Capítulo 6

$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - 2 (x - 1); p_{2} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2}; p_{3} (x) = 1 - 2 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(x - 1)}^{3}$

6.11

$p_{0} (x) = 1; p_{1} (x) = 1 - x; p_{2} (x) = 1 - x + x^{2}; p_{3} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3}; p_{n} (x) = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ⋯ + {(–1)}^{n} x^{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(–1)}^{k} x^{k}$

6.12

$p_{1} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4); p_{2} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) - \frac{1}{64} {(x - 4)}^{2}; p_{1} (6) = 2,5; p_{2} (6) = 2,4375;$

$| R_{1} (6) | \leq 0,0625; | R_{2} (6) | \leq 0,015625$

6.13

0,96593

6.14

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{2 - x}{2^{n + 2}})}^{n} .$ El intervalo de convergencia es $(0, 4) .$

6.15

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}$

Mediante el criterio del cociente, el intervalo de convergencia es $(− \infty, \infty) .$ Dado que $| R_{n} (x) | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!},$ la serie converge a $cos x$ para todo x real.

6.16

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (n + 1) x^{n}$

6.17

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n} x^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!}$

6.18

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n}}{n!} \frac{1.3.5 ⋯ (2 n - 1)}{2^{n}} x^{n}$

6.19

$y = 5 e^{2 x}$

6.20

$y = a (1 - \frac{x^{4}}{3.4} + \frac{x^{8}}{3.4.7.8} - ⋯) + b (x - \frac{x^{5}}{4.5} + \frac{x^{9}}{4.5.8.9} - ⋯)$

6.21

$C + \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n (2 n - 2)!}$ La integral definida es aproximadamente $0,514$ con un error de $0,01 .$

6.22

La estimación es de aproximadamente $0,3414 .$ Esta estimación tiene una precisión de $0,0000094 .$

Sección 6.1 ejercicios

Verdadero. Si una serie converge, sus términos tienden a cero.

Falso. Esto implicaría que $a_{n} x^{n} \to 0$ para $| x | < R .$ Si $a_{n} = n^{n},$ entonces $a_{n} x^{n} = {(n x)}^{n}$ no tiende a cero para cualquier $x \neq 0 .$

Debe converger en $(0, 6]$ y por lo tanto en: a. $x = 1;$ b. $x = 2;$ c. $x = 3;$ d. $x = 0;$ e. $x = 5,99;$ y f. $x = 0,000001 .$

$| \frac{a_{n + 1} 2^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} 2^{n} x^{n}} | = 2 | x | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to 2 | x |$ así que $R = \frac{1}{2}$

$| \frac{a_{n + 1} {(\frac{π}{e})}^{n + 1} x^{n + 1}}{a_{n} {(\frac{π}{e})}^{n} x^{n}} | = \frac{π | x |}{e} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to \frac{π | x |}{e}$ así que $R = \frac{e}{π}$

11.

$| \frac{a_{n + 1} {(–1)}^{n + 1} x^{2 n + 2}}{a_{n} {(–1)}^{n} x^{2 n}} | = | x^{2} | | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to | x^{2} |$ así que $R = 1$

13.

$a_{n} = \frac{2^{n}}{n}$ así que $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to 2 x .$ así que $R = \frac{1}{2} .$ Cuando $x = \frac{1}{2}$ la serie es armónica y divergente. Cuando $x = - \frac{1}{2}$ la serie es armónica alternada y converge. El intervalo de convergencia es $I = [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .$

15.

$a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ así que $\frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} \to \frac{x}{2}$ así que $R = 2 .$ Cuando $x = ± 2$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es $I = (–2, 2) .$

17.

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ así que $R = 2 .$ Cuando $x = ± 2$ la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es $I = (–2, 2) .$

19.

$a_{k} = \frac{π^{k}}{k^{π}}$ así que $R = \frac{1}{π} .$ Cuando $x = ± \frac{1}{π}$ la serie es una serie p absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es $I = [- \frac{1}{π}, \frac{1}{π}] .$

21.

$a_{n} = \frac{10^{n}}{n!}, \frac{a_{n + 1} x}{a_{n}} = \frac{10 x}{n + 1} \to 0 < 1$ por lo que la serie converge para todo x por el criterio del cociente e $I = (− \infty, \infty) .$

23.

$a_{k} = \frac{{(k!)}^{2}}{(2 k)!}$ así que $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(2 k + 2) (2 k + 1)} \to \frac{1}{4}$ así que $R = 4$

25.

$a_{k} = \frac{k!}{1.3.5 ⋯ (2 k - 1)}$ así que $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = \frac{k + 1}{2 k + 1} \to \frac{1}{2}$ así que $R = 2$

27.

$a_{n} = \frac{1}{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}$ así que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{((n + 1)!)}^{2}}{(2 n + 2)!} \frac{2 n!}{{(n!)}^{2}} = \frac{{(n + 1)}^{2}}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \to \frac{1}{4}$ así que $R = 4$

29.

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(n + 1)}^{3}}{(3 n + 3) (3 n + 2) (3 n + 1)} \to \frac{1}{27}$ así que $R = 27$

31.

$a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$ así que $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 1)!}{n!} \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n + 1}} = {(\frac{n}{n + 1})}^{n} \to \frac{1}{e}$ así que $R = e$

33.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - x)}^{n}$ en $I = (0, 2)$ grandes.

35.

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1}$ en $I = (–1, 1)$ grandes.

37.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n + 2}$ en $I = (–1, 1)$ grandes.

39.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} x^{n}$ en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ grandes.

41.

$\sum_{n = 0}^{\infty} 4^{n} x^{2 n + 2}$ en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ grandes.

43.

${| a_{n} x^{n} |}^{1 / n} = {| a_{n} |}^{1 / n} | x | \to | x | r$ a medida que $n \to \infty$ y $| x | r < 1$ cuando $| x | < \frac{1}{r} .$ Por lo tanto, $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ converge cuando $| x | < \frac{1}{r}$ por el criterio de la enésima raíz.

45.

$a_{k} = {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k}$ así que ${(a_{k})}^{1 / k} \to \frac{1}{2} < 1$ así que $R = 2$

47.

$a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n}$ así que ${(a_{n})}^{1 / n} \to 0$ así que $R = \infty$

49.

Podemos reescribir $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n + 1} x^{2 n + 1}$ y $p (x) = p (− x)$ dado que $x^{2 n + 1} = − {(− x)}^{2 n + 1} .$

51.

Si los valores de $x \in [0, 1],$ entonces $y = 2 x - 1 \in [−1, 1]$ así que $p (2 x - 1) = p (y) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} y^{n}$ converge.

53.

Converge en $(–1, 1)$ por el criterio del cociente

55.

Considere la serie $\sum b_{k} x^{k}$ donde $b_{k} = a_{k}$ si $k = n^{2}$ y $b_{k} = 0$ por lo contrario. Entonces $b_{k} \leq a_{k}$ y así la serie converge en $(–1, 1)$ por la prueba de comparación.

57.

Esta figura es el gráfico de y = 1/(1-x), que es una curva creciente con asíntota vertical en 1.

La aproximación es más precisa cerca de $x = −1 .$ Las sumas parciales siguen $\frac{1}{1 - x}$ más de cerca a medida que aumenta N, pero nunca son precisas cerca de $x = 1$ ya que la serie diverge allí.

59.

Esta figura es el gráfico de y = -ln(1-x) que es una curva creciente que pasa por el origen.

La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos $x = ± 1 .$

61.

Esta figura es el gráfico de las sumas parciales de (-1)^n por x^(2n+1) dividida entre (2n+1)! Para n=3,5,10. Las curvas se aproximan a la curva del seno cerca del origen y luego se separan a medida que las curvas se alejan del origen.

Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de $sen x$ hasta su grado y luego los polinomios divergen de $sen x .$

Sección 6.2 ejercicios

63.

$\frac{1}{2} (f (x) + g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ y $\frac{1}{2} (f (x) - g (x)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} .$

65.

$\frac{4}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1} = - \frac{1}{3 (1 - \frac{x}{3})} - \frac{1}{1 - (− x)} = - \frac{1}{3} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{x}{3})}^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(–1)}^{n + 1} - \frac{1}{3^{n + 1}}) x^{n}$

67.

$\frac{5}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 1)} = \frac{1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{4} \frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n} - \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(\frac{x}{2})}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} ((–1) + {(–1)}^{n + 1} \frac{1}{2 n + 2}) x^{2 n}$

69.

$\frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{x - 1}$

71.

$\frac{1}{x - 3} \frac{1}{1 - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}} = \frac{x - 3}{{(x - 3)}^{2} - 1}$

73.

$P = P_{1} + ⋯ + P_{20}$ donde $P_{k} = 10.000 \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} .$ Entonces $P = 10.000 \sum_{k = 1}^{20} \frac{1}{{(1 + r)}^{k}} = 10.000 \frac{1 - {(1 + r)}^{−20}}{r} .$ Cuando $r = 0,03, P \approx 10.000 \times 14,8775 = 148.775 .$ Cuando $r = 0,05, P \approx 10.000 \times 12,4622 = 124.622 .$ Cuando $r = 0,07, P \approx 105.940 .$

75.

En general, $P = \frac{C (1 - {(1 + r)}^{− N})}{r}$ para N años de pagos, o $C = \frac{P r}{1 - {(1 + r)}^{− N}} .$ Para $N = 20$ y $P = 100.000,$ se tiene $C = 6721,57$ cuando $r = 0,03; C = 8.024,26$ cuando $r = 0,05;$ y $C \approx 9.439,29$ cuando $r = 0,07 .$

77.

En general, $P = \frac{C}{r} .$ Por lo tanto, $r = \frac{C}{P} = 5 \times \frac{10^{4}}{10^{6}} = 0,05 .$

79.

$(x + x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x + x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

81.

$(x - x^{2} - x^{3}) (1 + x^{3} + x^{6} + ⋯) = \frac{x - x^{2} - x^{3}}{1 - x^{3}}$

83.

$a_{n} = 2, b_{n} = n$ así que $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} a_{n - k} = 2 \sum_{k = 0}^{n} k = (n) (n + 1)$ y $f (x) g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (n + 1) x^{n}$

85.

$a_{n} = b_{n} = 2^{− n}$ así que $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} a_{n - k} = 2^{− n} \sum_{k = 1}^{n} 1 = \frac{n}{2^{n}}$ y $f (x) g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n {(\frac{x}{2})}^{n}$

87.

La derivada de $f$ es $- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} = − \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (n + 1) x^{n} .$

89.

La integral indefinida de $f$ es $\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n} .$

91.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f^{'} (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n - 1}} = {\frac{d}{d x} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} |}_{x = 1 / 2} = 4$ así que $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2 .$

93.

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}; f ″ (\frac{1}{2}) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n - 2}} = {\frac{d^{2}}{d x^{2}} {(1 - x)}^{−1} |}_{x = 1 / 2} = {\frac{2}{{(1 - x)}^{3}} |}_{x = 1 / 2} = 16$ así que $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{2^{n}} = 4 .$

95.

$\int \sum {(1 - x)}^{n} d x = \int \sum {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n} d x = \sum \frac{{(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n + 1}}{n + 1}$

97.

$− \int_{t = 0}^{x^{2}} \frac{1}{1 - t} d t = − \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x^{2}} t^{n} d x - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 (n + 1)}}{n + 1} = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n}$

99.

$\int_{0}^{x^{2}} \frac{d t}{1 + t^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \int_{0}^{x^{2}} t^{2 n} d t = {\sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{2 n + 1}}{2 n + 1} |}_{t = 0}^{x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 2}}{2 n + 1}$

101.

La integración término a término da $\int_{0}^{x} ln t d t = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{{(x - 1)}^{n + 1}}{n (n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) {(x - 1)}^{n + 1} = (x - 1) ln x + \sum_{n = 2}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n} = x ln x - x .$

103.

Tenemos $ln (1 - x) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ así que $ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} .$ Por lo tanto, $ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 + {(–1)}^{n - 1}) \frac{x^{n}}{n} = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1} .$ Cuando $x = \frac{1}{3}$ obtenemos $ln (2) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} .$ Tenemos $2 \sum_{n = 1}^{3} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0,69300 …,$ mientras $2 \sum_{n = 1}^{4} \frac{1}{3^{2 n - 1} (2 n - 1)} = 0,69313 …$ y $ln (2) = 0,69314 …;$ por lo tanto, $N = 4 .$

105.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k} = − ln (1 - x)$ así que $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{3 k}}{6 k} = - \frac{1}{6} ln (1 - x^{3}) .$ El radio de convergencia es igual a 1 por el criterio del cociente.

107.

Si $y = 2^{− x},$ entonces $\sum_{k = 1}^{\infty} y^{k} = \frac{y}{1 - y} = \frac{2^{− x}}{1 - 2^{− x}} = \frac{1}{2^{x} - 1} .$ Si $a_{k} = 2^{− k x},$ entonces $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = 2^{− x} < 1$ cuando $x > 0 .$ Así que la serie converge para todo $x > 0 .$

109.

Las respuestas variarán.

111.

Este es un gráfico de tres curvas. Todas son crecientes y se acercan mucho a medida que las curvas se acercan a x = 0. Luego se separan a medida que x se aleja de 0.

La curva sólida es S₅. La curva discontinua es S₂, la punteada es S₃ y la punteada es S₄

113.

Cuando $x = - \frac{1}{2}, − ln (2) = ln (\frac{1}{2}) = − \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} .$ Dado que $\sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} < \sum_{n = 11}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{10}},$ se tiene $\sum_{n = 1}^{10} \frac{1}{n 2^{n}} = 0,69306 …$ mientras que $ln (2) = 0,69314 …;$ por lo tanto, $N = 10 .$

115.

$6 S_{N} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} \sum_{n = 0}^{N} {(–1)}^{n} \frac{1}{3^{n} (2 n + 1)} .$ Se tiene $π - 6 S_{4} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00101 …$ y $π - 6 S_{5} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00028 …$ así que $N = 5$ es la suma parcial más pequeña con una exactitud de 0,001. También, $π - 6 S_{7} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0,00002 …$ mientras $π - 6 S_{8} (\frac{1}{\sqrt{3}}) = –0,000007 …$ así que $N = 8$ es el N más pequeño para obtener una exactitud de 0,00001.

Sección 6.3 ejercicios

117.

$f (–1) = 1; f^{'} (–1) = −1; f ″ (–1) = 2; f (x) = 1 - (x + 1) + {(x + 1)}^{2}$

119.

$f^{'} (x) = 2 cos (2 x); f ″ (x) = −4 sen (2 x); p_{2} (x) = −2 (x - \frac{π}{2})$ grandes.

121.

$f^{'} (x) = \frac{1}{x}; f ″ (x) = - \frac{1}{x^{2}}; p_{2} (x) = 0 + (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$

123.

$p_{2} (x) = e + e (x - 1) + \frac{e}{2} {(x - 1)}^{2}$

125.

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} x^{1 / 3} = - \frac{2}{9 x^{5 / 3}} \geq −0,00092 …$ cuando $x \geq 28$ por lo que la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal $x^{1 / 3} \approx p_{1} (27) = 3 + \frac{x - 27}{27},$ que da ${(28)}^{1 / 3} \approx 3 + \frac{1}{27} = 3, \bar{037},$ mientras ${(28)}^{1 / 3} \approx 3,03658 .$

127.

Utilizando la estimación $\frac{2^{10}}{10!} < 0,000283$ podemos utilizar la expansión de Taylor de orden 9 para estimar e^x en $x = 2 .$ como $e^{2} \approx p_{9} (2) = 1 + 2 + \frac{2^{2}}{2} + \frac{2^{3}}{6} + ⋯ + \frac{2^{9}}{9!} = 7,3887 …$ mientras que $e^{2} \approx 7,3891 .$

129.

Dado que $\frac{d^{n}}{d x^{n}} (ln x) = {(–1)}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{x^{n}}, R_{1.000} \approx \frac{1}{1001} .$ Se tiene $p_{1.000} (1) = \sum_{n = 1}^{1.000} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n} \approx 0,6936$ mientras que $ln (2) \approx 0,6931 ⋯ .$

131.

$\int_{0}^{1} (1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{8}}{24} - \frac{x^{10}}{120} + \frac{x^{12}}{720}) d x$

$= 1 - \frac{1^{3}}{3} + \frac{1^{5}}{10} - \frac{1^{7}}{42} + \frac{1^{9}}{9.24} - \frac{1^{11}}{120.11} + \frac{1^{13}}{720.13} \approx 0,74683$ mientras que $\int_{0}^{1} e^{– x^{2}} d x \approx 0,74682 .$

133.

Dado que $f^{(n + 1)} (z)$ es $sen z$ o $cos z,$ tenemos $M = 1 .$ Dado que $| x - 0 | \leq \frac{π}{2},$ buscamos el n más pequeño tal que $\frac{π^{n + 1}}{2^{n + 1} (n + 1)!} \leq 0,001 .$ El valor más pequeño es $n = 7 .$ La estimación del resto es $R_{7} \leq 0,00092 .$

135.

Dado que $f^{(n + 1)} (z) = ± e^{− z}$ se tiene $M = e^{3} .$ Dado que $| x - 0 | \leq 3,$ se busca el menor n tal que $\frac{3^{n + 1} e^{3}}{(n + 1)!} \leq 0,001 .$ El valor más pequeño es $n = 14 .$ La estimación del resto es $R_{14} \leq 0,000220 .$

137.

Este gráfico tiene una línea horizontal en y=0,2. También tiene una curva que empieza en el origen y es cóncava hacia arriba. La curva y la línea se cruzan en el par ordenado (0,5966, 0,2).

Dado que $sen x$ es creciente para x pequeño y como $se n ″ x = − sen x,$ la estimación se aplica siempre que $R^{2} sen (R) \leq 0,2,$ lo cual aplica hasta $R = 0,596 .$

139.

Dado que la segunda derivada de $cos x$ es $− cos x$ y dado que $cos x$ es decreciente y se aleja de $x = 0,$ la estimación aplica cuando $R^{2} cos R \leq 0,2$ o $R \leq 0,447 .$

141.

${(x + 1)}^{3} - 2 {(x + 1)}^{2} + 2 (x + 1)$ grandes.

143.

Los valores de las derivadas son los mismos que para $x = 0$ así que $cos x = {\sum_{n = 0}^{\infty} (–1)}^{n} \frac{{(x - 2 π)}^{2 n}}{(2 n)!}$

145.

$cos (\frac{π}{2}) = 0, − sen (\frac{π}{2}) = −1$ así que $cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{{(x - \frac{π}{2})}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!},$ que también es $− cos (x - \frac{π}{2}) .$

147.

Las derivadas son $f^{(n)} (1) = e$ así que $e^{x} = e \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 1)}^{n}}{n!} .$

149.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{3}} = − (\frac{1}{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{1}{1 - x} = − \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{(n + 2) (n + 1) x^{n}}{2})$ grandes.

151.

$2 - x = 1 - (x - 1)$ grandes.

153.

${((x - 1) - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} - 2 (x - 1) + 1$

155.

$\frac{1}{1 - (1 - x)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} {(x - 1)}^{n}$

157.

$x \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(1 - x)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n + 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} {(x - 1)}^{2 n}$

159.

$e^{2 x} = e^{2 (x - 1) + 2} = e^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n} {(x - 1)}^{n}}{n!}$

161.

$x = e^{2}; S_{10} = \frac{34.913}{4725} \approx 7,3889947$

163.

$sen (2 π) = 0; S_{10} = 8,27 \times 10^{−5}$

165.

Este gráfico tiene una curva cóncava hacia arriba que es simétrica alrededor del eje y. El punto más bajo del gráfico es el origen con el resto de la curva por encima del eje x.

La diferencia es pequeña en el interior del intervalo pero se acerca a $1$ cerca de los extremos. La estimación del resto es $| R_{4} | = \frac{π^{5}}{120} \approx 2,552 .$

167.

Este gráfico tiene dos curvas. La curva sólida es muy plana y cercana al eje x. Pasa por el origen. La segunda curva, una línea discontinua, es cóncava hacia abajo y simétrica alrededor del eje y. Está muy cerca del eje x entre –3 y 3.

La diferencia es del orden de $10^{−4}$ en $[−1, 1]$ mientras que el error de aproximación de Taylor es de alrededor $0,1$ cerca de $\pm 1 .$ La curva superior es un gráfico de ${tan}^{2} x - {(\frac{S_{5} (x)}{C_{4} (x)})}^{2}$ y el gráfico inferior de líneas discontinuas muestra $t^{2} - {(\frac{S_{5}}{C_{4}})}^{2} .$

169.

a. Las respuestas variarán. b. Los siguientes son los valores $x_{n}$ después de $10$ iteraciones del método de Newton para aproximar una raíz de $p_{N} (x) - 2 = 0 :$ para $N = 4, x = 0,6939...;$ para $N = 5, x = 0,6932...;$ para $N = 6, x = 0,69315...; .$ (Nota: $ln (2) = 0,69314 ...)$ c. Las respuestas variarán.

171.

$\frac{ln (1 - x^{2})}{x^{2}} \to − 1$

173.

$\frac{cos (\sqrt{x}) - 1}{2 x} \approx \frac{(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4!} - ⋯) - 1}{2 x} \to - \frac{1}{4}$

Sección 6.4 ejercicios

175.

${(1 + x^{2})}^{–1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}$

177.

${(1 - 2 x)}^{2 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} 2^{n} (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n}$

179.

$\sqrt{2 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{(1 / 2) - n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) x^{2 n}; (| x^{2} | < 2)$ grandes.

181.

$\sqrt{2 x - x^{2}} = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ así que $\sqrt{2 x - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 1)}^{2 n}$

183.

$\sqrt{x} = 2 \sqrt{1 + \frac{x - 4}{4}}$ así que $\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{1 - 2 n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 4)}^{n}$

185.

$\sqrt{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} 3^{1 - 3 n} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(x - 9)}^{n}$

187.

$10 {(1 + \frac{x}{1.000})}^{1 / 3} = \sum_{n = 0}^{\infty} 10^{1 - 3 n} (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ n \end{matrix}) x^{n} .$ Utilizando, por ejemplo, una estimación de cuarto orden en $x = 1$ da como resultado $\begin{matrix} {(1001)}^{1 / 3} & \approx 10 (1 + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{matrix}) 10^{−3} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{matrix}) 10^{−6} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 3 \end{matrix}) 10^{−9} + (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ 4 \end{matrix}) 10^{−12}) \\ = 10 (1 + \frac{1}{{3,10}^{3}} - \frac{1}{{9,10}^{6}} + \frac{5}{{81,10}^{9}} - \frac{10}{{243,10}^{12}}) = 10,00333222... \end{matrix}$ mientras que ${(1001)}^{1 / 3} = 10,00332222839093 ....$ Dos términos serían suficientes para una exactitud de tres dígitos.

189.

La aproximación es $2,3152;$ el valor del CAS es $2,23 … .$

191.

La aproximación es $2,583 …;$ el valor del CAS es $2,449 … .$

193.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{6}}{16} - \frac{5 x^{8}}{128} + ⋯ .$ Por lo tanto,

$\int_{–1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = x - \frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{5}}{40} - \frac{x^{7}}{7.16} - \frac{5 x^{9}}{9.128} + ⋯ |_{−1}^{1} \approx 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{20} - \frac{1}{56} - \frac{10}{9.128} + error = 1,590 ...$ mientras que $\frac{π}{2} = 1,570 ...$

195.

$\begin{array}{l} {(1 + 4 x)}^{4 / 3} = (1 + 4 x) {(1 + 4 x)}^{1 / 3} \\ = (1 + 4 x) (1 + \frac{4 x}{3} - \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{320 x^{3}}{81} - \frac{2.560 x^{4}}{243}) \\ = 1 + \frac{16}{3} x + \frac{32}{9} x^{2} - \frac{256}{81} x^{3} + \frac{1280}{243} x^{4} - \frac{10240}{243} x^{5} \end{array}$

197.

${(1 + {(x + 3)}^{2})}^{1 / 3} = 1 + \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{9} {(x + 3)}^{4} + \frac{5}{81} {(x + 3)}^{6} - \frac{10}{243} {(x + 3)}^{8} + ⋯$

199.

El doble de la aproximación es $1,260 …$ mientras que $2^{1 / 3} = 1,2599. ...$

201.

$f^{(99)} (0) = 0$

203.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(ln (2) x)}^{n}}{n!}$

205.

Para $x > 0, sen (\sqrt{x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{(2 n + 1) / 2}}{\sqrt{x} (2 n + 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n}}{(2 n + 1)!} .$

207.

$e^{x^{3}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{n!}$

209.

${sen}^{2} x = − \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{k} 2^{2 k - 1} x^{2 k}}{(2 k)!}$

211.

${tan}^{−1} x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(–1)}^{k} x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$

213.

${sen}^{−1} x = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!}$

215.

$F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) (2 n)!}$

217.

$F (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} \frac{x^{n}}{n^{2}}$

219.

$x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + ⋯$

221.

$1 + x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{6} + ⋯$

223.

$1 + x^{2} + \frac{2 x^{4}}{3} + \frac{17 x^{6}}{45} + ⋯$

225.

Utilizando la expansión para $tan x$ da como resultado $1 + \frac{x}{3} + \frac{2 x^{2}}{15} .$

227.

$\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} x^{2 n}$ así que $R = 1$ mediante el criterio del cociente.

229.

$ln (1 + x^{2}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(–1)}^{n - 1}}{n} x^{2 n}$ así que $R = 1$ mediante el criterio del cociente.

231.

Sume la serie de $e^{x}$ y $e^{– x}$ término por término. Los términos impares se anulan y $cosh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} .$

233.

Este gráfico tiene dos curvas. El primero es una función decreciente que pasa por el origen. El segundo es una línea discontinua que es una función creciente que pasa por el origen. Las dos curvas están muy cerca del origen.

La razón $\frac{S_{n} (x)}{C_{n} (x)}$ aproxima $tan x$ mejor que lo hace $p_{7} (x) = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315}$ para $N \geq 3 .$ Las curvas discontinuas son $\frac{S_{n}}{C_{n}} - tan$ para $n = 1, 2 .$ La curva punteada corresponde a $n n = 3,$ y la curva punteada y con rayas corresponde a $n = 4 .$ La curva continua es $p_{7} - tan x .$

235.

Por el teorema de diferenciación término a término, $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ así que $y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1} x y^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n},$ mientras que $y^{'} = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$ así que $x y ″ = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) a_{n} x^{n} .$

237.

La probabilidad es $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{(a - μ) / σ}^{(b - μ) / σ} e^{– x^{2} / 2} d x$ donde $a = 90$ y $b = 100,$ es decir, $p = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{–1}^{1} e^{– x^{2} / 2} d x = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{–1}^{1} \sum_{n = 0}^{5} {(–1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{2^{n} n!} d x = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \sum_{n = 0}^{5} {(–1)}^{n} \frac{1}{(2 n + 1) 2^{n} n!} \approx 0,6827 .$

239.

Este gráfico es una curva de onda simétrica respecto al origen. Tiene un pico en y = 1 sobre el origen. Tiene los puntos más bajos en -3 y 3.

Como en el problema anterior se obtiene $a_{n} = 0$ si $n$ es impar y $a_{n} = − (n + 2) (n + 1) a_{n + 2}$ si $n$ es par, así que $a_{0} = 1$ nos lleva a $a_{2 n} = \frac{{(–1)}^{n}}{(2 n)!} .$

241.

$y ″ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$ y $y^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$ así que $y ″ - y^{'} + y = 0$ implica que $(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - (n + 1) a_{n + 1} + a_{n} = 0$ o $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{n} - \frac{a_{n - 2}}{n (n - 1)}$ para todo $n . y (0) = a_{0} = 1$ y $y^{'} (0) = a_{1} = 0,$ así que $a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{6}, a_{4} = 0,$ y $a_{5} = - \frac{1}{120} .$

243.

a. (Prueba) b. Tenemos $R_{s} \leq \frac{0,1}{(9)!} π^{9} \approx 0,0082 < 0,01 .$ Tenemos $\int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!}) d x = π - \frac{π^{3}}{3.3!} + \frac{π^{5}}{5.5!} - \frac{π^{7}}{7.7!} + \frac{π^{9}}{9.9!} = 1,852...,$ mientras que $\int_{0}^{π} \frac{sen t}{t} d t = 1,85194...,$ por lo que el error real es aproximadamente $0,00006 .$

245.

Este gráfico tiene dos curvas. La primera es una curva sólida marcada como Csub50(x). Comienza en el origen y es una onda que disminuye gradualmente su amplitud. Alcanza su máximo en y = 1. La segunda curva está marcada como Ssub50(x). Es una onda que disminuye gradualmente su amplitud. Alcanza su máximo en 0,9. Es muy parecida al patrón de la primera curva con un ligero desplazamiento hacia la derecha.

Dado que $cos (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{4 n}}{(2 n)!}$ y $sen (t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{t^{4 n + 2}}{(2 n + 1)!},$ se tiene $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 3}}{(4 n + 3) (2 n + 1)!}$ y $C (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(–1)}^{n} \frac{x^{4 n + 1}}{(4 n + 1) (2 n)!} .$ Las sumas de los primeros $50$ términos distintos de cero se representan a continuación con $C_{50} (x)$ la curva sólida y $S_{50} (x)$ la curva discontinua.

247.

$\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x} (1 - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} - \frac{5 x^{4}}{128} - \frac{7 x^{5}}{256}) d x$

$= \frac{2}{3} 2^{−3} - \frac{1}{2} \frac{2}{5} 2^{−5} - \frac{1}{8} \frac{2}{7} 2^{−7} - \frac{1}{16} \frac{2}{9} 2^{−9} - \frac{5}{128} \frac{2}{11} 2^{−11} - \frac{7}{256} \frac{2}{13} 2^{−13} = 0,0767732 ...$

mientras que $\int_{0}^{1 / 4} \sqrt{x - x^{2}} d x = 0,076773 .$

249.

$T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9,8}} (1 + \frac{{sen}^{2} (θ / 12)}{4}) \approx 6,453$ segundos. La estimación del ángulo pequeño es $T \approx 2 π \sqrt{\frac{10}{9,8} \approx 6,347} .$ El error relativo es de alrededor de $2$ por ciento.