Examen de práctica

La población de una manada de delfines mulares se modela mediante la función $A (t) = 8 {(1,17)}^{t},$ donde $t$ se da en años. Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de $3$ años?

Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos $(0, 4)$ y $(2, 9) .$

Drew quiere ahorrar 2.500 dólares para ir a la próxima Copa Mundial. Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con $6,25 %$ TAE, que se compone diariamente, para alcanzar su objetivo en $4$ años?

Se abrió una cuenta de inversión con un depósito inicial de 9.600 dólares y gana $7,4 %$ de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de $15$ años?

Grafique la función $f (x) = 5 {(0,5)}^{- x}$ y su reflexión a través del eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y.

El gráfico muestra las transformaciones del gráfico de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} .$ ¿Cuál es la ecuación de la transformación?

Reescriba $\log_{8,5} (614,125) = a$ como una ecuación exponencial equivalente.

Reescriba $e^{\frac{1}{2}} = m$ como una ecuación logarítmica equivalente.

Resuelva para $x$ al convertir la ecuación logarítmica $l o g_{\frac{1}{7}} (x) = 2$ en la forma exponencial.

10.

Evalúe $\log (10.000.000)$ sin usar la calculadora.

11.

Evalúe $\ln (0,716)$ utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana.

12.

Grafique la función $g (x) = \log (12 - 6 x) + 3.$

13.

Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función $f (x) = \log_{5} (39 - 13 x) + 7.$

14.

Reescriba $\log (17 a \cdot 2 b)$ como una suma.

15.

Reescriba $\log_{t} (96) - \log_{t} (8)$ en forma compacta.

16.

Reescriba $\log_{8} (a^{\frac{1}{b}})$ como producto.

17.

Utilice las propiedades del logaritmo para expandir $\ln (y^{3} z^{2} \cdot \sqrt[3]{x - 4}) .$

18.

Condense la expresión $4 \ln (c) + \ln (d) + \frac{\ln (a)}{3} + \frac{\ln (b + 3)}{3}$ a un solo logaritmo.

19.

Reescriba $16^{3 x - 5} = 1.000$ como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver $x$ con el logaritmo natural. Redondee a la milésima más cercana.

20.

Resuelva ${(\frac{1}{81})}^{x} \cdot \frac{1}{243} = {(\frac{1}{9})}^{- 3 x - 1}$ reescribiendo cada lado con una base común.

21.

Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de $- 9 e^{10 a - 8} - 5 = - 41$ . Si no hay solución, escriba no hay solución.

22.

Halle la solución exacta para $10 e^{4 x + 2} + 5 = 56.$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

23.

Halle la solución exacta para $- 5 e^{- 4 x - 1} - 4 = 64.$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

24.

Halle la solución exacta para $2^{x - 3} = 6^{2 x - 1} .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

25.

Halle la solución exacta para $e^{2 x} - e^{x} - 72 = 0 .$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

26.

Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de $4 \log (2 n) - 7 = - 11$

27.

Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para $\log (4 x^{2} - 10) + \log (3) = \log (51)$ Si no hay solución, escriba no hay solución.

28.

La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios $D$ se define por la ecuación $D = 10 \log (\frac{I}{I_{0}}),$ donde $I$ es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y $I_{0} = 10^{- 12}$ es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un concierto de rock con una intensidad sonora de $4,7 \cdot 10^{- 1}$ vatios por metro cuadrado?

29.

Un funcionario de seguridad radiológica trabaja con $112$ gramos de una sustancia radiactiva. Después de $17$ días, la muestra ha decaído hasta $80$ gramos. Redondeando a cinco dígitos significativos, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada a un día?

30.

Escriba la fórmula determinada en el ejercicio anterior como una ecuación equivalente con base $e .$ Exprese el exponente con cinco dígitos significativos.

31.

Una botella de gaseosa con una temperatura de $71 °F$ se sacó de un estante y se colocó en un refrigerador con una temperatura interna de $35 °F .$ Después de diez minutos, la temperatura interna de la gaseosa era $63 °F .$ Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura de la gaseosa al cabo de una hora?

32.

La población de un hábitat silvestre se modela mediante la ecuación $P (t) = \frac{360}{1 + 6,2 e^{- 0,35 t}},$ donde $t$ se da en años. ¿Cuántos animales se transportaron originalmente al hábitat? ¿Cuántos años pasarán antes de que el hábitat alcance la mitad de su capacidad?

33.

Introduzca los datos de la Tabla 1 en una calculadora gráfica y dibuje el diagrama de dispersión resultante. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica.

x	*f(x)*
1	3
2	8,55
3	11,79
4	14,09
5	15,88
6	17,33
7	18,57
8	19,64
9	20,58
10	21,42

Tabla 1

34.

La población de peces en un lago se modela mediante la ecuación logística $P (t) = \frac{16, 120}{1 + 25 e^{- 0,75 t}},$ donde $t$ es el tiempo en años. A la centésima más cercana, ¿cuántos años tardará el lago en alcanzar $80 %$ de su capacidad de carga?

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales.

35.

x	*f(x)*
1	20
2	21,6
3	29,2
4	36,4
5	46,6
6	55,7
7	72,6
8	87,1
9	107,2
10	138,1

36.

x	*f(x)*
3	13,98
4	17,84
5	20,01
6	22,7
7	24,1
8	26,15
9	27,37
10	28,38
11	29,97
12	31,07
13	31,43

37.

x	*f(x)*
0	2,2
0,5	2,9
1	3,9
1,5	4,8
2	6,4
3	9,3
4	12,3
5	15
6	16,2
7	17,3
8	17,9