Moyennes mobiles simples (SMA)

Rappelez-vous que nous utilisons le terme fenêtre (window) pour désigner des termes consécutifs d'une série temporelle. Dans ce qui suit, supposons que la taille de la fenêtre est une constante, $T$. Étant donné une série temporelle avec des valeurs $\left(x_n\right)$, c'est-à-dire une séquence ${(x}_1,x_2,x_3,x_4,\dots ,x_N)$, la moyenne mobile simple avec une taille de fenêtre $T$ est définie comme une nouvelle série $\left(y_n\right)$ avec des valeurs données par la formule

Cette formule n'est pas aussi difficile qu'elle en a l'air. Considérez-la simplement comme la moyenne des $T$ derniers termes. Par exemple, étant donné la suite (5, 4, 2, 6, 2, 3, 1, 7), la SMA de longueur 4 serait obtenue en calculant la moyenne de 4 termes consécutifs à la fois. Notez que le premier terme de la SMA est $y_4$ car au moins 4 termes sont nécessaires dans la moyenne.

Terme $k=4$ : $(\mathbf{5},\mathbf{4},\mathbf{2},\mathbf{6},2,3,1,7)\to y_4=\frac{5+4+2+6}{4}=\frac{17}{4}=4.25$

Terme $k=5$ : $(5,\mathbf{4},\mathbf{2},\mathbf{6},\mathbf{2},3,1,7)\to y_5=\frac{4+2+6+2}{4}=\frac{14}{4}=3.5$

Terme $k=6$ : $(5,4,\mathbf{2},\mathbf{6},\mathbf{2},\mathbf{3},1,7)\to y_6=\frac{2+6+2+3}{4}=\frac{13}{4}=3.25$

Terme $k=7$ : $(5,4,2,\mathbf{6},\mathbf{2},\mathbf{3},\mathbf{1},7)\to y_7=\frac{6+2+3+1}{4}=\frac{12}{4}=3$

Terme $k=8$ : $(5,4,2,6,\mathbf{2},\mathbf{3},\mathbf{1},\mathbf{7})\to y_8=\frac{2+3+1+7}{4}=\frac{13}{4}=3.25$

Ainsi, la SMA de longueur 4 est la suite (4.25, 3.5, 3.25, 3, 3.25). Remarquez que les valeurs de la SMA ne sautent pas autant que les valeurs de la suite originale.

Le nombre de termes à utiliser dans une moyenne mobile simple dépend de l'ensemble de données et du résultat souhaité. Si le but est de réduire le bruit, un petit nombre de termes (par exemple, 3 à 5) peut être suffisant. Parfois, les incohérences dans la collecte des données peuvent être atténuées par une utilisation judicieuse de la SMA. Par exemple, supposons que des données soient collectées sur le nombre de clients sans rendez-vous au service des permis de conduire, qui ne fonctionne que du lundi au vendredi. Aucune donnée n'est collectée les week-ends, tandis que le nombre de visites le lundi peut être disproportionnellement élevé parce que les usagers ont dû attendre le lundi pour accéder aux services. Ici, une SMA de 7 jours lisserait les données, répartissant les données hebdomadaires des visites de manière plus uniforme sur tous les jours de la semaine.

Exemple 5.3

Problème

Trouvez la moyenne mobile simple de taille de fenêtre 3 pour les données du Tableau 5.1 et comparez-la avec le graphique linéaire original.

Solution

La SMA commencera à l'index $k=3$.

$$y_3=\frac{\mathrm{1,848.36}+\mathrm{2,058.9}+\mathrm{2,043.94}}{3}=\mathrm{1,983.73}$$

$$y_4=\frac{\mathrm{2,058.9}+\mathrm{2,043.94}+\mathrm{2,238.83}}{3}=\mathrm{2,113.89}$$

$$y_5=\frac{\mathrm{2,043.94}+\mathrm{2,238.83}+\mathrm{2,673.61}}{3}=\mathrm{2,318.79}$$

$$y_6=\frac{\mathrm{2,238.83}+\mathrm{2,673.61}+\mathrm{2,506.85}}{3}=\mathrm{2,473.1}$$

$$y_7=\frac{\mathrm{2,673.61}+\mathrm{2,506.85}+\mathrm{3,230.78}}{3}=\mathrm{2,803.75}$$

$$y_8=\frac{\mathrm{2,506.85}+\mathrm{3,230.78}+\mathrm{3,756.07}}{3}=\mathrm{3,164.57}$$

$$y_9=\frac{\mathrm{3,230.78}+\mathrm{3,756.07}+\mathrm{4,766.18}}{3}=\mathrm{3,917.68}$$

$$y_{10}=\frac{\mathrm{3,756.07}+\mathrm{4,766.18}+\mathrm{3,839.5}}{3}=\mathrm{4,120.58}$$

$$y_{11}=\frac{\mathrm{4,766.18}+\mathrm{3,839.5}+\mathrm{4,769.83}}{3}=\mathrm{4,458.5}$$

La SMA est représentée graphiquement avec la série temporelle originale sur la Figure 5.10.

Figure 5.10 Graphique linéaire de l'indice S&P 500 avec la moyenne mobile simple de longueur 3 (source des données : adaptée de S&P 500 [SPX] Historical Data)

Les moyennes mobiles simples constituent un moyen facile d'identifier une courbe tendance-cycle dans la série temporelle. En fait, la SMA peut servir d'estimation du composant $t_n$ de la série temporelle. En pratique, lors de l'utilisation de la SMA pour isoler le composant tendance-cycle, les termes de la SMA sont centrés, ce qui signifie que lors du calcul des termes de la SMA, $y_k$, le terme $x_k$ apparaît en plein milieu de la fenêtre, avec le même nombre de termes à gauche et à droite.

Par exemple, la SMA trouvée dans l'Exemple 5.3 peut être décalée de manière à ce que $y_k=\frac{x_{k-1}+x_k+x_{k+1}}{3}$. Cela a pour effet de décaler l'index des termes de la SMA de 1 en arrière, de sorte que la SMA commence à l'index $k=2$.

Cette procédure fonctionne bien lorsque la taille de la fenêtre est impaire, mais lorsqu'elle est paire, une pratique courante consiste à calculer deux SMA dans lesquelles $x_k$ se trouve très près du milieu de la séquence, puis à faire la moyenne de leurs résultats. Par exemple, en utilisant les mêmes données que dans l'Exemple 5.3, si nous voulions calculer une SMA centrée de longueur 4, le premier terme serait $y_3$, et nous trouverions deux moyennes.

La moyenne des deux moyennes est équivalente à la formule plus efficace suivante. Considérons d'abord l'exemple précédent.

Cela suggère un motif général pour les tailles de fenêtres paires. En résumé, nous avons deux formules étroitement liées pour la SMA centrée, selon que $T$ est pair ou impair.

Bien entendu, il existe des fonctions dans les logiciels statistiques qui peuvent calculer automatiquement la SMA centrée pour vous.

Différenciation

En mathématiques, la différence de premier ordre d'une suite $\left(x_n\right)={(x}_1,x_2,x_3,x_4,\dots ,x_N)$ est une autre suite, notée $\Delta \left(x_k\right)$, constituée des différences de termes consécutifs. C'est-à-dire :

Notez qu'il y a un terme de moins dans la différence $\Delta \left(x_n\right)$ par rapport à la série temporelle originale $\left(x_n\right)$. La différenciation (differencing) a pour effet de stabiliser une tendance uniforme à la hausse ou à la baisse sans affecter les autres facteurs tels que les variations saisonnières et le bruit.

De plus, la moyenne (moyenne arithmétique) des termes de la série différentielle mesure le taux de variation de la série temporelle originale, tout comme le fait la pente de la régression linéaire. (En effet, si vous avez des notions de calcul infinitésimal, vous remarquerez peut-être qu'il existe un lien étroit entre la différenciation et le calcul de la dérivée d'une fonction continue.)

Exemple 5.4

Problème

Trouvez la série temporelle de différence de premier ordre pour les données du Tableau 5.1 et comparez-la avec le graphique linéaire original. Trouvez la moyenne de la série différentielle et comparez cette valeur à la pente de la régression linéaire trouvée dans l'Exemple 5.1.

Solution

Puisque la série temporelle originale du Tableau 5.1 comporte $N=10$ termes, la différence ne comportera que 9 termes, comme le montre le Tableau 5.3.

Terme n	Terme de l'indice S&P ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$	${\mathit{n}}^{\mathbf{e}}$ terme de $\mathit{\Delta }(x_n)$
1	1848,36	S/O
2	2058,9	$2058.9-1848.36=210.54$
3	2043,94	$2043.94-2058.9=-14.96$
4	2238,83	$2238.83-2043.94=194.89$
5	2673,61	$2673.61-2238.84=434.78$
6	2506,85	$2506.85-2673.61=-166.76$
7	3230,78	$3230.78-2506.85=723.93$
8	3756,07	$3756.07-3230.78=525.29$
9	4766,18	$4766.18-3756.07=1010.11$
10	3839,5	$3839.5-4766.18=-926.68$
11	4769,83	$4769.83-3839.5=930.33$

Tableau 5.3 Série temporelle de différence de premier ordre pour les données du Tableau 5.1 (source : adaptée de https://www.nasdaq.com/market-activity/index/spx/historical)

La Figure 5.11 montre le graphique des données originales avec leur série différentielle.

Figure 5.11 Comparaison des valeurs de l'indice S&P et de leur série différentielle (source des données : adaptée de S&P 500 [SPX] Historical Data)

La valeur moyenne de $\Delta \left(x_n\right)$ est :

$$\frac{1}{10}(210.54+(-14.96)+194.89+434.78+(-166.76)+723.93+525.29+\mathrm{1,010.11}+(-926.68)+930.33)=292.15$$

En comparant avec la pente de la régression linéaire, qui est d'environ 304 (rappel de l'Exemple 5.1), nous constatons que les deux valeurs sont relativement proches l'une de l'autre.

La différenciation peut être utilisée pour vérifier si la courbe de tendance d'une série temporelle est essentiellement linéaire, quadratique ou polynomiale d'ordre supérieur. Tout d'abord, nous devons rappeler une définition d'algèbre qui s'applique généralement aux fonctions polynomiales mais qui peut également s'appliquer aux suites. Si une suite $\left(x_n\right)$ est donnée par une formule polynomiale de la forme

où $r$ est un entier naturel, chacun des coefficients $a_k$ (pour $k=1,2,3,\dots ,n$) est une constante, et le terme de plus haut degré est non nul ($a_r\ne 0$), alors la suite a pour ordre ou degré $r$. (L'ordre (order) ou degré (degree) fait référence au nombre de termes ou de décalages utilisés dans un modèle pour décrire la série temporelle.)

Par exemple, toute suite de la forme $x_n=an+b$ est d'ordre 1 (et peut être qualifiée de linéaire). Une suite de la forme $x_n=a{n}^2+bn+c$ est d'ordre 2 (et est appelée quadratique). Des données quadratiques s'ajustent bien à une parabole, ce qui indiquerait une tendance incurvée dans les données.

Si une suite $\left(x_n\right)$ est d'ordre $r>0$, alors la suite des différences $\Delta \left(x_n\right)$ est d'ordre $r-1$. Si la suite originale est déjà d'ordre 0, ce qui signifie que la suite est constante (tous les termes étant égaux à la même constante), alors la suite des différences produit simplement une autre suite constante (ordre 0) dans laquelle chaque terme est égal à 0. Ce résultat important peut être démontré mathématiquement, mais nous ne présenterons pas la démonstration dans ce texte.

À titre d'exemple, considérons la suite $\left(x_n\right)=(2,5,8,11,14,17,20)$, qui est d'ordre 1, puisque vous pouvez trouver ses valeurs à l'aide de la formule $x_n=3n-1$. La suite des différences est $\Delta \left(x_n\right)=(3,3,3,3,3,3)$, qui est une suite constante, donc d'ordre 0. Remarquez que prendre la différence une fois de plus donne la suite constante nulle, $\Delta \left(\Delta \left(x_n\right)\right)=(0,0,0,0,0)$, et calculer d'autres différences successives ne ferait que réduire le nombre de termes, mais chaque terme conserverait la valeur 0. (Par souci de simplicité, nous supposerons qu'il y a toujours suffisamment de termes dans une suite pour que la différence soit également une suite non vide.)

La différence de second ordre, ${\Delta }^2\left(x_n\right)=\Delta \left(\Delta \left(x_n\right)\right)$, ou différence de la différence, réduirait l'ordre d'une suite d'ordre $r$ deux fois, pour atteindre $r-2$ si $r\ge 2$, ou la suite constante nulle si $r\le 1$. De manière générale, une différence d'ordre $d$, définie par ${\Delta }^d\left(x_n\right)=\Delta \left({\Delta }^{d-1}\left(x_n\right)\right)$, réduit l'ordre d'une suite d'ordre $r$ à $r-d$ si $r\ge d$, ou à l'ordre 0 sinon. En y réfléchissant un peu, vous réaliserez peut-être que nous disposons maintenant d'une procédure simple pour déterminer l'ordre d'une suite qui ne nécessite pas d'avoir sous la main la formule explicite de $x_n$.

Si une suite $\left(x_n\right)$ a un ordre bien défini (en d'autres termes, s'il existe une formule polynomiale constituant un bon modèle pour les termes de la suite, même si nous ne connaissons pas encore cette formule), alors l'ordre $r$ est le plus petit entier naturel tel que la différence d'ordre $r$, ${\Delta }^{r+1}\left(x_n\right)$, soit égale soit à une suite constante 0, soit à un bruit blanc.

Nous ne pouvons pas espérer rencontrer des données de séries temporelles réelles qui soient rigoureusement linéaires, quadratiques ou d'un degré exact donné. Chaque série temporelle comportera du bruit en plus d'éventuels motifs saisonniers. Cependant, la courbe tendance-cycle peut tout de même être bien approchée par un modèle polynomial d'un certain ordre.

SMA et différenciation dans Excel

Excel peut facilement calculer des moyennes mobiles simples et effectuer des différenciations. La possibilité d'écrire une formule dans une cellule, puis de la faire glisser vers le bas pour qu'elle s'applique à toutes les lignes de données est une fonctionnalité très puissante et pratique. À titre d'exemple, explorons le jeu de données MonthlyCoalConsumption.xlsx. Tout d'abord, vous devrez enregistrer le fichier en tant que feuille de calcul Excel, car les fichiers CSV ne prennent pas en charge les formules.

Incluons une SMA centrée avec une fenêtre de 13 termes (voir Figure 5.12). Dans la cellule C8, tapez « =AVERAGE(B2:B14) » comme indiqué sur la Figure 5.12. Remarque : il doit y avoir exactement 6 lignes au-dessus et 6 lignes en dessous de la ligne centrale au niveau de laquelle la formule est saisie.

Figure 5.12 Capture d'écran d'une SMA de fenêtre de 13 termes dans Excel (utilisée avec l'autorisation de Microsoft)

Ensuite, cliquez sur le petit carré dans le coin inférieur droit de la cellule C8 et faites-le glisser jusqu'à la cellule C173, qui se trouve 6 lignes avant la dernière valeur de données. La colonne C contient désormais la série temporelle SMA pour vos données, comme le montre la Figure 5.13.

Figure 5.13 Capture d'écran montrant la série temporelle SMA dans la colonne C (utilisée avec l'autorisation de Microsoft)

Vous pouvez générer le graphique de la série temporelle et de la SMA ensemble, comme illustré à la Figure 5.14. Comparez votre SMA calculée avec la ligne de tendance créée par Excel dans la Figure 5.7.

Figure 5.14 Consommation mensuelle de charbon pour la production d'électricité aux États-Unis de 2016 à 2022. La SMA avec une fenêtre de longueur 13 a été ajoutée au graphique en orange. (source des données : https://www.statista.com/statistics/1170053/monthly-coal-energy-consumption-in-the-us/)

Calculons maintenant la différence de premier ordre. Le principe est très similaire. Placez la formule de la différence, qui n'est rien d'autre que « =B3-B2 », dans la cellule D3, comme sur la Figure 5.15.

Figure 5.15 Capture d'écran d'Excel montrant la formule de différence dans la colonne D (utilisée avec l'autorisation de Microsoft)

Faites ensuite glisser la formule vers le bas jusqu'à la fin de la colonne. Le résultat est présenté sur la Figure 5.16.

Figure 5.16 Capture d'écran d'Excel montrant la différence dans la colonne D (utilisée avec l'autorisation de Microsoft)

Si vous devez calculer les différences de second ordre, appliquez simplement la même procédure pour trouver la différence de la colonne D. Les différences d'ordre supérieur peuvent facilement être calculées de façon analogue.

SMA et différenciation en Python

Le calcul d'une SMA en Python ne nécessite qu'une seule ligne de code. Voici comment cela fonctionne sur l'ensemble de données sur la consommation de charbon (trouvé dans MonthlyCoalConsumption.xlsx), en utilisant une taille de fenêtre de 12. (Auparavant, nous avions utilisé une fenêtre de 13 car les fenêtres de longueur impaire sont plus simples à manipuler que celles de longueur paire. Cependant, Python gère facilement tous les cas de manière automatique.) L'élément clé ici est la fonction rolling() qui crée un DataFrame de fenêtres glissantes de la longueur spécifiée. Ensuite, la commande mean() calcule la moyenne de chaque fenêtre de données. Le calcul de la différence de premier ordre est tout aussi simple, grâce à la commande diff().

Code Python

    
    # Import libraries
    import pandas as pd # for dataset management
    import matplotlib.pyplot as plt # for visualizations
    from matplotlib.ticker import MaxNLocator, FuncFormatter # for graph formatting and y-axis formatting
    import matplotlib.dates as mdates # for date formatting
    
    # Read the Excel file into a Pandas DataFrame
    df = pd.read_excel('MonthlyCoalConsumption.xlsx')
    
    # Convert 'Month' column to datetime format
    df['Month'] = pd.to_datetime(df['Month'], format='%m/%d/%Y')
    
    # Calculate a simple moving average with a window size of 12
    df['SMA'] = df['Value'].rolling(window=12).mean()
    
    # Calculate the first-order difference
    df['Diff'] = df['Value'].diff()
    
    # Function to format the Y-axis values
    def y_format(value, tick_number):
      return f'{int(round (value)):,}'
    
    # Create the plot
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    
    # Plot the time series, SMA, and difference
    plt.plot(df['Month'], df['Value'], marker='', linestyle='-', color='b', label='Value')
    plt.plot(df['Month'], df['SMA'], marker='', linestyle='-', color='r', label='SMA')
    plt.plot(df['Month'], df['Diff'], marker='', linestyle='-', color='g', label='Diff')
    
    # Set the x-axis limits to start from the first date and end at the maximum date in the data
    plt.xlim(pd.to_datetime('01/01/2016', format='%m/%d/%Y'), df['Month'].max())
    
    # Format the x-axis to show dates as MM/DD/YYYY and set the locator for a fixed number of ticks
    ax = plt.gca()
    ax.xaxis.set_major_formatter(mdates.DateFormatter('%m/%d/%Y'))
    ax.xaxis.set_major_locator(MaxNLocator(nbins=12)) # Set the number of ticks to a reasonable value
    
    # Manually set the rotation of date labels to 45 degrees
    plt.xticks(rotation=45)
    
    # Title and labels
    plt.title('Monthly Consumption of Coal for Electricity Generation in the United States from 2016 to 2022')
    plt.xlabel('Month')
    plt.legend()
    
    # Apply the formatter to the Y-axis
    ax.yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(y_format))
    
    plt.tight_layout() # Adjust layout to ensure labels fit well
    plt.show() 
    

La sortie obtenue ressemblera à ceci :

Identifier la période

Tout d'abord, nous devons identifier la période des données saisonnières. La méthode la plus simple consiste à utiliser les connaissances préalables sur les données de la série temporelle, accompagnées d'une inspection visuelle. Souvent, un motif saisonnier est exactement cela : un motif qui se répète sur une durée d'un an. Ainsi, la période serait de $P=1$ an (ou 12 mois, 52 semaines, 365 jours, etc., selon les étapes temporelles de votre série temporelle). Par exemple, même sans éliminer la tendance des données, il était facile d'identifier une période de 4 trimestres (1 an) dans les données de l'exemple 5.2.

Si la répétition d'un motif saisonnier n'est pas évidente à partir des données, elle peut être découverte à l'aide de mesures statistiques standard telles que l'autocorrélation. L'autocorrélation (autocorrelation) est la mesure de la corrélation entre une série temporelle et la même série temporelle décalée d'un certain nombre d'étapes temporelles. (La section Analyse de corrélation et de régression linéaire a abordé la corrélation entre deux ensembles de données. L'autocorrélation est la même idée appliquée au même ensemble de données avec une copie décalée de lui-même.) L'amplitude du décalage est appelée le décalage (lag).

La fonction d'autocorrélation (ACF) mesure la corrélation à chaque décalage en commençant par 0 ou 1. Notez que le décalage 0 produit toujours une autocorrélation de 1 puisque la série temporelle est comparée à une copie exacte d'elle-même. Ainsi, nous ne nous intéressons qu'au coefficient de corrélation aux décalages positifs. Cependant, les petits décalages montrent généralement aussi une corrélation élevée avec la série temporelle originale, simplement parce que les données mesurées sur des périodes de temps plus courtes sont généralement similaires les unes aux autres. Ainsi, même si l'ACF montre une corrélation relativement importante à des décalages de 1, 2, 3, etc., il se peut qu'aucun véritable composant saisonnier ne soit présent. Le décalage positif correspondant au premier pic (peak) significatif, ou à une valeur d'autocorrélation beaucoup plus grande que les valeurs précédentes, peut indiquer un composant saisonnier ayant cette période.

Plus loin, nous verrons comment calculer l'ACF d'une série temporelle à l'aide de Python, mais explorons d'abord d'autres sujets concernant les composants saisonniers.

Données désaisonnalisées

Une fois que vous avez déterminé la période du composant saisonnier, vous pouvez ensuite extraire $s_n$ de la série temporelle. Comme d'habitude, il existe plusieurs façons de procéder.

Supposons que vous ayez éliminé la tendance de la série temporelle de sorte que ce qui reste consiste en un composant saisonnier et un terme de bruit :

De plus, supposons que la période de $s_n$ soit $P$. Bien sûr, avec le terme de bruit toujours présent dans la série temporelle, nous ne pouvons pas nous attendre à ce que l'égalité $s_{n+P}=s_n$ soit vérifiée, mais il devrait être vrai que $s_{n+P}\approx s_n$ pour tout $n$. En d'autres termes, les données devraient avoir approximativement la même allure lorsqu'elles sont décalées de $P$ étapes temporelles. Notre tâche consiste désormais à isoler une période complète de données qui modélise la variation saisonnière tout au long de la série temporelle. En d'autres termes, nous voulons produire une estimation ${\hat{s}}_n$ qui soit exactement périodique (${\hat{s}}_{n+P}={\hat{s}}_n$, pour tout $n$) et qui modélise le composant saisonnier sous-jacent aussi fidèlement que possible.

Pour tout index donné $n<P$, nous nous attendons à ce que les points de données $(z_n,z_{n+P},z_{n+2P},z_{n+3P},\dots )$ gravitent autour de la même valeur ou, dans le langage statistique, présentent une variance plutôt faible (bien inférieure à celle de la série temporelle dans son ensemble). Il semble donc raisonnable d'utiliser la moyenne de cette tranche de données pour définir la valeur de ${\hat{s}}_n$. Par souci de simplicité, supposons que la série temporelle compte exactement $M·P$ points de données (si ce n'est pas le cas, les données peuvent être complétées de manière appropriée). L'estimation du composant saisonnier serait alors définie pour $1\le n<P$ par la formule

Comme d'habitude, la formule semble plus intimidante que le concept sur lequel elle repose. Comme mentionné précédemment, cela ne représente rien de plus que la moyenne de toutes les valeurs de la série temporelle qui se produisent toutes les $P$ étapes temporelles.

Une fois que ${\hat{s}}_n$ est calculé dans la plage $1\le n<P$, étendez-le en répétant les mêmes valeurs dans chaque période jusqu'à ce que vous atteigniez le dernier index de la série originale $(n=MP)$. (Remarque : Le terme de bruit peut maintenant être estimé comme la série des résidus, ${\epsilon }_n\approx s_n-{\hat{s}}_n$, qui retiendra notre attention dans Méthodes d'évaluation des prévisions.)

Enfin, l'estimation ${\hat{s}}_n$ peut ensuite être utilisée conjointement avec la série temporelle originale $\left(x_n\right)$ pour lisser la variation saisonnière. Notez que ${\hat{s}}_n$ mesure essentiellement les fluctuations des données observées $x_n$ au-dessus ou en dessous de la tendance. Nous nous attendons à ce que la moyenne de ${\hat{s}}_n$ soit proche de zéro sur toute fenêtre de temps. Définissons les données désaisonnalisées comme la série temporelle

Une série temporelle désaisonnalisée est étroitement liée à la courbe tendance-cycle sous-jacente, $t_n$, bien qu'elle contienne généralement le bruit et d'autres facteurs aléatoires que $t_n$ n'inclut généralement pas.

Exemple 5.6

Problème

Les données de revenus de Walt’s Water Adventures (voir le tableau 5.2) semblent afficher une saisonnalité de période 4. En utilisant le niveau comme tendance, éliminez la tendance des données, calculez le composant saisonnier ${\hat{s}}_n$ et trouvez la série temporelle désaisonnalisée.

Solution

Tout d'abord, nous devons éliminer la tendance des données. Le niveau est la moyenne des 12 observations. À l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel, on trouve que le niveau est de $L=\mathrm{2,275.42}$. Soustrayez $x_n-L$ pour éliminer la tendance des données (voir le tableau 5.4). Par exemple, le premier terme des données sans tendance serait $z_1=x_1-L=\mathrm{1,799}-\mathrm{2,275.42}=-476.42$.

Il y a un total de 12 observations, il y aura donc $M=12/4=3$ périodes de taille $P=4$. En utilisant les valeurs de $z_n$ dans la formule de ${\hat{s}}_n$, nous trouvons :

$$\begin{array}{rcl}{\hat{s}}_1& =& \frac{1}{3}(z_1+z_5+z_9)=\frac{1}{3}((-476.42)+8.58+428.58)=-13.08\\ {\hat{s}}_2& =& \frac{1}{3}(z_2+z_6+z_{10})=\frac{1}{3}(\mathrm{1,028.58}+\mathrm{1,183.58}+\mathrm{1,573.58})=\mathrm{1,261.92}\\ {\hat{s}}_3& =& \frac{1}{3}(z_3+z_7+z_{11})=\frac{1}{3}((-996.42)+(-311.42)+(-144.42\left)\right)=-484.08\\ {\hat{s}}_4& =& \frac{1}{3}(z_4+z_8+z_{12})=\frac{1}{3}\left(\right(-\mathrm{1,276.42})+(-681.42)+(-336.42\left)\right)=-764.75\\ & & \end{array}$$

Répétez ensuite ce bloc de 4 valeurs selon les besoins pour obtenir l'ensemble du composant saisonnier. Enfin, la série temporelle désaisonnalisée est la différence entre les données observées et le composant saisonnier (voir le tableau 5.4).

k	Trimestre	Revenus	Sans tendance $z_k$	Comp. sais. ${\hat{s}}_k$	Désaisonnalisé $x_n-{\hat{s}}_n$
1	Printemps 2021	1799	−­476.42	−­13.08	1812.08
2	Été 2021	3304	1028.58	1261.92	2042.08
3	Automne 2021	1279	−­996.42	−­484.08	1763.08
4	Hiver 2021	999	−­1276.42	­−764.75	1763.75
5	Printemps 2022	2284	8.58	−­13.08	2297.08
6	Été 2022	3459	1183.58	1261.92	2197.08
7	Automne 2022	1964	­−311.42	­−484.08	2448.08
8	Hiver 2022	1594	−­681.42	−­764.75	2358.75
9	Printemps 2023	2704	428.58	−­13.08	2717.08
10	Été 2023	3849	1573.58	1261.92	2587.08
11	Automne 2023	2131	­−144.42	­−484.08	2615.08
12	Hiver 2023	1939	­−336.42	­−764.75	2703.75

Tableau 5.4 Revenus trimestriels pour les locations de kayaks et de canoës (toutes les colonnes en $). Les colonnes pour les données sans tendance, l'estimation du composant saisonnier et les données désaisonnalisées sont incluses.

La figure 5.18 montre les données ainsi que le composant saisonnier et les données désaisonnalisées.

Figure 5.18 Revenus trimestriels pour les locations de kayaks et de canoës. Le composant saisonnier et la série temporelle désaisonnalisée sont inclus sur le graphique.

Décomposition d'une série temporelle en composants à l'aide de Python

Il existe une puissante bibliothèque Python appelée statsmodels qui rassemble de nombreuses fonctions statistiques utiles. Nous utiliserons le module STL pour décomposer la série temporelle MonthlyCoalConsumption.xlsx en ses composants. Tout d'abord, nous traçons une ACF (fonction d'autocorrélation) (ACF (autocorrelation function)) pour déterminer la meilleure valeur pour la périodicité.

Code Python

    # Import libraries
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
    
    # Read the Excel file into a Pandas Dataframe
    df = pd.read_excel('MonthlyCoalConsumption.xlsx')
    
    # Plot the ACF
    plot_acf(df['Value'], lags=20, title='ACF');
    

La sortie résultante ressemblera à ceci :

Les points situés dans la zone ombrée bleue correspondent à des décalages pour lesquels l'autocorrélation est statistiquement non significative. Les décalages qui montrent la plus grande significativité se situent à 0, 1, 6 et 12. $\text{Décalage}=0$ donne toujours 100 % d'autocorrélation car nous comparons la série non décalée à elle-même. À $\text{décalage}=1$, une autocorrélation élevée correspond au fait que des points de données consécutifs sont relativement proches les uns des autres (ce qui est également attendu dans la plupart des ensembles de données). Il convient de noter en particulier les décalages à 6 et 12, correspondant à une possible période saisonnière de 6 ou 12 dans les données. Nous utiliserons la période 12 dans notre décomposition STL.

Code Python

    # Import libraries
    from statsmodels.tsa.seasonal import STL
    import matplotlib.pyplot as plt ## for data visualization
    
    # Perform seasonal decomposition using STL
    stl = STL(df['Value'], period=12)
    result = stl.fit()
    
    # Plot components and format the y-axis labels
    fig = result.plot()
    for ax in fig.axes:
      ax.yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(y_format))
    
    plt.show()
    

La sortie résultante ressemblera à ceci :

 

La tendance, la variation saisonnière et les composants résiduels (bruit) sont tous représentés sur des graphiques séparés. Pour les voir tous sur le même ensemble d'axes, nous pouvons utiliser matplotlib (bruit omis).

Code Python

    import matplotlib.pyplot as plt ## for data visualization
    
    # Extract the trend and seasonal components
    trend = result.trend
    seasonal = result.seasonal
    
    # Plot the original data, trend, and seasonally adjusted data
    plt.plot(df['Value'], label='Original Data')
    plt.plot(trend, label='Trend')
    plt.plot(seasonal, label='Seasonal')
    plt.legend()
    
    # Apply the formatter to the Y-axis
    plt.gca().yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(y_format))
    plt.show()
    

La sortie résultante ressemblera à ceci :