Términos clave

derivada

la pendiente de una función en un punto determinado; se denota $f^{\prime }(a),$ en un punto $x=a$ es $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lím}}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h},$ siempre que el límite exista.

diferenciable

una función $f\left(x\right)$ para la que existe la derivada en $x=a.$ En otras palabras, si $f^{\prime }\left(a\right)$.

discontinuidad de salto

un punto de discontinuidad en una función $f\left(x\right)$ en $x=a$ donde existen los límites izquierdo y derecho, pero $\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)\ne \underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)$

discontinuidad removible

un punto de discontinuidad en una función $f\left(x\right)$ donde la función es discontinua, pero se puede redefinir para hacerla continua

función continua

una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico

función discontinua

una función que no es continua en $x=a$

límite

cuando existe, el valor, $L,$ al que la salida de una función $f\left(x\right)$ se acerca a medida que la entrada $x$ se acerca cada vez más a $a$ pero no es igual a $a.$ El valor de la salida, $$f(x),$$ puede acercarse tanto a $L$ como decidamos hacerlo utilizando los valores de entrada de $x$ suficientemente cerca de $x=a,$ pero no necesariamente en $x=a.$ Ambos $a$ y $L$ son números reales, y $L$ se denota $$\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f(x)=L.$$

límite derecho

el límite de los valores de $$f\left(x\right)$$ cuando $$x$$ se acerca a $a$ desde la derecha, denotado como $$\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lím}}f(x)=L.$$ Los valores de $$f(x)$$ pueden acercarse al límite $$L$$ tanto como queramos tomando valores de $x$ lo suficientemente cerca de $a$ donde $$x>a,$$ y $$x\ne a.$$ Ambos $$a$$ y $L$ son números reales.

límite izquierdo

el límite de los valores de $$f\left(x\right)$$ cuando $x$ se acerca a $a$ desde la izquierda, denotado como $$\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=L.$$ Los valores de $$f(x)$$ pueden acercarse al límite $L$ tanto como queramos tomando valores de $x$ lo suficientemente cerca de $a$ de manera que $$x<a$$ y $$x\ne a.$$ Ambos $a$ y $L$ son números reales.

límites laterales

el límite de una función $$f(x),$$ a medida que $x$ se acerca a $a,$ es igual a $L,$ es decir, $$\underset{x\to a}{\mathrm{lím}}f(x)=L$$ si y solo si $$\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lím}}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lím}}f(x).$$

línea secante

una línea que interseca dos puntos de una curva

línea tangente

una línea que interseca una curva en un solo punto

propiedades de los límites

una colección de teoremas para hallar los límites de las funciones mediante la realización de operaciones matemáticas en los límites

tasa instantánea de cambio

la pendiente de una función en un punto determinado; en $x=a$ está dada por $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lím}}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}.$

tasa media de cambio

la pendiente de la línea que conecta los dos puntos $(a,f(a))$ y $(a+h,f(a+h))$ en la curva de $f\left(x\right);$ está dada por $$\text{AROC}=\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}.$$

velocidad instantánea

el cambio de velocidad o dirección en un instante dado; una función $s\left(t\right)$ representa la posición de un objeto en el tiempo $t,$ y la velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo $t=a$ viene dada por $s^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lím}}\frac{s\left(a+h\right)-s\left(a\right)}{h}.$