Distribution d'échantillonnage (sampling) pour la moyenne

Un chercheur prélève des échantillons répétés de taille 1 000 parmi les résidents de New York afin de recueillir des données sur le revenu moyen des résidents de New York.

Pour chaque échantillon de taille 1 000, nous pouvons calculer une moyenne d'échantillon, $\bar{x}$. Si le chercheur devait prélever 50 échantillons de ce type (chacun d'une taille de 1 000), une série de moyennes d'échantillons peut être calculée :

Une distribution de probabilité basée sur tous les échantillons aléatoires possibles d'une certaine taille provenant d'une population — ou distribution d'échantillonnage (sampling (or sample) distribution) — peut alors être analysée. Par exemple, nous pouvons calculer la moyenne de ces moyennes d'échantillons, et nous pouvons calculer l'écart-type de ces moyennes d'échantillons.

La distribution d'échantillonnage de ces moyennes d'échantillons possède deux propriétés importantes :

1. La moyenne des moyennes d'échantillons (notée ${\mu }_{\bar{x}}$) est égale à la moyenne de la population $\mu$.
   1. Écrit mathématiquement : ${\mu }_{\bar{x}}=\mu$
2. L'écart-type des moyennes d'échantillons (noté ${\sigma }_{\bar{x}}$) est égal à l'écart-type de la population $\sigma$ divisé par la racine carrée de la taille de l'échantillon $n$.
   1. Écrit mathématiquement : ${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Le théorème central limite (central limit theorem) décrit la relation entre la distribution d'échantillonnage des moyennes d'échantillons et la population sous-jacente. Ce théorème est un outil important qui permet aux scientifiques des données et aux chercheurs d'utiliser des données d'échantillon pour générer des inférences sur les paramètres de la population.

Conditions du théorème central limite :

• Si des échantillons aléatoires sont prélevés dans n'importe quelle population ayant une moyenne $\mu$ et un écart-type, où la taille de l'échantillon est d'au moins 30, alors la distribution des moyennes d'échantillons se rapproche d'une distribution normale (en cloche).
• Si des échantillons aléatoires sont prélevés dans une population normalement distribuée ayant une moyenne $\mu$ et un écart-type $\sigma$, alors la distribution des moyennes d'échantillons se rapproche d'une distribution normale (en cloche) pour toute taille d'échantillon.

Intervalle de confiance pour la moyenne lorsque l'écart-type de la population est connu

Bien que dans de nombreuses situations l'écart-type de la population soit inconnu, dans certains cas, une estimation raisonnable de l'écart-type de la population peut être obtenue à partir d'études antérieures ou de données historiques.

Voici ce qui est nécessaire pour calculer l'intervalle de confiance pour la moyenne lorsque l'écart-type de la population est connu :

1. Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
2. La taille de l'échantillon est d'au moins 30, ou la population sous-jacente est connue pour suivre une distribution normale.
3. L'écart-type de la population ($\sigma$) est connu.

Une fois ces conditions remplies, la marge d'erreur $E$ est calculée selon la formule suivante :

Où :

$z_c$ est appelée la valeur critique de la distribution normale et est calculée comme la valeur z (score z) qui délimite l'aire correspondant au niveau de confiance entre $-z_c$ et $+z_c$. Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95 %, la valeur critique correspondante est $z_c=1.96$ puisqu'une aire de 0,95 sous la courbe normale est comprise entre les scores z de $-1.96$ et $+1.96$.

$\sigma$ est l'écart-type de la population.

$n$ est la taille de l'échantillon.

Remarque : $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ est appelée l'erreur type de la moyenne (standard error of the mean).

Les valeurs typiques de $z_c$ pour divers niveaux de confiance sont présentées dans le Tableau 4.2.

Graphiquement, les valeurs critiques peuvent être indiquées sur la courbe de la distribution normale, comme illustré à la Figure 4.2. (Voir Distributions de probabilité discrètes et continues pour un rappel sur la courbe de distribution normale.) La Figure 4.2 présente un exemple pour un intervalle de confiance à 95 % où l'aire de 0,95 est centrée sous la courbe normale standard, montrant les valeurs de $-z_c$ et $+z_c$. Puisque la courbe normale standard est symétrique et que l'aire totale sous la courbe est égale à 1, l'aire dans chacune des deux queues peut être calculée comme valant 0,025. Ainsi, la valeur critique (critical value) est ce score z qui délimite une aire de 0,025 dans la queue supérieure de la courbe normale standard.

Figure 4.2 Valeurs critiques de z_c indiquées sur la courbe normale standard pour un intervalle de confiance à 95 %

Une fois la marge d'erreur calculée, l'intervalle de confiance peut être déterminé comme suit :

$\text{Moyenne de l'échantillon}\pm \text{Marge d'erreur}$

Notez qu'il s'agit du format général pour construire n'importe quel intervalle de confiance, à savoir que la marge d'erreur est ajoutée et soustraite de la statistique de l'échantillon pour générer respectivement les bornes supérieure et inférieure de l'intervalle de confiance. Une statistique de l'échantillon (sample statistic) décrit un aspect de l'échantillon, tel qu'une moyenne ou une proportion d'échantillon.

Forme générale d'un intervalle de confiance : $\text{Statistique de l'échantillon}\pm \text{Marge d'erreur}$

Intervalle de confiance pour la moyenne lorsque l'écart-type de la population est inconnu

Un intervalle de confiance peut toujours être déterminé lorsque l'écart-type de la population est inconnu en calculant un écart-type d'échantillon à partir des données de l'échantillon. Il s'agit en réalité de l'application la plus courante des intervalles de confiance.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

1. Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
2. La taille de l'échantillon est d'au moins 30, ou la population sous-jacente est connue pour suivre une distribution normale.
3. L'écart-type de la population ($\sigma$) est inconnu ; l'écart-type de l'échantillon $\left(s\right)$ peut être calculé.

Une fois ces conditions remplies, la marge d'erreur (E) est calculée selon la formule suivante :

$t_c$ est appelée la valeur critique de la loi de Student. La loi de Student (t-distribution) est une distribution symétrique en forme de cloche similaire à la distribution normale, bien que la loi de Student possède des « queues plus épaisses » par rapport à la distribution normale. La comparaison entre la courbe de distribution normale et celle de la loi de Student est présentée à la Figure 4.3.

Figure 4.3 Comparaison des courbes de la loi de Student et de la distribution normale

La loi de Student est en réalité une famille de courbes, déterminées par un paramètre appelé degrés de liberté (df), où df est égal à $n-1$. La valeur critique $t_c$ est similaire à un score z et indique l'aire sous la courbe de la loi de Student correspondant au niveau de confiance compris entre $-t_c$ et $+t_c$. Les valeurs de $t_c$ peuvent être obtenues à l'aide d'une table de valeurs ou d'outils informatiques.

Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95 % et une taille d'échantillon de 30, la valeur critique correspondante est $t_c=\mathrm{2.045}$ puisqu'une aire de 0,95 sous la courbe de la loi de Student est contenue entre les scores t de $-2.045$ et $+2.045$.

$s$ est l'écart-type de l'échantillon.

$n$ est la taille de l'échantillon.

df représente les degrés de liberté, où $df=n-1$.

Les valeurs typiques de $t_c$ pour divers niveaux de confiance et degrés de liberté sont présentées dans le Tableau 4.3.

Notez que Python peut être utilisé pour calculer ces valeurs critiques. Python fournit une fonction appelée t.ppf() qui génère la valeur de la loi de Student correspondant à une aire spécifiée sous la courbe de la loi de Student et à des degrés de liberté spécifiés. Cette fonction fait partie de la bibliothèque scipy.stats.

La syntaxe de la fonction est :
t.ppf(area to left, degrees of freedom)

Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95 %, il y a une aire de 0,95 centrée sous la courbe de la loi de Student, ce qui laisse une aire restante de 0,05 pour les deux queues de la distribution, impliquant ainsi une aire de 0,025 dans chaque queue. Pour trouver une valeur critique correspondant à l'aire supérieure de 0,025, notez que l'aire située à gauche de cette valeur critique sera alors de 0,975.

Voici un exemple de code Python pour générer la valeur critique $t_c$ pour un intervalle de confiance à 95 % et 15 degrés de liberté.

    # import function from scipy.stats library
    from scipy.stats import t
    
    # define parameters called area to left and degrees of freedom df
    Area_to_left = 0.975
    df = 15
    
    # use t.ppf function to calculate critical values associated with t-
    # use round function to round answer to 3 decimal places
    round (t.ppf(Area_to_left, df), 3)
    

2.131

Une fois la marge d'erreur calculée, l'intervalle de confiance est formé de la même manière que dans la section précédente, à savoir :

Intervalle de confiance pour les proportions

Nous pouvons également calculer un intervalle de confiance pour une proportion de population à partir de données d'échantillon. La base de cet intervalle de confiance sera l'application d'une approximation normale à la distribution binomiale. Rappelez-vous d'après Distributions de probabilité discrètes et continues qu'une distribution binomiale (binomial distribution) est une distribution de probabilité pour une variable aléatoire discrète où il n'existe que deux issues possibles pour une expérience. Une proportion mesure le nombre de succès dans un échantillon. Par exemple, si 10 répondants à une enquête sur 50 indiquent qu'ils prévoient de voyager à l'international au cours des 12 prochains mois, alors la proportion est de 10 sur 50, soit 0,2 ou 20 %. Notez que le terme succès n'implique pas nécessairement un résultat positif. Par exemple, un chercheur pourrait s'intéresser à la proportion de fumeurs parmi les adultes américains, et le nombre de fumeurs serait alors considéré comme le nombre de succès.

Quelques éléments de terminologie seront utiles :
$p$ représente la proportion de la population, qui est généralement inconnue.
$\hat{p}$ représente la proportion de l'échantillon.
$x$ représente le nombre de succès dans l'échantillon.
$n$ représente la taille de l'échantillon.

Voici les conditions requises pour utiliser cette procédure :

1. Un échantillon aléatoire est prélevé dans la population.
2. Vérifier que l'approximation normale de la loi binomiale est appropriée en s'assurant que $n\hat{p}$ et $n(1-\hat{p})$ sont tous deux supérieurs ou égaux à 5, où $\hat{p}$ représente la proportion de l'échantillon.

La proportion de l'échantillon $\hat{p}$ est calculée comme le nombre de succès divisé par la taille de l'échantillon :

Lorsque ces conditions sont remplies, la marge d'erreur (E) pour un intervalle de confiance pour des proportions est calculée selon la formule suivante :

Où :

$z_c$ est appelée la valeur critique de la distribution normale et est calculée comme le score z qui délimite l'aire correspondant au niveau de confiance entre $-z_c$ et $+z_c$.

$\hat{p}$ représente la proportion de l'échantillon.

$n$ est la taille de l'échantillon.

Une fois la marge d'erreur calculée, l'intervalle de confiance est formé de la même manière que dans la section précédente. Dans ce cas, l'estimation ponctuelle est la proportion de l'échantillon $\hat{p}$ :

Taille de l'échantillon pour l'intervalle de confiance pour la moyenne

Lors de la détermination d'un intervalle de confiance pour une moyenne, un chercheur peut utiliser la formule de la marge d'erreur (margin of error formula) pour la moyenne ; en résolvant cette formule de manière algébrique pour la taille de l'échantillon ($n$), la formule de taille d'échantillon minimale suivante peut être utilisée pour déterminer la taille d'échantillon minimale requise pour atteindre une certaine marge d'erreur :

Formule de taille d'échantillon pour l'intervalle de confiance pour la moyenne :

Où :
$z_c$ est la valeur critique de la distribution normale.
$\sigma$ est l'écart-type de la population.
$E$ est la marge d'erreur souhaitée.

Notez que pour les calculs de taille d'échantillon, les résultats sont arrondis à l'entier supérieur le plus proche. Par exemple, si la formule présentée précédemment donne une taille d'échantillon de 59,2, la taille de l'échantillon sera arrondie à 60.

Taille de l'échantillon pour l'intervalle de confiance pour une proportion

Dans l'Exemple 4.5, comment le chercheur saurait-il quelle taille d'échantillon optimale utiliser pour recueillir des données sur la proportion d'adultes qui fument ? La formule de la marge d'erreur peut être utilisée pour dériver la taille de l'échantillon pour une proportion comme suit :

Où :
$z_c$ est la valeur critique de la distribution normale.
$\hat{p}$ est la proportion de l'échantillon.
$E$ est la marge d'erreur souhaitée.

Remarquez que dans cette formule, on suppose qu'une estimation préalable de la proportion de l'échantillon $\hat{p}$ est disponible, provenant par exemple de données historiques ou d'études antérieures. Si aucune estimation préalable de la proportion de l'échantillon n'est disponible, utilisez la valeur 0,5 pour $\hat{p}$.