Distributions de probabilité discrètes et continues - Principes de la science des données

3.5 Distributions de probabilité discrètes et continues

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous devriez être en mesure de :

3.5.1 Décrire les aspects fondamentaux des distributions de probabilité.
3.5.2 Appliquer des distributions de probabilité discrètes, notamment les lois binomiale et de Poisson.
3.5.3 Appliquer des distributions de probabilité continues, notamment les lois exponentielle et normale.
3.5.4 Utiliser Python pour appliquer diverses distributions de probabilité à des applications probabilistes.

Les distributions de probabilité (probability distributions) sont utilisées pour modéliser divers scénarios afin de faciliter l'analyse probabiliste et les prédictions, et elles sont largement employées pour aider à formuler des décisions fondées sur les probabilités. Par exemple, si un médecin sait que le poids des nouveau-nés suit une distribution normale (en forme de cloche), il peut utiliser cette information pour identifier les nouveau-nés présentant une éventuelle insuffisance pondérale, ce qui pourrait indiquer un problème médical justifiant des examens complémentaires. En utilisant une distribution normale, le médecin peut calculer que seul un faible pourcentage de bébés ont un poids inférieur à un certain seuil, ce qui pourrait l'inciter à rechercher plus avant la cause de ce faible poids. De même, un chercheur médical pourrait s'intéresser à la probabilité qu'une personne souffre d'hypertension artérielle ou à la probabilité qu'une personne soit du groupe sanguin O.

Aperçu des distributions de probabilité

Pour commencer notre discussion sur les distributions de probabilité, quelques termes utiles sont à préciser :

Variable aléatoire (random variable)—une variable dans laquelle une valeur numérique unique est attribuée à un résultat spécifique d'une expérience. On utilise généralement la lettre $x$ pour désigner une variable aléatoire. Par exemple, attribuer les valeurs numériques 1, 2, 3, … 13 aux cartes tirées d'un jeu standard de 52 cartes : As, 2, 3, … 10, Valet, Dame, Roi. Remarquez que nous ne pouvons pas utiliser « Valet » comme valeur de la variable aléatoire puisque, par définition, une variable aléatoire doit être une valeur numérique.
Variable aléatoire discrète (discrete random variable)—une variable aléatoire est considérée comme discrète s'il existe un nombre fini ou dénombrable de valeurs qu'elle peut prendre. (S'il y a une infinité de valeurs, le nombre de valeurs est dénombrable s'il est possible de les compter individuellement.) En règle générale, une variable aléatoire discrète est le résultat d'un dénombrement quelconque. Par exemple, si la variable aléatoire $x$ représente le nombre de voitures dans un parking, les valeurs que x peut prendre ne peuvent être que des nombres entiers, car il n'aurait aucun sens d'avoir $x = 15.37$ voitures dans le parking.
Variable aléatoire continue (continuous random variable)—une variable aléatoire est considérée comme continue si sa valeur peut prendre n'importe quelle valeur au sein d'un intervalle. Généralement, une variable aléatoire continue est le résultat d'une mesure quelconque. Par exemple, si la variable aléatoire $x$ représente le poids d'un sac de pommes, alors $x$ peut prendre n'importe quelle valeur, telle que $x = 2.45734$ livres de pommes.

En résumé, la différence entre les distributions de probabilité discrètes et continues tient à la nature des variables aléatoires qu'elles représentent. Les distributions de probabilité discrètes (discrete probability distributions) sont associées à des variables qui prennent un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs distinctes. Les distributions de probabilité continues (continuous probability distributions) traitent de variables aléatoires pouvant prendre n'importe quelle valeur dans une plage ou un intervalle donné. Il est important d'identifier et de distinguer les variables aléatoires discrètes et continues, car différentes méthodes statistiques sont utilisées pour analyser chaque type.

Exemple 3.22

Problème

Une pièce de monnaie est lancée trois fois. Déterminez une variable aléatoire possible qui peut être attribuée pour représenter le nombre de faces obtenues dans cette expérience.

Solution

Une attribution possible de variable aléatoire consisterait à laisser $x$ compter le nombre de faces observées pour chaque résultat possible dans l'univers. En lançant une pièce trois fois, il y a huit résultats possibles, et $x$ sera le décompte numérique correspondant au nombre de faces observées pour chaque résultat. Remarquez que les valeurs possibles de la variable aléatoire $x$ sont 0, 1, 2 et 3, comme le montre le Tableau 3.3.

Résultat du lancer n° 1	Résultat du lancer n° 2	Résultat du lancer n° 3	Valeur de la variable aléatoire $x$
Face	Face	Face	3
Face	Face	Pile	2
Face	Pile	Face	2
Face	Pile	Pile	1
Pile	Face	Face	2
Pile	Face	Pile	1
Pile	Pile	Face	1
Pile	Pile	Pile	0

Tableau 3.3 Résultat de trois lancers aléatoires d'une pièce

Exemple 3.23

Problème

Identifiez les variables aléatoires suivantes comme étant discrètes ou continues :

La quantité d'essence, en gallons, utilisée pour remplir un réservoir de carburant
Le nombre d'enfants par ménage dans un certain quartier
Le nombre de messages texte envoyés par un certain étudiant au cours d'une journée donnée
Le nombre d'ouragans touchant la Floride au cours d'une année donnée
La quantité de pluie, en pouces, à Détroit, Michigan, au cours d'un certain mois

Solution

Le nombre de gallons d'essence utilisés pour remplir un réservoir peut prendre n'importe quelle valeur, telle que 12,3489 ; cela représente donc une variable aléatoire continue.
Le nombre d'enfants par ménage dans un certain quartier ne peut prendre que certaines valeurs discrètes telles que 0, 1, 2, 3, etc. ; cela représente donc une variable aléatoire discrète.
Le nombre de messages texte envoyés par un certain étudiant au cours d'une journée donnée ne peut prendre que certaines valeurs discrètes telles que 26, 10, 17, etc. ; cela représente donc une variable aléatoire discrète.
Le nombre d'ouragans touchant la Floride au cours d'une année donnée ne peut prendre que certaines valeurs telles que 0, 1, 2, 3, etc. ; cela représente donc une variable aléatoire discrète.
Le nombre de pouces de pluie à Détroit, Michigan, au cours d'un certain mois peut prendre n'importe quelle valeur, telle que 2,0563 ; cela représente donc une variable aléatoire continue.

Distributions de probabilité discrètes : binomiale et Poisson

Les variables aléatoires discrètes présentent un grand intérêt dans de nombreuses applications de la science des données, et plusieurs distributions de probabilité s'appliquent à ces variables. Dans ce chapitre, nous présentons la loi binomiale et la loi de Poisson, qui sont deux distributions de probabilité couramment utilisées pour modéliser des variables aléatoires discrètes pour différents types d'événements.

Loi binomiale

La loi binomiale (binomial distribution) est utilisée dans les applications où il n'y a que deux résultats possibles pour chaque essai d'une expérience, et où ces deux résultats possibles peuvent être considérés comme un succès ou un échec. Par exemple, lorsqu'un joueur de baseball est au bâton, soit il réussit un coup sûr, soit il ne réussit pas de coup sûr. Il existe de nombreuses applications des expériences binomiales en médecine, en psychologie, en ingénierie, en sciences, en marketing et dans d'autres domaines.

Il existe de nombreuses expériences statistiques où les résultats de chaque essai peuvent être considérés comme un succès ou un échec. Par exemple, en lançant une pièce de monnaie, les deux résultats sont pile ou face. En lançant un dé, les deux résultats peuvent être définis par l'apparition d'un nombre pair ou d'un nombre impair sur la face du dé. Lors de la réalisation d'une étude marketing, on peut demander à un client s'il aime ou n'aime pas un certain produit. Notez que le mot « succès » n'implique pas nécessairement ici un résultat favorable. Par exemple, si une enquête était menée auprès d'adultes pour leur demander s'ils fument, nous pourrions considérer la réponse « oui » comme un succès et la réponse « non » comme un échec. Cela signifie que le chercheur peut définir le succès et l'échec de la manière qu'il souhaite ; toutefois, la loi binomiale n'est applicable que lorsqu'il n'y a que deux résultats possibles à chaque essai d'une expérience.

Les conditions requises pour identifier une expérience binomiale (binomial experiment) et appliquer la loi binomiale sont les suivantes :

L'expérience d'intérêt est répétée pour un nombre fixe d'essais, et chaque essai est indépendant des autres essais. Par exemple, un chercheur en marketing peut sélectionner un échantillon de 20 personnes à interroger, chaque répondant devant répondre par « oui » ou par « non ». Cette expérience comporte 20 essais, et la réponse de chaque personne à la question de l'enquête peut être considérée comme indépendante de la réponse d'une autre personne.
Il n'y a que deux résultats possibles pour chaque essai, qui peuvent être qualifiés de « succès » ou d'« échec ».
La probabilité de succès reste la même pour chaque essai de l'expérience. Par exemple, les données antérieures nous apprennent que 35 % des personnes préfèrent la vanille comme parfum de crème glacée. Si un groupe de 15 personnes est interrogé pour savoir si la vanille est leur parfum préféré, la probabilité de succès pour chaque essai sera de 0,35.
La variable aléatoire $x$ comptera le nombre de succès dans l'expérience. Étant donné que $x$ comptera le nombre de succès, cela implique que $x$ sera une variable aléatoire discrète. Par exemple, si le chercheur compte le nombre de personnes dans le groupe de 15 qui répondent que la vanille est leur parfum de crème glacée préféré, alors $x$ peut prendre des valeurs telles que 3, 7 ou 12, mais $x$ ne pourrait pas être égal à 5,28 puisque $x$ compte un nombre de personnes.

Lorsque l'on travaille avec une expérience binomiale, il est utile d'identifier deux paramètres spécifiques de l'expérience binomiale :

Le nombre d'essais dans l'expérience. Noté $n$ .
La probabilité de succès pour chaque essai (qui est une valeur constante). Notée $p$ .

Nous comptons ensuite le nombre de succès d'intérêt comme étant la valeur de la variable aléatoire discrète.
Notée $x$ .

Exemple 3.24

Problème

Un chercheur médical mène une étude relative à un certain type d'opération de l'épaule. Un échantillon de 20 patients ayant récemment subi cette intervention chirurgicale est sélectionné, et le chercheur souhaite déterminer la probabilité que 18 des 20 patients aient obtenu un résultat positif à la suite de l'opération. D'après les données antérieures, le chercheur sait que la probabilité de succès pour ce type de chirurgie est de 92 %.

Cette expérience répond-elle aux exigences d'une expérience binomiale ?
Si c'est le cas, identifiez les valeurs de $n$ , $p$ et $x$ dans cette expérience.

Solution

Cette expérience répond bien aux critères d'une expérience binomiale puisque l'expérience sera répétée pour 20 essais et que chaque réponse d'un patient sera indépendante des autres réponses. Chaque réponse d'un patient sera l'une de deux options : l'opération a été un succès ou l'opération n'a pas été un succès. La probabilité de succès reste la même pour chaque essai, soit 92 %. La variable aléatoire $x$ peut être utilisée pour compter le nombre de patients répondant que l'opération a été un succès.
Le nombre d'essais est de 20 puisque 20 patients sont interrogés, donc $n = 20$ .
La probabilité de succès pour chaque chirurgie est de 92 %, donc $p = 0.92$ .
Le nombre de succès d'intérêt est de 18 puisque le chercheur souhaite déterminer la probabilité que 18 des 20 patients aient obtenu un résultat positif à l'opération, donc $x = 18$ .

Pour calculer la probabilité de $x$ succès dans une expérience binomiale, une formule de probabilité binomiale peut être utilisée, mais dans de nombreux cas, les outils informatiques sont privilégiés pour simplifier les calculs.

La fonction de masse de probabilité (PMF) (probability mass function (PMF)) de la loi binomiale décrit la probabilité d'obtenir exactement $x$ succès lors de $n$ épreuves de Bernoulli (Bernoulli trials) indépendantes, chacune ayant une probabilité $p$ de succès. La PMF est donnée par la formule :

P (X) = x = (\binom{n}{k}) p^{x} {(1 - p)}^{n - x}

Où :
$P (X = x)$ est la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur d'exactement $x$ succès
$n$ est le nombre d'essais dans l'expérience
$p$ est la probabilité de succès
$x$ est le nombre de succès dans l'expérience

$(\binom{n}{k})$ désigne le nombre de façons de choisir $x$ succès parmi $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - x)! x!}$

Remarque : La notation $n!$ se lit $n$ factorial and is a mathematical notation used to express the multiplication of $n (n - 1) (n - 2) \dots (3) (2) (1)$ . For example, $5! = (5) (4) (3) (2) (1) = 120$ .

Exemple 3.25

Problème

Pour l'expérience binomiale décrite dans l'Exemple 3.24, calculez la probabilité que 18 patients sur les 20 interrogés répondent que l'opération a été un succès. Présentez également un graphique de la loi binomiale pour illustrer la distribution de probabilité pour toutes les valeurs de la variable aléatoire $x$ .

Solution

Dans l'Exemple 3.24, les paramètres de l'expérience binomiale sont :
$n = 20$
$p = 0.92$
$x = 18$

En remplaçant ces valeurs dans la formule de probabilité binomiale, la probabilité pour 18 succès se calcule comme suit :

\begin{array}{rcl} P (x) & = & \frac{n!}{(n - x)! x!} p^{x} {(1 - p)}^{n - x} \\ P (18) & = & \frac{20!}{(20 - 18)! 18!} {0.92}^{18} {(1 - 0.92)}^{20 - 18} \\ P (18) & = & \frac{20!}{2! 18!} {0.92}^{18} {(0.18)}^{2} \\ P (18) & = & 190 (0.223) (0.032) \\ P (18) & = & 0.271 \end{array}

D'après ce résultat, la probabilité que 18 des 20 patients indiquent que l'opération a été un succès est de 0,271, soit environ 27 %.

La Figure 3.5 illustre cette distribution binomiale, où l'axe horizontal représente les valeurs de la variable aléatoire $x$ et l'axe vertical indique la probabilité binomiale pour chaque valeur de $x$ . Notez que les valeurs de $x$ inférieures à 14 n'apparaissent pas sur le graphique, car les probabilités correspondantes sont très proches de zéro.

Un diagramme à barres d'une distribution de probabilité sur une variable discrète x, avec les valeurs 14, 16, 18 et 20. Les probabilités varient de 0 à 0,35. Pour x=14, la probabilité est juste au-dessus de 0. Pour x=16, elle est d'environ 0,05. La probabilité atteint un pic à x=19, dépassant 0,3.

Figure 3.5 Graphique de la distribution binomiale pour

n = 20

p = 0.92

Ces calculs ayant tendance à être complexes et chronophages, la plupart des spécialistes des données utilisent la technologie (comme Python, R, Excel ou d'autres outils) pour calculer les probabilités binomiales.

Loi de Poisson

L'objectif d'une expérience binomiale est de calculer la probabilité d'un certain nombre de succès dans un nombre défini d'essais. Toutefois, dans certains scénarios, un spécialiste des données peut vouloir connaître la probabilité d'un certain nombre d'occurrences pour une variable aléatoire dans un intervalle spécifique, tel qu'un intervalle de temps.

Par exemple, un développeur web pourrait s'intéresser à la probabilité qu'un certain nombre d'utilisateurs visitent un site web par minute. Un ingénieur de la circulation pourrait quant à lui chercher à calculer la probabilité d'un certain nombre d'accidents par mois à une intersection très fréquentée.

La loi de Poisson (Poisson distribution) est appliquée lorsque l'on compte le nombre d'occurrences dans un certain intervalle. La variable aléatoire compte alors le nombre d'occurrences dans cet intervalle.

Une application courante de la loi de Poisson est la modélisation des arrivées de clients dans une file d'attente, par exemple lorsqu'il y a 6 clients par minute qui arrivent à une caisse d'épicerie et que le responsable du magasin souhaite s'assurer que les clients sont servis dans un délai déterminé.

La loi de Poisson est une distribution de probabilité discrète utilisée dans ce type de situations, où l'intérêt porte sur un nombre précis d'occurrences d'une variable aléatoire dans un intervalle donné, tel que le temps ou l'espace.

La loi de Poisson s'utilise lorsque les conditions suivantes sont remplies :

L'expérience repose sur le décompte du nombre d'occurrences dans un intervalle spécifique, où l'intervalle peut représenter le temps, une surface, un volume, etc.
Le nombre d'occurrences dans un intervalle spécifique est indépendant du nombre d'occurrences dans un intervalle distinct.

Remarquez que lorsque nous comptons le nombre de fois qu'une variable aléatoire $x$ apparaît dans un intervalle spécifique, cela représente une variable aléatoire discrète. Par exemple, le nombre de clients arrivant par heure au guichet d'une banque peut être de 21 ou 15, mais il ne pourrait pas être de 13,32 puisque nous comptons des personnes, ce qui rend la variable aléatoire discrète.

Pour calculer la probabilité de $x$ succès, on utilise la formule de probabilité de Poisson suivante :

P (x) = \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!}, où x = 0, 1, 2, \dots

Où :
$µ$ est le nombre moyen d'occurrences par intervalle
$e$ est la constante 2,71828…

Exemple 3.26

Problème

À partir de données antérieures, un ingénieur de la circulation détermine que le nombre moyen de véhicules entrant dans un parking couvert est de 7 par période de 10 minutes. Calculez la probabilité que le nombre de véhicules entrant dans le parking soit de 9 au cours d'une période donnée de 10 minutes. Présentez également un graphique de la loi de Poisson pour illustrer la distribution de probabilité pour diverses valeurs de la variable aléatoire $x$ .

Solution

Cet exemple correspond à une loi de Poisson dans la mesure où la variable aléatoire $x$ repose sur le nombre de véhicules entrant dans un parking couvert par intervalle de temps (dans cet exemple, l'intervalle de temps considéré est de 10 minutes). La moyenne étant de 7 véhicules par intervalle de 10 minutes, nous désignons la moyenne $µ$ par 7. L'ingénieur souhaitant connaître la probabilité que 9 véhicules entrent dans le parking au cours de la même période, la valeur de la variable aléatoire $x$ est 9.

Ainsi, dans cet exemple, les paramètres de la loi de Poisson sont :

µ = 7 x = 9

En remplaçant ces valeurs dans la formule de probabilité de Poisson, la probabilité que 9 véhicules entrent dans le parking en un intervalle de 10 minutes se calcule comme suit :

\begin{array}{rcl} P (x) & = & \frac{μ^{x} e^{- μ}}{x!} \\ P (9) & = & \frac{7^{9} e^{- 7}}{9!} = 0.101 \end{array}

Il y a donc environ 10 % de chances que 9 véhicules entrent dans le parking en un intervalle de 10 minutes.

La Figure 3.6 illustre cette distribution de Poisson, où l'axe horizontal représente les valeurs de la variable aléatoire $x$ et l'axe vertical indique la probabilité de Poisson pour chaque valeur de $x$ .

Un diagramme à barres d'une fonction de distribution de probabilité. L'axe des x comporte les valeurs 5, 10, 15 et 20 ; l'axe des y s'étend de 0 à 0,15. La probabilité la plus élevée, à 0,15, se situe autour de x=6 et x=7, et les probabilités diminuent à mesure qu'on s'éloigne de ce pic.

Figure 3.6 Distribution de Poisson pour

µ = 7

Comme pour les calculs impliquant la loi binomiale, les spécialistes des données utilisent généralement des outils informatiques pour résoudre les problèmes faisant intervenir la loi de Poisson.

Distributions de probabilité continues normales

Rappelez-vous qu'une variable aléatoire est considérée comme continue si elle peut prendre une infinité de valeurs. Nous avons mentionné plus haut que si la variable aléatoire $x$ représente le poids d'un sac de pommes, alors $x$ peut prendre n'importe quelle valeur, telle que $x = 2.45734$ livres de pommes.

De nombreuses distributions de probabilité s'appliquent aux variables aléatoires continues. Ces distributions reposent sur la détermination de la probabilité que la variable aléatoire se situe dans une plage spécifique de valeurs, ce qui peut être calculé à l'aide d'une fonction de densité de probabilité (PDF). La fonction de densité de probabilité (PDF) (probability density function (PDF)) calcule l'aire correspondante sous la courbe de densité de probabilité pour déterminer la probabilité que la variable aléatoire se situe dans cette plage spécifique de valeurs. Par exemple, pour déterminer la probabilité qu'un salaire se situe entre 50 000 $ et 70 000 $, nous pouvons calculer l'aire sous la fonction de densité de probabilité comprise entre ces deux salaires.

Notez que l'aire totale sous la fonction de densité de probabilité est toujours égale à 1. La probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne une valeur exacte $x$ est de 0 ; nous calculons donc toujours la probabilité qu'une variable aléatoire se situe dans un intervalle de valeurs donné.

Dans cette section, nous examinerons une distribution de probabilité continue fondamentale qui repose sur la fonction de densité de probabilité, à savoir la distribution normale. De nombreuses variables, telles que les tailles, les poids, les salaires et les mesures de pression artérielle, suivent une distribution normale, ce qui la rend particulièrement importante en analyse statistique. De plus, la distribution normale constitue le fondement d'analyses statistiques plus avancées telles que les intervalles de confiance (confidence intervals) et les tests d'hypothèses (hypothesis testing), abordés dans Statistiques inférentielles et analyse de régression.

La distribution normale (normal distribution) est une distribution de probabilité continue, symétrique et en forme de cloche. Elle est utilisée lorsque la fréquence des valeurs de données diminue pour les valeurs situées au-dessus et en dessous de la moyenne. La distribution normale trouve des applications dans de nombreux domaines, notamment l'ingénierie, les sciences, la finance, la médecine, le marketing et la psychologie.

La distribution normale possède deux paramètres : la moyenne, $µ$ , et l'écart type, $σ$ . La moyenne représente le centre de la distribution, et l'écart type mesure l'étalement, ou la dispersion, de la distribution. La variable $x$ représente la réalisation, ou valeur observée, de la variable aléatoire $X$ qui suit une distribution normale.

La notation couramment utilisée pour indiquer qu'une variable aléatoire suit une distribution normale est la suivante :
$X ~ N (µ, σ)$ (voir la Figure 3.7). Par exemple, la notation $X ~ N (5.2, 3.7)$ indique que la variable aléatoire suit une distribution normale avec une moyenne de 5,2 et un écart type de 3,7.

Une distribution normale ayant une moyenne de 0 et un écart type de 1 est appelée la loi normale centrée réduite (standard normal distribution) et peut être notée $X ~ N (0, 1)$ . Toute distribution normale peut être standardisée en convertissant ses valeurs en
scores $z$ . Rappelons qu'un score $z$ indique le nombre d'écarts types qui séparent une mesure donnée de la moyenne.

Une courbe symétrique en cloche est centrée sur la moyenne (µ) sur l'axe des x. L'équation « X~N(µ, s) » signifie que X suit cette distribution de moyenne µ et d'écart type s. La ligne en pointillés coupe le sommet de la courbe au niveau de la moyenne.

Figure 3.7 Graphique de la distribution normale (en cloche)

La courbe de la Figure 3.7 est symétrique de part et d'autre d'une ligne verticale tracée au niveau de la moyenne, $µ$ . La moyenne est égale à la médiane, qui est elle-même égale au mode, parce que le graphique est symétrique par rapport à $µ$ . Comme l'indique la notation, la distribution normale ne dépend que de la moyenne et de l'écart type. Puisque l'aire sous la courbe doit être égale à 1, toute modification de l'écart type, $σ$ , entraîne un changement dans la forme de la courbe normale ; celle-ci devient plus aplatie et plus large ou plus étroite et plus haute selon la valeur de $σ$ . Un changement de $µ$ entraîne un décalage du graphique vers la gauche ou vers la droite. Cela signifie qu'il existe une infinité de distributions de probabilité normales.

Pour déterminer les probabilités associées à la distribution normale, nous calculons des aires spécifiques sous la courbe normale. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer cette aire sous la courbe normale, et nous recourons généralement à un outil technologique. Python, Excel et R fournissent tous des fonctions intégrées pour calculer les aires sous la courbe normale.

Exemple 3.27

Problème

Supposons que dans une entreprise de logiciels, le salaire moyen des employés soit de 60 000 $ avec un écart type de 7 500 $. Supposons que les salaires de cette entreprise suivent une distribution normale. Utilisez Python pour calculer la probabilité qu'un employé choisi au hasard gagne plus de 68 000 $.

Solution

Une courbe normale peut être tracée pour représenter ce scénario, dans laquelle la moyenne de 60 000 $ est positionnée sur l'axe horizontal, correspondant au sommet de la courbe. Ensuite, pour trouver la probabilité qu'un employé gagne plus de 68 000 $, calculez l'aire sous la courbe normale située à droite de la valeur de données 68 000 $.

La Figure 3.8 illustre l'aire sous la courbe normale à droite d'un salaire de 68 000 $ sous forme de région ombrée.

Une courbe de distribution normale avec des valeurs de 40 000 à 80 000 sur l'axe des x. La courbe culmine à 60 000, la valeur moyenne, et une zone ombrée met en évidence les valeurs supérieures ou égales à 68 000.

Figure 3.8 Distribution en cloche pour l'Exemple 3.27. La région ombrée sous la courbe normale correspond à la probabilité qu'un employé gagne plus de 68 000 $.

Pour déterminer l'aire réelle sous la courbe, une commande Python peut être utilisée afin d'obtenir l'aire sous la courbe de densité de probabilité normale à droite de la valeur de 68 000 $. Consultez la section Utilisation de Python avec les distributions de probabilité pour voir le programme Python spécifique et ses résultats. La probabilité obtenue est évaluée à 0,143.

Ainsi, il y a une probabilité d'environ 14 % qu'un employé choisi au hasard perçoive un salaire supérieur à 75 000 $.

La règle empirique (empirical rule) est une méthode permettant de déterminer des aires approximatives sous la courbe normale pour des mesures qui se situent à un, deux et trois écarts types de la moyenne pour la distribution normale (en forme de cloche). (Voir la Figure 3.9).

Une courbe symétrique en cloche est centrée sur la moyenne (µ), avec des valeurs allant de -3s à +3s sur l'axe des x. Les données se concentrent autour de la moyenne, les observations diminuant dans les deux directions à mesure qu'elles s'en éloignent. Le sommet en µ est la valeur la plus fréquente ; les queues capturent les valeurs extrêmes.

Figure 3.9 Distribution normale montrant la moyenne et les incréments d'écart type

Si $x$ est une variable aléatoire continue et suit une distribution normale de moyenne $µ$ et d'écart type $σ$ , alors la règle empirique établit que :

Environ 68 % des valeurs de $x$ se situent entre $- 1 σ$ et $+ 1 σ$ unités de la moyenne $µ$ (à moins d'un écart type de la moyenne).
Environ 95 % des valeurs de $x$ se situent entre $- 2 σ$ et $+ 2 σ$ unités de la moyenne $µ$ (à moins de deux écarts types de la moyenne).
Environ 99,7 % des valeurs de $x$ se situent entre $- 3 σ$ et $+ 3 σ$ unités de la moyenne $µ$ (à moins de trois écarts types de la moyenne). Remarquez que la quasi-totalité des valeurs de x se situent à moins de trois écarts types de la moyenne.
Les scores $z$ pour $+ 1 σ$ et $- 1 σ$ sont respectivement de $+ 1$ et $- 1$ .
Les scores $z$ pour $+ 2 σ$ et $- 2 σ$ sont respectivement de $+ 2$ et $- 2$ .
Les scores $z$ pour $+ 3 σ$ et $- 3 σ$ sont respectivement de $+ 3$ et $- 3$ .

Exemple 3.28

Problème

Un concepteur automobile souhaite concevoir des sièges de voiture adaptés à la taille d'environ 95 % des clients. Supposons que la taille des adultes suive une distribution normale de moyenne 68 pouces et d'écart type 3 pouces. Pour quelle plage de tailles le concepteur doit-il modéliser les sièges afin d'accommoder 95 % des conducteurs ?

Solution

D'après la règle empirique, l'aire sous la courbe normale située à moins de deux écarts types de la moyenne est de 95 %. Ainsi, le concepteur doit concevoir les sièges pour accueillir des tailles se situant à deux écarts types de la moyenne. La borne inférieure des tailles serait de $68 - 2 (3)$ pouces, et la borne supérieure des tailles serait de $68 + 2 (3)$ pouces. Par conséquent, les sièges du véhicule doivent être conçus pour accueillir des conducteurs dont la taille est comprise entre 62 et 74 pouces.

Pour aller plus loin

Applets statistiques pour explorer les concepts statistiques

Les applets sont des outils très utiles pour visualiser concrètement les concepts statistiques. De nombreuses applets peuvent simuler des concepts statistiques tels que les probabilités de la distribution normale, l'utilisation de la règle empirique, la création de boîtes à moustaches, etc.

Visitez le site des applets de l'Université d'État de l'Utah et expérimentez divers outils statistiques.

Utilisation de Python avec les distributions de probabilité

Python fournit un certain nombre de fonctions intégrées pour calculer les probabilités associées aux distributions de probabilité discrètes et continues, telles que la loi binomiale et la distribution normale. Ces fonctions font partie d'une bibliothèque appelée scipy.stats.

Voici quelques-unes de ces fonctions de densité de probabilité disponibles dans Python :

binom()—calculer les probabilités associées à la loi binomiale
poisson()—calculer les probabilités associées à la loi de Poisson
expon()—calculer les probabilités associées à la loi exponentielle
norm()—calculer les probabilités associées à la distribution normale

Pour importer ces fonctions de densité de probabilité dans Python, utilisez la commande d'importation. Par exemple, pour importer la fonction binom(), utilisez la commande suivante :
from scipy.stats import binom

Utilisation de Python avec la loi binomiale

La fonction binom() en Python permet de calculer des probabilités binomiales. La fonction de masse de probabilité pour la loi binomiale dans Python est appelée binom.pmf().

La syntaxe d'utilisation de cette fonction est binom.pmf(x, n, p)

Où :
$n$ est le nombre d'essais dans l'expérience
$p$ est la probabilité de succès
$x$ est le nombre de succès dans l'expérience

Reprenons le cas de l'Exemple 3.24 précédent résolu à l'aide de la fonction Python binom.pmf(). Un chercheur médical mène une étude relative à un certain type d'opération de l'épaule. Un échantillon de 20 patients ayant récemment subi cette intervention chirurgicale est sélectionné, et le chercheur souhaite déterminer la probabilité que 18 des 20 patients aient obtenu un résultat positif à la suite de l'opération. D'après les données antérieures, le chercheur sait que la probabilité de succès pour ce type de chirurgie est de 92 %. Arrondissez votre réponse à 3 décimales.

Dans cet exemple :
$n$ est le nombre d'essais dans l'expérience $= 20$
$p$ est la probabilité de succès $= 0.92$
$x$ est le nombre de succès dans l'expérience $= 18$

La fonction correspondante dans Python s'écrit :

binom.pmf (18, 20, 0.92)

La fonction round() est ensuite utilisée pour arrondir le résultat de probabilité à 3 décimales.

Voici le code source et la sortie de ce programme Python :

Code Python

    # import the binom function from the scipy.stats library
    from scipy.stats import binom
    
    # define parameters x, n, and p:
    x = 18
    n = 20
    p = 0.92
    
    # use binom.pmf() function to calculate binomial probability
    # use round() function to round answer to 3 decimal places
    round (binom.pmf(x, n, p), 3)

La sortie obtenue se présente ainsi :

0.271

Utilisation de Python avec la distribution normale

La fonction norm() dans Python permet de calculer des probabilités normales. La fonction de densité de probabilité est parfois appelée fonction de répartition, c'est pourquoi elle est désignée par norm.cdf() dans Python. La fonction norm.cdf() renvoie l'aire sous la fonction de densité de probabilité normale à gauche d'une mesure spécifiée.

La syntaxe d'utilisation de cette fonction est
norm.cdf(x, mean, standard_deviation)

Où :
x est la mesure d'intérêt
mean est la moyenne de la distribution normale
standard_deviation est l'écart type de la distribution normale

Résolvons l'Exemple 3.27 précédent à l'aide de la fonction Python norm.cdf().

Supposons que dans une entreprise de logiciels, le salaire moyen des employés soit de 60 000 $ avec un écart type de 7 500 $. Utilisez Python pour calculer la probabilité qu'un employé choisi au hasard gagne plus de 68 000 $.

Dans cet exemple :
$x$ est la mesure d'intérêt $= 68,000$
mean est la moyenne de la distribution normale $= 60,000$
standard deviation est l'écart type de la distribution normale $= 7,500$

La fonction correspondante dans Python s'écrit :
norm.cdf(68000, 60000, 7500)

La fonction round() est ensuite utilisée pour arrondir le résultat de probabilité à 3 décimales.

Remarquez que puisque cet exemple demande de trouver l'aire à droite d'un salaire de 68 000 $, nous pouvons d'abord trouver l'aire à gauche à l'aide de la fonction norm.cdf(), puis soustraire cette aire de 1 pour calculer l'aire souhaitée à droite.

Voici le code source et la sortie du programme Python :

Code Python

    # import the norm function from the scipy.stats library
    from scipy.stats import norm
    # define parameters x, mean and standard_deviation:
    x = 68000
    mean = 60000
    standard_deviation = 7500
    # use norm.cdf() function to calculate normal probability - note this is
    # the area to the left
    # subtract this result from 1 to obtain area to the right of the x-value
    # use round() function to round answer to 3 decimal places
    round (1 - norm.cdf(x, mean, standard_deviation), 3)

La sortie obtenue se présente ainsi :

0.143