sen θ . \\ 25 x^{2} + 25 y^{2} = 1 + 10 y + 25 y^{2} & Distribuya y use el método FOIL . \\ 25 x^{2} - 10 y = 1 & Reordene los términos y establézcalos igual a 1 . \end{array}

Inténtelo #4

Convertir la sección cónica $r = \frac{2}{1 + 2 \cos θ}$ a la forma rectangular.

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las cónicas en coordenadas polares.

10.5 Ejercicios de sección

Verbales

Explique cómo la excentricidad determina qué sección cónica se da.

Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, ¿qué debe ser cierto para el denominador?

Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, y el denominador implica $sen θ,$ ¿qué conclusión se puede sacar sobre la directriz?

Si la directriz de una sección cónica es perpendicular al eje polar, ¿qué sabemos de la ecuación del gráfico?

¿Qué sabemos sobre los focos de una sección cónica si se escribe como una ecuación polar?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.

$r = \frac{6}{1 - 2 \cos θ}$

$r = \frac{3}{4 - 4 sen θ}$

$r = \frac{8}{4 - 3 \cos θ}$

$r = \frac{5}{1 + 2 sen θ}$

10.

$r = \frac{16}{4 + 3 \cos θ}$

11.

$r = \frac{3}{10 + 10 \cos θ}$

12.

$r = \frac{2}{1 - \cos θ}$

13.

$r = \frac{4}{7 + 2 \cos θ}$

14.

$r (1 - \cos θ) = 3$

15.

$r (3 + 5 sen θ) = 11$

16.

$r (4 - 5 sen θ) = 1$

17.

$r (7 + 8 \cos θ) = 7$

En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular.

18.

$r = \frac{4}{1 + 3 sen θ}$

19.

$r = \frac{2}{5 - 3 sen θ}$

20.

$r = \frac{8}{3 - 2 \cos θ}$

21.

$r = \frac{3}{2 + 5 \cos θ}$

22.

$r = \frac{4}{2 + 2 sen θ}$

23.

$r = \frac{3}{8 - 8 \cos θ}$

24.

$r = \frac{2}{6 + 7 \cos θ}$

25.

$r = \frac{5}{5 - 11 sen θ}$

26.

$r (5 + 2 \cos θ) = 6$

27.

$r (2 - \cos θ) = 1$

28.

$r (2,5 - 2,5 sen θ) = 5$

29.

$r = \frac{6 \sec θ}{- 2 + 3 \sec θ}$

30.

$r = \frac{6 \csc θ}{3 + 2 \csc θ}$

En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos.

31.

$r = \frac{5}{2 + \cos θ}$

32.

$r = \frac{2}{3 + 3 sen θ}$

33.

$r = \frac{10}{5 - 4 sen θ}$

34.

$r = \frac{3}{1 + 2 \cos θ}$

35.

$r = \frac{8}{4 - 5 \cos θ}$

36.

$r = \frac{3}{4 - 4 \cos θ}$

37.

$r = \frac{2}{1 - sen θ}$

38.

$r = \frac{6}{3 + 2 sen θ}$

39.

$r (1 + \cos θ) = 5$

40.

$r (3 - 4 sen θ) = 9$

41.

$r (3 - 2 sen θ) = 6$

42.

$r (6 - 4 \cos θ) = 5$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas.

43.

Directriz: $x = 4; e = \frac{1}{5}$

44.

Directriz: $x = - 4; e = 5$

45.

Directriz: $y = 2; e = 2$

46.

Directriz: $y = - 2; e = \frac{1}{2}$

47.

Directriz: $x = 1; e = 1$

48.

Directriz: $x = - 1; e = 1$

49.

Directriz: $x = - \frac{1}{4}; e = \frac{7}{2}$

50.

Directriz: $y = \frac{2}{5}; e = \frac{7}{2}$

51.

Directriz: $y = 4; e = \frac{3}{2}$

52.

Directriz: $x = −2; e = \frac{8}{3}$

53.

Directriz: $x = −5; e = \frac{3}{4}$

54.

Directriz: $y = 2; e = 2,5$

55.

Directriz: $x = −3; e = \frac{1}{3}$

Extensiones

Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término $x y$ han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con $r$ en función de $θ .$

56.

$x y = 2$

57.

$x^{2} + x y + y^{2} = 4$

58.

$2 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 9$

59.

$16 x^{2} + 24 x y + 9 y^{2} = 4$

60.

$2 x y + y = 1$