Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

7.3 Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Utilizar las fórmulas del ángulo doble para hallar los valores exactos.
Utilizar las fórmulas del ángulo doble para verificar las identidades.
Utilizar fórmulas de reducción para simplificar una expresión.
Utilizar las fórmulas de ángulo medio para calcular los valores exactos.

Imagen de dos rampas para bicicletas: una con una pendiente pronunciada y otra con una pendiente suave.

Figura 1 Las rampas para ciclistas avanzados tienen una inclinación más pronunciada que las destinadas a los principiantes.

Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la Figura 1) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser $θ$ de manera que $\tan θ = \frac{5}{3} .$ El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta.

Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos

En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde $α = β .$ La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,

sen (α + β) = sen α \cos β + \cos α sen β

Supongamos que $α = β = θ,$ entonces tenemos

\begin{array}{l} sen (θ + θ) = sen θ \cos θ + \cos θ sen θ \\ sen (2 θ) = 2 sen θ \cos θ \end{array}

La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma, $\cos (α + β) = \cos α \cos β - sen α sen β,$ y suponiendo que $α = β = θ,$ tenemos

\begin{array}{l} \cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - sen θ sen θ \\ \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ \end{array}

Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es:

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ \\ = (1 - {sen}^{2} θ) - {sen}^{2} θ \\ = 1 - 2 {sen}^{2} θ \end{array}

La segunda interpretación es:

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ \\ = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ) \\ = 2 \cos^{2} θ - 1 \end{array}

Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir $α = β = θ$ en la fórmula de la suma da

\begin{matrix} \tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \\ \tan (θ + θ) = \frac{\tan θ + \tan θ}{1 - \tan θ \tan θ} \\ \tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{matrix}

Fórmulas del ángulo doble

Las fórmulas del ángulo doble se resumen como sigue:

sen (2 θ) = 2 sen θ \cos θ

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ \\ = 1 - 2 {sen}^{2} θ \\ = 2 \cos^{2} θ - 1 \end{array}

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

Cómo

Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra, utilizar las fórmulas del doble ángulo para hallar el valor exacto.

Dibuje un triángulo que refleje la información dada.
Determine la fórmula correcta del doble ángulo.
Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo.
Simplifique.

Ejemplo 1

Usar una fórmula de ángulo doble para hallar el valor exacto de la tangente

Dado que $\tan θ = - \frac{3}{4}$ y $θ$ está en el cuadrante II, calcule lo siguiente:

Ⓐ $sen (2 θ)$
Ⓑ $\cos (2 θ)$
Ⓒ $\tan (2 θ)$

Solución

Si dibujamos un triángulo que refleje la información dada, hallamos los valores necesarios para resolver los problemas en la imagen. Se nos da $\tan θ = - \frac{3}{4},$ de manera que $θ$ está en el cuadrante II. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, y porque $θ$ está en el segundo cuadrante, el lado adyacente está en el eje x y es negativo. Utilice el teorema de Pitágoras para medir la longitud de la hipotenusa:

\begin{array}{r} {(-4)}^{2} + {(3)}^{2} = c^{2} \\ 16 + 9 = c^{2} \\ 25 = c^{2} \\ c = 5 \end{array}

Ahora podemos dibujar un triángulo similar al que se muestra en la Figura 2.

Diagrama de un triángulo en el plano x,y. Los vértices están en el origen, (-4,0) y (-4,3). El ángulo en el origen es theta. El ángulo formado por el lado (-4,3) a (-4,0) forma un ángulo recto con el eje x. La hipotenusa transversal al ángulo recto tiene una longitud de 5.

Figura 2

Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula del ángulo doble del seno.
$sen (2 θ) = 2 sen θ \cos θ$
Nos damos cuenta de que tenemos que hallar $sen θ$ y $\cos θ .$ Con base en la Figura 2, vemos que la hipotenusa es igual a 5, por lo que $sen θ = \frac{3}{5},$ y $\cos θ = - \frac{4}{5} .$ Sustituya estos valores en la ecuación y simplifique.
Por lo tanto,

$\begin{array}{l} sen (2 θ) = 2 (\frac{3}{5}) (- \frac{4}{5}) \\ = - \frac{24}{25} \end{array}$
Ⓑ Escriba la fórmula del ángulo doble para el coseno.
$\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - {sen}^{2} θ$

De nuevo, sustituya los valores del seno y del coseno en la ecuación y simplifique.

$\begin{array}{l} \cos (2 θ) = {(- \frac{4}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} \\ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ = \frac{7}{25} \end{array}$
Ⓒ Escriba la fórmula del ángulo doble para la tangente.
$\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$

En esta fórmula, necesitamos la tangente, que nos dieron como $\tan θ = - \frac{3}{4} .$ Sustituya este valor en la ecuación y simplifique.

$\begin{array}{l} \tan (2 θ) = \frac{2 (- \frac{3}{4})}{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} \\ = \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} \\ = - \frac{3}{2} (\frac{16}{7}) \\ = - \frac{24}{7} \end{array}$

Inténtelo #1

Dados $sen α = \frac{5}{8},$ con la $θ$ en el cuadrante I, halle $\cos (2 α) .$

Ejemplo 2

Usar la fórmula del ángulo doble para el coseno sin valores exactos

Utilice la fórmula del ángulo doble del coseno para escribir $\cos (6 x)$ en términos de $\cos (3 x) .$

Solución

\begin{array}{l} \cos (6 x) = \cos (2 (3 x + 3 x)) \\ = \cos^{2} (3 x) - {sen}^{2} (3 x) \\ = 2 \cos^{2} (3 x) - 1 \end{array}

Análisis

Este ejemplo ilustra que podemos utilizar la fórmula del ángulo doble sin tener valores exactos. Enfatiza que el patrón es lo que necesitamos recordar y que las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la función trigonométrica.

Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades

El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.

Ejemplo 3

Usar las fórmulas del ángulo doble para establecer una identidad

Establezca la siguiente identidad con fórmulas de ángulo doble:

1 + sen (2 θ) = {(sen θ + \cos θ)}^{2}

Solución

Trabajaremos en el lado derecho del signo de igualdad y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado izquierdo.

\begin{array}{l} {(sen θ + \cos θ)}^{2} = {sen}^{2} θ + 2 sen θ \cos θ + \cos^{2} θ \\ = ({sen}^{2} θ + \cos^{2} θ) + 2 sen θ \cos θ \\ = 1 + 2 sen θ \cos θ \\ = 1 + sen (2 θ) \end{array}

Análisis

Este proceso no es complicado, siempre que recordemos la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra:

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

donde $a = sen θ$ y $b = \cos θ .$ Parte del éxito en las matemáticas es la capacidad de reconocer patrones. Aunque los términos o símbolos pueden cambiar, el álgebra sigue siendo coherente.

Inténtelo #2

Establezca la identidad: $\cos^{4} θ - {sen}^{4} θ = \cos (2 θ) .$

Ejemplo 4

Verificar una identidad de ángulo doble para la tangente

Verifique la identidad:

\tan (2 θ) = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Solución

En este caso, trabajaremos con el lado izquierdo de la ecuación y simplificaremos o reescribiremos hasta que sea igual al lado derecho de la ecuación.

\begin{array}{l} \tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} & Fórmula del ángulo doble \\ = \frac{2 \tan θ (\frac{1}{\tan θ})}{(1 - \tan^{2} θ) (\frac{1}{\tan θ})} \begin{matrix}  \end{matrix} & Multiplique por un término que dé como resultado el numerador deseado . \\ = \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \frac{\tan^{2} θ}{\tan θ}} \\ = \frac{2}{\cot θ - \tan θ} & Utilice la identidad recíproca para \frac{1}{\tan θ} . \end{array}

Análisis

Este es un caso en el que el lado más complicado de la ecuación inicial aparecía a la derecha, pero elegimos trabajar el lado izquierdo. Sin embargo, si hubiéramos elegido el lado izquierdo para reescribir, habríamos estado trabajando hacia atrás para llegar a la equivalencia. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar

\frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} = \frac{2}{\cot θ - \tan θ}

Trabajemos en el lado derecho.

\begin{array}{l} \frac{2}{\cot θ - \tan θ} = \frac{2}{\frac{1}{\tan θ} - \tan θ} (\frac{\tan θ}{\tan θ}) \\ = \frac{2 \tan θ}{\frac{1}{\tan θ} (\tan θ) - \tan θ (\tan θ)} \\ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ} \end{array}

Cuando se utilizan las identidades para simplificar o resolver una ecuación trigonométrica, hay varias vías para llegar al resultado deseado. No hay ninguna regla establecida sobre qué lado debería manipularse. Sin embargo, deberíamos empezar con las directrices expuestas anteriormente.

Inténtelo #3

Verifique la identidad: $\cos (2 θ) \cos θ = \cos^{3} θ - \cos θ {sen}^{2} θ .$

Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión

Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.

Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con $\cos (2 θ) = 1 - 2 {sen}^{2} θ .$ Resuelva para ${sen}^{2} θ :$

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = 1 - 2 {sen}^{2} θ \\ 2 {sen}^{2} θ = 1 - \cos (2 θ) \\ {sen}^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \end{array}

A continuación, utilizamos la fórmula $\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1.$ Resuelva para $\cos^{2} θ :$

\begin{array}{l} \cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1 \\ 1 + \cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ \\ \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} = \cos^{2} θ \end{array}

La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno:

\begin{array}{l} \tan^{2} θ = \frac{{sen}^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}}{\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}} & Sustituya las fórmulas de reducción. \\ = (\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}) (\frac{2}{1 + \cos (2 θ)}) \begin{matrix}  \end{matrix} \\ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \end{array}

Fórmulas de reducción

Las fórmulas de reducción se resumen como sigue:

{sen}^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

\cos^{2} θ = \frac{1 + \cos (2 θ)}{2}

\tan^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)}

Ejemplo 5

Escribir una expresión equivalente que no contenga potencias mayores que 1

Escriba una expresión equivalente para $\cos^{4} x$ que no implique ninguna potencia de seno o coseno mayor que 1.

Solución

Aplicaremos dos veces la fórmula de reducción del coseno.

\begin{array}{l} \cos^{4} x = {(\cos^{2} x)}^{2} \\ = {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} & {Sustituya la fórmula de reducción para el coseno}^{2} x . \\ = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1 + \cos 2 (2 x)}{2}) \begin{matrix}  \end{matrix} & {Sustituya la fórmula de reducción para el coseno}^{2} x . \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos (4 x) \\ = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} \cos (4 x) \end{array}

Análisis

La solución se encuentra al utilizar dos veces la fórmula de reducción, como se ha señalado, así como la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra.

Ejemplo 6

Usar las fórmulas de reducción de potencia para demostrar una identidad

Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar

{sen}^{3} (2 x) = [\frac{1}{2} sen (2 x)] [1 - \cos (4 x)]

Solución

Trabajaremos en la simplificación del lado izquierdo de la ecuación:

\begin{array}{l} {sen}^{3} (2 x) = [sen (2 x)] [{sen}^{2} (2 x)] \\ = sen (2 x) [\frac{1 - \cos (4 x)}{2}] & Sustituya la fórmula de reducción de potencia . \\ = sen (2 x) (\frac{1}{2}) [1 - \cos (4 x)] \\ = \frac{1}{2} [sen (2 x)] [1 - \cos (4 x)] \end{array}

Análisis

Tenga en cuenta que en este ejemplo, hemos sustituido

\frac{1 - \cos (4 x)}{2}

por ${sen}^{2} (2 x) .$ La fórmula establece

{sen}^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2}

Supongamos que $θ = 2 x,$ por lo que $2 θ = 4 x .$

Inténtelo #4

Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar que $10 \cos^{4} x = \frac{15}{4} + 5 \cos (2 x) + \frac{5}{4} \cos (4 x) .$

Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos

El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos $θ$ con la $\frac{α}{2},$ la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para $sen (\frac{α}{2}) .$ Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo $\pm$ Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que $\frac{α}{2}$ termina.

La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue:

\begin{array}{l} {sen}^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} \\ {sen}^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = \frac{1 - \cos α}{2} \\ sen (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \end{array}

Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos

\begin{array}{l} \cos^{2} θ = \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} \\ \cos^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{2} \\ = \frac{1 + \cos α}{2} \\ \cos (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \end{array}

Para la identidad tangente, tenemos

\begin{array}{l} \tan^{2} θ = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)} \\ \tan^{2} (\frac{α}{2}) = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{α}{2})}{1 + \cos (2 \cdot \frac{α}{2})} \\ = \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α} \\ \tan (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \end{array}

Fórmulas del ángulo medio

Las fórmulas del ángulo medio son las siguientes:

sen (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}

\cos (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}

\begin{array}{l} \tan (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \\ = \frac{sen α}{1 + \cos α} \\ = \frac{1 - \cos α}{sen α} \end{array}

Ejemplo 7

Usar una fórmula del ángulo medio para calcular el valor exacto de una función seno

Halle $sen (15^{\circ})$ con una fórmula del ángulo medio.

Solución

Dado que $15^{\circ} = \frac{30^{\circ}}{2},$ utilizamos la fórmula del ángulo medio para el seno:

\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen \frac{30^{\circ}}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^{\circ}}{2}} \end{array} \\ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \\ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \end{array}

Análisis

Observe que hemos utilizado únicamente la raíz positiva porque $sen (15^{i})$ es positivo.

Cómo

Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, calcular los valores exactos de las funciones trigonométricas de la mitad del ángulo.

Dibuje un triángulo que represente la información dada.
Determine la fórmula correcta del ángulo medio.
Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo.
Simplifique.

Ejemplo 8

Calcular valores exactos con identidades de ángulo medio

Dado que $\tan α = \frac{8}{15}$ y $α$ se encuentra en el cuadrante III, calcule el valor exacto de lo siguiente:

Ⓐ $sen (\frac{α}{2})$
Ⓑ $\cos (\frac{α}{2})$
Ⓒ $\tan (\frac{α}{2})$

Solución

Con la información dada podemos dibujar el triángulo que aparece en la Figura 3. Con el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa es 17. Por lo tanto, podemos calcular $sen α = - \frac{8}{17}$ y $\cos α = - \frac{15}{17} .$

Diagrama de un triángulo en el plano x,y. Los vértices están en el origen, (-15,0) y (-15,-8). El ángulo situado en el origen es alfa. El ángulo formado por el lado (-15,-8) a (-15,0) forma un ángulo recto con el eje x. La hipotenusa transversal al ángulo recto tiene una longitud de 17.

Figura 3

Ⓐ Antes de empezar, debemos recordar que, si $α$ está en el cuadrante III, entonces $180° < α < 270°,$ por lo que $\frac{180°}{2} < \frac{α}{2} < \frac{270°}{2} .$ Esto significa que el lado del terminal de $\frac{α}{2}$ está en el cuadrante II, ya que $90° < \frac{α}{2} < 135° .$
Para hallar $sen \frac{α}{2},$ comenzamos por escribir la fórmula del ángulo medio para el seno. Luego sustituimos el valor del coseno que determinamos del triángulo en la Figura 3 y simplificamos.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} sen \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{32}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{16}{17}} \\ = \pm \frac{4}{\sqrt{17}} \\ = \frac{4 \sqrt{17}}{17} \end{array}$
Elegimos el valor positivo de $sen \frac{α}{2}$ porque el ángulo termina en el cuadrante II y el seno es positivo en el cuadrante II.
Ⓑ Para hallar $\cos \frac{α}{2},$ escribimos la fórmula del ángulo medio para el coseno, sustituimos el valor del coseno que hallamos del triángulo en la Figura 3, y simplificamos.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 + (- \frac{15}{17})}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{2}{17} \cdot \frac{1}{2}} \\ = \pm \sqrt{\frac{1}{17}} \\ = - \frac{\sqrt{17}}{17} \end{array}$
Elegimos el valor negativo de $\cos \frac{α}{2}$ porque el ángulo está en el cuadrante II y porque el coseno es negativo en el cuadrante II.
Ⓒ Para hallar $\tan \frac{α}{2},$ escribimos la fórmula del ángulo medio para la tangente. De nuevo, sustituimos el valor del coseno que hemos hallamos del triángulo en la Figura 3 y simplificamos.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \tan \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} \end{array} \\ = \pm \sqrt{\frac{1 - (- \frac{15}{17})}{1 + (- \frac{15}{17})}} \\ = \pm \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{\frac{2}{17}}} \\ = \pm \sqrt{\frac{32}{2}} \\ = - \sqrt{16} \\ = - 4 \end{array}$
Elegimos el valor negativo de $\tan \frac{α}{2}$ porque $\frac{α}{2}$ se halla en el cuadrante II, y la tangente es negativa en el cuadrante II.

Inténtelo #5

Dado que $sen α = - \frac{4}{5}$ y $α$ se halla en el cuadrante IV, calcule el valor exacto de $\cos (\frac{α}{2}) .$

Ejemplo 9

Hallar la medida de un ángulo medio

Ahora, volvemos al problema planteado al principio de la sección. Se construye una rampa para bicicletas de alta competición en un ángulo de $θ$ formado por la rampa y el suelo. Se va a construir otra rampa con la mitad de pendiente para la competición de principiantes. Si los valores de $\tan θ = \frac{5}{3}$ para la competición de nivel superior, ¿cuál es la medida del ángulo para la competición de principiantes?

Solución

Dado que el ángulo para la competición de principiantes mide la mitad de la inclinación del ángulo para la competición de nivel superior, y $\tan θ = \frac{5}{3}$ para la competición de nivel superior, podemos hallar $\cos θ$ del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras para que podamos utilizar las identidades de ángulo medio. Vea la Figura 4.

\begin{array}{l} 3^{2} + 5^{2} = 34 \\ c = \sqrt{34} \end{array}

Imagen de un triángulo rectángulo con lados 3, 5 y rad34. Rad 34 es la hipotenusa y 3 es la base. El ángulo formado por la hipotenusa y la base es theta. El ángulo entre el lado de longitud 3 y el lado de longitud 5 es un ángulo recto.

Figura 4

Vemos que $\cos θ = \frac{3}{\sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34} .$ Podemos utilizar la fórmula del ángulo medio para la tangente $\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} .$ Dado que $\tan θ$ está en el primer cuadrante, así que es $\tan \frac{θ}{2} .$ Así,

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3 \sqrt{34}}{34}}{1 + \frac{3 \sqrt{34}}{34}}} \end{array} \\ = \sqrt{\frac{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34}}{\frac{34 + 3 \sqrt{34}}{34}}} \\ = \sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{34 + 3 \sqrt{34}}} \\ \approx 0,57 \end{array}

Podemos tomar la tangente inversa para hallar el ángulo: $\tan^{- 1} (0,57) \approx {29,7}^{\circ} .$ Así que el ángulo de la rampa para la competición de principiantes es $\approx {29,7}^{\circ} .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción.

7.3 Ejercicios de sección

Verbales

Explique cómo determinar las identidades de reducción a partir de la identidad del ángulo doble $\cos (2 x) = \cos^{2} x - {sen}^{2} x .$

Explique cómo determinar la fórmula del ángulo doble para $\tan (2 x)$ con las fórmulas de ángulo doble para $\cos (2 x)$ y $sen (2 x) .$

Podemos determinar la fórmula del ángulo medio para $\tan (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{\sqrt{1 + \cos x}}$ al dividir la fórmula para $sen (\frac{x}{2})$ entre $\cos (\frac{x}{2}) .$ Explique cómo determinar dos fórmulas para $\tan (\frac{x}{2})$ que no impliquen ninguna raíz cuadrada.

Con respecto a la fórmula de ángulo medio que se suministró en el ejercicio anterior para $\tan (\frac{x}{2}),$ explique por qué la división entre 0 no es relevante. (Pista: examine los valores de $\cos x$ necesarios para que el denominador sea 0).

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) $sen (2 x),$ b) $\cos (2 x),$ y c) $\tan (2 x)$ sin resolver para $x .$

Si los valores de $sen x = \frac{1}{8},$ y $x$ está en el cuadrante I.

Si los valores de $\cos x = \frac{2}{3},$ y $x$ está en el cuadrante I.

Si los valores de $\cos x = - \frac{1}{2},$ y $x$ está en el cuadrante III.

Si $\tan x = - 8,$ y $x$ está en el cuadrante IV.

En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas.

$\cos (2 θ) = \frac{3}{5}$ y $90^{\circ} \leq θ \leq 180^{\circ}$

10.

$\cos (2 θ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ y $180^{\circ} \leq θ \leq 270^{\circ}$

En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica.

11.

$2 sen (\frac{π}{4}) 2 \cos (\frac{π}{4})$

12.

$4 sen (\frac{π}{8}) \cos (\frac{π}{8})$

En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio.

13.

$sen (\frac{π}{8})$

14.

$\cos (- \frac{11 π}{12})$

15.

$sen (\frac{11 π}{12})$

16.

$\cos (\frac{7 π}{8})$

17.

$\tan (\frac{5 π}{12})$

18.

$\tan (- \frac{3 π}{12})$

19.

$\tan (- \frac{3 π}{8})$

En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) $sen (\frac{x}{2}),$ b) $\cos (\frac{x}{2}),$ y c) $\tan (\frac{x}{2})$ sin resolver para $x,$ cuando $0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$

20.

Si $\tan x = - \frac{4}{3},$ y $x$ está en el cuadrante IV.

21.

Si los valores de $sen x = - \frac{12}{13},$ y $x$ está en el cuadrante III.

22.

Si los valores de $\csc x = 7,$ y $x$ está en el cuadrante II.

23.

Si los valores de $\sec x = - 4,$ y $x$ está en el cuadrante II.

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 5 para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados.

Imagen de un triángulo rectángulo. La base tiene una longitud de 12 y altura de 5. El ángulo entre la base y la altura es de 90 grados, el ángulo entre la base y la hipotenusa es theta, y el ángulo entre la altura y la hipotenusa es alfa grados.

Figura 5

24.

Halle $sen (2 θ), \cos (2 θ),$ y $\tan (2 θ).$

25.

Halle $sen (2 α), \cos (2 α),$ y $\tan (2 α).$

26.

Halle $sen (\frac{θ}{2}), \cos (\frac{θ}{2}),$ y $\tan (\frac{θ}{2}) .$

27.

Halle $sen (\frac{α}{2}), \cos (\frac{α}{2}),$ y $\tan (\frac{α}{2}) .$

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe.

28.

$\cos^{2} (28^{\circ}) - {sen}^{2} (28^{\circ})$

29.

$2 \cos^{2} (37^{\circ}) - 1$

30.

$1 - 2 {sen}^{2} (17^{\circ})$

31.

$\cos^{2} (9 x) - {sen}^{2} (9 x)$

32.

$4 sen (8 x) \cos (8 x)$

33.

$6 sen (5 x) \cos (5 x)$

En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada.

34.

${(sen t - \cos t)}^{2} = 1 - sen (2 t)$

35.

$sen (2 x) = - 2 sen (- x) \cos (- x)$

36.

$\cot x - \tan x = 2 \cot (2 x)$

37.

$\frac{1 + \cos (2 θ)}{sen (2 θ)} \tan^{2} θ = \tan θ$

En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1.

38.

$\cos^{2} (5 x)$

39.

$\cos^{2} (6 x)$

40.

${sen}^{4} (8 x)$

41.

${sen}^{4} (3 x)$

42.

$\cos^{2} x {sen}^{4} x$

43.

$\cos^{4} x {sen}^{2} x$

44.

$\tan^{2} x {sen}^{2} x$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente.

45.

$\tan^{4} x$

46.

${sen}^{2} (2 x)$

47.

${sen}^{2} x \cos^{2} x$

48.

$\tan^{2} x sen x$

49.

$\tan^{4} x \cos^{2} x$

50.

$\cos^{2} x sen (2 x)$

51.

$\cos^{2} (2 x) sen x$

52.

$\tan^{2} (\frac{x}{2}) sen x$

En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de $sen x$ o $\cos x,$ y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones.

53.

$sen (4 x)$

54.

$\cos (4 x)$

Extensiones

En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades.

55.

$sen (2 x) = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x}$

56.

$\cos (2 α) = \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α}$

57.

$\tan (2 x) = \frac{2 sen x \cos x}{2 \cos^{2} x - 1}$

58.

${({sen}^{2} x - 1)}^{2} = \cos (2 x) + {sen}^{4} x$

59.

$sen (3 x) = 3 sen x \cos^{2} x - {sen}^{3} x$

60.

$\cos (3 x) = \cos^{3} x - 3 {sen}^{2} x \cos x$

61.

$\frac{1 + \cos (2 t)}{sen (2 t) - \cos t} = \frac{2 \cos t}{2 sen t - 1}$

62.

$sen (16 x) = 16 sen x \cos x \cos (2 x) \cos (4 x) \cos (8 x)$

63.

$\cos (16 x) = (\cos^{2} (4 x) - {sen}^{2} (4 x) - sen (8 x)) (\cos^{2} (4 x) - {sen}^{2} (4 x) + sen (8 x))$