Ejercicios de repaso

Funciones y notación de funciones

En los siguientes ejercicios, determine si la relación es una función.

${(a, b), (c, d), (e, d)}$

${(5, 2), (6, 1), (6, 2), (4, 8)}$

$y^{2} + 4 = x,$ para $x$ es la variable independiente, mientras que $y$ es la variable dependiente

¿El gráfico en la Figura 1 es una función?

Figura 1

En los siguientes ejercicios, evalúe la función en los valores indicados: $f (- 3); f (2); f (- a); - f (a); f (a + h) .$

$f (x) = - 2 x^{2} + 3 x$

$f (x) = 2 | 3 x - 1 |$

En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son biunívocas.

$f (x) = - 3 x + 5$

$f (x) = | x - 3 |$

En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si la relación cuyo gráfico se proporciona es una función.

10.

11.

En los siguientes ejercicios, grafique las funciones.

12.

$f (x) = | x + 1 |$

13.

$f (x) = x^{2} - 2$

En los siguientes ejercicios, utilice la Figura 2 para estimar los valores.

Figura 2

14.

$f (2)$

15.

$f (−2)$

16.

Si $f (x) = –2,$ y luego resolvemos para $x .$

17.

Si $f (x) = 1,$ y luego resolvemos para $x .$

En los siguientes ejercicios, utilice la función $h (t) = - 16 t^{2} + 80 t$ para estimar los valores.

18.

$\frac{h (2) - h (1)}{2 - 1}$

19.

$\frac{h (a) - h (1)}{a - 1}$

Dominio y rango

En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función, y exprese las respuestas utilizando la notación intervalo.

20.

$f (x) = \frac{2}{3 x + 2}$

21.

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 4 x - 12}$

22.

$f (x) = \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{x - 4}}$

23.

Grafique esta función definida por partes $f (x) = {\begin{cases} x + 1 x < - 2 \\ - 2 x - 3 x \geq - 2 \end{cases}$

Tasas de variación y comportamiento de los gráficos

En los siguientes ejercicios, calcule la tasa promedio de cambio de las funciones a partir de $x = 1 para x = 2.$

24.

$f (x) = 4 x - 3$

25.

$f (x) = 10 x^{2} + x$

26.

$f (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para determinar los intervalos en los que las funciones son crecientes, decrecientes o constantes.

27.

28.

29.

30.

Halle el mínimo local de la función graficada en el Ejercicio 1.27.

31.

Halle los extremos locales de la función graficada en el Ejercicio 1.28.

32.

Para el gráfico en la Figura 3, el dominio de la función es $[- 3, 3] .$ El rango es $[- 10, 10] .$ Halle el mínimo absoluto de la función en este intervalo.

33.

Halle el máximo absoluto de la función graficada en la Figura 3.

Figura 3

Composición de las funciones

En los siguientes ejercicios, calcule $(f \circ g) (x)$ y $(g \circ f) (x)$ por cada par de funciones.

34.

$f (x) = 4 - x, g (x) = - 4 x$

35.

$f (x) = 3 x + 2, g (x) = 5 - 6 x$

36.

$f (x) = x^{2} + 2 x, g (x) = 5 x + 1$

37.

$f (x) = \sqrt{x + 2}, g (x) = \frac{1}{x}$

38.

$f (x) = \frac{x + 3}{2}, g (x) = \sqrt{1 - x}$

En los siguientes ejercicios, calcule $(f \circ g)$ y el dominio para $(f \circ g) (x)$ por cada par de funciones.

39.

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 4}, g (x) = \frac{1}{x}$

40.

$f (x) = \frac{1}{x + 3}, g (x) = \frac{1}{x - 9}$

41.

$f (x) = \frac{1}{x}, g (x) = \sqrt{x}$

42.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}, g (x) = \sqrt{x + 1}$

En los siguientes ejercicios, exprese cada función $H$ como una composición de dos funciones $f$ y $g$ donde $H (x) = (f \circ g) (x) .$

43.

$H (x) = \sqrt{\frac{2 x - 1}{3 x + 4}}$

44.

$H (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} - 4)}^{- 3}}$

Transformación de funciones

En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función dada.

45.

$f (x) = {(x - 3)}^{2}$

46.

$f (x) = {(x + 4)}^{3}$

47.

$f (x) = \sqrt{x} + 5$

48.

$f (x) = - x^{3}$

49.

$f (x) = \sqrt[3]{- x}$

50.

$f (x) = 5 \sqrt{- x} - 4$

51.

$f (x) = 4 [| x - 2 | - 6]$

52.

$f (x) = - {(x + 2)}^{2} - 1$

En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función $g$ si el gráfico de la función $f$ se muestra en la Figura 4.

Figura 4

53.

$g (x) = f (x - 1)$

54.

$g (x) = 3 f (x)$

En los siguientes ejercicios, anote la ecuación de la función estándar representada por cada uno de los gráficos que aparecen a continuación.

55.

56.

En los siguientes ejercicios, determine si cada función de abajo es par, impar o ninguna de las dos.

57.

$f (x) = 3 x^{4}$

58.

$g (x) = \sqrt{x}$

59.

$h (x) = \frac{1}{x} + 3 x$

En los siguientes ejercicios, analice el gráfico y determine si la función graficada es par, impar o ninguna de las dos.

60.

61.

62.

Funciones de valor absoluto

En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para la transformación de $f (x) = | x | .$

63.

64.

65.

En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto.

66.

$f (x) = | x - 5 |$

67.

$f (x) = - | x - 3 |$

68.

$f (x) = | 2 x - 4 |$

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de valor absoluto.

69.

$| x + 4 | = 18$

70.

$| \frac{1}{3} x + 5 | = | \frac{3}{4} x - 2 |$

En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación y exprese la solución con la notación de intervalo.

71.

$| 3 x - 2 | < 7$

72.

$| \frac{1}{3} x - 2 | \leq 7$

Funciones inversas

En los siguientes ejercicios, calcule $f^{- 1} (x)$ por cada función.

73.

$f (x) = 9 + 10 x$

74.

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$

En el siguiente ejercicio, halle un dominio en el que la función $f$ sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de $f$ restringida a ese dominio.

75.

$f (x) = x^{2} + 1$

76.

Dado que $f (x) = x^{3} - 5$ y $g (x) = \sqrt[3]{x + 5} :$

Halle $f (g (x))$ y $g (f (x)) .$
¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre $f (x)$ y $g (x) ?$

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca.

77.

$f (x) = \frac{1}{x}$

78.

$f (x) = - 3 x^{2} + x$

79.

Si los valores de $f (5) = 2,$ calcule $f^{- 1} (2) .$

80.

Si $f (1) = 4,$ calcule $f^{- 1} (4) .$