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Gráficos de funciones exponenciales

4.2 Gráficos de funciones exponenciales

Objetivos de aprendizaje

  • Graficar funciones exponenciales.
  • Graficar funciones exponenciales mediante transformaciones.

Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones en el mundo real, como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias naturales. Trabajar con una ecuación que describe una situación en el mundo real nos brinda un método para hacer predicciones. Sin embargo, la mayoría de las veces la ecuación no es suficiente. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y es precisamente por tal motivo que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa más de conocimiento para predecir acontecimientos futuros.

Graficar funciones exponenciales

Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma f(x)= b x f(x)= b x cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función f(x)= 2 x . f(x)= 2 x . Observe cómo cambian los valores de salida en la Tabla 1 cuando la entrada aumenta en 1. 1.

x x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
f(x)= 2 x f(x)= 2 x 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 2 2 4 4 8 8
Tabla 1

Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, 2. 2. Designamos la base 2 2 el cociente constante. De hecho, para cualquier función exponencial con la forma f(x)=a b x , f(x)=a b x , b b es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de a. a.

Observe en la tabla que

  • los valores de salida son positivos para todos los valores de x; x;
  • a medida que x x aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y
  • a medida que x x disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero.

La Figura 1 muestra la función de crecimiento exponencial f(x)= 2 x . f(x)= 2 x .

Gráfico de la función exponencial, 2^(x), con puntos marcados en (-3, 1/8), (-2, ¼), (-1, ½), (0, 1), (1, 2), (2, 4) y (3, 8). En el gráfico se observa que el eje x es una asíntota.
Figura 1 Observe que el gráfico se acerca al eje x, pero nunca lo toca.

El dominio de f(x)= 2 x f(x)= 2 x son todos números reales, el rango es ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), y la asíntota horizontal es y=0. y=0.

Para tener una idea del comportamiento del decaimiento exponencial, podemos crear una tabla de valores para una función de la forma f(x)= b x f(x)= b x cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función g(x)= ( 1 2 ) x . g(x)= ( 1 2 ) x . Observe cómo cambian los valores de salida en la Tabla 2 cuando la entrada aumenta en 1. 1.

x x -3-3 -2-2 -1-1 00 11 2 2 33
g ( x ) = ( 1 2 ) x g ( x ) =( 1 2 ) x 88 44 2 2 11 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8
Tabla 2

De nuevo, debido a que la entrada se incrementa en 1, cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la relación constante 1 2 . 1 2 .

Observe en la tabla que

  • los valores de salida son positivos para todos los valores de x; x;
  • a medida que x x aumenta, los valores de salida se reducen, para acercarse a cero, y
  • a medida que x x disminuye, los valores de salida crecen sin límite.

La Figura 2 muestra la función de decaimiento exponencial, g(x)= ( 1 2 ) x . g(x)= ( 1 2 ) x .

Gráfico de la función exponencial decreciente, (1/2)^x, con puntos etiquetados en (-3, 8), (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/4) y (3, 1/8). En el gráfico se observa que el eje x es una asíntota.
Figura 2

El dominio de g(x)= ( 1 2 ) x g(x)= ( 1 2 ) x son todos números reales, el rango es ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), y la asíntota horizontal es y=0. y=0.

Características del gráfico de la función matriz f(x)= b x f(x)= b x

Una función exponencial con la forma f(x)= b x , f(x)= b x , b>0, b>0, b≠1, b≠1, tiene estas características:

  • función biunívoca
  • asíntota horizontal: y=0 y=0
  • dominio: (–∞, ∞) (–∞, ∞)
  • rango: (0,∞) (0,∞)
  • intersección en x: ninguna
  • intersección en y: ( 0,1 ) ( 0,1 )
  • creciente si b>1 b>1
  • decreciente si b<1 b<1

La Figura 3 compara los gráficos de las funciones de crecimiento y decaimiento exponencial.

Gráfico de dos funciones: el primero es de una función de f(x) = b^x cuando b>1; el segundo es de la misma función cuando b es 0<b<1. Ambos gráficos tienen marcados los puntos (0, 1) y (1, b).
Figura 3

Cómo

Dada una función exponencial de la forma f(x)= b x , f(x)= b x , graficar la función.

  1. Cree una tabla de puntos.
  2. Trace al menos 3 3 puntos de la tabla, incluso la intersección en y ( 0,1 ). ( 0,1 ).
  3. Dibuje una curva suave a través de los puntos.
  4. Indique el dominio, ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), el rango, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), y la asíntota horizontal, y=0. y=0.

Ejemplo 1

Trazar el gráfico de una función exponencial de la forma f(x) = bx

Dibuje un gráfico de f(x)= 0,25 x . f(x)= 0,25 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar, identifique el comportamiento y crea une tabla de puntos para el gráfico.

  • Dado que b=0,25 b=0,25 está entre cero y uno, sabemos que la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota y=0. y=0.
  • Cree una tabla de puntos como en la Tabla 3.
    x x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
    f(x)= 0,25 x f(x)= 0,25 x 64 64 16 16 4 4 1 1 0,25 0,25 0,0625 0,0625 0,015625 0,015625
    Tabla 3
  • Trace la intersección en y, ( 0,1 ), ( 0,1 ), junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( -1,4 ) ( -1,4 ) y ( 1,0,25 ). ( 1,0,25 ).

Dibuje una curva suave que conecte los puntos como en la Figura 4.

Gráfico de la función exponencial decreciente f(x) = 0,25^x con puntos marcados en (-1, 4), (0, 1) y (1, 0,25).
Figura 4

El dominio es ( -∞,∞ ); ( -∞,∞ ); el rango es ( 0,∞ ); ( 0,∞ ); la asíntota horizontal es y=0. y=0.

Inténtelo #1

Dibuje el gráfico de f(x)= 4 x . f(x)= 4 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar transformaciones de funciones exponenciales

Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz f(x)= b x f(x)= b x sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas.

Graficar un desplazamiento vertical

La primera transformación se produce cuando añadimos una constante d d a la función matriz f(x)= b x , f(x)= b x , que nos da un desplazamiento vertical de d d unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar una función matriz, f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos verticales junto a ella, mediante d=3: d=3: el desplazamiento hacia arriba, g(x)= 2 x +3 g(x)= 2 x +3 y el desplazamiento hacia abajo, h(x)= 2 x −3. h(x)= 2 x −3. Ambos desplazamientos verticales se muestran en la Figura 5.

Gráfico de tres funciones, g(x) = 2^x+3 en azul con una asíntota en y=3, f(x) = 2^x en naranja con una asíntota en y=0, y h(x)=2^x-3 con una asíntota en y=-3. Tenga en cuenta que las transformaciones de cada función se describen en el texto.
Figura 5

Observe los resultados del desplazamiento f(x)= 2 x f(x)= 2 x verticalmente:

  • El dominio, ( -∞,∞ ) ( -∞,∞ ) se mantiene sin cambios.
  • Cuando la función se desplaza hacia arriba 3 3 unidades a g(x)= 2 x +3: g(x)= 2 x +3:
    • La intersección en y se desplaza hacia arriba 3 3 unidades a ( 0,4 ). ( 0,4 ).
    • La asíntota se desplaza hacia arriba 3 3 unidades a y=3. y=3.
    • El rango se convierte en ( 3,∞ ). ( 3,∞ ).
  • Cuando la función se desplaza hacia abajo 3 3 unidades a h(x)= 2 x -3: h(x)= 2 x -3:
    • La intersección en y se desplaza hacia abajo 3 3 unidades a ( 0,-2 ). ( 0,-2 ).
    • La asíntota también se desplaza hacia abajo 3 3 unidades a y=−3, y=−3,
    • El rango se convierte en ( -3,∞ ). ( -3,∞ ).

Graficar un desplazamiento horizontal

La siguiente transformación se produce cuando añadimos una constante c c a la entrada de la función matriz f(x)= b x , f(x)= b x , lo que nos da un desplazamiento horizontal c c unidades en la dirección opuesta al signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos horizontales junto a esta, mediante c=3: c=3: el desplazamiento a la izquierda, g(x)= 2 x+3 , g(x)= 2 x+3 , y el desplazamiento a la derecha, h(x)= 2 x-3 . h(x)= 2 x-3 . Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la Figura 6.

Gráfico de tres funciones, g(x) = 2^(x+3) en azul, f(x) = 2^x en naranja, y h(x)=2^(x-3). Las asíntotas de cada función están en y=0. Observe que las transformaciones de cada función se describen en el texto.
Figura 6

Observe los resultados del desplazamiento f(x)= 2 x f(x)= 2 x horizontalmente:

  • El dominio, ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), se mantiene sin cambios.
  • La asíntota, y=0, y=0, se mantiene sin cambios.
  • La intersección en y se desplaza de tal manera que:
    • Cuando la función se desplaza a la izquierda 3 3 unidades a g(x)= 2 x+3 , g(x)= 2 x+3 , la intersección en y se convierte en ( 0,8 ). ( 0,8 ). Esto se debe a que 2 x+3 =( 8 ) 2 x , 2 x+3 =( 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 8. 8.
    • Cuando la función se desplaza a la derecha 3 3 unidades a h(x)= 2 x-3 , h(x)= 2 x-3 , la intersección en y se convierte en ( 0, 1 8 ). ( 0, 1 8 ). De nuevo, observe que 2 x-3 =( 1 8 ) 2 x , 2 x-3 =( 1 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 1 8 . 1 8 .

Desplazamientos de la función matriz f(x) = b x

Para cualquier constante c c y d, d, la función f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d desplaza la función matriz f(x)= b x f(x)= b x

  • verticalmente d d unidades, en la misma dirección del signo de d. d.
  • horizontalmente c c unidades, en la dirección opuesta al signo de c. c.
  • La intersección en y se convierte en ( 0, b c +d ). ( 0, b c +d ).
  • La asíntota horizontal se convierte en y=d. y=d.
  • El rango se convierte en ( d,∞ ). ( d,∞ ).
  • El dominio, ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), se mantiene sin cambios.

Cómo

Dada una función exponencial con la forma f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d, graficar la traslación.

  1. Dibuje la asíntota horizontal y=d. y=d.
  2. Identifique el desplazamiento como ( -c,d ). ( -c,d ). Desplace el gráfico de f(x)= b x f(x)= b x a la izquierda c c unidades si c c es positivo, y a la derecha c c unidades si c c es negativo.
  3. Desplace el gráfico de f(x)= b x f(x)= b x hacia arriba d d unidades si d d es positivo, y hacia abajo d d unidades si d d es negativo.
  4. Indique el dominio, ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), el rango, ( d,∞ ), ( d,∞ ), y la asíntota horizontal y=d. y=d.

Ejemplo 2

Graficar el desplazamiento de una función exponencial

Grafique f(x)= 2 x+1 −3. f(x)= 2 x+1 −3. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Tenemos una ecuación exponencial de la forma f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d, con la b=2 , b=2 , c=1, c=1, y d=−3, d=−3,

Dibuje la asíntota horizontal y=d y=d , así que dibuje y=–3. y=–3.

Identifique el desplazamiento como ( -c,d ), ( -c,d ), por lo que el desplazamiento es ( -1,−3 ). ( -1,−3 ).

Desplace el gráfico de f(x)= b x f(x)= b x 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

Gráfico de la función, f(x) = 2^(x+1)-3, con una asíntota en y=-3. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, -2), (0, -1) y (1, 1).
Figura 7

El dominio es ( -∞,∞ ); ( -∞,∞ ); el rango es ( -3,∞ ); ( -3,∞ ); la asíntota horizontal es y=–3. y=–3.

Inténtelo #2

Grafique f(x)= 2 x–1 +3. f(x)= 2 x–1 +3. Establezca el dominio, rango y asíntota.

Cómo

Dada una ecuación de la forma f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d por x, x, utilizar la calculadora gráfica para estimar la solución.

  • Pulse [Y=]. Introduzca la ecuación exponencial dada en la línea titulada “Y1=”.
  • Introduzca el valor dado para f(x) f(x) en la línea titulada “Y2=”.
  • Pulse [WINDOW]. Ajuste el eje y para que incluya el valor introducido para “Y2=”.
  • Pulse [GRAPH] para observar el gráfico de la función exponencial junto con la línea para el valor especificado de f(x). f(x).
  • Para hallar el valor de x, x, calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC]. Seleccione ”intersect" (intersección) y pulse tres veces la tecla [ENTER]. El punto de intersección da el valor de x para el que se indica de la función.

Ejemplo 3

Determinar la solución de una ecuación exponencial

Resuelva 42=1,2 ( 5 ) x +2,8 42=1,2 ( 5 ) x +2,8 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Solución

Pulse [Y=] e introduzca 1,2 ( 5 ) x +2,8 1,2 ( 5 ) x +2,8 junto a Y1=. A continuación, introduzca 42 junto a Y2=. Para una ventana, utilice los valores de -3 a 3 para x x y –5 a 55 para y. y. Pulse [GRAPH]. Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar cerca de x=2. x=2.

Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC]. Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x del punto de intersección se muestra como 2,1661943. (Su respuesta puede ser diferente si utiliza otra ventana o un valor distinto para “Guess?” Supongamos que...). A la milésima más cercana, x≈2,166. x≈2,166.

Inténtelo #3

Resuelva 4=7,85 ( 1,15 ) x −2,27 4=7,85 ( 1,15 ) x −2,27 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana.

Graficar un estiramiento o una compresión

Mientras que los desplazamientos horizontales y verticales implican la adición de constantes a la entrada o a la propia función, se produce estiramiento o compresión cuando multiplicamos la función matriz f(x)= b x f(x)= b x por una constante |a|>0. |a|>0. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , podemos entonces graficar el estiramiento, mediante a=3, a=3, para obtener g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x como se muestra a la izquierda en la Figura 8, y la compresión, mediante a= 1 3 , a= 1 3 , para obtener h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x como se muestra a la derecha en la Figura 8.

Dos gráficos, donde el gráfico a es un ejemplo de estiramiento vertical y el gráfico b es un ejemplo de compresión vertical.
Figura 8 (a) g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x estira el gráfico de f(x)= 2 x f(x)= 2 x verticalmente por un factor de 3. 3. (b) h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x comprime el gráfico de f(x)= 2 x f(x)= 2 x verticalmente por un factor de 1 3 . 1 3 .

Estiramiento y compresión de la función matriz f(x)= b x f(x)= b x

Para cualquier factor a>0, a>0, la función f(x)=a ( b ) x f(x)=a ( b ) x

  • se estira verticalmente por un factor de a a si |a|>1. |a|>1.
  • se comprime verticalmente por un factor de a a si |a|<1. |a|<1.
  • intersección en y de ( 0,a ). ( 0,a ).
  • tiene una asíntota horizontal en y=0, y=0, un rango de ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), y un dominio de ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), que no se modifican a partir de la función matriz.

Ejemplo 4

Graficar el estiramiento de una función exponencial

Dibuje un gráfico de f(x)=4 ( 1 2 ) x . f(x)=4 ( 1 2 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Solución

Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico.

  • Dado que b= 1 2 b= 1 2 está entre cero y uno, la cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, a medida que x x disminuye, y la cola de la derecha se acercará al eje x, a medida que x x aumenta.
  • Dado que a=4, a=4, el gráfico de f(x)= ( 1 2 ) x f(x)= ( 1 2 ) x se estirará por un factor de 4. 4.
  • Cree una tabla de puntos, como se indica en la Tabla 4.
    x x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
    f(x) =4 ( 1 2 ) x f(x)=4( 1 2 ) x 32 32 16 16 8 8 4 4 2 2 1 1 0,5 0,5
    Tabla 4
  • Trace la intersección en y, ( 0,4 ), ( 0,4 ), junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( -1,8 ) ( -1,8 ) y ( 1,2 ). ( 1,2 ).

Trace una curva suave que conecte los puntos, como se muestra en la Figura 9.

Gráfico de la función, f(x) = 4(1/2)^(x), con asíntota en y=0. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, 8), (0, 4) y (1, 2).
Figura 9

El dominio es ( -∞,∞ ); ( -∞,∞ ); el rango es ( 0,∞ ); ( 0,∞ ); la asíntota horizontal es y=0. y=0.

Inténtelo #4

Dibuje el gráfico de f(x)= 1 2 ( 4 ) x . f(x)= 1 2 ( 4 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota.

Graficar reflexiones

Además de desplazar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y. Cuando multiplicamos la función matriz f(x)= b x f(x)= b x entre −1, −1, obtenemos una reflexión sobre el eje x. Cuando multiplicamos la entrada por −1, −1, obtenemos una reflexión sobre el eje y. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f(x)= 2 x , f(x)= 2 x , podemos entonces graficar las dos reflexiones junto a esta. La reflexión sobre el eje x, g(x)= –2 x , g(x)= –2 x , se muestra en el lado izquierdo de la Figura 10, y la reflexión en torno al eje y h(x)= 2 -x , h(x)= 2 -x , se muestra en el lado derecho de la Figura 10.

Dos gráficos, donde el gráfico a es un ejemplo de reflexión sobre el eje x, mientras que el gráfico b es un ejemplo de reflexión sobre el eje y.
Figura 10 (a) g(x)=- 2 x g(x)=- 2 x refleje el gráfico de f(x)= 2 x f(x)= 2 x alrededor del eje x. (b) g(x)= 2 -x g(x)= 2 -x refleje el gráfico de f(x)= 2 x f(x)= 2 x en torno al eje y.

Reflexiones de la función matriz f(x)= b x f(x)= b x

La función f(x)=- b x f(x)=- b x

  • refleja la función matriz f(x)= b x f(x)= b x alrededor del eje x.
  • tiene una intersección en y de ( 0,-1 ). ( 0,-1 ).
  • tiene un rango de ( -∞,0 ). ( -∞,0 ).
  • tiene una asíntota horizontal en y=0 y=0 y dominio de ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), que no se modifican a partir de la función matriz.

La función f(x)= b −x f(x)= b −x

  • refleja la función matriz f(x)= b x f(x)= b x en torno al eje y.
  • tiene una intersección en y de ( 0,1 ), ( 0,1 ), una asíntota horizontal en y=0, y=0, un rango de ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), y un dominio de ( -∞,∞ ), ( -∞,∞ ), que no se modifican a partir de la función matriz.

Ejemplo 5

Escribir y graficar la reflexión de una función exponencial

Halle y grafique la ecuación de una función, g(x), g(x), que refleja f(x)= ( 1 4 ) x f(x)= ( 1 4 ) x alrededor del eje x. Indique su dominio, rango y asíntota.

Solución

Dado que queremos reflejar la función matriz f(x)= ( 1 4 ) x f(x)= ( 1 4 ) x alrededor del eje x, multiplicamos f(x) f(x) entre −1 −1 para obtener: g(x)=- ( 1 4 ) x . g(x)=- ( 1 4 ) x . A continuación, creamos una tabla de puntos como en la Tabla 5.

x x -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3
g(x)=- ( 1 4 ) x g(x)=-( 1 4 ) x −64 −64 −16 −16 -4 -4 -1 -1 −0,25 −0,25 −0,0625 −0,0625 −0,0156 −0,0156
Tabla 5

Trace la intersección en y, ( 0,–1 ), ( 0,–1 ), junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( –1,–4 ) ( –1,–4 ) y ( 1,-0,25 ). ( 1,-0,25 ).

Dibuje una curva suave que conecte los puntos:

Gráfico de la función, g(x) = -(0,25)^(x), con asíntota en y=0. Los puntos marcados en el gráfico son (-1, -4), (0, -1) y (1, -0,25).
Figura 11

El dominio es ( -∞,∞ ); ( -∞,∞ ); el rango es ( -∞,0 ); ( -∞,0 ); la asíntota horizontal es y=0. y=0.

Inténtelo #5

Halle y grafique la ecuación de una función, g(x), g(x), que refleja f(x)= 1,25 x f(x)= 1,25 x en torno al eje y. Indique su dominio, rango y asíntota.

Resumir las traslaciones de la función exponencial

Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función exponencial, podemos resumirlas en la Tabla 6 para llegar a la ecuación general de traslación de funciones exponenciales.

Traslaciones de la función matriz f(x)= b x f(x)= b x
Traslación Forma
Desplazamiento
  • Horizontalmente c c unidades a la izquierda
  • Verticalmente d d unidades hacia arriba
 f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d
Estirar y comprimir
  • Estirar si | a |>1 | a |>1
  • Comprimir si 0<| a |<1 0<| a |<1
f(x)=a b x f(x)=a b x
Reflexión sobre el eje x f(x)=- b x f(x)=- b x
Reflexión sobre el eje y f(x)= b −x = ( 1 b ) x f(x)= b −x = ( 1 b ) x
Ecuación general para todas las traslaciones f(x)=a b x+c +d f(x)=a b x+c +d
Tabla 6

Trasladar funciones exponenciales

La traslación de una función exponencial tiene la forma

 f(x)=a b x+c +d  f(x)=a b x+c +d
4.1

Donde la función matriz, y= b x , y= b x , b>1, b>1, es

  • desplaza horizontalmente c c unidades a la izquierda.
  • estira verticalmente por un factor de | a | | a | si | a |>0. | a |>0.
  • comprimida verticalmente por un factor de | a | | a | si 0<| a |<1. 0<| a |<1.
  • desplaza verticalmente d d unidades.
  • refleja alrededor del eje x cuando a<0. a<0.

Observe que el orden de los desplazamientos, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones.

Ejemplo 6

Escribir una función a partir de una descripción

Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

  • f(x)= e x f(x)= e x se estira verticalmente por un factor de 2 2 , se refleja a través del eje y, y luego se desplaza hacia arriba 4 4 unidades.

Solución

Queremos hallar una ecuación de la forma general  f(x)=a b x+c +d.  f(x)=a b x+c +d. Utilizamos la descripción proporcionada para calcular a, a, b, b, c, c, y d. d.

  • Se nos da la función matriz f(x)= e x , f(x)= e x , por lo que b=e. b=e.
  • La función se estira por un factor de 2 2 , por lo que a=2. a=2.
  • La función se refleja alrededor del eje y. Reemplazamos x x con −x −x para obtener: e –x . e –x .
  • El gráfico se desplaza verticalmente 4 unidades, por lo que d=4. d=4.

Sustituyendo en la forma general obtenemos:

 f(x) =a b x+c +d =2 e –x+0 +4 =2 e –x +4  f(x) =a b x+c +d =2 e –x+0 +4 =2 e –x +4

El dominio es ( -∞,∞ ); ( -∞,∞ ); el rango es ( 4,∞ ); ( 4,∞ ); la asíntota horizontal es y=4. y=4.

Inténtelo #6

Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

  • f(x)= e x f(x)= e x se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , 1 3 , se refleja a través del eje x y luego se desplaza hacia abajo 2 2 unidades.

Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la elaboración de gráficos de funciones exponenciales.

4.2 Ejercicios de sección

Verbales

1.

¿Qué papel desempeña la asíntota horizontal de una función exponencial para informarnos acerca del comportamiento final del gráfico?

2.

¿Cuál es la ventaja de saber reconocer las transformaciones en el gráfico de una función matriz de forma algebraica?

Algebraicos

3.

el gráfico de f(x)= 3 x f(x)= 3 x se refleja alrededor del eje y, y se estira verticalmente por un factor de 4. 4. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g(x)? g(x)? Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

4.

el gráfico de f(x)= ( 1 2 ) -x f(x)= ( 1 2 ) -x se refleja alrededor del eje y, además de que se comprime verticalmente por un factor de 1 5 . 1 5 . ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g(x)? g(x)? Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

5.

el gráfico de f(x)= 10 x f(x)= 10 x se refleja alrededor del eje x, y se desplaza hacia arriba 7 7 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g(x)? g(x)? Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

6.

el gráfico de f(x)= ( 1,68 ) x f(x)= ( 1,68 ) x se desplaza a la derecha 3 3 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 2, 2, se refleja alrededor del eje x, y luego se desplaza hacia abajo 3 3 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g(x)? g(x)? Indique su intersección en y (a la milésima más cercana), el dominio y el rango.

7.

el gráfico de fx= 12 (14)x 2+4fx= 12 (14)x 2+4 se desplaza hacia abajo 4 4 unidades, y luego se desplaza a la izquierda 2 2 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 4, 4, y se refleja alrededor del eje x. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g(x)? g(x)? Indique su intersección en y, su dominio y su rango.

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje y en los mismos ejes, y obtenga la intersección en y.

8.

f(x)=3 ( 1 2 ) x f(x)=3 ( 1 2 ) x

9.

g(x)=-2 ( 0,25 ) x g(x)=-2 ( 0,25 ) x

10.

h(x)=6 ( 1,75 ) -x h(x)=6 ( 1,75 ) -x

En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de funciones en los mismos ejes.

11.

f(x)=3 ( 1 4 ) x , f(x)=3 ( 1 4 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , y h(x)=3 ( 4 ) x h(x)=3 ( 4 ) x

12.

f(x)= 1 4 ( 3 ) x , f(x)= 1 4 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , y h(x)=4 ( 3 ) x h(x)=4 ( 3 ) x

En los siguientes ejercicios, empareje cada función con una de los gráficos en la Figura 12.

Gráfico de seis funciones exponenciales.
Figura 12
13.

f( x )=2 ( 0,69 ) x f( x )=2 ( 0,69 ) x

14.

f( x )=2 ( 1,28 ) x f( x )=2 ( 1,28 ) x

15.

f( x )=2 ( 0,81 ) x f( x )=2 ( 0,81 ) x

16.

f( x )=4 ( 1,28 ) x f( x )=4 ( 1,28 ) x

17.

f( x )=2 ( 1,59 ) x f( x )=2 ( 1,59 ) x

18.

f( x )=4 ( 0,69 ) x f( x )=4 ( 0,69 ) x

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos que se indican en la Figura 13. Todos tienen la forma f( x )=a b x . f( x )=a b x .

Gráfico de seis funciones exponenciales.
Figura 13
19.

¿Qué gráfico tiene el mayor valor de b? b?

20.

¿Qué gráfico tiene el menor valor para b? b?

21.

¿Qué gráfico tiene el mayor valor de a? a?

22.

¿Qué gráfico tiene el menor valor para a? a?

En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje x en los mismos ejes.

23.

f(x)= 1 2 ( 4 ) x f(x)= 1 2 ( 4 ) x

24.

f(x)=3 ( 0,75 ) x –1 f(x)=3 ( 0,75 ) x –1

25.

f(x)=–4 ( 2 ) x +2 f(x)=–4 ( 2 ) x +2

En los siguientes ejercicios, grafique la transformación de f(x)= 2 x . f(x)= 2 x . Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango.

26.

f( x )= 2 -x f( x )= 2 -x

27.

h( x )= 2 x +3 h( x )= 2 x +3

28.

f( x )= 2 x-2 f( x )= 2 x-2

En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento final de los gráficos de las funciones.

29.

f( x )=-5 ( 4 ) x –1 f( x )=-5 ( 4 ) x –1

30.

f( x )=3 ( 1 2 ) x -2 f( x )=3 ( 1 2 ) x -2

31.

f( x )=3 ( 4 ) -x +2 f( x )=3 ( 4 ) -x +2

En los siguientes ejercicios, comience con el gráfico de f( x )= 4 x . f( x )= 4 x . Luego escriba una función que resulte de la transformación dada.

32.

Desplazamiento f(x) f(x) 4 unidades hacia arriba

33.

Desplazamiento f(x) f(x) 3 unidades hacia abajo

34.

Desplazamiento f(x) f(x) 2 unidades a la izquierda

35.

Desplazamiento f(x) f(x) 5 unidades a la derecha

36.

Refleje f(x) f(x) alrededor del eje x

37.

Refleje f(x) f(x) alrededor del eje y

En los siguientes ejercicios, cada gráfico es la transformación de y= 2 x . y= 2 x . Escriba una ecuación que describa la transformación.

38.


Gráfico de f(x)=2^(x) con las siguientes traslaciones: estiramiento vertical de 4, una reflexión alrededor del eje x y desplazamiento hacia arriba en 1 unidad.
39.


Gráfico de f(x)=2^(x) con las siguientes traslaciones: reflexión alrededor del eje x, así como desplazamiento hacia arriba en 3 unidades.
40.


Gráfico de f(x)=2^(x) con las siguientes traslaciones: estiramiento vertical de 2, reflexión alrededor del eje x y de y, así como desplazamiento hacia arriba en 3 unidades.

En los siguientes ejercicios, halle una ecuación exponencial para el gráfico.

41.


Gráfico de f(x)=3^(x) con las siguientes traslaciones: estiramiento vertical de 2, reflexión alrededor del eje x, así como desplazamiento hacia arriba en 7 unidades.
42.


Gráfico de f(x)=(1/2)^(x) con las siguientes traslaciones: estiramiento vertical de 2 y desplazamiento hacia abajo en 4 unidades.

Numéricos

En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales para el valor indicado de x. x.

43.

g(x)= 1 3 ( 7 ) x-2 g(x)= 1 3 ( 7 ) x-2 por g(6). g(6).

44.

f(x)=4 (2 ) x–1 -2 f(x)=4 (2 ) x–1 -2 por f(5). f(5).

45.

h(x)=- 1 2 ( 1 2 ) x +6 h(x)=- 1 2 ( 1 2 ) x +6 por h(−7). h(−7).

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar las soluciones de la ecuación. Redondee a la milésima más cercana.

46.

-50=- ( 1 2 ) -x -50=- ( 1 2 ) -x

47.

116= 1 4 ( 1 8 ) x 116= 1 4 ( 1 8 ) x

48.

12=2 ( 3 ) x +1 12=2 ( 3 ) x +1

49.

5=3 ( 1 2 ) x–1 -2 5=3 ( 1 2 ) x–1 -2

50.

−30=–4 ( 2 ) x+2 +2 −30=–4 ( 2 ) x+2 +2

Extensiones

51.

Explore y comente los gráficos de F(x)= ( b ) x F(x)= ( b ) x y G(x)= ( 1 b ) x . G(x)= ( 1 b ) x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x b x y ( 1 b ) x ( 1 b ) x para cualquier número real b>0. b>0.

52.

Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

53.

Explore y comente los gráficos de f(x)= 4 x , f(x)= 4 x , g(x)= 4 x-2 , g(x)= 4 x-2 , y h(x)=( 1 16 ) 4 x . h(x)=( 1 16 ) 4 x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x b x y ( 1 b n ) b x ( 1 b n ) b x para cualquier número real n y número real b>0. b>0.

54.

Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.