Ecuaciones paramétricas: gráficos

8.7 Ecuaciones paramétricas: gráficos

Objetivos de aprendizaje

En esta sección podrá:

Representar gráficamente curvas planas descritas por ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos.
Graficar ecuaciones paramétricas.

Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente $45°$ de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles.

Foto de un bateador de béisbol haciendo un swing.

Figura 1 Las ecuaciones paramétricas pueden modelar la trayectoria de un proyectil (créditos: Paul Kreher, Flickr).

Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.

Cómo

Dado un par de ecuaciones paramétricas, dibuje un gráfico mediante el trazado de puntos.

Construya una tabla con tres columnas $t, x (t), y y (t) .$
Evalúe $x$ y $y$ para los valores de $t$ sobre el intervalo para el que se definen las funciones.
Trace los pares resultantes $(x, y) .$

Ejemplo 1

Elaboración del gráfico de un par de ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas $x (t) = t^{2} + 1,$ $y (t) = 2 + t .$

Solución

Construya una tabla de valores para $t, x (t),$ y $y (t),$ como en la Tabla 1, y trace los puntos en un plano.

$t$	$x (t) = t^{2} + 1$	$y (t) = 2 + t$
$- 5$	$26$	$- 3$
$- 4$	$17$	$- 2$
$- 3$	$10$	$- 1$
$- 2$	$5$	$0$
$- 1$	$2$	$1$
$0$	$1$	$2$
$1$	$2$	$3$
$2$	$5$	$4$
$3$	$10$	$5$
$4$	$17$	$6$
$5$	$26$	$7$

Tabla 1

El gráfico es una parábola con vértice en el punto $(1, 2),$ que abre hacia la derecha. Vea la Figura 2.

Grafique la parábola dada que se abre hacia la derecha.

Figura 2

Análisis

Como los valores del avance de $t$ en sentido positivo de 0 a 5, los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. Como los valores de $t$ se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican la dirección según los valores crecientes de $t .$ El gráfico no representa una función, ya que no pasará la prueba de la línea vertical. El gráfico se dibuja en dos partes: los valores positivos de $t,$ y los valores negativos de $t .$

Inténtelo #1

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas $x = \sqrt{t},$ $y = 2 t + 3,$ $0 \leq t \leq 3.$

Ejemplo 2

Trazar el gráfico de ecuaciones paramétricas trigonométricas

Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y dibuje el gráfico:

\begin{array}{l} x = 2 \cos t \\ y = 4 sen t \end{array}

Solución

Construya una tabla como la de la Tabla 2 utilizando la medida del ángulo en radianes como entradas para $t,$ adecuados, y evaluando $x$ y $y .$ Utilizar ángulos con valores conocidos de seno y coseno para $t$ facilita los cálculos.

$t$	$x = 2 \cos t$	$y = 4 sen t$
0	$x = 2 \cos (0) = 2$	$y = 4 sen (0) = 0$
$\frac{π}{6}$	$x = 2 \cos (\frac{π}{6}) = \sqrt{3}$	$y = 4 sen (\frac{π}{6}) = 2$
$\frac{π}{3}$	$x = 2 \cos (\frac{π}{3}) = 1$	$y = 4 sen (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$
$\frac{π}{2}$	$x = 2 \cos (\frac{π}{2}) = 0$	$y = 4 sen (\frac{π}{2}) = 4$
$\frac{2 π}{3}$	$x = 2 \cos (\frac{2 π}{3}) = - 1$	$y = 4 sen (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3}$
$\frac{5 π}{6}$	$x = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3}$	$y = 4 sen (\frac{5 π}{6}) = 2$
$π$	$x = 2 \cos (π) = - 2$	$y = 4 sen (π) = 0$
$\frac{7 π}{6}$	$x = 2 \cos (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3}$	$y = 4 sen (\frac{7 π}{6}) = - 2$
$\frac{4 π}{3}$	$x = 2 \cos (\frac{4 π}{3}) = - 1$	$y = 4 sen (\frac{4 π}{3}) = - 2 \sqrt{3}$
$\frac{3 π}{2}$	$x = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) = 0$	$y = 4 sen (\frac{3 π}{2}) = - 4$
$\frac{5 π}{3}$	$x = 2 \cos (\frac{5 π}{3}) = 1$	$y = 4 sen (\frac{5 π}{3}) = - 2 \sqrt{3}$
$\frac{11 π}{6}$	$x = 2 \cos (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3}$	$y = 4 sen (\frac{11 π}{6}) = - 2$
$2 π$	$x = 2 \cos (2 π) = 2$	$y = 4 sen (2 π) = 0$

Tabla 2

En la Figura 3 se muestra el gráfico.

Gráfico de las ecuaciones dadas: una elipse vertical.

Figura 3

Por la simetría mostrada en los valores de $x$ y $y,$ vemos que las ecuaciones paramétricas representan una elipse. El elipse se mapea en sentido contrario a las agujas del reloj, como muestran las flechas que indican el aumento de $t$ .

Análisis

Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden representar gráficamente mediante trazado de puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará tiempo y revelará matices en un gráfico que pueden ser demasiado tediosos de descubrir utilizando solo cálculos manuales.

Asegúrese de cambiar el modo de la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la ventana $Y =$ debería aparecer

\begin{matrix} X_{1 T} = \\ Y_{1 T} = \end{matrix}

en vez de $Y_{1} = .$

Inténtelo #2

Grafique las ecuaciones paramétricas: $x = 5 \cos t,$ $y = 3 sen t .$

Ejemplo 3

Graficar ecuaciones paramétricas y forma rectangular juntas

Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas $x = 5 \cos t$ y $y = 2 sen t .$ En primer lugar, elabore el gráfico utilizando los puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica. Luego grafique la forma rectangular de la ecuación. Compare los dos gráficos.

Solución

Elabore una tabla de valores como la de la Tabla 3.

$t$	$x = 5 \cos t$	$y = 2 sen t$
$0$	$x = 5 \cos (0) = 5$	$y = 2 sen (0) = 0$
$1$	$x = 5 \cos (1) \approx 2,7$	$y = 2 sen (1) \approx 1,7$
$2$	$x = 5 \cos (2) \approx −2,1$	$y = 2 sen (2) \approx 1,8$
$3$	$x = 5 \cos (3) \approx -4,95$	$y = 2 sen (3) \approx 0,28$
$4$	$x = 5 \cos (4) \approx -3,3$	$y = 2 sen (4) \approx -1,5$
$5$	$x = 5 \cos (5) \approx 1,4$	$y = 2 sen (5) \approx -1,9$
$−1$	$x = 5 \cos (–1) \approx 2,7$	$y = 2 sen (–1) \approx -1,7$
$−2$	$x = 5 \cos (−2) \approx −2,1$	$y = 2 sen (−2) \approx -1,8$
$−3$	$x = 5 \cos (−3) \approx -4,95$	$y = 2 sen (−3) \approx -0,28$
$-4$	$x = 5 \cos (–4) \approx -3,3$	$y = 2 sen (–4) \approx 1,5$
$−5$	$x = 5 \cos (−5) \approx 1,4$	$y = 2 sen (−5) \approx 1,9$

Tabla 3

Trace los valores $(x, y)$ de la tabla. Vea la Figura 4.

Gráfico de la elipse dada en coordenadas paramétricas y rectangulares. Es lo mismo en ambas imágenes.

Figura 4

A continuación, traslade las ecuaciones paramétricas a la forma rectangular. Para ello, resolvemos $t$ en $x (t)$ o $y (t),$ y luego sustituimos la expresión por $t$ en la otra ecuación. El resultado será una función $y (x)$ si se resuelve para $t$ en función de $x,$ o $x (y)$ si se resuelve para $t$ en función de $y .$

\begin{array}{l} x = 5 \cos t \\ \frac{x}{5} = \cos t & Resuelva para \cos t . \\ y = 2 sen t \begin{matrix}  \end{matrix} & Resuelva para sen t . \\ \frac{y}{2} = sen t \end{array}

Entonces, utilice el teorema de Pitágoras.

\begin{array}{r} \cos^{2} t + {sen}^{2} t = 1 \\ {(\frac{x}{5})}^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} = 1 \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \end{array}

Análisis

En la Figura 5, los datos de las ecuaciones paramétricas y de la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; el gráfico de la ecuación rectangular se dibuja encima de la paramétrica en un estilo discontinuo coloreado en rojo. Evidentemente, ambas formas producen el mismo gráfico.

Gráfico superpuesto de las dos versiones de la elipse, que muestra que son iguales tanto si se dan en coordenadas paramétricas como rectangulares.

Figura 5

Ejemplo 4

Graficar ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares en el sistema de coordenadas

Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas $x = t + 1$ y $y = \sqrt{t},$ $t \geq 0,$ y el equivalente rectangular $y = \sqrt{x - 1}$ en el mismo sistema de coordenadas.

Solución

Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas, como hicimos en el ejemplo anterior, y grafique $y = \sqrt{t},$ $t \geq 0$ en la misma cuadrícula, como en la Figura 6.

Gráfico superpuesto de las dos versiones de la función dada que muestra que son iguales tanto si están dadas en coordenadas paramétricas como rectangulares.

Figura 6

Análisis

Con el dominio en $t$ restringido, solo trazamos valores positivos de $t .$ Los datos paramétricos se grafican en azul y el gráfico de la ecuación rectangular está punteado en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen.

Inténtelo #3

Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas $x = 2 \cos θ y y = 4 sen θ,$ junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula.

Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas

Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.

Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de $θ$ a la horizontal, con una velocidad inicial de $v_{0},$ y a una altura $h$ sobre la horizontal.

La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de $θ$ a la horizontal, con rapidez inicial $v_{0},$ y a una altura $h$ sobre la horizontal, viene dada por

\begin{array}{l} x = (v_{0} \cos θ) t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} sen θ) t + h \end{array}

donde $g$ tiene en cuenta los efectos de la gravedad y $h$ es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice $g = 32 pies / s^{2}$ o $g = 9,8 m / s^{2} .$ La ecuación para $x$ da la distancia horizontal, y la ecuación para $y$ da la distancia vertical.

Cómo

Dado un problema de movimiento de proyectil, utilice ecuaciones paramétricas para resolverlo.

La distancia horizontal viene dada por $x = (v_{0} \cos θ) t .$ Sustituir la velocidad inicial del objeto por $v_{0} .$
La expresión $\cos θ$ indica el ángulo con el que se impulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por $\cos θ .$
La distancia vertical viene dada por la fórmula $y = - \frac{1}{2} g t^{2} + (v_{0} sen θ) t + h .$ El término $- \frac{1}{2} g t^{2}$ representa el efecto de la gravedad. De acuerdo con las unidades involucradas, utilice $g = 32 {pies/s}^{2}$ o $g = 9,8 {m/s}^{2} .$ De nuevo, sustituya la velocidad inicial por $v_{0},$ y la altura a la que se impulsó el objeto para $h .$
Proceda con el cálculo de cada término para resolver $t .$

Ejemplo 5

Hallar las ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de una pelota de béisbol

Resuelva el problema presentado al principio de esta sección. ¿El bateador batea el jonrón ganador del partido? Supongamos que la pelota se golpea con una velocidad inicial de 140 pies por segundo en un ángulo de $45°$ a la horizontal, y hace contacto a 3 pies del suelo.

Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota de béisbol.
Ⓑ ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos?
Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire?
Ⓓ ¿Es un jonrón?

Solución

Ⓐ
Utilice las fórmulas para establecer las ecuaciones. La posición horizontal se halla utilizando la ecuación paramétrica para $x .$ Así,

$\begin{array}{l} x = (v_{0} \cos θ) t \\ x = (140 \cos (45°)) t \end{array}$
La posición vertical se halla utilizando la ecuación paramétrica para $y .$ Así,

$\begin{array}{l} y = - 16 t^{2} + (v_{0} sen θ) t + h \\ y = - 16 t^{2} + (140 sen (45°)) t + 3 \end{array}$
Ⓑ
Sustituya el 2 en las ecuaciones para hallar las posiciones horizontal y vertical de la pelota.
$\begin{array}{l} x = (140 \cos (45°)) (2) \\ x = 198 pies \\ y = - 16 {(2)}^{2} + (140 sen (45°)) (2) + 3 \\ y = 137 pies \end{array}$
Después de 2 segundos, la pelota está a 198 pies de la caja de bateo y a 137 pies del suelo.
Ⓒ
Para calcular cuánto tiempo está la pelota en el aire, tenemos que averiguar cuándo va a tocar el suelo, o cuándo $y = 0 .$ Por lo tanto,

$\begin{array}{l} y = - 16 t^{2} + (140 sen (45^{\circ})) t + 3 \\ y = 0 & Establezca y (t) = 0 y resuelva la cuadrática . \\ t = 6,2173 \end{array}$
Cuando $t = 6,2173$ segundos, la pelota ha tocado el suelo (la ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero este problema se resolvió utilizando un programa matemático de computadora).
Ⓓ
No podemos confirmar que el golpe fue un jonrón sin tener en cuenta el tamaño del campo exterior, que varía de un campo a otro. Sin embargo, para simplificar, vamos a suponer que el muro del campo está a 400 pies de la base del bateador en la parte más profunda del parque. Supongamos también que el muro tiene 10 pies de altura. Para determinar si la pelota pasa por encima de la pared, tenemos que calcular a qué altura está la pelota cuando x = 400 pies. Así que fijaremos x = 400 pies, resolvemos para $t,$ e introducimos $t$ en $y .$
$\begin{array}{l} x = (140 \cos (45°)) t \\ 400 = (140 \cos (45°)) t \\ t = 4,04 \end{array} \begin{array}{l} y = - 16 {(4,04)}^{2} + (140 sen (45°)) (4,04) + 3 \\ y = 141,8 \end{array}$
La pelota está a 141,8 pies en el aire cuando sale disparada del estadio. Fue, efectivamente, un jonrón. Vea la Figura 7.

Trazado de la trayectoria de una pelota bateada que muestra la posición del bateador en el origen, la trayectoria de la pelota en forma de una amplia parábola orientada hacia abajo y el muro del campo como un segmento de línea vertical que se eleva a 10 ft por debajo de la trayectoria de la pelota.

Figura 7

Media

Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de ecuaciones paramétricas.

Graficar ecuaciones paramétricas en la TI-84

8.7 Ejercicios de sección

Verbales

¿Cuáles son los dos métodos utilizados para representar gráficamente ecuaciones paramétricas?

¿Cuál es una diferencia en el trazado de ecuaciones paramétricas en comparación con las ecuaciones cartesianas?

¿Por qué algunos gráficos se dibujan con flechas?

Nombre algunos tipos comunes de gráficos de ecuaciones paramétricas.

¿Por qué son importantes los gráficos paramétricos para entender el movimiento de proyectil?

Gráficos

En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico.

${\begin{array}{l} x (t) = t \\ y (t) = t^{2} - 1 \end{array}$

$t$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x$
$y$

${\begin{array}{l} x (t) = t - 1 \\ y (t) = t^{2} \end{array}$

$t$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$x$
$y$

${\begin{array}{l} x (t) = 2 + t \\ y (t) = 3 - 2 t \end{array}$

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x$
$y$

${\begin{array}{l} x (t) = - 2 - 2 t \\ y (t) = 3 + t \end{array}$

$t$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$x$
$y$

10.

${\begin{array}{l} x (t) = t^{3} \\ y (t) = t + 2 \end{array}$

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$x$
$y$

11.

${\begin{array}{l} x (t) = t^{2} \\ y (t) = t + 3 \end{array}$

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$x$
$y$

En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación.

12.

${\begin{cases} x (t) = t \\ y (t) = \sqrt{t} \end{cases}$

13.

${\begin{cases} x (t) = - \sqrt{t} \\ y (t) = t \end{cases}$

14.

${\begin{cases} x (t) = 5 - | t | \\ y (t) = t + 2 \end{cases}$

15.

${\begin{cases} x (t) = - t + 2 \\ y (t) = 5 - | t | \end{cases}$

16.

${\begin{array}{l} x (t) = 4 sen t \\ y (t) = 2 \cos t \end{array}$

17.

${\begin{cases} x (t) = 2 sen t \\ y (t) = 4 cos t \end{cases}$

18.

${\begin{cases} x (t) = 3 \cos^{2} t \\ y (t) = −3 sen t \end{cases}$

19.

${\begin{cases} x (t) = 3 \cos^{2} t \\ y (t) = −3 {sen}^{2} t \end{cases}$

20.

${\begin{cases} x (t) = \sec t \\ y (t) = \tan t \end{cases}$

21.

${\begin{cases} x (t) = \sec t \\ y (t) = \tan^{2} t \end{cases}$

22.

${\begin{cases} x (t) = \frac{1}{e^{2 t}} \\ y (t) = e^{- t} \end{cases}$

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana.

23.

${\begin{array}{l} x (t) = t - 1 \\ y (t) = - t^{2} \end{array}$

24.

${\begin{array}{l} x (t) = t^{3} \\ y (t) = t + 3 \end{array}$

25.

${\begin{cases} x (t) = 2 \cos t \\ y (t) = - sen t \end{cases}$

26.

${\begin{cases} x (t) = 7 \cos t \\ y (t) = 7 sen t \end{cases}$

27.

${\begin{cases} x (t) = e^{2 t} \\ y (t) = - e^{t} \end{cases}$

En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación.

28.

$x = t^{2}, y = 3 t, 0 \leq t \leq 5$

29.

$x = 2 t, y = t^{2}, - 5 \leq t \leq 5$

30.

$x = t,$ $y = \sqrt{25 - t^{2}},$ $0 < t \leq 5$

31.

$x (t) = - t, y (t) = \sqrt{t},$ $t \geq 0$

32.

$x = - 2 \cos t,$ $y = 6 sen t,$ $0 \leq t \leq π$

33.

$x = - \sec t,$ $y = \tan t,$ $- \frac{π}{2} < t < \frac{π}{2}$

En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b:

\begin{array}{l} x (t) = a \cos ((a + b) t) \\ y (t) = a \cos ((a - b) t) \end{array}

34.

Grafique en el dominio $[- π, 0],$ donde $a = 2$ y $b = 1,$ e incluya la orientación.

35.

Grafique en el dominio $[- π, 0],$ donde $a = 3$ y $b = 2$ e incluya la orientación.

36.

Grafique en el dominio $[- π, 0],$ donde $a = 4$ y $b = 3$ e incluya la orientación.

37.

Grafique en el dominio $[- π, 0],$ donde $a = 5$ y $b = 4$ e incluya la orientación.

38.

Si los valores de $a$ es 1 más que $b,$ describa el efecto que los valores de $a$ y $b$ tienen en el gráfico de las ecuaciones paramétricas.

39.

Describa el gráfico si $a = 100$ y $b = 99.$

40.

¿Qué pasa si $b$ es 1 más que $a ?$ Describa el gráfico.

41.

Si las ecuaciones paramétricas $x (t) = t^{2}$ y $y (t) = 6 - 3 t$ tenemos el gráfico de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha, ¿qué cambiaría la dirección de la curva?

En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas.

42.

$x (t) = - t^{2}$ y $y (t)$ es lineal

43.

$y (t) = t^{2}$ y $x (t)$ es lineal

44.

$y (t) = - t^{2}$ y $x (t)$ es lineal

45.

Escriba las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro $(0, 0),$ radio 5 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj.

46.

Escriba las ecuaciones paramétricas de una elipse con centro $(0, 0),$ eje mayor de longitud 10, eje menor de longitud 6 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj.

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana $[- 3, 3]$ entre $[- 3, 3]$ en el dominio $[0, 2 π)$ para los siguientes valores de $a$ y $b$ e incluya la orientación.

{\begin{cases} x (t) = sen (a t) \\ y (t) = sen (b t) \end{cases}

47.

$a = 1, b = 2$

48.

$a = 2, b = 1$

49.

$a = 3, b = 3$

50.

$a = 5, b = 5$

51.

$a = 2, b = 5$

52.

$a = 5, b = 2$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma ${\begin{cases} x (t) = a cos (b t) \\ y (t) = c sen (d t) \end{cases} .$ Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de $a, b, c,$ y $d$ para lograr cada gráfico.

53.

54.

55.

56.

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas.

${\begin{cases} x (t) = \cos t - 1 \\ y (t) = sen t + t \end{cases}$
${\begin{cases} x (t) = \cos t + t \\ y (t) = sen t - 1 \end{cases}$
${\begin{cases} x (t) = t - sen t \\ y (t) = \cos t - 1 \end{cases}$

57.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio $[0,$ $2 π] .$

58.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio $[0, 4 π] .$

59.

Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio $[- 4 π, 6 π] .$

60.

El gráfico de cada conjunto de ecuaciones paramétricas parece “desplazarse" por uno de los ejes. ¿Qué controla el eje por el que se desplaza el gráfico?

61.

Explique el efecto en el gráfico de la ecuación paramétrica cuando cambiamos $sen t$ y $\cos t$ .

62.

Explique el efecto de la ecuación paramétrica en el gráfico cuando cambiamos el dominio.

Extensiones

63.

Un objeto se lanza al aire con una velocidad vertical de 20 ft/s y una velocidad horizontal de 15 ft/s. Se puede describir la altura del objeto mediante la ecuación $y (t) = - 16 t^{2} + 20 t$ , mientras el objeto se mueve horizontalmente con una velocidad constante de 15 ft/s. Escriba ecuaciones paramétricas para la posición del objeto y luego elimine el tiempo para que escriba la altura en función de la posición horizontal.

64.

Un patinador que circula en patineta por una superficie plana a una velocidad constante de 9 ft/s lanza una pelota al aire, cuya altura se puede describir mediante la ecuación $y (t) = - 16 t^{2} + 10 t + 5 .$ Escriba ecuaciones paramétricas para la posición de la pelota y luego elimine el tiempo para escribir la altura en función de la posición horizontal.

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento $t .$ Ignore la resistencia del aire.

65.

Halle ecuaciones paramétricas que modelen la situación del problema.

66.

Halle todos los valores posibles de $x$ que representan la situación.

67.

¿Cuándo llegará el dardo al suelo?

68.

Halle la altura máxima del dardo.

69.

¿A qué hora alcanzará el dardo su máxima altura?

En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado.

70.

Una epicicloide: ${\begin{cases} x (t) = 14 \cos t - \cos (14 t) \\ y (t) = 14 sen t + sen (14 t) \end{cases}$ en el dominio $[0, 2 π]$ .

71.

Una hipocicloide: ${\begin{array}{l} x (t) = 6 sen t + 2 sen (6 t) \\ y (t) = 6 \cos t - 2 \cos (6 t) \end{array}$ en el dominio $[0, 2 π]$ .

72.

Una hipotrocoide: ${\begin{array}{l} x (t) = 2 sen t + 5 \cos (6 t) \\ y (t) = 5 \cos t - 2 sen (6 t) \end{array}$ en el dominio $[0, 2 π]$ .

73.

Una rosa: ${\begin{array}{l} x (t) = 5 sen (2 t) sen t \\ y (t) = 5 sen (2 t) \cos t \end{array}$ en el dominio $[0, 2 π]$ .