Test d'hypothèse - Principes de la science des données

4.2 Test d'hypothèse

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous devriez être capable de :

4.2.1 Appliquer des méthodes de test d'hypothèse pour tester des affirmations statistiques portant sur un seul échantillon.
4.2.2 Utiliser Python pour faciliter les calculs liés aux tests d'hypothèses.
4.2.3 Effectuer des tests d'hypothèses pour comparer deux moyennes, deux proportions et des données par paires appariées.

La construction d'intervalles de confiance est une méthode utilisée pour estimer les paramètres d'une population. Une autre méthode statistique importante pour tester des affirmations concernant les paramètres d'une population est appelée test d'hypothèse.

Le test d'hypothèse est un outil essentiel pour les scientifiques des données, car il permet de tirer des conclusions à partir de données d'échantillons et de quantifier l'incertitude associée à ces conclusions.

Pour illustrer l'utilisation du test d'hypothèse dans les applications de science des données, prenons l'exemple d'un détaillant en ligne qui cherche à accroître ses revenus grâce à une campagne publicitaire par SMS. Le détaillant souhaite examiner l'hypothèse selon laquelle une campagne de SMS entraîne une augmentation correspondante des revenus. Pour tester cette hypothèse, le détaillant envoie des SMS ciblés à certains clients, mais n'envoie pas de SMS à un autre groupe de clients. Il recueille ensuite des données sur les achats effectués par les clients ayant reçu les publicités par SMS par rapport à ceux qui ne les ont pas reçues. Grâce aux méthodes de test d'hypothèse, le détaillant en ligne peut tirer une conclusion concernant sa campagne marketing de diffusion de publicités par SMS. Le test d'hypothèse (hypothesis testing) consiste à formuler une hypothèse nulle et des hypothèses alternatives basées sur une affirmation à tester, puis à collecter des données d'échantillon. Une hypothèse nulle (null hypothesis) représente une déclaration d'absence d'effet ou d'absence de changement dans la population ; l'hypothèse nulle formule une affirmation selon laquelle la valeur d'un paramètre de population est égale à une valeur donnée. Une hypothèse alternative (alternative hypothesis) est un énoncé complémentaire à l'hypothèse nulle et affirme que le paramètre de population a une valeur qui diffère de celle de l'hypothèse nulle.

Le test d'hypothèse permet à un scientifique des données d'évaluer la probabilité d'observer des résultats sous l'hypothèse nulle et de porter un jugement sur la force des preuves à l'encontre de l'hypothèse nulle. Il fournit la base de diverses études en science des données et intervient à différentes étapes des analyses, telles que la collecte et la validation des données, les tâches liées à la modélisation et la détermination de la signification statistique.

Par exemple, un restaurant local peut affirmer que le temps moyen de livraison de ses commandes de repas est de 30 minutes ou moins. Pour vérifier cette affirmation, des commandes peuvent être passées et les délais de livraison correspondants enregistrés. Si les données de l'échantillon semblent incompatibles avec l'hypothèse nulle, la décision est alors de rejeter l'hypothèse nulle.

Tester des affirmations fondées sur un seul échantillon

Dans notre discussion, nous examinerons les méthodes de test d'hypothèse pour des affirmations portant sur des moyennes ou des proportions. (Le test d'hypothèse peut également être effectué pour l'écart type ou la variance, bien que cela dépasse le cadre de ce texte.)

Les étapes d'un test d'hypothèse sont les suivantes :

Formuler une hypothèse nulle et une hypothèse alternative fondées sur l'affirmation. Identifier si l'hypothèse nulle ou l'hypothèse alternative représente l'affirmation.
Collecter les données d'échantillon pertinentes pour étudier l'affirmation.
Déterminer la distribution appropriée à utiliser pour analyser le test d'hypothèse (par exemple, la distribution normale ou la loi de Student).
Analyser les données de l'échantillon pour déterminer si elles sont cohérentes avec l'hypothèse nulle. Cela impliquera des calculs statistiques faisant intervenir ce que l'on appelle une statistique de test et une p-valeur (abordées dans la section suivante).
Si les données de l'échantillon ne sont pas cohérentes avec l'hypothèse nulle, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ». Si les données de l'échantillon sont cohérentes avec l'hypothèse nulle, la décision est alors de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle ».

La première étape du processus de test d'hypothèse consiste à rédiger ce que l'on appelle une hypothèse « nulle » et une hypothèse « alternative ». Ces hypothèses constitueront des déclarations concernant un paramètre de population inconnu, tel qu'une moyenne ou une proportion de population. Ces deux hypothèses sont fondées sur l'affirmation à l'étude et s'écriront sous forme d'énoncés complémentaires l'un de l'autre. Lorsque l'une des hypothèses est vraie, l'autre doit être fausse (puisqu'elles sont complémentaires). Notez que l'affirmation peut être représentée soit par l'hypothèse nulle, soit par l'hypothèse alternative.

L'hypothèse nulle est notée $H_{0}$ et constitue un énoncé d'égalité — par exemple, l'hypothèse nulle pourrait affirmer que le temps moyen pour terminer un examen est de 42 minutes. Pour cet exemple, l'hypothèse nulle s'écrirait :

H_{0} : µ = 42 minutes

Où la notation $µ$ fait référence au temps moyen de la population pour terminer un examen.
L'hypothèse nulle contiendra toujours l'un des trois symboles suivants : $=, \leq, ou \geq$ .

L'hypothèse alternative est notée $H_{a}$ et sera le complément de l'hypothèse nulle. Par exemple, si l'hypothèse nulle contient un symbole d'égalité, l'hypothèse alternative contiendra un symbole de non-égalité.

Si l'hypothèse nulle contient le symbole $\geq$ , l'hypothèse alternative contiendra le symbole $<$ .
Si l'hypothèse nulle contient le symbole $\leq$ , l'hypothèse alternative contiendra le symbole $>$ .

Notez que l'hypothèse alternative contiendra toujours l'un des trois symboles suivants : $\neq, <, ou >$ .

Pour formuler les hypothèses nulle et alternative, commencez par traduire l'affirmation en une expression mathématique impliquant le paramètre de population inconnu. Selon la formulation, l'affirmation peut être placée soit dans l'hypothèse nulle, soit dans l'hypothèse alternative. Rédigez ensuite le complément de cette expression comme l'autre hypothèse (voir Tableau 4.6).

Lorsque vous traduisez des affirmations concernant une moyenne de population, utilisez le symbole $µ$ dans les hypothèses nulle et alternative. Lorsque vous traduisez des affirmations concernant une proportion de population, utilisez le symbole p dans les hypothèses nulle et alternative.

Le Tableau 4.6 présente les trois configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative lors de la réalisation d'un test d'hypothèse à un échantillon pour une moyenne de population. Remarquez que pour chaque configuration, les hypothèses nulle et alternative sont complémentaires. Notez que la valeur « $k$ » sera remplacée par une constante numérique issue de l'affirmation énoncée.

Configuration A	Configuration B	Configuration C
$H o : µ = k$	$H o : µ \leq k$	$H o : µ \geq k$
$H a : μ \neq k$	$H a : µ > k$	$H a : µ < k$

Tableau 4.6 Configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative pour une moyenne de population (un seul échantillon)

Le Tableau 4.7 présente les trois configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative lors de la réalisation d'un test d'hypothèse à un échantillon pour une proportion de population. Notez que la valeur « $k$ » sera remplacée par une constante numérique issue de l'affirmation formulée.

Configuration D	Configuration E	Configuration F
$H o : p = k$	$H o : p \leq k$	$H o : p \geq k$
$H a : p \neq k$	$H a : p > k$	$H a : p < k$

Tableau 4.7 Configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative pour une proportion de population (un seul échantillon)

Suivez ces étapes pour déterminer laquelle de ces configurations utiliser pour un test d'hypothèse donné :

Déterminez si le test d'hypothèse concerne une affirmation relative à une moyenne de population ou à une proportion de population. Si le test d'hypothèse concerne une moyenne de population, utilisez la configuration A, B ou C.
Si le test d'hypothèse concerne une proportion de population, utilisez la configuration D, E ou F.
Traduisez une expression de l'affirmation en un symbole mathématique, puis associez ce symbole mathématique à l'une des configurations du Tableau 4.6 et du Tableau 4.7.

Par exemple, si une affirmation pour un test d'hypothèse portant sur une moyenne fait référence à l'expression « au moins », notez que l'expression « au moins » correspond à un symbole supérieur ou égal. Un symbole supérieur ou égal apparaît dans la configuration C du Tableau 4.6, ce serait donc la configuration appropriée à utiliser.

Si une affirmation pour un test d'hypothèse portant sur une proportion fait référence à l'expression « différent de », notez que cette expression correspond à un symbole différent de. Un symbole différent de apparaît dans la configuration D du Tableau 4.6, ce serait donc la configuration appropriée à utiliser.

Exemple 4.11

Problème

Écrivez les hypothèses nulle et alternative pour l'affirmation suivante :
Un atelier de réparation automobile affirme que le temps moyen pour une vidange d'huile est inférieur à 20 minutes.

Solution

Notez que l'affirmation comporte l'expression « inférieur à », qui se traduit par un symbole inférieur strict. Un symbole inférieur strict doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément de « inférieur à » est un symbole supérieur ou égal, qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. L'affirmation fait référence au temps moyen de la population pour une vidange d'huile, le symbole $µ$ sera donc utilisé. Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration C du Tableau 4.6. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

H_{0} : µ \geq 20

H_{a} : µ < 20

Exemple 4.12

Problème

Écrivez les hypothèses nulle et alternative pour l'affirmation suivante :

Un chercheur médical affirme que la proportion d'adultes fumeurs aux États-Unis est d'au plus 25 %.

Solution

Notez que l'affirmation comporte l'expression « au plus », qui se traduit par un symbole inférieur ou égal. Un symbole inférieur ou égal doit être utilisé dans l'hypothèse nulle. Le complément de inférieur ou égal est un symbole strictement supérieur, qui sera utilisé dans l'hypothèse alternative. L'affirmation fait référence à la proportion de fumeurs dans la population, le symbole $p$ sera donc utilisé. Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration E du Tableau 4.7. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

H_{0} : p \leq 0.25

H_{a} : p > 0.25

Le principe de la procédure de test d'hypothèse consiste à supposer que l'hypothèse nulle est vraie au départ, puis à examiner les données de l'échantillon pour déterminer si elles sont cohérentes avec l'hypothèse nulle. Sur la base de cette analyse, vous déciderez soit de rejeter l'hypothèse nulle, soit de ne pas rejeter l'hypothèse nulle.

Il est important de noter qu'il s'agit des deux seules décisions possibles pour tout test d'hypothèse, à savoir :

Rejeter l'hypothèse nulle, ou
Ne pas rejeter l'hypothèse nulle.

Gardez à l'esprit que cette décision reposera sur l'analyse statistique de données d'échantillon ; il existe donc une faible probabilité de parvenir à une mauvaise décision. La seule façon d'être absolument certain de votre décision est de tester l'ensemble de la population, ce qui n'est généralement pas réalisable. Comme la décision du test d'hypothèse est fondée sur un échantillon, le chercheur peut commettre deux erreurs possibles :

Le chercheur rejette l'hypothèse nulle alors qu'en réalité l'hypothèse nulle est vraie, c'est-à-dire une erreur de type I (Type I error).
Un chercheur ne rejette pas l'hypothèse nulle alors que l'hypothèse nulle est en réalité fausse, c'est-à-dire une erreur de type II (Type II error).

Dans les tests d'hypothèses, la probabilité maximale autorisée de commettre une erreur de type I est appelée le seuil de signification (level of significance), noté par la lettre grecque alpha, $α$ . D'un point de vue pratique, le seuil de signification est la valeur de probabilité utilisée pour déterminer le moment où les données de l'échantillon fournissent une preuve significative contre l'hypothèse nulle. Ce seuil de signification est généralement fixé à une petite valeur, ce qui indique que le chercheur souhaite que la probabilité de rejeter une hypothèse nulle vraie soit faible. Les valeurs typiques du seuil de signification utilisées dans les tests d'hypothèses sont les suivantes : $α = 0.01$ , $α = 0.05$ ou $α = 0.10$ .

Une fois les hypothèses nulle et alternative rédigées et un seuil de signification sélectionné, l'étape suivante consiste pour le chercheur à recueillir des données d'échantillon pertinentes à partir de la population étudiée. Il est important de sélectionner un échantillon aléatoire représentatif, comme cela a été abordé dans Gestion des grands jeux de données. Une fois les données de l'échantillon recueillies, deux calculs sont effectués : la statistique de test et la p-valeur.

La statistique de test (test statistic) est une valeur numérique utilisée pour évaluer la force des preuves contre une hypothèse nulle et est calculée à partir des données de l'échantillon utilisées dans le test d'hypothèse. Comme indiqué dans Estimation des paramètres à l'aide d'intervalles de confiance, une statistique d'échantillon est une valeur numérique calculée à partir d'un échantillon d'observations prélevé dans une population plus large, comme une moyenne d'échantillon ou une proportion échantillonnale. La statistique d'échantillon est convertie en une statistique de test standardisée (standardized test statistic) telle qu'un score z ou un score t, sous l'hypothèse que l'hypothèse nulle est vraie.

Une fois la statistique de test déterminée, une probabilité, ou p-valeur, est calculée. Une p-valeur (p-value) est la probabilité d'obtenir une statistique d'échantillon avec une valeur au moins aussi extrême que la valeur déterminée par les données de l'échantillon, sous l'hypothèse que l'hypothèse nulle est vraie. Pour calculer une p-valeur, nous déterminerons l'aire sous la distribution de probabilité pertinente, par exemple l'aire sous la courbe de la distribution normale ou l'aire sous la courbe de la loi de Student. Puisque la valeur p est une probabilité, toute p-valeur doit toujours être une valeur numérique comprise entre 0 et 1 inclus.

Lors du calcul d'une p-valeur en tant qu'aire sous la courbe de distribution de probabilité, l'aire correspondante sera déterminée en fonction de la région sous la courbe qui favorise le rejet de l'hypothèse nulle, comme suit :

Si l'hypothèse alternative contient un symbole « inférieur à », le test d'hypothèse est appelé test « unilatéral à gauche » et la p-valeur sera calculée comme l'aire à gauche de la statistique de test.
Si l'hypothèse alternative contient un symbole « supérieur à », le test d'hypothèse est appelé test « unilatéral à droite » et la p-valeur sera calculée comme l'aire à droite de la statistique de test.
Si l'hypothèse alternative contient un symbole « différent de », le test d'hypothèse est appelé test « bilatéral » et la p-valeur sera calculée comme la somme de l'aire à gauche de la statistique de test négative et de l'aire à droite de la statistique de test positive.

Plus la valeur p est petite, plus les données de l'échantillon s'écartent de l'hypothèse nulle, ce qui constitue une preuve supplémentaire en faveur du rejet de l'hypothèse nulle.

Si la p-valeur $\leq$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».
Si la p-valeur $>$ seuil de signification, la décision est alors de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle ».

Rappelez-vous qu'il s'agit des deux seules décisions possibles qu'un chercheur peut déduire lorsqu'il effectue un test d'hypothèse.

Souvent, nous souhaitons traduire ces décisions en une conclusion plus facile à interpréter pour une personne sans formation statistique. Par exemple, une décision de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle » peut être difficile à interpréter pour ceux qui ne sont pas familiers avec la terminologie des tests d'hypothèses. Ces décisions peuvent être traduites en énoncés de conclusion tels que ceux présentés dans le Tableau 4.8.

	Sélectionnez la décision issue du test d'hypothèse :	L'affirmation figure-t-elle dans l'hypothèse nulle ou l'hypothèse alternative ?	Ensuite, utilisez cette conclusion :
Ligne 1	Rejeter l'hypothèse nulle	L'affirmation est l'hypothèse nulle	Les données fournissent des preuves suffisantes pour rejeter l'affirmation.
Ligne 2	Rejeter l'hypothèse nulle	L'affirmation est l'hypothèse alternative	Les données fournissent des preuves suffisantes pour soutenir l'affirmation.
Ligne 3	Ne pas rejeter l'hypothèse nulle	L'affirmation est l'hypothèse nulle	Les données ne fournissent pas de preuves suffisantes pour rejeter l'affirmation.
Ligne 4	Ne pas rejeter l'hypothèse nulle	L'affirmation est l'hypothèse alternative	Les données ne fournissent pas de preuves suffisantes pour soutenir l'affirmation.

Tableau 4.8 Comment établir une conclusion à partir d'un test d'hypothèse

Tester des affirmations relatives à la moyenne lorsque l'écart type de la population est connu

Rappelez-vous que dans la discussion sur les intervalles de confiance, nous avons examiné l'intervalle de confiance pour la moyenne de la population lorsque l'écart type de la population est connu (la distribution normale est utilisée) ou lorsque l'écart type de la population est inconnu (la loi de Student est utilisée). Nous suivons la même démarche lors de la réalisation de tests d'hypothèses.

Dans cette section, nous abordons le test d'hypothèse pour la moyenne lorsque l'écart type de la population est connu. Bien que l'écart type de la population soit généralement inconnu, dans certains cas, une estimation raisonnable de l'écart type de la population peut être obtenue à partir d'études antérieures ou de données historiques.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
La taille de l'échantillon est d'au moins 30, ou la population sous-jacente est connue pour suivre une distribution normale.
L'écart type de la population ( $σ$ ) est connu.

Lorsque ces conditions sont remplies, la distribution normale est utilisée comme base pour réaliser le test d'hypothèse.

Pour cette procédure, la statistique de test sera un score z et la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

z = \frac{\bar{x} - µ}{σ / \sqrt{n}}

Où :
$\bar{x}$ est la moyenne de l'échantillon.
$µ$ est la valeur supposée de la moyenne de la population, qui provient de l'hypothèse nulle.
$σ$ est l'écart type de la population.
$n$ est la taille de l'échantillon.

L'Exemple 4.13 fournit un exemple étape par étape pour illustrer le processus de test d'hypothèse.

Exemple 4.13

Problème

Un échantillon aléatoire de 100 étudiants universitaires révèle que les étudiants passent en moyenne 14,4 heures par semaine sur les réseaux sociaux. Utilisez ces données d'échantillon pour tester l'affirmation selon laquelle les étudiants universitaires passent au moins 15 heures par semaine sur les réseaux sociaux. Utilisez un seuil de signification de 0,05 et supposez que l'écart type de la population est de 3,25 heures.

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative en fonction de l'affirmation. Remarquez que l'affirmation comporte l'expression « au moins », qui se traduit par un symbole supérieur ou égal. Un symbole supérieur ou égal doit être utilisé dans l'hypothèse nulle. Le complément de supérieur ou égal est un symbole strictement inférieur, qui sera utilisé dans l'hypothèse alternative. L'affirmation fait référence au temps moyen de la population que les étudiants passent sur les réseaux sociaux, le symbole $µ$ sera donc utilisé. L'affirmation correspond à l'hypothèse nulle.

Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration C du Tableau 4.6. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : μ & \geq & 15 [affirmation] \\ H_{a} : μ & < & 15 \end{array}

Puisque l'écart type de la population est connu dans cet exemple, la distribution normale sera utilisée pour réaliser le test d'hypothèse.

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée :

z = \frac{\bar{x} - µ}{σ / \sqrt{n}} = \frac{14.4 - 15}{3.25 / \sqrt{100}} = - 1.846

Remarquez que, puisque l'hypothèse alternative contient un symbole « inférieur à », le test d'hypothèse est appelé test « unilatéral à gauche » et la p-valeur sera calculée comme l'aire à gauche de la statistique de test. L'aire sous la courbe normale centrée réduite à gauche d'un score z de $- 1.846$ est d'environ 0,0324. Ainsi, la p-valeur pour ce test d'hypothèse est 0,0324.

L'aire sous la courbe normale standard peut être trouvée à l'aide d'un logiciel tel qu'Excel, Python ou R.

Par exemple, en Python, l'aire sous la courbe normale à gauche d'un score z de $- 1.846$ peut être obtenue en utilisant la fonction norm.cdf().

La syntaxe d'utilisation de cette fonction est :
norm.cdf(x, mean, standard_deviation)

Où :
x est la mesure d'intérêt — dans ce cas, il s'agira de la statistique de test de $- 1.846$ .
mean est la moyenne de la distribution normale standard, qui est 0.
standard_deviation est l'écart type de la distribution normale standard, qui est 1.

Voici le code Python permettant de calculer la p-valeur pour cet exemple :

Code Python

    # from scipy.stats import norm
    from scipy.stats import norm
    
    # define parameters x, mean and standard_deviation:
    x = -1.846
    mean = 0
    standard_deviation = 1
    # use norm.cdf function to calculate normal probability - note this is the area to the left of the x-value
    # subtract this result from 1 to obtain area to the right of the x-value
    # use round function to round answer to 4 decimal places
    round (norm.cdf(x, mean, standard_deviation), 4)

La sortie obtenue ressemblera à ceci :

0.0324

L'étape finale de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Pour ce faire, on compare la p-valeur au seuil de signification. Dans cet exemple, la p-valeur est de 0,032 et le seuil de signification est de 0,05 : puisque la p-valeur $\leq$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse nulle. Ce scénario correspond à la ligne 1 du Tableau 4.8, ce qui signifie que « les données fournissent des preuves suffisantes pour rejeter l'affirmation » selon laquelle les étudiants universitaires passent au moins 15 heures par semaine sur les réseaux sociaux.

Tester des affirmations relatives à la moyenne lorsque l'écart type de la population est inconnu

Dans cette section, nous abordons le test d'hypothèse à un échantillon pour la moyenne lorsque l'écart type de la population est inconnu. Il s'agit d'une application plus courante du test d'hypothèse pour la moyenne, dans la mesure où l'écart type de la population est généralement inconnu ; cependant, l'écart type de l'échantillon peut être calculé à partir des données de l'échantillon.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
La taille de l'échantillon est d'au moins 30, ou la population sous-jacente est connue pour suivre une distribution normale.
L'écart type de la population ( $σ$ ) est inconnu ; l'écart type de l'échantillon ( $s$ ) est connu.

Lorsque ces conditions sont remplies, la loi de Student est utilisée comme base pour réaliser le test d'hypothèse.

Pour cette procédure, la statistique de test sera un score t et la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

t = \frac{\bar{x} - µ}{s / \sqrt{n}}

Où :
$\bar{x}$ est la moyenne de l'échantillon.
$µ$ est la valeur supposée de la moyenne de la population, qui provient de l'hypothèse nulle.
$s$ est l'écart type de l'échantillon.
$n$ est la taille de l'échantillon.

L'Exemple 4.14 fournit un exemple étape par étape pour illustrer ce processus.

Exemple 4.14

Problème

Un fabricant de smartphones affirme que l'autonomie moyenne de la batterie de son dernier modèle de smartphone est de 25 heures. Un groupe de consommateurs décide de tester cette hypothèse, recueille un échantillon de 50 smartphones et détermine que l'autonomie moyenne de la batterie de l'échantillon est de 24,1 heures, avec un écart type d'échantillon de 4,1 heures. Utilisez ces données d'échantillon pour tester l'affirmation formulée par le fabricant de smartphones. Utilisez un seuil de signification de 0,10 pour cette analyse.

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative en fonction de l'affirmation. Remarquez que l'affirmation comporte l'expression « est de 25 heures », où « est de » se traduira par un symbole d'égalité. Un symbole d'égalité doit être utilisé dans l'hypothèse nulle. Le complément d'un symbole « égal » est un symbole « différent de », qui sera utilisé dans l'hypothèse alternative. L'affirmation fait référence à l'autonomie moyenne de la batterie des smartphones dans la population, le symbole $µ$ sera donc utilisé. L'affirmation correspond à l'hypothèse nulle. Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration A du Tableau 4.6. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : μ & = & 25 [affirmation] \\ H_{a} : μ & \neq & 25 \end{array}

Puisque l'écart type de la population est inconnu dans cet exemple, la loi de Student sera utilisée pour réaliser le test d'hypothèse.

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée comme suit :

t = \frac{\bar{x} - µ}{s / \sqrt{n}} = \frac{24.1 - 25}{4.1 / \sqrt{50}} = - 1.552

Remarquez que, puisque l'hypothèse alternative contient un symbole « différent de », le test d'hypothèse est appelé test « bilatéral » et la p-valeur sera calculée comme la somme de l'aire à gauche de la statistique de test négative et de l'aire à droite de la statistique de test positive. L'aire sous la courbe de la loi de Student à gauche d'un score t de $- 1.552$ est d'environ 0,0635 (en utilisant des degrés de liberté $d f = 49$ ). L'aire sous la courbe de la loi de Student à droite d'un score t de 1,552 est d'environ 0,0635. Ainsi, la p-valeur pour ce test d'hypothèse est la somme de ces aires, soit 0,127.

L'aire sous la courbe de la loi de Student peut être trouvée à l'aide d'un logiciel.

Par exemple, en Python, l'aire sous la courbe de la loi de Student à gauche d'un score t de $- 1.552$ peut être obtenue à l'aide de la fonction t.cdf()

La syntaxe d'utilisation de cette fonction est :
t.cdf(x, df)

Où :
x est la mesure d'intérêt — dans ce cas, il s'agira de la statistique de test de -1,846.
df correspond aux degrés de liberté.

Voici le code Python permettant de calculer la p-valeur pour cet exemple :

Code Python

    # from scipy.stats import t
    from scipy.stats import t
    
    # define parameters test_statistic and degrees of freedom df
    x = -1.552
    df = 49
    
    # use t.cdf function to calculate area under t-distribution curve - note this is the area to the left of the x-value
    # subtract this result from 1 to obtain area to the right of the x-value
    # use round function to round answer to 4 decimal places
    round (t.cdf(x, df=49), 4)

La sortie obtenue ressemblera à ceci :

0.0635

L'étape finale de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Pour ce faire, on compare la p-valeur au seuil de signification. Dans cet exemple, la p-valeur est de 0,127 et le seuil de signification est de 0,10 : puisque la p-valeur $>$ seuil de signification, la décision est alors de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de ne pas rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse nulle. Ce scénario correspond à la ligne 3 du Tableau 4.8, ce qui signifie que « les données ne fournissent pas de preuves suffisantes pour rejeter l'affirmation » selon laquelle l'autonomie moyenne de la batterie de son dernier modèle de smartphone est de 25 heures.

Tester des affirmations relatives à la proportion

Dans cette section, nous abordons le test d'hypothèse à un échantillon pour les proportions. Rappelez-vous qu'une proportion échantillonnale (sample proportion) mesure « combien par rapport au total ». Par exemple, un chercheur médical pourrait souhaiter tester une affirmation selon laquelle la proportion de patients subissant des effets secondaires liés à un nouveau médicament antihypertenseur est inférieure à 4 %.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
Vérifier que l'approximation normale de la distribution binomiale est appropriée en s'assurant que $n \hat{p}$ et $n (1 - \hat{p})$ sont tous deux supérieurs ou égaux à 5.

La proportion de l'échantillon $\hat{p}$ est calculée comme le nombre de succès divisé par la taille de l'échantillon :

\hat{p} = \frac{x}{n}

Lorsque ces conditions sont remplies, la distribution normale est utilisée comme base pour réaliser le test d'hypothèse.

Pour cette procédure, la statistique de test sera un score z et la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}}

Où :
$\hat{p}$ représente la proportion de l'échantillon.
$p$ est la valeur supposée de la proportion de la population, qui est tirée de l'hypothèse nulle.
$n$ est la taille de l'échantillon.

Voici un exemple étape par étape pour illustrer ce processus de test d'hypothèse.

Exemple 4.15

Problème

Un professeur d'université affirme que la proportion d'étudiants utilisant des outils d'intelligence artificielle (AI) dans le cadre de leurs cours est inférieure à 45 %. Pour vérifier cette affirmation, le professeur sélectionne un échantillon de 200 étudiants et les interroge pour savoir s'ils utilisent des outils d'IA dans le cadre de leurs cours. Les résultats du sondage indiquent que 74 étudiants sur 200 utilisent des outils d'IA. Utilisez ces données d'échantillon pour tester l'affirmation formulée par le professeur d'université. Utilisez un seuil de signification de 0,05 pour cette analyse.

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative en fonction de l'affirmation. Remarquez que l'affirmation comporte l'expression « inférieure à », qui se traduira par un symbole strictement inférieur. Un symbole strictement inférieur doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément d'un symbole « strictement inférieur » est un symbole « supérieur ou égal », qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. L'affirmation fait référence à la proportion de la population d'étudiants utilisant des outils d'IA, le symbole p sera donc utilisé. Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration F du Tableau 4.7. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

H_{0} : p \geq 0.45 H_{a} : p < 0.45 [affirmation]

La proportion de l'échantillon peut être calculée comme suit :

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{74}{200} = 0.37

Vérifiez que l'approximation normale de la distribution binomiale est appropriée en vous assurant que $n \hat{p}$ et $n (1 - \hat{p})$ sont tous deux au moins égaux à 5, où $\hat{p}$ représente la proportion de l'échantillon.

Pour cet exemple, $n \hat{p} = (200) 0.37 = 74$ , et $n (1 - \hat{p}) = (200) (1 - 0.37) = 126$ . Ces deux résultats sont au moins égaux à 5, ce qui confirme que l'approximation normale de la distribution binomiale est appropriée.

Puisque les conditions pour un test d'hypothèse pour une proportion ont été remplies, la distribution normale sera utilisée pour réaliser le test d'hypothèse.

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée comme suit :

z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}} = \frac{0.37 - 0.45}{\sqrt{0.45 (1 - 0.45) / 200}} = - 2.274

Remarquez que, puisque l'hypothèse alternative contient un symbole « inférieur à », le test d'hypothèse est appelé test « unilatéral à gauche » et la p-valeur sera calculée comme l'aire à gauche de la statistique de test. L'aire sous la courbe normale à gauche d'un score z de $- 2.274$ est d'environ 0,012. Ainsi, la p-valeur pour ce test d'hypothèse est de 0,012.

Voici le code Python permettant de calculer la p-valeur pour cet exemple :

Code Python

    
    # from scipy.stats import norm
    from scipy.stats import norm
    
    # define parameters x, mean, and standard_deviation:
    x = -2.274
    mean = 0
    standard_deviation = 1
    # use norm.cdf function to calculate normal probability - note this is the area to the left of the x-value
    # subtract this result from 1 to obtain area to the right of the x-value
    # use round function to round answer to 3 decimal places
    round (norm.cdf(x, mean, standard_deviation), 4)

La sortie obtenue ressemblera à ceci :

0.0115

L'étape finale de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Pour ce faire, on compare la p-valeur au seuil de signification. Dans cet exemple, la p-valeur est de 0,012 et le seuil de signification est de 0,05 : puisque la p-valeur $<$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ce scénario correspond à la ligne 2 du Tableau 4.8, ce qui signifie que « les données fournissent des preuves suffisantes pour soutenir l'affirmation » selon laquelle la proportion d'étudiants utilisant des outils d'intelligence artificielle (AI) dans le cadre de leurs cours est inférieure à 45 %.

Utiliser Python pour effectuer des tests d'hypothèses

Python fournit plusieurs fonctions pour faciliter les tests d'hypothèses, comme ztest() qui peut être utilisée pour tester des hypothèses sur la moyenne lorsque l'écart type de la population est connu, et une autre fonction Python appelée ttest_1samp() qui peut être utilisée pour tester des hypothèses sur la moyenne lorsque l'écart type de la population est inconnu. Voir l'exemple suivant :

Exemple 4.16

Problème

Un chercheur médical souhaite vérifier l'affirmation selon laquelle le taux moyen d'oxygène chez les femmes est supérieur à 75 mm Hg. Afin de tester cette affirmation, un échantillon de 15 patientes est sélectionné et les taux d'oxygène suivants sont enregistrés :

76, 75, 74, 81, 76, 77, 71, 74, 73, 79

Utilisez la fonction ttest_1samp() dans Python pour effectuer un test d'hypothèse afin de vérifier cette affirmation. Supposez un seuil de signification de 0,05.

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative en fonction de l'affirmation. Remarquez que l'affirmation comporte l'expression « supérieur à 75 mm Hg », où « supérieur à » se traduira par un symbole strictement supérieur. Un symbole strictement supérieur doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément d'un symbole « supérieur à » est un symbole « inférieur ou égal », qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. L'affirmation fait référence au niveau moyen d'oxygène dans la population, le symbole $µ$ sera donc utilisé. L'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Remarquez que cette configuration correspondra à la configuration B du Tableau 4.6. Ainsi, la configuration des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : µ & \leq & 75 \\ H_{a} : µ & > & 75 [affirmation] \end{array}

Puisque l'écart type de la population est inconnu dans cet exemple, la loi de Student sera utilisée pour réaliser le test d'hypothèse.

Pour utiliser la fonction ttest_1samp() dans Python, la syntaxe est la suivante :
Ttest_1samp(data_array, null_hypothesis_mean)

La fonction renverra alors la valeur de la statistique de test et la p-valeur bilatérale.

Dans cet exemple, nous nous intéressons à la p-valeur unilatérale à droite ; le programme Python calculera donc la moitié de la p-valeur renvoyée par la fonction.

Voici le code Python pour cet exemple :

Code Python

    import scipy.stats as stats
    import numpy as np
    
    # Enter data array
    oxygen_level = np.array([76, 75, 74, 81, 76, 77, 71, 74, 73, 79])
    
    # Hypothesized population mean
    null_hypothesis_mean = 75
    
    # Perform one-sample t-test
    test_stat, two_tailed_p_value = stats.ttest_1samp(oxygen_level, null_hypothesis_mean)
    
    # Obtain the one tailed p-value
    one_tailed_p_value = two_tailed_p_value / 2
    
    # print out test statistic and p-value and round to 3 decimal places
    print("Test Statistic = ", test_stat)
    print("p-value = ", one_tailed_p_value)

La sortie obtenue ressemblera à ceci :

Test Statistic = 0.6512171447631733
p-value = 0.2655900985964262

L'étape finale de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Pour ce faire, on compare la p-valeur au seuil de signification. Dans cet exemple, la p-valeur est de 0,266 et le seuil de signification est de 0,05 : puisque la p-valeur $>$ seuil de signification, la décision est alors de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de ne pas rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ce scénario correspond à la ligne 4 du Tableau 4.8, ce qui signifie que « les données ne fournissent pas de preuves suffisantes pour soutenir l'affirmation » selon laquelle le niveau moyen d'oxygène pour les patientes est supérieur à 75 mm Hg.

Test d'hypothèse pour deux échantillons

Dans la section précédente, nous avons examiné des méthodes pour réaliser un test d'hypothèse pour un seul échantillon. Les chercheurs et les scientifiques des données s'intéressent également souvent à la réalisation de tests d'hypothèse pour deux échantillons. Un chercheur peut vouloir comparer deux moyennes ou deux proportions afin de déterminer si deux groupes sont significativement différents l'un de l'autre. Par exemple, un chercheur médical peut s'intéresser à la comparaison de la pression artérielle moyenne entre deux groupes d'individus : un groupe prenant un médicament hypotenseur et un autre groupe prenant un placebo. Un chercheur gouvernemental peut s'intéresser à la comparaison de la proportion de fumeurs chez les hommes adultes par rapport aux femmes adultes.

La même procédure générale de test d'hypothèse sera utilisée pour deux échantillons, mais la formulation des hypothèses nulle et alternative sera structurée de manière à refléter la comparaison de deux moyennes ou de deux proportions.

Pour rappel, la méthode générale de test d'hypothèse introduite dans la section précédente comprend les étapes suivantes :

Formuler une hypothèse nulle et une hypothèse alternative fondées sur l'affirmation.
Recueillir des données d'échantillon pertinentes pour examiner l'affirmation.
Déterminer la distribution appropriée à utiliser pour analyser le test d'hypothèse (par exemple, la distribution normale ou la loi de Student).
Analyser les données d'échantillon pour déterminer si elles sont compatibles avec l'hypothèse nulle. Cela impliquera des calculs statistiques faisant intervenir une statistique de test et une valeur p, qui sont présentées ci-après.
Si les données d'échantillon sont incompatibles avec l'hypothèse nulle, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ». Si les données d'échantillon sont compatibles avec l'hypothèse nulle, la décision est alors de « ne pas rejeter l'hypothèse nulle ».

Comme cela a été expliqué pour le test d'hypothèse à un échantillon, lors de la formulation des hypothèses nulle et alternative, commencez par traduire l'affirmation en un énoncé mathématique impliquant les paramètres inconnus de la population. L'affirmation peut correspondre soit à l'hypothèse nulle, soit à l'hypothèse alternative. Écrivez ensuite le complément de cet énoncé afin de formuler l'autre hypothèse. La différence par rapport à la section précédente réside désormais dans le fait que les hypothèses compareront deux moyennes ou deux proportions au lieu d'une seule moyenne ou d'une seule proportion.

Lors de la traduction d'affirmations concernant une moyenne de population, utilisez les symboles $µ_{1}$ et $µ_{2}$ dans le cadre des hypothèses nulle et alternative pour représenter les deux moyennes inconnues de la population. Lors de la traduction d'affirmations concernant des proportions de population, utilisez les symboles p1 et p2 dans le cadre des hypothèses nulle et alternative pour représenter les deux proportions inconnues de la population. Reportez-vous au Tableau 4.9 et au Tableau 4.10 pour les différentes configurations permettant de construire les hypothèses nulle et alternative pour les tests d'hypothèse à deux échantillons.

Configuration A	Configuration B	Configuration C
$\begin{array}{rcl} H_{0} : μ_{1} & = & μ_{2} \\ H_{a} : μ_{1} & \neq & μ_{2} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{1} & \leq & µ_{2} \\ H_{a} : µ_{1} & > & µ_{2} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{1} & \geq & µ_{2} \\ H_{a} : µ_{1} & < & µ_{2} \end{array}$

Tableau 4.9 Trois configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative pour une moyenne de population (deux échantillons)

Configuration D	Configuration E	Configuration F
$\begin{array}{rcl} H_{0} : p_{1} & = & p_{2} \\ H_{a} : p_{1} & \neq & p_{2} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : p_{1} & \leq & p_{2} \\ H_{a} : p_{1} & > & p_{2} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : p_{1} & \geq & p_{2} \\ H_{a} : p_{1} & < & p_{2} \end{array}$

Tableau 4.10 Trois configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative pour une proportion de population (deux échantillons)

Comparaison de deux moyennes

Dans cette section, nous abordons les tests d'hypothèse pour deux échantillons concernant la moyenne lorsque les écarts-types de la population sont inconnus. En règle générale, dans les applications du monde réel, les écarts-types de la population sont inconnus, ce qui confère à cette méthode un intérêt pratique considérable.

Une autre considération lors de la réalisation d'un test d'hypothèse pour deux échantillons consiste à déterminer si les deux échantillons sont dépendants ou indépendants. Deux échantillons sont considérés comme des échantillons indépendants (independent samples) lorsque les valeurs d'échantillon d'une population ne sont pas liées aux valeurs d'échantillon prélevées dans la seconde population. En d'autres termes, il n'existe pas de relation inhérente d'appariement ou de correspondance entre les deux échantillons. Deux échantillons sont considérés comme des échantillons dépendants (dependent samples) si les échantillons d'une population peuvent être appariés ou mis en correspondance avec les échantillons prélevés dans la seconde population. Les échantillons dépendants sont parfois également appelés échantillons appariés (paired samples).

Par exemple, si un chercheur devait recueillir des données sur l'âge pour un échantillon aléatoire de 15 hommes et un échantillon aléatoire de 15 femmes, il n'y aurait aucune relation inhérente entre ces deux échantillons, et ceux-ci seraient donc considérés comme des échantillons indépendants.

D'un autre côté, supposons qu'un chercheur recueille des données sur l'âge d'un échantillon aléatoire de 15 adultes et recueille également des données sur l'âge des (15) conjoints/partenaires correspondants de ces adultes ; ceux-ci seraient considérés comme des échantillons dépendants dans la mesure où il existe un appariement inhérent entre partenaires domestiques.

Exemple 4.17

Problème

Déterminez si les échantillons suivants sont des échantillons dépendants ou indépendants :

Échantillon n° 1 : Résultats à un examen de statistique pour 40 étudiantes universitaires

Échantillon n° 2 : Résultats à un examen de statistique pour 35 étudiants universitaires masculins

Solution

Ces deux échantillons sont indépendants car il n'y a pas de correspondance inhérente entre les étudiantes de l'échantillon n° 1 et les étudiants masculins de l'échantillon n° 2 ; il n'est pas possible d'analyser l'un ou l'autre de ces échantillons comme des échantillons dépendants, ou appariés.

Exemple 4.18

Problème

Déterminez si les échantillons suivants sont des échantillons dépendants ou indépendants :

Échantillon n° 1 : Mesures de la pression artérielle sur un échantillon de 50 patients participant à un essai clinique avant la prise de tout médicament. Échantillon n° 2 : Mesures de la pression artérielle sur le même groupe de 50 patients après la prise d'un médicament hypotenseur.

Solution

Ces deux échantillons sont dépendants. Les échantillons peuvent être appariés sous forme de mesures de pression artérielle avant/après pour un même patient.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Les échantillons sont aléatoires et indépendants.
Pour chaque échantillon, les tailles d'échantillon sont toutes deux d'au moins 30, ou les populations sous-jacentes sont connues pour suivre une distribution normale.
Les écarts-types de la population ( $σ$ ) sont inconnus ; les écarts-types de l'échantillon ( $s$ ) sont connus.

Lorsque ces conditions sont remplies, la loi de Student sert de base à la réalisation du test d'hypothèse.

Dans cette discussion, nous supposons que les variances de la population ne sont pas égales, ce qui conduit à la formule suivante pour la statistique de test.

Pour cette procédure, la statistique de test sera un score t et la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (µ_{1} - µ_{2})}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}

Où :

${\bar{x}}_{1}$ , ${\bar{x}}_{2}$ sont les moyennes d'échantillon.

$µ_{1}$ , $µ_{2}$ sont les valeurs hypothétisées des moyennes de la population.

$s_{1}, s_{s}$ sont les écarts-types de l'échantillon.

$n_{1}, n_{2}$ sont les tailles des échantillons.

Remarque : Pour la distribution t, le nombre de degrés de liberté sera la plus petite valeur entre $n_{1} - 1$ et $n_{2} - 1$ .

L'exemple 4.19 illustre ce processus de test d'hypothèse.

Exemple 4.19

Problème

Une ingénieure en logiciel d'une entreprise de télécommunications affirme que le salaire moyen des femmes ingénieures est inférieur à celui des hommes ingénieurs. Pour vérifier cette affirmation, un gestionnaire des ressources humaines sélectionne un échantillon aléatoire de 45 femmes ingénieures et de 50 hommes ingénieurs et recueille des données statistiques comme l'indique le Tableau 4.11. (Les montants en dollars sont exprimés en milliers de dollars.)

	Femmes ingénieures	Hommes ingénieurs
Moyenne de l'échantillon	${\bar{x}}_{1} = 72700$	${\bar{x}}_{2} = 76900$
Écart-type de l'échantillon	$s_{1} = 9800$	$s_{2} = 10700$
Taille de l'échantillon	$n_{1} = 45$	$n_{2} = 50$

Tableau 4.11 Données d'échantillon pour les femmes et les hommes ingénieurs

Utilisez ces données d'échantillon pour tester l'affirmation formulée par l'ingénieure en logiciel. Utilisez un seuil de signification de 0,05 pour cette analyse.

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative fondées sur l'affirmation. Remarquez que l'affirmation mentionne que « le salaire moyen des femmes ingénieures est inférieur à celui des hommes ingénieurs », où « inférieur à » se traduit par un symbole inférieur à. Un symbole inférieur à doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément d'un symbole « inférieur à » est un symbole « supérieur ou égal à », qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. Soit $µ_{1}$ le salaire moyen de la population des femmes ingénieures et soit $µ_{2}$ le salaire moyen de la population des hommes ingénieurs. On peut considérer que l'hypothèse nulle représente l'attente qu'il n'y ait « aucune différence » entre les salaires des femmes et des hommes ingénieurs. Notez que cette configuration correspondra à la configuration C du Tableau 4.9. L'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ainsi, la formulation des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{1} & \geq & µ_{2} \\ H_{a} : µ_{1} & < & µ_{2} [affirmation] \end{array}

Puisque les écarts-types de la population sont inconnus dans cet exemple, la distribution t sera utilisée pour réaliser le test d'hypothèse.

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée comme suit :

t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (µ_{1} - µ_{2})}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(72700 - 76900) - (0)}{\sqrt{\frac{9800^{2}}{45} + \frac{10700^{2}}{50}}} = - 1.997

Remarquez que, étant donné que l'hypothèse alternative contient un symbole « inférieur à », le test d'hypothèse est appelé un test « unilatéral à gauche » et la valeur p sera calculée comme l'aire sous la courbe de la distribution t située à gauche de la statistique de test. L'aire sous la courbe de la distribution t à gauche d'un score t de $- 1.997$ (en utilisant les degrés de liberté $d f = 44$ ) est d'environ 0,025. Par conséquent, la valeur p pour ce test d'hypothèse est de 0,025.

La dernière étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Cela se fait en comparant la valeur p au seuil de signification. Dans cet exemple, la valeur p est de 0,025 et le seuil de signification est de 0,04 : comme la valeur p $<$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ce scénario correspond à la ligne 2 du Tableau 4.8, et par conséquent « les éléments de preuve sont suffisants pour étayer l'affirmation » selon laquelle le salaire moyen des femmes ingénieures est inférieur à celui des hommes ingénieurs.

Ce problème peut également être résolu à l'aide de la fonction Python appelée ttest_ind_from_stats().

Il existe également une fonction Python permettant d'effectuer un test t pour deux échantillons à partir de données brutes pour les deux groupes, et cette fonction Python est ttest_ind().

Pour la fonction ttest_ind_from_stats(), la syntaxe est la suivante :

Code Python

    stats.ttest_ind_from_stats(sample_mean1, sample_standard_deviation1, sample_size1, sample_mean2, sample_standard_deviation2, sample_size2)

Voici le code Python qui peut être utilisé pour résoudre l'Exemple 4.19. Notez que cette fonction renvoie la valeur p bilatérale. Étant donné que l'Exemple 4.19 implique un test unilatéral à gauche, la valeur p souhaitée est égale à la moitié de la valeur p bilatérale.

Code Python

    import scipy.stats as stats
    import numpy as np
     
    #Example 4.19 - Two Sample t-test given sample means, sample standard deviations
    
    sample_mean1 = 72700
    sample_standard_deviation1 = 9800
    sample_size1 = 45
    
    sample_mean2 = 76900
    sample_standard_deviation2 = 10700
    sample_size2 = 50
    
    test_statistic, two_tailed_p_value = stats.ttest_ind_from_stats(sample_mean1, sample_standard_deviation1, sample_size1, sample_mean2, sample_standard_deviation2, sample_size2)
    
    left_tailed_p_value = two_tailed_p_value / 2
    
    print("test statistic = ", "%.3f" % test_statistic)
    print("p-value = ", "%.3f" % left_tailed_p_value)

La sortie obtenue se présentera comme suit :

test statistic = -1.988
p-value = 0.025

Comparaison de données par paires appariées

La section Test d'hypothèse pour deux échantillons a traité des tests d'hypothèse pour deux échantillons indépendants. Dans cette section, nous nous intéressons aux tests d'hypothèse pour des échantillons dépendants, souvent appelés paires appariées (matched pairs), échantillons appariés ou données appariées.

Rappelez-vous que deux échantillons sont considérés comme dépendants si les échantillons d'une population peuvent être associés, ou appariés, aux échantillons prélevés dans la seconde population.

Cette méthode d'analyse est souvent utilisée pour analyser des données avant/après afin de déterminer si un changement significatif s'est produit. Dans un essai clinique, un chercheur médical peut s'intéresser à la comparaison des mesures de pression artérielle avant et après chez un patient pour évaluer l'efficacité d'un médicament hypotenseur. Un employeur peut également comparer les résultats à un examen de sécurité pour un échantillon d'employés avant et après que ces derniers ont suivi une formation sur les procédures et pratiques de sécurité. Un parent peut souhaiter comparer les scores au SAT avant/après pour des élèves ayant suivi un cours de préparation au SAT. Ce type d'analyse permet d'évaluer l'efficacité et la valeur d'une telle formation.

Lors de la réalisation d'un test d'hypothèse pour des données appariées telles que des données avant/après, une étape clé consiste à calculer la « différence » pour chaque paire de valeurs de données, comme suit :

Différence (d) = (données avant) - (données après)

Notez que lors du calcul de ces différences, le résultat peut être une valeur positive ou négative.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Les échantillons sont aléatoires et dépendants (c.-à-d. des données appariées).
Les populations sont normalement distribuées ou le nombre de paires de données est d'au moins 30.

Lorsque ces conditions sont remplies, la distribution t sert de base à la réalisation du test d'hypothèse.

La statistique de test sera la moyenne des différences pour l'ensemble des paires de données (notée $\bar{d}$ ), où :

\bar{d} = \frac{Σ d}{n}

Pour cette procédure, la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

t = \frac{\bar{d} - µ_{d}}{s_{d} / \sqrt{n}}

Où :

$\bar{d}$ est la moyenne des différences entre les données appariées.

$µ_{d}$ est la moyenne hypothétisée des différences dans la population.

$s_{d}$ est l'écart-type des différences entre les données appariées.

$n$ est le nombre de paires de données.

Remarque : Pour la distribution t, le nombre de degrés de liberté sera de $n - 1$ , où $n$ est le nombre de paires de données.

La formulation des hypothèses nulle et alternative suivra l'une des configurations présentées dans le Tableau 4.12 :

Configuration A	Configuration B	Configuration C
$\begin{array}{rcl} H_{0} : μ_{d} & = & k \\ H_{a} : μ_{d} & \neq & k \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{d} & \leq & k \\ H_{a} : µ_{d} & > & k \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{d} & \geq & k \\ H_{a} : µ_{d} & < & k \end{array}$

Tableau 4.12 Configurations possibles pour les hypothèses nulle et alternative pour un test d'hypothèse sur des données appariées

L'exemple 4.20 illustre ce processus de test d'hypothèse.

Exemple 4.20

Problème

Une société pharmaceutique teste un médicament hypocholestérolémiant dans le cadre d'un essai clinique. L'entreprise affirme que le médicament contribue à réduire les taux de cholestérol. Pour tester cette affirmation, un groupe de 10 patients est sélectionné pour un essai clinique. Des mesures de cholestérol sont prises avant et après chez les mêmes patients, la mesure « après » étant enregistrée après que le patient a pris le médicament pendant une période de six mois, comme l'indique le Tableau 4.13.

Patient	Taux de cholestérol avant la prise du médicament	Taux de cholestérol après la prise du médicament	Différence (Mesure avant - Mesure après)
1	218	210	8
2	232	241	-9
3	259	223	36
4	265	244	21
5	248	227	21
6	298	273	25
7	263	252	11
8	281	276	5
9	290	281	9
10	271	259	12
			$\begin{array}{rcl} \bar{d} & = & 13.9 \\ s_{d} & = & 12.414 \end{array}$

Tableau 4.13 Données d'échantillon pour l'exemple de données appariées

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative fondées sur l'affirmation. Notez que l'entreprise affirme que le médicament aide à réduire les taux de cholestérol. Si le médicament réduisait effectivement les taux de cholestérol, on s'attendrait à ce que les données après traitement soient inférieures aux données avant traitement. Dans ce cas, la différence « avant - après » serait une valeur positive, c'est-à-dire supérieure à zéro. Un symbole supérieur à doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément d'un symbole « supérieur à » est un symbole « inférieur ou égal à », qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. Cette configuration correspondra à la configuration C du Tableau 4.12. L'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ainsi, la formulation des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : µ_{d} & \leq & 0 \\ H_{a} : µ_{d} & > & 0 [affirmation] \end{array}

La moyenne des différences est la moyenne de la colonne des différences présentée dans le Tableau 4.13. La moyenne de la colonne des différences est de 13,9, et l'écart-type de la colonne des différences est de 12,414.

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée comme suit :

t = \frac{\bar{d} - µ_{d}}{s_{d} / \sqrt{n}} = \frac{13.9 - 0}{12.414 / \sqrt{10}} = 3.541

Remarquez que, puisque l'hypothèse alternative contient un symbole « supérieur à », le test d'hypothèse est appelé un test « unilatéral à droite » et la valeur p sera calculée comme l'aire sous la courbe de la distribution t située à droite de la statistique de test. L'aire sous la courbe de la distribution t à droite d'un score t de 3,541 (en utilisant les degrés de liberté $d f = 9$ ) est d'environ 0,003. Ainsi, la valeur p pour ce test d'hypothèse est de 0,003.

La dernière étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Cela se fait en comparant la valeur p au seuil de signification. Dans cet exemple, la valeur p est de 0,003 et le seuil de signification est de 0,05 : comme la valeur p $<$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ce scénario correspond à la ligne 2 du Tableau 4.8, et « les éléments de preuve sont suffisants pour étayer l'affirmation selon laquelle le médicament contribue à réduire les taux de cholestérol ».

Test d'affirmations portant sur deux proportions

Les scientifiques des données et les chercheurs s'intéressent souvent à la comparaison de deux proportions. Par exemple, un chercheur médical peut s'intéresser à la comparaison du pourcentage de personnes contractant un virus respiratoire entre celles qui reçoivent un vaccin et celles qui ne reçoivent pas de vaccin.

Dans cette section, nous abordons les tests d'hypothèse pour deux échantillons portant sur des proportions, où la notation $p_{1}$ désigne la proportion de la population pour le premier groupe et $p_{2}$ désigne la proportion de la population pour le second groupe.

Un chercheur prélèvera des échantillons dans les deux populations, puis calculera deux proportions d'échantillon ( $\hat{p}$ ) comme suit :

\begin{array}{rcl} {\hat{p}}_{1} & = & \frac{x_{1}}{n_{1}} \\ {\hat{p}}_{2} & = & \frac{x_{2}}{n_{2}} \end{array}

Où :
$x_{1}$ est le nombre de succès dans le premier échantillon.
$n_{1}$ est la taille de l'échantillon pour le premier échantillon.

$x_{2}$ est le nombre de succès dans le second échantillon.
$n_{2}$ est la taille de l'échantillon pour le second échantillon.

${\hat{p}}_{1}$ est la proportion échantillonnale pour le premier échantillon.
${\hat{p}}_{2}$ est la proportion échantillonnale pour le second échantillon.

Il est également utile de calculer une estimation pondérée ( $\bar{p}$ ) pour ${\hat{p}}_{1}$ et ${\hat{p}}_{2}$ , comme suit :

\bar{p} = \frac{x_{1} + x_{2}}{n_{1} + n_{2}}

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

Les échantillons sont aléatoires et indépendants.
Les tailles d'échantillon sont suffisamment grandes pour utiliser une distribution normale comme approximation d'une distribution binomiale. Pour le confirmer, assurez-vous que les quatre quantités suivantes sont toutes supérieures ou égales à 5 : $n_{1} \bar{p}$ , $n_{1} (1 - \bar{p})$ , $n_{2} \bar{p}$ , $n_{2} (1 - \bar{p})$

Lorsque ces conditions sont remplies, la distribution normale sert de base à la réalisation du test d'hypothèse.

Pour cette procédure, la statistique de test sera un score z, et la statistique de test standardisée est calculée comme suit :

z = \frac{({\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}) - (p_{1} - p_{2})}{\sqrt{\bar{p} (1 - \bar{p}) (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})}}

Voici un exemple étape par étape pour illustrer ce processus de test d'hypothèse.

Exemple 4.21

Problème

Un médicament fait l'objet d'une étude pour traiter le cancer du poumon. Dans le cadre d'un essai clinique, 250 personnes ont pris le médicament et 230 personnes ont pris un placebo (une substance sans effet thérapeutique). D'après les résultats de l'étude, 211 personnes prenant le médicament étaient guéries du cancer, et 172 personnes prenant le placebo étaient guéries du cancer. À un seuil de signification de 0,01, pouvez-vous appuyer l'affirmation de la société pharmaceutique selon laquelle la proportion de sujets qui ne présentent plus de cancer après avoir pris le véritable médicament contre le cancer est supérieure à la proportion de ceux qui ont pris le placebo ?

Solution

La première étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à écrire les hypothèses nulle et alternative fondées sur l'affirmation. Remarquez que l'affirmation indique que « la proportion de sujets guéris du cancer après avoir pris le véritable médicament anticancéreux est supérieure à la proportion pour ceux ayant pris le placebo », où « supérieure à » se traduit par un symbole supérieur à. Un symbole supérieur à doit être utilisé dans l'hypothèse alternative. Le complément d'un symbole « supérieur à » est un symbole « inférieur ou égal à », qui sera utilisé dans l'hypothèse nulle. Soit $p_{1}$ la proportion de personnes prenant le médicament et guéries du cancer, et soit $p_{2}$ la proportion de personnes prenant le placebo et guéries du cancer. L'hypothèse nulle suppose qu'il n'y a pas de différence entre les deux proportions, de sorte que $p_{1}$ est égale à $p_{2}$ (ce qui peut aussi être considéré comme $p_{1} - p_{2} = 0$ ). Cette configuration correspondra à la configuration E du Tableau 4.10. L'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ainsi, la formulation des hypothèses nulle et alternative sera la suivante :

\begin{array}{rcl} H_{0} : p_{1} & \leq & p_{2} \\ H_{a} : p_{1} & > & p_{2} [affirmation] \end{array}

Tout d'abord, vérifiez que les conditions requises pour ce test d'hypothèse sont remplies.

Calculez l'estimation pondérée ( $\bar{p}$ ) pour $p_{1}$ et $p_{2}$ , comme suit :

\bar{p} = \frac{x_{1} + x_{2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{211 + 172}{250 + 230} = \frac{383}{480} = 0.798

Vérifiez que les quatre quantités suivantes sont toutes au moins égales à 5 : $n_{1} \bar{p}$ , $n_{1} (1 - \bar{p})$ , $n_{2} \bar{p}$ , $n_{2} (1 - \bar{p})$ .

\begin{array}{rcl} n_{1} \bar{p} & = & (250) (0.798) = 199.5 \\ n_{1} (1 - \bar{p}) & = & (250) (1 - 0.798) = 50.5 \\ n_{2} \bar{p} & = & (230) (0.798) = 183.54 \\ n_{2} (1 - \bar{p}) & = & (230) (1 - 0.798) = 46.46 \end{array}

Comme ces résultats sont tous supérieurs ou égaux à 5, les conditions sont remplies.

Calculez les proportions de l'échantillon comme suit :

\begin{array}{rcl} {\hat{p}}_{1} & = & \frac{x_{1}}{n_{1}} = \frac{211}{250} = 0.844 \\ {\hat{p}}_{2} & = & \frac{x_{2}}{n_{2}} = \frac{172}{230} = 0.748 \end{array}

Ensuite, calculez la statistique de test standardisée comme suit :

z = \frac{({\hat{p}}_{1} - {\hat{p}}_{2}) - (p_{1} - p_{2})}{\sqrt{\bar{p} (1 - \bar{p}) (\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}})}} = \frac{(0.844 - 0.748) - 0}{\sqrt{(0.798) (1 - 0.798) (\frac{1}{250} + \frac{1}{230})}} = 2.621

Remarquez que, étant donné que l'hypothèse alternative contient un symbole « supérieur à », le test d'hypothèse est appelé un test « unilatéral à droite » et la valeur p sera calculée comme l'aire sous la courbe de la distribution normale située à droite de la statistique de test. L'aire sous la courbe de la distribution normale à droite d'un score z de 2,621 est d'environ 0,004. Ainsi, la valeur p pour ce test d'hypothèse est de 0,004.

La dernière étape de la procédure de test d'hypothèse consiste à prendre une décision finale concernant l'hypothèse nulle. Cela se fait en comparant la valeur p au seuil de signification. Dans cet exemple, la valeur p est de 0,004 et le seuil de signification est de 0,01 : comme la valeur p $<$ seuil de signification, la décision est alors de « rejeter l'hypothèse nulle ».

Conclusion : La décision est de rejeter l'hypothèse nulle ; l'affirmation correspond à l'hypothèse alternative. Ce scénario correspond à la ligne n° 2 du Tableau 4.8, et « les éléments de preuve sont suffisants pour étayer l'affirmation » selon laquelle la proportion de sujets qui ne présentent plus de cancer après avoir pris le véritable médicament contre le cancer est supérieure à la proportion de ceux ayant pris le placebo. Cela indique que le médicament est efficace pour traiter le cancer du poumon.