Forma polar de los números complejos

8.5 Forma polar de los números complejos

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

Graficar números complejos en el plano complejo.
Hallar el valor absoluto de un número complejo.
Escribir números complejos en forma polar.
Convertir un número complejo de forma polar a rectangular.
Hallar productos de números complejos en forma polar.
Hallar cocientes de números complejos en forma polar.
Hallar potencias de números complejos en forma polar.
Hallar raíces de números complejos en forma polar.

"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia.

La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre.

Graficar números complejos en el plano complejo.

Trazar un número complejo $a + b i$ es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, $a,$ y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, $b i .$

Cómo

Dado un número complejo $a + b i,$ trácelo en el plano complejo.

Marque el eje horizontal como eje real y el eje vertical como eje imaginario.
Trace el punto en el plano complejo moviendo las unidades de $las unidades$ en la dirección horizontal y las unidades de $las unidades b$ en la dirección vertical.

Ejemplo 1

Trazar un número complejo en el plano complejo

Trace el número complejo $2 - 3 i$ en el plano complejo.

Solución

Desde el origen, muévase dos unidades en la dirección horizontal positiva y tres unidades en la dirección vertical negativa. Vea la Figura 1.

Trazado de 2 –3i en el plano complejo (2 en el eje real, –3 en el eje imaginario).

Figura 1

Inténtelo #1

Trace el punto $1 + 5 i$ en el plano complejo.

Hallar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o $| z | .$ Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de $c = 2 + 4 i,$ en la Figura 2, muestra $| z | .$

El trazado de 2 + 4i en el plano complejo y su magnitud, |z| = rad 20.

Figura 2

Valor absoluto de un número complejo

Dado $z = x + y i,$ un número complejo, el valor absoluto de $c$ se define como

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Es la distancia del origen al punto $(x, y) .$

Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde 0, mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen, $(0, 0) .$

Ejemplo 2

Hallar el valor absoluto de un número complejo con un radical

Halle el valor absoluto de $c = \sqrt{5} - i .$

Solución

Con la fórmula tenemos

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(- 1)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{5 + 1} \\ | z | = \sqrt{6} \end{array}

Vea la Figura 3.

El trazado de z=(rad5 - i) en el plano complejo y su magnitud rad6.

Figura 3

Inténtelo #2

Halle el valor absoluto del número complejo $c = 12 - 5 i .$

Ejemplo 3

Hallar el valor absoluto de un número complejo

Dados $z = 3 - 4 i,$ halle $| z | .$

Solución

Con la fórmula tenemos

\begin{array}{l} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ | z | = \sqrt{{(3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} \\ | z | = \sqrt{9 + 16} \\ \begin{array}{l} | z | = \sqrt{25} \\ | z | = 5 \end{array} \end{array}

El valor absoluto $c$ es 5. Vea la Figura 4.

El trazado de (3 –4i) en el plano complejo y su magnitud |z| = 5.

Figura 4

Inténtelo #3

Dados $z = 1 - 7 i,$ halle $| z | .$

Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo $θ$ y su distancia desde el origen $r .$ Dado un número complejo en forma rectangular expresado como $c = x + y i,$ utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r sen θ \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

Revisamos estas relaciones en la Figura 5.

El triángulo representado en el plano complejo (el eje x es real, el eje y es imaginario). La base está a lo largo del eje x/real, la altura es algún valor y/imaginario en Q 1 y la hipotenusa r se extiende desde el origen hasta ese punto (x + yi) en Q 1. El ángulo en el origen es theta. Hay un arco que pasa por (x + yi).

Figura 5

Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto $(x, y) .$ El módulo, entonces, es el mismo que $r,$ el radio en forma polar. Usamos $θ$ para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos

\begin{array}{l} c = x + y i \\ c = r \cos θ + (r sen θ) i \\ c = r (\cos θ + i sen θ) \end{array}

Forma polar de un número complejo

Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión:

\begin{array}{l} x = r \cos θ \\ y = r sen θ \\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

Al hacer una sustitución directa, tenemos

\begin{array}{l} c = x + y i \\ c = (r \cos θ) + i (r sen θ) \\ z = r (\cos θ + i sen θ) \end{array}

donde $r$ es el módulo y $θ$ es el argumento. A menudo utilizamos la abreviatura $r cis θ$ para representar $r (\cos θ + i sen θ) .$

Ejemplo 4

Expresión de un número complejo mediante coordenadas polares

Exprese el número complejo $4 i$ mediante coordenadas polares.

Solución

En el plano complejo, el número $c = 4 i$ es lo mismo que $c = 0 + 4 i .$ Al escribirlo en forma polar, tenemos que calcular $r$ primero.

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} \\ r = \sqrt{16} \\ r = 4 \end{array}

A continuación, examinamos $x .$ Si $x = r \cos θ,$ y $x = 0,$ entonces $θ = \frac{π}{2} .$ En coordenadas polares, el número complejo $c = 0 + 4 i$ se puede escribir como $c = 4 (\cos (\frac{π}{2}) + i sen (\frac{π}{2}))$ o $4 cis (\frac{π}{2}) .$ Vea la Figura 6.

El trazado de z=4i en el plano complejo, también muestra que en coordenadas polares sería (4,pi/2).

Figura 6

Inténtelo #4

Exprese $c = 3 i$ como $r cis θ$ en forma polar.

Ejemplo 5

Hallar la forma polar de un número complejo

Halle la forma polar de $- 4 + 4 i .$

Solución

Primero, halle el valor de $r .$

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + (4^{2})} \\ r = \sqrt{32} \\ r = 4 \sqrt{2} \end{array}

Halle el ángulo $θ$ mediante la fórmula:

\begin{array}{l} \cos θ = \frac{x}{r} \\ \cos θ = \frac{- 4}{4 \sqrt{2}} \\ \cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ θ = \cos^{- 1} (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3 π}{4} \end{array}

Así, la solución es $4 \sqrt{2} cis (\frac{3 π}{4}) .$

Inténtelo #5

Escriba $c = \sqrt{3} + i$ en forma polar.

Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular

Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que $c = r (\cos θ + i sen θ),$ primero evalúe las funciones trigonométricas $\cos θ$ y $sen θ .$ Entonces, multiplique por $r .$

Ejemplo 6

Conversión de la forma polar a la rectangular

Convierta el número complejo dado de la forma polar a la rectangular:

z = 12 (\cos (\frac{π}{6}) + i sen (\frac{π}{6}))

Solución

Para comenzar evaluamos las expresiones trigonométricas.

\cos (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} y sen (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Después de la sustitución, el número complejo es

c = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)

Aplicamos la propiedad distributiva:

\begin{array}{l} c = 12 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) \\ = (12) \frac{\sqrt{3}}{2} + (12) \frac{1}{2} i \\ = 6 \sqrt{3} + 6 i \end{array}

La forma rectangular del punto dado en forma compleja es $6 \sqrt{3} + 6 i .$

Ejemplo 7

Hallar la forma rectangular de un número complejo

Halle la forma rectangular del número complejo dado $r = 13$ y $\tan θ = \frac{5}{12} .$

Solución

Si $\tan θ = \frac{5}{12},$ y $\tan θ = \frac{y}{x},$ primero determinamos $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13 .$ Hallamos entonces que $\cos θ = \frac{x}{r}$ y $sen θ = \frac{y}{r} .$

\begin{array}{l} c = 13 (\cos θ + i sen θ) \\ = 13 (\frac{12}{13} + \frac{5}{13} i) \\ = 12 + 5 i \end{array}

La forma rectangular del número dado en forma compleja es $12 + 5 i .$

Inténtelo #6

Convierta el número complejo en forma rectangular:

c = 4 (\cos \frac{11 π}{6} + i sen \frac{11 π}{6})

Hallar productos de números complejos en forma polar

Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.

Productos de números complejos en forma polar

Si los valores de $c_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1})$ y $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i sen θ_{2}),$ entonces el producto de estos números se da como:

\begin{array}{l} c_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sen (θ_{1} + θ_{2})] \\ c_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} cis (θ_{1} + θ_{2}) \end{array}

Observe que el producto exige multiplicar los módulos y sumar los ángulos.

Ejemplo 8

Hallar el producto de dos números complejos en forma polar

Halle el producto de $c_{1} z_{2},$ dado que $c_{1} = 4 (\cos (80°) + i sen (80°))$ y $z_{2} = 2 (\cos (145°) + i sen (145°)) .$

Solución

Siga la fórmula

\begin{array}{l} c_{1} z_{2} = 4 \cdot 2 [\cos (80° + 145°) + i sen (80° + 145°)] \\ c_{1} z_{2} = 8 [\cos (225°) + i sen (225°)] \\ c_{1} z_{2} = 8 [\cos (\frac{5 π}{4}) + i sen (\frac{5 π}{4})] \\ c_{1} z_{2} = 8 [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ c_{1} z_{2} = - 4 \sqrt{2} - 4 i \sqrt{2} \end{array}

Hallar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

Cocientes de números complejos en forma polar

Si los valores de $c_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1})$ y $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i sen θ_{2}),$ entonces el cociente de estos números es

\begin{array}{l} \frac{c_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sen (θ_{1} - θ_{2})], z_{2} \neq 0 \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} cis (θ_{1} - θ_{2}), z_{2} \neq 0 \end{array}

Observe que los módulos se dividen y los ángulos se restan.

Cómo

Dados dos números complejos en forma polar, calcule el cociente.

Divida $\frac{r_{1}}{r_{2}} .$
Halle $θ_{1} - θ_{2} .$
Sustituya los resultados en la fórmula: $c = r (\cos θ + i sen θ) .$ Sustituya $r$ con $\frac{r_{1}}{r_{2}},$ y sustituya $θ$ con $θ_{1} - θ_{2} .$
Calcule las nuevas expresiones trigonométricas y multiplique por $r .$

Ejemplo 9

Hallar el cociente de dos números complejos

Halle el cociente de $c_{1} = 2 (\cos (213°) + i sen (213°))$ y $z_{2} = 4 (\cos (33°) + i sen (33°)) .$

Solución

Con la fórmula tenemos

\begin{array}{l} \frac{c_{1}}{z_{2}} = \frac{2}{4} [\cos (213° - 33°) + i sen (213° - 33°)] \\ \frac{c_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [\cos (180°) + i sen (180°)] \\ \frac{c_{1}}{z_{2}} = \frac{1}{2} [- 1 + 0 i] \\ \frac{c_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} + 0 i \\ \frac{c_{1}}{z_{2}} = - \frac{1}{2} \end{array}

Inténtelo #7

Halle el producto y el cociente de $c_{1} = 2 \sqrt{3} (\cos (150°) + i sen (150°))$ y $z_{2} = 2 (\cos (30°) + i sen (30°)) .$

Hallar potencias de números complejos en forma polar

El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo $n, c^{n}$ se calcula elevando el módulo a $enésimo$ potencia y multiplicando el argumento por $n .$ Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

Teorema de Moivre

Si los valores de $z = r (\cos θ + i sen θ)$ es un número complejo, entonces

\begin{array}{l} c^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i sen (n θ)] \\ c^{n} = r^{n} cis (n θ) \end{array}

donde $n$ es un número entero positivo.

Ejemplo 10

Evaluación de una expresión mediante el teorema de Moivre

Evalúe la expresión ${(1 + i)}^{5}$ mediante el teorema de Moivre.

Solución

Como el teorema de Moivre se aplica a números complejos escritos en forma polar, debemos escribir primero $(1 + i)$ en forma polar. Hallemos $r .$

\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}} \\ r = \sqrt{2} \end{array}

Luego calculamos $θ .$ Si utilizamos la fórmula $\tan θ = \frac{y}{x}$ da como resultado

\begin{array}{l} \tan θ = \frac{1}{1} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}

Use el teorema de Moivre para evaluar la expresión.

\begin{array}{l} {(a + b i)}^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i sen (n θ)] \\ {(1 + i)}^{5} = {(\sqrt{2})}^{5} [\cos (5 \cdot \frac{π}{4}) + i sen (5 \cdot \frac{π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [\cos (\frac{5 π}{4}) + i sen (\frac{5 π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ {(1 + i)}^{5} = - 4 - 4 i \end{array}

Hallar raíces de números complejos en forma polar

Para hallar la raíz enésima de un número complejo en forma polar, usamos el $n enésimo$ o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar $raíces enésimas$ de números complejos en forma polar.

El teorema de raíz a la n

Para calcular la $raíz enésima$ de un número complejo en forma polar, use la fórmula dada

c^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i sen (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n})]

donde $k = 0, 1, 2, 3, . . ., n - 1.$ Añadimos $\frac{2 k π}{n}$ con $\frac{θ}{n}$ para obtener las raíces periódicas.

Ejemplo 11

Hallar la raíz enésima de un número complejo

Evaluar las raíces cúbicas de $c = 8 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i sen (\frac{2 π}{3})) .$

Solución

Tenemos

\begin{array}{l} c^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3}) + i sen (\frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 k π}{3})] \\ c^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3}) + i sen (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3})] \end{array}

Habrá tres raíces: $k = 0, 1, 2.$ Cuando $k = 0,$ tenemos

c^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{2 π}{9}) + i sen (\frac{2 π}{9}))

Cuando $k = 1,$ tenemos

\begin{array}{l} c^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9}) + i sen (\frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} Sume \frac{2 (1) π}{3} a cada ángulo. \\ c^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{8 π}{9}) + i sen (\frac{8 π}{9})) \end{array}

Cuando $k = 2,$ tenemos

\begin{array}{l} c^{\frac{1}{3}} = 2 [\cos (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9}) + i sen (\frac{2 π}{9} + \frac{12 π}{9})] \begin{matrix}  \end{matrix} & Sume \frac{2 (2) π}{3} a cada ángulo. \\ c^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{14 π}{9}) + i sen (\frac{14 π}{9})) \end{array}

Recuerde hallar el denominador común para simplificar las fracciones en situaciones como esta. Para $k = 1,$ la simplificación del ángulo es

\begin{array}{l} \frac{\frac{2 π}{3}}{3} + \frac{2 (1) π}{3} = \frac{2 π}{3} (\frac{1}{3}) + \frac{2 (1) π}{3} (\frac{3}{3}) \\ = \frac{2 π}{9} + \frac{6 π}{9} \\ = \frac{8 π}{9} \end{array}

Inténtelo #8

Halle las cuatro raíces cuartas de $16 (\cos (120°) + i sen (120°)) .$

Media

Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar formas polares de números complejos.

8.5 Ejercicios de sección

Verbal

Un número complejo es $a + b i .$ Explique cada parte.

¿Qué representa el valor absoluto de un número complejo?

¿Cómo se convierte un número complejo en forma polar?

¿Cómo se calcula el producto de dos números complejos?

¿Qué es el teorema de Moivre y para qué sirve?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado.

$5 + 3 i$

$- 7 + i$

$- 3 - 3 i$

$\sqrt{2} - 6 i$

10.

$2 i$

11.

$2,2 - 3,1 i$

En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar.

12.

$2 + 2 i$

13.

$8 - 4 i$

14.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

15.

$\sqrt{3} + i$

16.

$3 i$

En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.

17.

$z = 7 cis (\frac{π}{6})$

18.

$z = 2 cis (\frac{π}{3})$

19.

$z = 4 cis (\frac{7 π}{6})$

20.

$z = 7 cis (25°)$

21.

$z = 3 cis (240°)$

22.

$z = \sqrt{2} cis (100°)$

En los siguientes ejercicios, calcule $c_{1} z_{2}$ en forma polar.

23.

$z_{1} = 2 \sqrt{3} cis (116°); c_{2} = 2 cis (82°)$

24.

$z_{1} = \sqrt{2} cis (205°); c_{2} = 2 \sqrt{2} cis (118°)$

25.

$z_{1} = 3 cis (120°); c_{2} = \frac{1}{4} cis (60°)$

26.

$z_{1} = 3 cis (\frac{π}{4}); c_{2} = 5 cis (\frac{π}{6})$

27.

$z_{1} = \sqrt{5} cis (\frac{5 π}{8}); c_{2} = \sqrt{15} cis (\frac{π}{12})$

28.

$z_{1} = 4 cis (\frac{π}{2}); c_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

En los siguientes ejercicios, calcule $\frac{c_{1}}{z_{2}}$ en forma polar.

29.

$z_{1} = 21 cis (135°); c_{2} = 3 cis (65°)$

30.

$z_{1} = \sqrt{2} cis (90°); c_{2} = 2 cis (60°)$

31.

$z_{1} = 15 cis (120°); c_{2} = 3 cis (40°)$

32.

$z_{1} = 6 cis (\frac{π}{3}); c_{2} = 2 cis (\frac{π}{4})$

33.

$z_{1} = 5 \sqrt{2} cis (π); c_{2} = \sqrt{2} cis (\frac{2 π}{3})$

34.

$z_{1} = 2 cis (\frac{3 π}{5}); c_{2} = 3 cis (\frac{π}{4})$

En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.

35.

Calcule $c^{3}$ cuando $z = 5 cis (45°) .$

36.

Calcule $z^{4}$ cuando $z = 2 cis (70°) .$

37.

Calcule $z^{2}$ cuando $z = 3 cis (120°) .$

38.

Calcule $z^{2}$ cuando $z = 4 cis (\frac{π}{4}) .$

39.

Calcule $z^{4}$ cuando $z = cis (\frac{3 π}{16}) .$

40.

Calcule $c^{3}$ cuando $z = 3 cis (\frac{5 π}{3}) .$

En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.

41.

Evalúe la raíz cúbica de $z$ cuando $z = 27 cis (240°) .$

42.

Evalúe la raíz cuadrada de $z$ cuando $z = 16 cis (100°) .$

43.

Evalúe la raíz cúbica de $z$ cuando $z = 32 cis (\frac{2 π}{3}) .$

44.

Evalúe la raíz cuadrada de $z$ cuando $z = 32 cis (π) .$

45.

Evalúe la raíz cuadrada de $z$ cuando $z = 8 cis (\frac{7 π}{4}) .$

Gráficos

En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.

46.

$2 + 4 i$

47.

$- 3 - 3 i$

48.

$5 - 4 i$

49.

$- 1 - 5 i$

50.

$3 + 2 i$

51.

$2 i$

52.

$- 4$

53.

$6 - 2 i$

54.

$- 2 + i$

55.

$1 - 4 i$

En tecnología

En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana.

56.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar $5 + 5 i$ a la forma polar.

57.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar $3 - 2 i$ a la forma polar.

58.

Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar $- 3 - 8 i$ a la forma polar.

59.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar $4 cis (120°)$ a la forma rectangular.

60.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar $2 cis (45°)$ a la forma rectangular.

61.

Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar $5 cis (210°)$ a la forma rectangular.