Composantes de l'analyse de séries temporelles - Principes de la science des données

5.2 Composantes de l'analyse de séries temporelles

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous devriez être en mesure de :

5.2.1 Définir la courbe de tendance d'une série temporelle.
5.2.2 Définir et identifier les variations saisonnières et cycliques dans les données de séries temporelles.
5.2.3 Expliquer comment le bruit et l'erreur affectent une série temporelle.

Les données de séries temporelles peuvent être décomposées, c'est-à-dire divisées en plusieurs composantes clés. Il peut y avoir une direction générale (vers le haut ou vers le bas) que les données semblent suivre, également appelée la tendance. Des cycles et des motifs saisonniers peuvent être présents. Enfin, le bruit ou les variations aléatoires peuvent souvent être séparés du reste des données. L'analyse des séries temporelles commence par l'identification et l'extraction des composantes qui contribuent à la structure des données.

En résumé, les quatre composantes principales d'une série temporelle sont définies comme suit :

Tendance (trend). La direction à long terme des données d'une série temporelle en l'absence de toute autre variation.
Composante cyclique (cyclic component). De grandes variations dans les données qui se reproduisent sur des périodes plus longues que les fluctuations saisonnières, mais sans fréquence fixe.
Composante saisonnière (seasonal component) (souvent appelée saisonnalité (seasonality)). Variation dans les données qui se produit à des intervalles de temps fixes, par exemple chaque année au cours des mêmes mois ou chaque semaine les mêmes jours.
Bruit (noise)/Erreur aléatoire (random error). Variations aléatoires et imprévisibles survenant dans la série temporelle qui ne peuvent être attribuées à aucune des autres composantes mentionnées précédemment. (Remarque : le terme « aléatoire » n'est pas synonyme de statistiquement indépendant.)

En pratique, la composante cyclique est souvent regroupée avec la tendance pour former ce que l'on appelle la composante tendance-cycle (trend-cycle component), car la composante cyclique ne peut pas être prédite de la même manière qu'une composante saisonnière. Ainsi, on peut considérer que les données de séries temporelles sont constituées de trois composantes : la composante de tendance (ou tendance-cycle), la (ou les) composante(s) saisonnière(s), et le bruit ou l'erreur aléatoire. En réalité, on peut concevoir la tendance, la composante saisonnière et le bruit comme trois séries temporelles distinctes qui contribuent toutes aux données de la série temporelle. Bien que nous continuions à considérer chaque composante comme une suite de valeurs, il est d'usage d'omettre les parenthèses dans la notation. Ainsi, la série temporelle sera simplement notée $x_{n}$ plutôt que $(x_{n})$ , et les trois composantes seront notées de manière similaire.

Les manières dont les composantes sont combinées dans une analyse de séries temporelles varient. Il existe des décompositions additives, des décompositions multiplicatives et des décompositions hybrides.

Dans une simple décomposition additive (additive decomposition), la série temporelle est décomposée en la somme de ses trois composantes : $t_{n}$ pour la tendance, $s_{n}$ pour la variation saisonnière, et $ε_{n}$ pour le terme d'erreur, comme illustré ci-dessous :

x_{n} = t_{n} + s_{n} + ε_{n}

Dans une décomposition multiplicative (multiplicative decomposition) stricte, la série temporelle est décomposée en le produit de ses composantes (qui auront une allure très différente de leurs homologues additives, d'où l'utilisation de majuscules pour les distinguer).

x_{n} = T_{n} \cdot S_{n} \cdot E_{n}

Enfin, une décomposition hybride dans laquelle la composante tendance-cycle et la composante saisonnière sont multipliées tandis que le terme d'erreur reste additif est souvent utile. Dans ce cas, nous pouvons écrire :

x_{n} = T_{n} \cdot S_{n} + ε_{n}

Les décompositions multiplicatives et hybrides s'avèrent plus utiles lorsque la variation au-dessus et en dessous de la courbe de tendance semble proportionnelle au niveau de la tendance elle-même. En d'autres termes, lorsque la tendance est plus élevée, la dispersion autour de la tendance est également plus importante. Nous nous concentrerons uniquement sur la décomposition additive dans cet ouvrage. En fait, il existe une transformation simple utilisant les propriétés des logarithmes qui transforme une décomposition strictement multiplicative en une décomposition additive, à condition que toutes les composantes soient strictement positives.

log (x_{n}) = log (T_{n} \cdot S_{n} \cdot E_{n}) = log (T_{n}) + log (S_{n}) + log (E_{n})

Notez que les méthodes de régression peuvent être employées conjointement avec la décomposition. Cette section couvrira les principes fondamentaux de la décomposition et de la régression pour l'analyse des séries temporelles.

La courbe de tendance et la composante tendance-cycle

Comme défini précédemment, la tendance est la direction que suivent les données lorsque les variations telles que les fluctuations saisonnières et le bruit ou l'erreur aléatoire sont ignorées. La courbe de tendance (trend curve) (ou ligne de tendance (trendline)) modélise la tendance par une droite ou une courbe, représentant en quelque sorte une valeur moyenne pour la série temporelle sur une période donnée. Selon cette définition, la régression linéaire présentée dans l'Exemple 5.1 constituerait une courbe de tendance pour les valeurs de l'indice S&P 500. S'il n'y a pas de hausse ni de baisse significative à long terme (c'est-à-dire si seules des fluctuations ou des motifs à court terme existent), la tendance peut alors être estimée par une constante appelée le niveau (level), qui correspond à la moyenne de l'ensemble des données de la série temporelle.

Visualiser une courbe de tendance

Il n'existe pas d'approche unique faisant l'unanimité pour déterminer la tendance d'une série temporelle. Les aspects techniques permettant d'isoler une courbe de tendance ou une composante tendance-cycle sont abordés en détail dans Méthodes de prévision de séries temporelles. Pour l'instant, nous allons illustrer par un exemple ce à quoi peut ressembler une courbe de tendance dans un jeu de données.

La Figure 5.5 montre la consommation mensuelle de charbon pour la production d'électricité aux États-Unis de 2016 à 2022, telle que fournie dans le jeu de données MonthlyCoalConsumption.xlsx (source : https://www.statista.com/statistics/1170053/monthly-coal-energy-consumption-in-the-us/. Remarque : les données ont été nettoyées de la manière suivante : Mois a été converti du format chaîne de caractères vers un format de date standard ; Valeur a été convertie du format chaîne de caractères vers des données numériques.)

Un graphique linéaire intitulé Consommation mensuelle de charbon pour la production d'électricité aux États-Unis de 2016 à 2022. L'axe des X présente les mois de janvier 2016 à mai 2022. L'axe des Y s'étend de 0 à 80 000. Une ligne bleue en dents de scie montre des hauts et des bas avec une tendance générale à la baisse au fil du temps.

Figure 5.5 Consommation mensuelle de charbon pour la production d'électricité aux États-Unis de 2016 à 2022, en milliers de tonnes (source des données : https://www.statista.com/statistics/1170053/monthly-coal-energy-consumption-in-the-us/)

Bien qu'il y ait de nombreuses fluctuations, une trajectoire générale des données se dégage nettement. Si l'on vous demandait de tracer la courbe qui reflète au mieux la tendance sous-jacente, vous pourriez obtenir une allure semblable à celle de la courbe présentée à la Figure 5.6. (C'est ce que nous appelons une ligne de tendance ou une courbe de tendance.)

Figure 5.6 Consommation mensuelle de charbon pour la production d'électricité aux États-Unis de 2016 à 2022, en milliers de tonnes avec courbe de tendance affichée (source des données : https://www.statista.com/statistics/1170053/monthly-coal-energy-consumption-in-the-us/)

Ligne de tendance dans Excel

Excel dispose de fonctionnalités intégrées qui facilitent l'ajout direct de courbes de tendance sur le graphique d'une série temporelle. Tout d'abord, tracez un graphique linéaire des données de la même manière que celle indiquée dans Introduction à l'analyse de séries temporelles. (Remarque : si « Graphiques recommandés » n'affiche pas le type de graphique souhaité, vous pouvez cliquer sur l'onglet « Tous les graphiques » et en choisir un autre. Pour la Figure 5.7, nous avons choisi le graphique linéaire plutôt que l'histogramme proposé par défaut.) Ensuite, vous pouvez cliquer sur « Ajouter un élément de graphique » dans la zone « Création de graphique » d'Excel. L'une des options est « Courbe de tendance » (voir Figure 5.7). Pour obtenir une courbe de tendance semblable à celle de la Figure 5.6, sélectionnez « Autres options » et réglez la période de la courbe de tendance sur 12. Après avoir ajouté la courbe de tendance, vous pouvez modifier sa couleur et son style si vous le souhaitez.

Une capture d'écran d'une feuille de calcul Excel montrant comment ajouter une courbe de tendance à un graphique. Le menu contextuel Éléments de graphique est mis en évidence et Courbe de tendance est encadré d'un rectangle rouge dans ce menu. Dans le sous-menu, Autres options est encadré d'un rectangle rouge.

Figure 5.7 Ajout d'une courbe de tendance à un graphique linéaire dans Excel (utilisé avec l'autorisation de Microsoft)

Variations saisonnières

Nous avons vu que la saisonnalité (seasonality), ou les variations saisonnières (seasonal variations), sont des fluctuations prévisibles des données se produisant à intervalles réguliers. Le plus petit intervalle de temps au terme duquel le motif semble se répéter (du moins approximativement) est appelé sa période (period).

Supposons par exemple que vous viviez dans un climat tempéré de l'hémisphère nord et que vous enregistriez la température quotidienne pendant plusieurs années. Vous constaterez que les températures sont plus chaudes pendant les mois d'été et plus froides pendant les mois d'hiver. Il existe un schéma naturel et prévisible de hausses et de baisses sur une échelle de temps qui se répète chaque année. Il s'agit d'un exemple classique de variation saisonnière d'une période de 1 an.

Cependant, la période d'une variation saisonnière peut être bien plus longue ou bien plus courte qu'une année. Supposons que vous enregistriez la température près de chez vous toutes les heures pendant une semaine environ. Vous remarquerez alors un cycle régulier de hausse et de baisse des températures au cours de chaque journée : plus chaud le jour et plus froid la nuit. Ce cycle quotidien de montée et de baisse des températures est également une variation saisonnière de la série temporelle d'une période de 24 heures. De fait, une série temporelle donnée peut présenter plusieurs schémas de variations saisonnières correspondant à différentes périodes.

Exemple 5.2

Problème

Walt’s Water Adventures est une entreprise locale qui loue des kayaks et des canoës pour des excursions sur la rivière. En raison de la douceur des hivers dans la région, WWA peut louer ces embarcations toute l'année. Les revenus trimestriels issus des locations ont été enregistrés pendant trois années consécutives et sont également présentés dans le Tableau 5.2. Observe-t-on une variation saisonnière évidente dans ce jeu de données et, si oui, quelle est la période de cette variation saisonnière ? À quel moment les points hauts et les points bas se produisent-ils généralement au sein de chaque motif saisonnier ?

Trimestre	Revenus ($)
Printemps 2021	1799
Été 2021	3304
Automne 2021	1279
Hiver 2021	999
Printemps 2022	2284
Été 2022	3459
Automne 2022	1964
Hiver 2022	1594
Printemps 2023	2704
Été 2023	3849
Automne 2023	2131
Hiver 2023	1939

Tableau 5.2 Revenus trimestriels pour la location de kayaks et de canoës

Solution

La période est de 1 an, soit 4 trimestres, les valeurs maximales se produisant en été de chaque année et les valeurs minimales en hiver de chaque année, comme le montre la Figure 5.8.

Un graphique linéaire intitulé Revenus. L'axe des X présente des dates allant du printemps 2021 à l'hiver 2023. L'axe des Y s'étend de 0 $ à 4 500 $. Une ligne bleue en dents de scie montre des hauts et des bas avec des pics en été et des creux en hiver. Les revenus fluctuent entre 1 000 $ et 4 000 $ par trimestre. Il existe une tendance générale à la hausse de 2021 à 2023, avec les revenus les plus élevés à l'été 2023.

Figure 5.8 Revenus trimestriels pour la location de kayaks et de canoës

Bruit et variation aléatoire

Toutes les données sont bruitées. Il existe souvent des facteurs complexes qui influent sur les données de manière difficile, voire impossible à prévoir. Même si l'on pouvait prendre en compte l'ensemble des facteurs, des erreurs subsisteraient inévitablement dans les données en raison de bévues, d'imprécisions de mesure ou simplement de la façon dont les valeurs sont arrondies.

Le bruit (noise) se manifeste dans les données de séries temporelles sous la forme de petites oscillations aléatoires sans motif discernable. Lors de la visualisation de la série temporelle, le bruit est la composante qui donne au graphique linéaire son aspect en dents de scie. En l'absence de bruit ou de variations aléatoires, le tracé d'une série temporelle paraîtrait relativement lisse.

Dans une série temporelle, une fois que la tendance, la variation cyclique et la variation saisonnière sont quantifiées, ce qui « reste » dans les données constitue généralement le bruit ou les fluctuations aléatoires. Autrement dit, dès lors que la tendance (ou composante tendance-cycle) $t_{n}$ et la variation saisonnière $s_{n}$ sont prises en compte, la composante de bruit correspond simplement au terme restant :

ε_{n} = x_{n} - t_{n} - s_{n}

Dans le monde réel, nous avons rarement accès directement aux véritables séries $t_{n}$ ou $s_{n}$ . La quasi-totalité des méthodes de prévision de séries temporelles produit plutôt un modèle $({\hat{x}}_{n})$ qui s'efforce de capturer la courbe tendance-cycle et la variation saisonnière. Les résidus (residuals), qui représentent la série temporelle des différences entre la série temporelle observée $(x_{n})$ et le modèle, fournissent une mesure de l'erreur du modèle par rapport à la série originale. Si le modèle est bon, au sens où il capture le maximum d'aspects prévisibles de la série temporelle, les résidus doivent alors fournir une estimation de la composante de bruit de la série temporelle. C'est pourquoi il est d'usage d'employer la même notation pour les résidus que pour le terme de bruit. Dès lors,

ε_{n} = x_{n} - {\hat{x}}_{n}

Les résidus doivent présenter les caractéristiques d'une série temporelle véritablement aléatoire, appelée bruit blanc (white noise), qui possède les propriétés fondamentales suivantes :

Moyenne nulle constante. La moyenne doit être proche de zéro en tout point de la série.
Variance constante. La variance doit être approximativement la même en tout point de la série. (Remarque : la variance est définie dans Mesures de variation.)
Non-corrélation. La suite de valeurs en un point de la série doit présenter une corrélation proche de zéro lorsqu'elle est comparée à n'importe quelle suite de valeurs de même taille située ailleurs dans la série. (Remarque : la corrélation est abordée dans Analyse de corrélation et de régression linéaire.)

Dans les définitions énoncées, l'expression en tout point de la série fait référence à un échantillon de termes consécutifs prélevés dans la série ${(x_{k}, x}_{k + 1}, x_{k + 2}, x_{k + 3}, \dots, x_{k + r})$ , que l'on appelle également une fenêtre. Combien de termes contient une fenêtre ? Cela dépend de la série temporelle considérée, mais il faut garder à l'esprit que la fenêtre doit être suffisamment large pour refléter fidèlement la moyenne et la variance des points voisins, tout en n'étant pas trop étendue pour ne pas masquer les hausses et les baisses réelles présentes dans les données. Des logiciels statistiques peuvent être utilisés pour vérifier si une série temporelle présente les caractéristiques d'un bruit blanc, et nous approfondirons ce sujet dans la section suivante. Pour l'instant, examinez la Figure 5.9, qui illustre une série temporelle de bruit blanc.

Un graphique de série temporelle d'un bruit blanc. L'axe des X s'étend de 0 à 250 et l'axe des Y s'étend de -3 à 3. La moyenne est constamment proche de zéro. La variance est assez constante partout dans la série, proche d'une valeur de 1. Il n'y a aucun motif observable qui se répète.

Figure 5.9 Bruit blanc. Le bruit blanc est un type de bruit aléatoire. La moyenne est constamment proche de zéro. La variance est assez constante partout dans la série, proche d'une valeur de 1. Il n'y a aucun motif observable qui se répète.