Parametrizar una curva

Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea— en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y. Sin embargo, ambos $x$ y $y$ varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro, del que tanto $x$ y $y$ son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo, $t.$ La intersección en $x$ posición de la luna en el tiempo, $t,$ se representa como la función $x(t),$ y la intersección $y$ posición de la luna en el tiempo, $t,$ se representa como la función $y(t).$ Juntos, $x(t)$ y $y(t)$ se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado $\left(x(t),y(t)\right).$ Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.

Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo $x$ y $y\hspace{0.17em},$ en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables, $x,y,$ y $t.$ Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo.

Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de $x$ y de $y.$ Hay formas que no se pueden representar en la forma $y=f(x),$ lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como $r^2=x^2+y^2.$ Al resolver $y$ da como resultado $y=\pm \sqrt{r^2-x^2},$ o dos ecuaciones: $y_1=\sqrt{r^2-x^2}$ y $y_2=-\sqrt{r^2-x^2}.$ Si graficamos $y_1$ y $y_2$ juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la Figura 2. Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función.

Figura 2

Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos.

Ejemplo 1

Parametrizar una curva

Parametrizar la curva $y=x^2–1$ supongamos que $x(t)=t.$ Grafique ambas ecuaciones.

Solución

Si los valores de $x\left(t\right)=t,$ entonces para hallar $y\left(t\right)$ sustituimos la variable $x$ con la expresión dada en $x\left(t\right).$ En otras palabras, $y\left(t\right)=t^2-1.$ Haga una tabla de valores similar a la Tabla 1, y trace el gráfico.

$t$	$x(t)$	$y(t)$
$-4$	$-4$	$y\left(-4\right)={\left(-4\right)}^2–1=15$
$-3$	$-3$	$y\left(-3\right)={\left(-3\right)}^2–1=8$
$-2$	$-2$	$y\left(–2\right)={\left(–2\right)}^2–1=3$
$-1$	$-1$	$y\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2–1=0$
$0$	$0$	$y\left(0\right)={\left(0\right)}^2–1=-1$
$1$	$1$	$y\left(1\right)={\left(1\right)}^2–1=0$
$2$	$2$	$y\left(2\right)={\left(2\right)}^2–1=3$
$3$	$3$	$y\left(3\right)={\left(3\right)}^2–1=8$
$4$	$4$	$y\left(4\right)={\left(4\right)}^2–1=15$

Tabla 1

Observe los gráficos en la Figura 3. Puede ser útil utilizar la función TRACE de una calculadora gráfica para ver cómo se generan los puntos cuando $t$ aumenta.

Figura 3 (a) Paramétrica $y\left(t\right)=t^2–1$ (b) Rectangular $y=x^2–1$

Análisis

Las flechas indican la dirección en la que se genera la curva. Observe que la curva es idéntica a la curva de $y=x^2-1.$

Ejemplo 2

Hallar un par de ecuaciones paramétricas

Halle un par de ecuaciones paramétricas que modelen el gráfico de $y=1-x^2,$ utilizando el parámetro $x\left(t\right)=t.$ Trace algunos puntos y dibuje el gráfico.

Solución

Si los valores de $x(t)=t$ y sustituimos $t$ por $x$ en la ecuación $y$, entonces $y\left(t\right)=1-t^2.$ Nuestro par de ecuaciones paramétricas es

$$\begin{array}{l}x(t)=t\\ y(t)=1-t^2\end{array}$$

Para graficar las ecuaciones, primero construimos una tabla de valores como la que aparece en la Tabla 2. Podemos elegir valores de aproximadamente $t=0,$ a partir de $t=-3$ con $t=3.$ Los valores de $x(t)$ serán los mismos que los de la columna $t$ porque $x(t)=t.$ Calcule los valores de la columna $y(t).$

$t$	$x(t)=t$	$y(t)=1-t^2$
$-3$	$-3$	$y\left(-3\right)=1-{\left(-3\right)}^2=-8$
$-2$	$-2$	$y\left(–2\right)=1-{\left(–2\right)}^2=-3$
$-1$	$-1$	$y\left(-1\right)=1-{\left(-1\right)}^2=0$
$0$	$0$	$y(0)=1-0=1$
$1$	$1$	$y(1)=1-{(1)}^2=0$
$2$	$2$	$y(2)=1-{(2)}^2=-3$
$3$	$3$	$y(3)=1-{(3)}^2=-8$

Tabla 2

el gráfico de $y=1-t^2$ es una parábola orientada hacia abajo, como se muestra en la Figura 4. Hemos trazado la curva sobre el intervalo $[\mathrm{-3},3],$ que se muestra como una línea sólida con flechas que indican la orientación de la curva según $t.$ La orientación se refiere a la trayectoria trazada a lo largo de la curva en términos de valores crecientes de $t.$ Como esta parábola es simétrica respecto a la línea $x=0,$ los valores de $x$ se reflejan a través del eje y.

Figura 4

Ejemplo 3

Hallar ecuaciones paramétricas que modelen criterios dados

Un objeto se desplaza a una velocidad constante a lo largo de una trayectoria recta $(\mathrm{-5},3)$ al $(3,\mathrm{–1})$ en el mismo plano en cuatro segundos. Las coordenadas están medidas en metros. Halle ecuaciones paramétricas para la posición del objeto.

Solución

Las ecuaciones paramétricas son expresiones lineales sencillas, pero tenemos que ver este problema paso a paso. El valor x del objeto comienza en $\mathrm{-5}$ metros y va hasta 3 metros. Esto significa que la distancia x cambió 8 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de $\frac{\text{8 m}}{4\text{ s}},$ o $2\text{m}/\text{s}.$ Podemos escribir la coordenada x como una función lineal con respecto al tiempo como $x(t)=2t-5.$ En la plantilla de función lineal $y=mx+b,2t=mx$ y $-5=b.$

Del mismo modo, el valor y del objeto comienza en 3 y va hasta $\mathrm{-1},$ lo que supone un cambio en la distancia y de –4 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de $\frac{-4\text{ m}}{4\text{ s}},$ o $-1\text{m}/\text{s}.$ También podemos escribir la coordenada y como la función lineal $y(t)=-t+3.$ En conjunto, estas son las ecuaciones paramétricas para la posición del objeto, donde $x$ y $y$ se expresan en metros y $t$ representa el tiempo:

$$\begin{array}{l}x(t)=2t-5\hfill \\ y(t)=-t+3\hfill \end{array}$$

Si utilizamos estas ecuaciones, podemos construir una tabla de valores para $t,x,$ y $y$ (vea la Tabla 3). En este ejemplo, limitamos los valores de $t$ a números no negativos. En general, cualquier valor de $t$ se puede utilizar.

$t$	$x(t)=2t-5$	$y(t)=-t+3$
$0$	$x=2(0)-5=-5$	$y=-(0)+3=3$
$1$	$x=2(1)-5=-3$	$y=-(1)+3=2$
$2$	$x=2(2)-5=-1$	$y=-(2)+3=1$
$3$	$x=2(3)-5=1$	$y=-(3)+3=0$
$4$	$x=2(4)-5=3$	$y=-(4)+3=-1$

Tabla 3

A partir de esta tabla, podemos crear tres gráficos, como se muestra en la Figura 5.

Figura 5 (a) Un gráfico de $x$ versus $t,$ que representa la posición horizontal en el tiempo. (b) Un gráfico de $y$ versus $t,$ que representa la posición vertical en el tiempo. (c) Un gráfico de $y$ versus $x,$ que representa la posición del objeto en el plano en el tiempo $t.$

Análisis

De nuevo, vemos que, en la Figura 5(c), cuando el parámetro representa el tiempo, podemos indicar el movimiento del objeto a lo largo de la trayectoria con flechas.

Eliminar el parámetro

En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo $x$ y $y.$ La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro $t$ a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.

Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas

Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para $t.$ Sustituimos la expresión resultante por $t$ en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en $x$ y $y.$

Ejemplo 4

Eliminación del parámetro en polinomios

Dados $x(t)=t^2+1$ y $y(t)=2+t,$ elimine el parámetro y escriba las ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana.

Solución

Comenzaremos con la ecuación para $y$ porque la ecuación lineal es más fácil de resolver para $t.$

$$\begin{array}{l}y=2+t\hfill \\ y-2=t\hfill \end{array}$$

A continuación, sustituya $y-2$ por $t$ en $x(t).$

$$\begin{array}{ll}x=t^2+1\hfill & \hfill \\ x={(y-2)}^2+1\hfill & \text{Sustituya la expresión de }t\text{ en }x.\hfill \\ x=y^2-4y+4+1\hfill & \hfill \\ x=y^2-4y+5\hfill & \hfill \\ x=y^2-4y+5\hfill & \hfill \end{array}$$

La forma cartesiana es $x=y^2-4y+5.$

Análisis

Esta es una ecuación para una parábola en la que, en términos rectangulares, $x$ depende de $y.$ Desde el vértice de la curva en $\left(1,2\right),$ el gráfico se desplaza hacia la derecha. Vea el Figura 6. En esta sección consideramos conjuntos de ecuaciones dadas por las funciones $x\left(t\right)$ y $y\left(t\right),$ donde $t$ es la variable independiente del tiempo. Observe que tanto $x$ y $y$ son funciones del tiempo; así que, en general, $y$ no es una función de $x.$

Figura 6

Inténtelo #3

Dadas las ecuaciones siguientes, elimine el parámetro y escriba como ecuación rectangular para $y$ en función de $x.$

$$\begin{array}{l}x(t)=2t^2+6\hfill \\ y(t)=5-t\hfill \end{array}$$

Ejemplo 5

Eliminar el parámetro en ecuaciones exponenciales

Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana $x(t)=e^{-t}$ y $y(t)=3e^t,$ $t>\mathrm{0,}$

Solución

Aísle $e^t.$

$$\begin{array}{l}x=e^{-t}\hfill \\ e^t=\frac{1}{x}\hfill \end{array}$$

Sustituya la expresión en $y(t).$

$$\begin{array}{l}y=3e^t\hfill \\ y=3\left(\frac{1}{x}\right)\hfill \\ y=\frac{3}{x}\hfill \end{array}$$

La forma cartesiana es $y=\frac{3}{x}.$

Análisis

El gráfico de la ecuación paramétrica se muestra en la Figura 7(a). El dominio está restringido a $t>\mathrm{0,}$ La ecuación cartesiana, $y=\frac{3}{x}$ se muestra en la Figura 7(b) y solo tiene una restricción en el dominio, $x\ne \mathrm{0,}$

Figura 7

Ejemplo 6

Eliminar el parámetro en ecuaciones logarítmicas

Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana $x(t)=\sqrt{t}+2$ y $y(t)=\log (t).$

Solución

Resuelva la primera ecuación para $t.$

$$\begin{array}{ll}x=\sqrt{t}+2\hfill & \hfill \\ x-2=\sqrt{t}\hfill & \hfill \\ {(x-2)}^2=t\hfill & \text{Eleve ambos lados al cuadrado}.\hfill \end{array}$$

A continuación, sustituya la expresión por $t$ en la ecuación $y$.

$$\begin{array}{l}y=\log \left(t\right)\\ y=\log {\left(x-2\right)}^2\end{array}$$

La forma cartesiana es $y=\log {\left(x-2\right)}^2.$

Análisis

Para estar seguro de que las ecuaciones paramétricas son equivalentes a la ecuación cartesiana, compruebe los dominios. Las ecuaciones paramétricas limitan el dominio en $x=\sqrt{t}+2$ al $t>0;$ restringimos el dominio en $x$ a $x>2.$ El dominio para la ecuación paramétrica $y=\log (t)$ se restringe a $t>0;$ limitamos el dominio en $y=\log {\left(x-2\right)}^2$ hasta $x>2.$

Inténtelo #4

Elimine el parámetro y escriba como una ecuación rectangular.

$$\begin{array}{l}x(t)=t^2\hfill \\ y(t)=\ln tt>0\hfill \end{array}$$

Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas

Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras.

Primero, usamos las identidades:

$$\begin{array}{l}x\left(t\right)=a\cos t\\ y\left(t\right)=b\mathrm{sen}t\end{array}$$

Resolvemos para $\cos t$ y $\mathrm{sen}t,$ tenemos

$$\begin{array}{l}\frac{x}{a}=\cos t\\ \frac{y}{b}=\mathrm{sen}t\end{array}$$

Entonces, usamos el teorema de Pitágoras:

$${\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t=1$$

La sustitución da como resultado

$${\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t={\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$$

Ejemplo 7

Eliminación del parámetro de un par de ecuaciones paramétricas trigonométricas

Elimine el parámetro del par de ecuaciones trigonométricas dadas donde $0\le t\le 2\pi$ y dibujar el gráfico.

$$\begin{array}{l}x(t)=4\cos t\\ y(t)=3\mathrm{sen}t\end{array}$$

Solución

Resolvemos para $\cos t$ y $\mathrm{sen}t,$ tenemos

$$\begin{array}{l}x=4\cos t\hfill \\ \frac{x}{4}=\cos t\hfill \\ y=3\mathrm{sen}t\hfill \\ \frac{y}{3}=\mathrm{sen}t\hfill \end{array}$$

A continuación, utilice la identidad pitagórica y haga las sustituciones.

$$\begin{array}{r}\hfill {\cos }^{2}t+{\mathrm{sen}}^{2}t=1\\ \hfill {\left(\frac{x}{4}\right)}^2+{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=1\\ \hfill \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\end{array}$$

El gráfico de la ecuación se muestra en la Figura 8.

Figura 8

Análisis

Al aplicar las ecuaciones generales de las secciones cónicas (introducidas en la sección Geometría analítica), podemos identificar $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ como una elipse centrada en $\left(0,0\right).$ Observe que cuando $t=0$ las coordenadas son $\left(4,0\right),$ y cuando $t=\frac{\pi }{2}$ las coordenadas son $\left(0,3\right).$ Esto muestra la orientación de la curva con valores crecientes de $t.$

Inténtelo #5

Elimine el parámetro del par de ecuaciones paramétricas dadas y escríbalo como una ecuación cartesiana: $x(t)=2\cos t$ y $y(t)=3\mathrm{sen}t.$

Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente

Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo $x\left(t\right)=t.$ En este caso, $y\left(t\right)$ puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.

Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir $x$ por $t.$ Así, la ecuación cartesiana es $y=x^2-\mathrm{3,}$

Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar $x,$ y luego sustituirlo en la ecuación $y$, y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para $x$ como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes.

Ejemplo 9

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares

Halle un conjunto de ecuaciones paramétricas equivalentes para $y={\left(x+3\right)}^2+1.$

Solución

Una opción obvia sería dejar que $x\left(t\right)=t.$ Entonces $y\left(t\right)={\left(t+3\right)}^2+1.$ Pero intentemos algo más interesante. ¿Y si dejamos que $x=t+3?$ Entonces tenemos

$$\begin{array}{l}y={(x+3)}^2+1\hfill \\ y={\left((t+3)+3\right)}^2+1\hfill \\ y={(t+6)}^2+1\hfill \end{array}$$

El conjunto de ecuaciones paramétricas es

$$\begin{array}{l}x(t)=t+3\hfill \\ y(t)={(t+6)}^2+1\hfill \end{array}$$

Vea la Figura 9.

Figura 9