ANOVA à un facteur

Pour comparer trois moyennes ou plus, les tailles d'échantillon de chaque groupe peuvent être différentes (les tailles d'échantillon n'ont pas besoin d'être identiques). Pour le test d'hypothèse de l'ANOVA à un facteur, nous suivrons le même schéma général d'étapes de test d'hypothèses que celui présenté dans Test d'hypothèses.

La première étape consiste à formuler les hypothèses nulle et alternative. Pour l'ANOVA à un facteur, les hypothèses nulle et alternative s'énoncent toujours comme suit :

$H_0$ : Toutes les moyennes de la population sont égales : ${\mu }_1={\mu }_2={\mu }_3=\dots$

$H_a$ : Au moins une moyenne de la population est différente des autres.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

1. Les échantillons sont aléatoires et issus de distributions approximativement normales.
2. Les échantillons sont indépendants les uns des autres.
3. Les variances des populations sont approximativement égales.

Dans cette discussion, nous supposons que les variances des populations ne sont pas égales.

Lorsque ces conditions sont remplies, la distribution F est utilisée comme base pour réaliser le test d'hypothèse.

La distribution F (F-distribution) est une distribution asymétrique (asymétrique à droite), et sa forme dépend de deux degrés de liberté différents, appelés degrés de liberté du numérateur et degrés de liberté du dénominateur.

Figure 4.10 montre la forme typique de la distribution F :

Figure 4.10 Forme de la distribution F

La statistique de test pour ce test d'hypothèse sera le rapport de deux variances, à savoir le rapport de la variance entre les échantillons sur la variance au sein des échantillons.

Le numérateur de la statistique de test (variance entre les échantillons) est parfois appelé variation attribuable au traitement ou variation expliquée.

Le dénominateur de la statistique de test (variance au sein des échantillons) est parfois appelé variation attribuable à l'erreur, ou variation inexpliquée.

Le détail d'un calcul manuel de la statistique de test est présenté ci-après ; toutefois, il est très courant d'utiliser un logiciel pour l'analyse ANOVA.

Aux fins de cette discussion, nous supposerons que nous comparons trois moyennes, mais gardez à l'esprit que la méthode ANOVA peut être appliquée à trois moyennes ou plus.

1. Calculez la moyenne de chacun des trois échantillons. Notez ces moyennes ${\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,{\bar{x}}_3$. Calculez la variance de chacun des trois échantillons. Notez ces variances $s_1^2,s_2^2,s_3^2$.
2. Calculez la moyenne globale (notée $\stackrel{\text{=}}{x}$). Il s'agit de la somme de toutes les valeurs des données des trois échantillons, divisée par la taille globale de l'échantillon.
3. Calculez la quantité appelée « somme des carrés inter-groupes (SSB) » selon la formule suivante :
   
   $$SSB=n_1{({\bar{x}}_1-\stackrel{\text{=}}{x})}^2+n_2{({\bar{x}}_2-\stackrel{\text{=}}{x})}^2+n_3{({\bar{x}}_3-\stackrel{\text{=}}{x})}^2$$
4. Calculez la quantité appelée « somme des carrés intra-groupes (SSW) » selon la formule suivante :
   
   $$SSW=(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2+(n_3-1)s_3^2$$
5. Calculez les degrés de liberté du numérateur (${df}_n$) et les degrés de liberté du dénominateur (${df}_d$).
   Pour les degrés de liberté du numérateur, le calcul correspond au nombre de groupes moins 1. Par exemple, si un chercheur en médecine compare trois analgésiques différents pour évaluer le délai moyen de soulagement d'une migraine, il y a trois groupes, et les degrés de liberté du numérateur seraient donc $3-1=2$.
   Pour les degrés de liberté du dénominateur, le calcul correspond au total des tailles d'échantillon moins le nombre de groupes.
6. Calculez la quantité appelée « carré moyen inter-groupes (MSB) » selon la formule suivante :
   
   $$MSB=\frac{SSB}{{df}_n}$$
7. Calculez la quantité appelée « carré moyen intra-groupes (MSW) » selon la formule suivante :
   
   $$MSW=\frac{SSW}{{df}_d}$$
8. Calculez la statistique de test ($F$), selon la formule suivante :
   
   $$F=\frac{MSB}{MSW}$$

Une fois la statistique de test obtenue, la valeur p est calculée comme l'aire à droite de la statistique de test sous la courbe de la distribution $F$ (remarquez que le test d'hypothèse ANOVA est toujours considéré comme un test « unilatéral à droite »).

Habituellement, les résultats de ces calculs sont organisés dans un tableau récapitulatif d'ANOVA tel que le Tableau 4.17.

Utilisation de Python pour l'ANOVA à un facteur

Comme mentionné précédemment, en raison de la complexité de ces calculs, les outils informatiques sont généralement utilisés pour calculer la statistique de test et la valeur p.

En Python, la fonction f_oneway() est fournie dans le cadre de la bibliothèque scipy (scipy library), et cette fonction fournit à la fois la statistique de test et la valeur p pour un test d'hypothèse d'ANOVA à un facteur.

La syntaxe consiste à appeler la fonction en passant les tableaux de données en arguments, comme suit :

f_oneway(Array1, Array2, Array3, …)

La fonction renvoie à la fois la statistique de test F et la valeur p pour le test d'hypothèse de l'ANOVA à un facteur.

Les détails de cette fonction Python sont présentés dans l'Exemple 4.25.

Voici un exemple étape par étape pour illustrer ce processus de test d'hypothèse ANOVA.

    
    # import libraries
    import numpy as np
    from scipy.stats  import f_oneway
     
    # enter airline arrival data
    
    AirlineA = np.array([8, 12, 7, 9, 11, 4])
    AirlineB = np.array([13, 0, 2, 7, 6, 5])
    AirlineC = np.array([11, 15, 9, 11, 12])
    
    #f_oneway function returns both the test statistic and p-value
    f_oneway(AirlineA, AirlineB, AirlineC)
    

F_onewayResult(statistic=4.388264306955828, pvalue=0.03314999857295516)