Capítulo 10

Inténtelo

10.1 La elipse

$x^{2} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

centro: $(0, 0);$ vértices: $(\pm 6, 0);$ covértices: $(0, \pm2, 2);$ focos: $(\pm 4 \sqrt{2}, 0)$

Forma estándar: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{49} = 1;$ centro: $(0, 0);$ vértices: $(0, \pm 7);$ covértices: $(\pm 4, 0);$ focos: $(0, \pm \sqrt{33})$

Centro: $(4, 2);$ vértices: $(- 2, 2)$ y $(10, 2);$ covértices: $(4, 2 - 2 \sqrt{5})$ y $(4, 2 + 2 \sqrt{5});$ focos: $(0, 2)$ y $(8, 2)$

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1;$ centro: $(3, - 1);$ vértices: $(3, - 5)$ y $(3, 3);$ covértices: $(1, - 1)$ y $(5, - 1);$ focos: $(3, - 1 - 2 \sqrt{3})$ y $(3, - 1+ 2 \sqrt{3})$

Ⓐ $\frac{x^{2}}{57, 600} + \frac{y^{2}}{25, 600} = 1$
Ⓑ Las personas están de pie a 358 pies de distancia.

10.2 La hipérbola

Vértices: $(\pm 3, 0);$ Focos: $(\pm \sqrt{34}, 0)$

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{144} = 1$

vértices: $(\pm 12, 0);$ covértices: $(0, \pm 9);$ focos: $(\pm 15, 0);$ asíntotas: $y = \pm \frac{3}{4} x;$

centro: $(3, - 4);$ vértices: $(3, - 14)$ y $(3, 6);$ covértices: $(- 5, - 4);$ y $(11, - 4);$ focos: $(3, - 4 - 2 \sqrt{41})$ y $(3, - 4 + 2 \sqrt{41});$ asíntotas: $y = \pm \frac{5}{4} (x - 3) - 4$

Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica. $\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{3.600} = 1 o \frac{x^{2}}{20^{2}} - \frac{y^{2}}{60^{2}} = 1.$

10.3 La parábola

Foco: $(- 4, 0);$ Directriz: $x = 4;$ Puntos finales del latus rectum: $(- 4, \pm 8)$

Foco: $(0, 2);$ Directriz: $y = −2;$ Puntos finales del latus rectum: $(\pm 4, 2) .$

$x^{2} = 14 y .$

Vértice $(8, - 1);$ Eje de simetría: $y = −1;$ Foco: $(9, - 1);$ Directriz: $x = 7;$ Puntos finales del latus rectum: $(9, - 3)$ y $(9, 1) .$

Vértice $(- 2, 3);$ Eje de simetría: $x = −2;$ Foco: $(- 2, - 2);$ Directriz: $y = 8;$ Puntos finales del latus rectum: $(- 12, - 2)$ y $(8, - 2) .$

Ⓐ $y^{2} = 1280 x$
Ⓑ La profundidad de la cocina es de 500 mm

10.4 Rotación de ejes

Ⓐ hipérbola
Ⓑ elipse

$\frac{{x^{'}}^{2}}{4} + \frac{{y^{'}}^{2}}{1} = 1$

Ⓐ hipérbola
Ⓑ elipse

10.5 Secciones cónicas en coordenadas polares

elipse; $e = \frac{1}{3}; x = - 2$

$r = \frac{1}{1 - \cos θ}$

$4 - 8 x + 3 x^{2} - y^{2} = 0$

10.1 Ejercicios de sección

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Este caso especial sería un círculo.

Es simétrico respecto al eje x, al eje y y al origen.

sí; $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$

sí; $\frac{x^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\frac{1}{3})}^{2}} = 1$

11.

$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{7^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(0, 7)$ y $(0, - 7) .$ Puntos finales del eje menor $(2, 0)$ y $(- 2, 0) .$ Focos en $(0, 3 \sqrt{5}), (0, - 3 \sqrt{5}) .$

13.

$\frac{x^{2}}{{(1)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\frac{1}{3})}^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(1, 0)$ y $(- 1, 0) .$ Puntos finales del eje menor $(0, \frac{1}{3}), (0, - \frac{1}{3}) .$ Focos en $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, 0), (- \frac{2 \sqrt{2}}{3}, 0) .$

15.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{7^{2}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{5^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(9, 4), (- 5, 4) .$ Puntos finales del eje menor $(2, 9), (2, - 1) .$ Focos en $(2 + 2 \sqrt{6}, 4), (2 - 2 \sqrt{6}, 4) .$

17.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{2^{2}} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{3^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(- 5, 10), (- 5, 4) .$ Puntos finales del eje menor $(- 3, 7), (- 7, 7) .$ Focos en $(- 5, 7 + \sqrt{5}), (- 5, 7 - \sqrt{5}) .$

19.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{3^{2}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(4, 4), (- 2, 4) .$ Puntos finales del eje menor $(1, 6), (1, 2) .$ Focos en $(1 + \sqrt{5}, 4), (1 - \sqrt{5}, 4) .$

21.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{2})}^{2}} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(3 + 3 \sqrt{2}, 5), (3 - 3 \sqrt{2}, 5) .$ Puntos finales del eje menor $(3, 5 + \sqrt{2}), (3, 5 - \sqrt{2}) .$ Focos en $(7, 5), (- 1, 5) .$

23.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2)}^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(0, 2), (- 10, 2) .$ Puntos finales del eje menor $(- 5, 4), (- 5, 0) .$ Focos en $(- 5 + \sqrt{21}, 2), (- 5 - \sqrt{21}, 2) .$

25.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{{(2)}^{2}} = 1;$ Puntos finales del eje mayor $(2, - 4), (- 8, - 4) .$ Puntos finales del eje menor $(- 3, - 2), (- 3, - 6) .$ Focos en $(- 3 + \sqrt{21}, - 4), (- 3 - \sqrt{21}, - 4) .$

27.

Focos $(- 3, - 1 + \sqrt{11}), (- 3, - 1 - \sqrt{11})$

29.

Foco $(0, 0)$

31.

Focos $(- 10, 30), (- 10, - 30)$

33.

Centro $(0, 0),$ Vértices $(4, 0), (- 4, 0), (0, 3), (0, - 3),$ Focos $(\sqrt{7}, 0), (- \sqrt{7}, 0)$

35.

Centro $(0, 0),$ Vértices $(\frac{1}{9}, 0), (- \frac{1}{9}, 0), (0, \frac{1}{7}), (0, - \frac{1}{7}),$ Focos $(0, \frac{4 \sqrt{2}}{63}), (0, - \frac{4 \sqrt{2}}{63})$

37.

Centro $(- 3, 3),$ Vértices $(0, 3), (- 6, 3), (- 3, 0), (- 3, 6),$ Foco $(- 3, 3)$

Observe que esta elipse es un círculo. El círculo solo tiene un foco, que coincide con el centro.

39.

Centro $(1, 1),$ Vértices $(5, 1), (- 3, 1), (1, 3), (1, - 1),$ Focos $(1, 1 + 2 \sqrt{3}), (1, 1 - 2 \sqrt{3})$

41.

Centro $(- 4, 5),$ Vértices $(- 2, 5), (- 6, 4), (- 4, 6), (- 4, 4),$ Focos $(- 4 + \sqrt{3}, 5), (- 4 - \sqrt{3}, 5)$

43.

Centro $(- 2, 1),$ Vértices $(0, 1), (- 4, 1), (- 2, 5), (- 2, - 3),$ Focos $(- 2, 1 + 2 \sqrt{3}), (- 2, 1 - 2 \sqrt{3})$

45.

Centro $(- 2, - 2),$ Vértices $(0, - 2), (- 4, - 2), (- 2, 0), (- 2, - 4),$ Foco $(- 2, - 2)$

47.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{29} = 1$

49.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{1} = 1$

51.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = 1$

53.

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

55.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$

57.

$Área = 12π unidades al cuadrado$

59.

$Área = 2 \sqrt{5} π$ unidades cuadradas.

61.

$Área = 9π$ unidades cuadradas.

63.

$\frac{x^{2}}{4 h^{2}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4} h^{2}} = 1$

65.

$\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ . Distancia = 17,32 pies

67.

Aproximadamente 51,96 pies

10.2 Ejercicios de sección

Una hipérbola es el conjunto de puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es una constante positiva.

Los focos deben estar en el eje transversal y en el interior de la hipérbola.

El centro debe ser el punto medio del segmento de línea que une los focos.

sí $\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$

sí $\frac{x^{2}}{4^{2}} - \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1$

11.

$\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1;$ vértices: $(5, 0), (- 5, 0);$ focos: $(\sqrt{61}, 0), (- \sqrt{61}, 0);$ asíntotas: $y = \frac{6}{5} x, y = - \frac{6}{5} x$

13.

$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{9^{2}} = 1;$ vértices: $(0, 2), (0, - 2);$ focos: $(0, \sqrt{85}), (0, - \sqrt{85});$ asíntotas: $y = \frac{2}{9} x, y = - \frac{2}{9} x$

15.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{3^{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4^{2}} = 1;$ vértices: $(4, 2), (- 2, 2);$ focos: $(6, 2), (- 4, 2);$ asíntotas: $y = \frac{4}{3} (x - 1) + 2, y = - \frac{4}{3} (x - 1) + 2$

17.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{7^{2}} - \frac{{(y + 7)}^{2}}{7^{2}} = 1;$ vértices: $(9, - 7), (- 5, - 7);$ focos: $(2 + 7 \sqrt{2}, - 7), (2 - 7 \sqrt{2}, - 7);$ asíntotas: $y = x - 9, y = - x - 5$

19.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{3^{2}} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{3^{2}} = 1;$ vértices: $(0, 3), (- 6, 3);$ focos: $(- 3 + 3 \sqrt{2}, 1), (- 3 - 3 \sqrt{2}, 1);$ asíntotas: $y = x + 6, y = - x$

21.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4^{2}} = 1;$ vértices: $(3, 6), (3, 2);$ focos: $(3, 4 + 2 \sqrt{5}), (3, 4 - 2 \sqrt{5});$ asíntotas: $y = \frac{1}{2} (x - 3) + 4, y = - \frac{1}{2} (x - 3) + 4$

23.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{7^{2}} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{70^{2}} = 1;$ vértices: $(- 1, 2), (- 1, - 12);$ focos: $(- 1, - 5 + 7 \sqrt{101}), (- 1, - 5 - 7 \sqrt{101});$ asíntotas: $y = \frac{1}{10} (x + 1) - 5, y = - \frac{1}{10} (x + 1) - 5$

25.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} = 1;$ vértices: $(2, 4), (- 8, 4);$ focos: $(- 3 + \sqrt{29}, 4), (- 3 - \sqrt{29}, 4);$ asíntotas: $y = \frac{2}{5} (x + 3) + 4, y = - \frac{2}{5} (x + 3) + 4$

27.

$y = \frac{2}{5} (x - 3) - 4, y = - \frac{2}{5} (x - 3) - 4$

29.

$y = \frac{3}{4} (x - 1) + 1, y = - \frac{3}{4} (x - 1) + 1$

31.

33.

35.

37.

39.

41.

43.

45.

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

47.

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{11} = 1$

49.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{1} = 1$

51.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

53.

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$

55.

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

57.

$y (x) = 3 \sqrt{x^{2} + 1}, y (x) = - 3 \sqrt{x^{2} + 1}$

59.

$y (x) = 1 + 2 \sqrt{x^{2} + 4 x + 5}, y (x) = 1 - 2 \sqrt{x^{2} + 4 x + 5}$

61.

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

63.

$\frac{x^{2}}{100} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

65.

$\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{225} = 1$

67.

$4 (x 1)^{2} y 2^{2} = 16$

69.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} \frac{(y k)^{2}}{b^{2}} = (x 3)^{2} 9 y^{2} = 4$

10.3 Ejercicios de sección

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una línea fija, la directriz.

El gráfico se abrirá hacia abajo.

La distancia entre el foco y la directriz aumentará.

sí $x^{2} = 4 (\frac{1}{16}) y$

sí ${(y - 3)}^{2} = 4 (2) (x - 2)$

11.

$y^{2} = \frac{1}{8} x, V : (0, 0); F : (\frac{1}{32}, 0); d : x = - \frac{1}{32}$

13.

$x^{2} = - \frac{1}{4} y, V : (0, 0); F : (0, - \frac{1}{16}); d : y = \frac{1}{16}$

15.

$y^{2} = \frac{1}{36} x, V : (0, 0); F : (\frac{1}{144}, 0); d : x = - \frac{1}{144}$

17.

${(x - 1)}^{2} = 4 (y - 1), V : (1, 1); F : (1, 2); d : y = 0$

19.

${(y - 4)}^{2} = 2 (x + 3), V : (- 3, 4); F : (- \frac{5}{2}, 4); d : x = - \frac{7}{2}$

21.

${(x + 4)}^{2} = 24 (y + 1), V : (- 4, - 1); F : (- 4, 5); d : y = −7$

23.

${(y - 3)}^{2} = −12 (x + 1), V : (- 1, 3); F : (- 4, 3); d : x = 2$

25.

${(x - 5)}^{2} = \frac{4}{5} (y + 3), V : (5, - 3); F : (5, - \frac{14}{5}); d : y = - \frac{16}{5}$

27.

${(x - 2)}^{2} = −2 (y - 5), V : (2, 5); F : (2, \frac{9}{2}); d : y = \frac{11}{2}$

29.

${(y - 1)}^{2} = \frac{4}{3} (x - 5), V : (5, 1); F : (\frac{16}{3}, 1); d : x = \frac{14}{3}$

31.

33.

35.

37.

39.

41.

43.

45.

$x^{2} = −16 y$

47.

${(y - 2)}^{2} = 4 \sqrt{2} (x - 2)$

49.

${(y + \sqrt{3})}^{2} = -4 \sqrt{2} (x - \sqrt{2})$

51.

$x^{2} = y$

53.

${(y - 2)}^{2} = \frac{1}{4} (x + 2)$

55.

${(y - \sqrt{3})}^{2} = 4 \sqrt{5} (x + \sqrt{2})$

57.

$y^{2} = −8 x$

59.

${(y + 1)}^{2} = 12 (x + 3)$

61.

$(0, 1)$

63.

En el punto 2,25 pies por encima del vértice.

65.

0,5625 pies

67.

$x^{2} = -125 (y - 20),$ la altura es de 7,2 pies

69.

2.304 pies

10.4 Ejercicios de sección

El término $x y$ hace que se produzca una rotación del gráfico.

La sección cónica es una hipérbola.

Da el ángulo de rotación de los ejes para eliminar el término $x y$ .

$A B = 0,$ parábola

$A B = - 4 < 0,$ hipérbola

11.

$A B = 6 > 0,$ elipse

13.

$B^{2} - 4 A C = 0,$ parábola

15.

$B^{2} - 4 A C = 0,$ parábola

17.

$B^{2} - 4 A C = - 96 < 0,$ elipse

19.

$7 {x^{'}}^{2} + 9 {y^{'}}^{2} - 4 = 0$

21.

$3 {x^{'}}^{2} + 2 x^{'} y^{'} - 5 {y^{'}}^{2} + 1 = 0$

23.

$θ = 60^{\circ}, 11 {x^{'}}^{2} - {y^{'}}^{2} + \sqrt{3} x^{'} + y^{'} - 4 = 0$

25.

$θ = 150^{\circ}, 21 {x^{'}}^{2} + 9 {y^{'}}^{2} + 4 x^{'} - 4 \sqrt{3} y^{'} - 6 = 0$

27.

$θ \approx {36,9}^{\circ}, 125 {x^{'}}^{2} + 6 x^{'} - 42 y^{'} + 10 = 0$

29.

$θ = 45^{\circ}, 3 {x^{'}}^{2} - {y^{'}}^{2} - \sqrt{2} x^{'} + \sqrt{2} y^{'} + 1 = 0$

31.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (x^{'} + y^{'}) = \frac{1}{2} {(x^{'} - y^{'})}^{2}$

33.

$\frac{{(x^{'} - y^{'})}^{2}}{8} + \frac{{(x^{'} + y^{'})}^{2}}{2} = 1$

35.

$\frac{{(x^{'} + y^{'})}^{2}}{2} - \frac{{(x^{'} - y^{'})}^{2}}{2} = 1$

37.

$\frac{\sqrt{3}}{2} x^{'} - \frac{1}{2} y^{'} = {(\frac{1}{2} x^{'} + \frac{\sqrt{3}}{2} y^{'} - 1)}^{2}$

39.

41.

43.

45.

47.

49.

51.

$θ = 45^{\circ}$

53.

$θ = 60^{\circ}$

55.

$θ \approx {36,9}^{\circ}$

57.

$- 4 \sqrt{6} < k < 4 \sqrt{6}$

59.

$k = 2$

10.5 Ejercicios de sección

Si la excentricidad es menor que 1, es una elipse. Si la excentricidad es igual a 1, es una parábola. Si la excentricidad es mayor que 1, es una hipérbola.

La directriz será paralela al eje polar.

Uno de los focos se situará en el origen.

Parábola con $e = 1$ y directriz $\frac{3}{4}$ unidades por debajo del polo.

Hipérbola con $e = 2$ y directriz $\frac{5}{2}$ unidades por encima del polo.

11.

Parábola con $e = 1$ y directriz $\frac{3}{10}$ unidades a la derecha del polo.

13.

Elipse con $e = \frac{2}{7}$ y directriz $2$ unidades a la derecha del polo.

15.

Hipérbola con $e = \frac{5}{3}$ y directriz $\frac{11}{5}$ unidades por encima del polo.

17.

Hipérbola con $e = \frac{8}{7}$ y directriz $\frac{7}{8}$ unidades a la derecha del polo.

19.

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 12 y - 4 = 0$

21.

$21 x^{2} - 4 y^{2} - 30 x + 9 = 0$

23.

$64 y^{2} = 48 x + 9$

25.

$96 y^{2} - 25 x^{2} + 110 y + 25 = 0$

27.

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x - 1 = 0$

29.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x - 36 = 0$

31.

33.

35.

37.

39.

41.

43.

$r = \frac{4}{5 + \cos θ}$

45.

$r = \frac{4}{1 + 2 sen θ}$

47.

$r = \frac{1}{1 + \cos θ}$

49.

$r = \frac{7}{8 - 28 \cos θ}$

51.

$r = \frac{12}{2 + 3 sen θ}$

53.

$r = \frac{15}{4 - 3 \cos θ}$

55.

$r = \frac{3}{3 - 3 \cos θ}$

57.

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{1 + sen θ \cos θ}}$

59.

$r = \pm \frac{2}{4 \cos θ + 3 sen θ}$

Ejercicios de repaso

$\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{8^{2}} = 1;$ centro: $(0, 0);$ vértices: $(5, 0), (−5, 0), (0, 8), (0, - 8);$ focos: $(0, \sqrt{39}), (0, - \sqrt{39})$

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{1^{2}} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{3^{2}} = 1 (- 3, 2); (- 2, 2), (- 4, 2), (- 3, 5), (- 3, - 1); (- 3, 2 + 2 \sqrt{2}), (- 3, 2 - 2 \sqrt{2})$

centro: $(0, 0);$ vértices: $(6, 0), (–6, 0), (0, 3), (0, −3);$ focos: $(3 \sqrt{3}, 0), (- 3 \sqrt{3}, 0)$

centro: $(–2, –2);$ vértices: $(2, –2), (–6, –2), (–2, 6), (–2, –10);$ focos: $(–2, −2 + 4 \sqrt{3},), (–2, −2 -4 \sqrt{3})$

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

11.

Aproximadamente 35,71 pies.

13.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{6^{2}} = 1;$ centro: $(4, –1);$ vértices: $(4, 3), (4, −5);$ focos: $(4, −1 + 2 \sqrt{13}), (4, −1 - 2 \sqrt{13})$

15.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2^{2}} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(2 \sqrt{3})}^{2}} = 1;$ centro: $(2, −3);$ vértices: $(4, −3), (0, −3);$ focos: $(6, −3), (–2, −3)$

17.

19.

21.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - 7)}^{2}}{3} = 1$

23.

${(x + 2)}^{2} = \frac{1}{2} (y - 1);$ vértice: $(–2, 1);$ foco: $(–2, \frac{9}{8});$ directriz: $y = \frac{7}{8}$

25.

${(x + 5)}^{2} = (y + 2);$ vértice: $(- 5, - 2);$ foco: $(- 5, - \frac{7}{4});$ directriz: $y = - \frac{9}{4}$

27.

29.

31.

${(x - 2)}^{2} = (\frac{1}{2}) (y - 1)$

33.

$B^{2} - 4 A C = 0,$ parábola

35.

$B^{2} - 4 A C = - 31 < 0,$ elipse

37.

$θ = 45^{\circ}, {x^{'}}^{2} + 3 {y^{'}}^{2} - 12 = 0$

39.

$θ = 45^{\circ}$

41.

Hipérbola con $e = 5$ y directriz $2$ unidades a la izquierda del polo.

43.

Elipse con $e = \frac{3}{4}$ y directriz $\frac{1}{3}$ unidad por encima del polo.

45.

47.

49.

$r = \frac{3}{1 + \cos θ}$

Examen de práctica

$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1;$ centro: $(0, 0);$ vértices: $(3, 0), (-3, 0), (0, 2), (0, –2);$ focos: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

centro: $(3, 2);$ vértices: $(11, 2), (−5, 2), (3, 8), (3, –4);$ focos: $(3 + 2 \sqrt{7}, 2), (3 - 2 \sqrt{7}, 2)$

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{27} = 1$

$\frac{x^{2}}{7^{2}} - \frac{y^{2}}{9^{2}} = 1;$ centro: $(0, 0);$ vértices $(7, 0), (–7, 0);$ focos: $(\sqrt{130}, 0), (- \sqrt{130}, 0);$ asíntotas: $y = \pm \frac{9}{7} x$