Modèles de séries temporelles

Un modèle de séries temporelles (time series model) est une fonction, un algorithme ou une méthode servant à trouver, approximer ou prédire les valeurs d'une série temporelle donnée. L'idée fondamentale sous-tendant les modèles de séries temporelles est que les valeurs antérieures devraient fournir une indication sur le comportement des valeurs futures. En d'autres termes, il existe une certaine fonction qui prend en entrée les valeurs antérieures de la série temporelle et produit la valeur suivante en sortie :

Cependant, hormis dans les situations les plus idéales, une fonction qui prédit la valeur suivante de la série temporelle avec une exactitude parfaite n'existe pas. La variabilité aléatoire et d'autres facteurs non pris en compte dans le modèle vont générer une erreur (error), définie comme l'écart entre les prédictions et les observations réelles. Par conséquent, nous devons toujours incorporer un terme d'erreur (souvent désigné par la lettre grecque $\epsilon$, appelée « epsilon ») dans le modèle. De surcroît, au lieu d'attendre du modèle qu'il produise exactement le terme suivant, celui-ci génère des valeurs prédites. Souvent, les valeurs prédites d'une série temporelle sont notées $\left({\hat{x}}_n\right)$ afin de les distinguer des valeurs réelles $\left(x_n\right)$. Ainsi,

Dans Méthodes de prévision de séries temporelles et Méthodes d'évaluation des prévisions, nous approfondirons la construction de modèles de séries temporelles et la prise en compte de l'erreur.

Prévision de séries temporelles

En général, le but de l'analyse de séries temporelles est d'établir des prédictions, ou extrapolations, sur les valeurs futures de la série temporelle, un processus appelé prévision (forecasting). En règle générale, l'exactitude d'une prévision diminue à mesure que les prédictions portent sur un horizon plus lointain. Lorsque les prédictions futures ne deviennent pas plus précises qu'un tirage à pile ou face ou un lancer de dé, la prévision à cette échéance ou au-delà perd toute efficacité. Dans la pratique, les modèles de séries temporelles sont actualisés régulièrement pour intégrer de nouvelles données.

Selon la situation et la nature des données, il existe de nombreuses méthodes pour prévoir les données futures. La plus simple de toutes, appelée méthode de prévision naïve ou méthode de prévision plate (flat forecasting method), consiste à utiliser la valeur la plus récente comme meilleure estimation de la valeur suivante. Par exemple, puisque le S&P 500 affichait une valeur de 3 839,5 à la fin de 2022, il est raisonnable de supposer que sa valeur sera relativement proche de 3 839,5 à la fin de 2023. Notez que cela correspondrait au modèle de série temporelle ${\hat{x}}_{n+1}=x_n$. La méthode naïve n'a qu'un usage limité dans la pratique.

Au lieu d'utiliser uniquement la dernière valeur observée pour prédire la suivante, une meilleure approche pourrait consister à prendre en compte un certain nombre de valeurs, $x_n,x_{n-1},x_{n-2},\dots ,$ pour obtenir l'estimation ${\hat{x}}_{n+1}$. On pourrait faire la moyenne des $T$ dernières valeurs (pour une valeur prédéfinie de $T$). C'est ce que l'on appelle une moyenne mobile simple, qui sera définie explicitement dans Composantes de l'analyse de séries temporelles. Pour l'instant, illustrons cette idée de manière intuitive. Supposons que nous utilisions la moyenne des $T=3$ termes les plus récents pour estimer le terme suivant. Le modèle de série temporelle s'écrirait :

D'après les données du Tableau 5.1, la prédiction pour la valeur de l'indice S&P à la fin de 2023 se calculerait comme suit :

Une autre méthode simple de prévision consiste à ajuster les données à un modèle de régression linéaire, puis à utiliser ce modèle de régression pour prédire les valeurs futures. (Voir Régression linéaire pour plus de détails sur la régression linéaire.) La régression linéaire permet de mieux appréhender la direction globale des données qu'en se fondant sur le seul dernier point d'observation. En revanche, la régression linéaire ne pourra pas modéliser des structures plus subtiles au sein des données, telles que des motifs cycliques. De plus, elle repose sur l'hypothèse sous-jacente que les données augmentent ou diminuent de manière plus ou moins uniforme sur l'ensemble de la période à prédire, ce qui constitue fréquemment une hypothèse non valide.

Exemple 5.1

Problème

Déterminez un modèle de régression linéaire pour les données du Tableau 5.1 et utilisez-le pour prévoir la valeur du S&P à la fin des années 2024 et 2025.

Solution

À l'aide d'un logiciel de statistiques standard, la régression linéaire obtenue est $\hat{y}=304.437t-\mathrm{611,288}$, où $t$ représente l'année. Par ailleurs, dans Excel, la droite de régression peut être ajoutée au graphique en courbes grâce à la fonctionnalité « Courbe de tendance », avec l'option « Linéaire ». Un graphique de la droite de régression est présenté à la Figure 5.3.

Figure 5.3 Graphique linéaire de l'indice S&P 500 avec la régression linéaire (source des données : adapté de S&P 500 [SPX] Historical Data)

La prévision pour la fin de l'année 2024 est $\hat{y}=304.437\left(2024\right)-\mathrm{611,288}=\mathrm{4,892.5}$.

De même, la prédiction pour 2025 est $\hat{y}=304.437\left(2025\right)-\mathrm{611,288}=\mathrm{5,196.9}$.

Dans ce chapitre, nous développerons des outils plus sophistiqués capables de détecter des structures que de simples moyennes ou modèles linéaires ne peuvent mettre au jour, notamment les modèles autorégressifs, les moyennes mobiles et le modèle autorégressif intégré à moyenne mobile (ARIMA) (autoregressive integrated moving average (ARIMA) model). Toutefois, concevoir un modèle élaboré pour des données de séries temporelles ne constitue qu'une partie du processus. Une étape essentielle réside dans le test et l'évaluation de votre modèle. Par conséquent, nous étudierons également des mesures d'erreur et d'incertitude permettant de juger de la qualité du modèle et de la précision potentielle de ses prévisions.

Travailler avec des données de séries temporelles et les visualiser dans Excel

Vous vous souvenez peut-être, d'après Qu'est-ce que les données et la science des données ?, que les tableurs se prêtent particulièrement bien à l'analyse de base et à la visualisation des données de séries temporelles. Il suffit de créer deux colonnes, l'une pour les périodes temporelles et l'autre pour les données. Sélectionnez les deux colonnes (avec leurs en-têtes) et insérez un graphique linéaire à l'aide de la fonctionnalité « Graphiques recommandés » dans Excel1, ce qui produit un graphique tel que celui présenté à la Figure 5.4.

Figure 5.4 Utilisation d'Excel pour créer un graphique linéaire. Au lieu d'utiliser « Graphiques recommandés », vous pouvez également choisir graphique linéaire dans la palette d'options située sur le même onglet. (Utilisé avec l'autorisation de Microsoft)

Travailler avec des données de séries temporelles et les visualiser dans Python

Dans Python, la bibliothèque pandas (pandas library) est extrêmement utile pour charger des fichiers CSV et les gérer sous forme de structures de données appelées DataFrames. Elle propose également une commande simple pour visualiser la série temporelle, plot(). Voici comment créer un graphique linéaire des valeurs quotidiennes de l'indice S&P 500 de 2014 à 2024 à partir du jeu de données SP500.csv.

Code Python

      import pandas as pd
      import matplotlib.pyplot as plt
      import matplotlib.ticker as ticker
      
      # Read the CSV file into a Pandas DataFrame
      df = pd.read_csv('SP500.csv')
      
      # Create a plot
      fig, ax = plt.subplots()
      df.plot(ax=ax)
      
      # Use FuncFormatter to add commas to the y-axis
      ax.yaxis.set_major_formatter(ticker.FuncFormatter(lambda x, pos: '{:,}'.format(int(x))))
      
      # Display the plot
      plt.show()
      

Le résultat obtenu se présente comme suit :

Remarquez que la fonctionnalité simple de tracé n'a pas étiqueté les axes $x$ et $y$. De plus, l'axe des x n'affiche pas des dates réelles, mais le nombre de pas temporels. Pour des visualisations sommaires que vous ne destinez pas à un large public, cela peut convenir, mais si vous souhaitez concevoir des graphiques plus esthétiques et plus instructifs, utilisez une bibliothèque telle que matplotlib.pyplot. Dans le bloc de code Python suivant, vous verrez le même jeu de données visualisé à l'aide de matplotlib. (Notez la présence d'une ligne de code qui utilise la commande to_datatime(). Les formats de date et d'heure sont notoirement variables d'un jeu de données à l'autre, et les logiciels peuvent ne pas les interpréter correctement sans une légère assistance.)

Code Python

      # Import libraries
      import pandas as pd ## for dataset management
      import matplotlib.pyplot as plt ## for visualizations
      from matplotlib.ticker import FuncFormatter ## formatting Y-axis values
      
      # Read the CSV file into a Pandas DataFrame
      df = pd.read_csv('SP500.csv')
      
      # Convert the 'DATE' column to datetime format
      df['Date'] = pd.to_datetime(df['Date'], errors='coerce')
      
      # Function to format the Y-axis values
      def y_format(value, tick_number):
        return f'{value:,.0f}'
      
      # Plotting the time series data using Matplotlib
      plt.figure(figsize=(10, 6))
      plt.plot(df['Date'], df['SP500'], marker='', linestyle='-', color='b')
      plt.title('S&P 500 Time Series')
      plt.xlabel('Date')
      plt.ylabel('S&P 500 Value')
      plt.grid(True)
      
      # Apply the formatter to the Y-axis
      plt.gca().yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(y_format))
      
      plt.show()
      

Le résultat obtenu se présente comme suit :