Capítulo 4 - Cálculo volumen 2

Punto de control

4.2

$5$

4.3

$y = 2 x^{2} + 3 x + 2$

4.5

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6 e^{x} + 14$

4.6

$v (t) = −9,8 t$

4.7

Un gráfico del campo de direcciones para la ecuación diferencial y' = x ^ 2 - y ^ 2. A lo largo de y = x y y = -x, las líneas son horizontales. A ambos lados de y = x y y = -x, las líneas se inclinan y dirigen las soluciones a lo largo de esas dos funciones. El resto de las líneas son verticales. Se muestra la solución que pasa por (-1, 2). Se curva hacia abajo desde aproximadamente (-2,75, 10), pasando por (-1, 2) y aproximadamente (0, 1,5), y luego hacia arriba a lo largo de la diagonal hasta (10, 10).

4.8

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha en y = -4 y y = 4. Las flechas apuntan hacia arriba para y > -4 y hacia abajo para y < -4. Cerca de y = 4, las flechas son más horizontales, pero cuanto más lejos, más verticales se vuelven.

Las soluciones de equilibrio son $y = −2$ y $y = 2 .$ Para esta ecuación, $y = −2$ es una solución de equilibrio inestable, e $y = 2$ es una solución de equilibrio semiestable.

4.9

$n$	$x_{n}$	$y_{n} = y_{n - 1} + h f (x_{n - 1}, y_{n - 1})$ grandes.
$0$	$1$	$−2$
$1$	$1,1$	$y_{1} = y_{0} + h f (x_{0}, y_{0}) = −1,5$
$2$	$1,2$	$y_{2} = y_{1} + h f (x_{1}, y_{1}) = –1,1419$
$3$	$1.3$	$y_{3} = y_{2} + h f (x_{2}, y_{2}) = –0,8387$
$4$	$1,4$	$y_{4} = y_{3} + h f (x_{3}, y_{3}) = –0,5487$
$5$	$1,5$	$y_{5} = y_{4} + h f (x_{4}, y_{4}) = –0,2442$
$6$	$1,6$	$y_{6} = y_{5} + h f (x_{5}, y_{5}) = 0,0993$
$7$	$1,7$	$y_{7} = y_{6} + h f (x_{6}, y_{6}) = 0,5099$
$8$	$1,8$	$y_{8} = y_{7} + h f (x_{7}, y_{7}) = 1,0272$
$9$	$1,9$	$y_{9} = y_{8} + h f (x_{8}, y_{8}) = 1,7159$
$10$	$2$	$y_{10} = y_{9} + h f (x_{9}, y_{9}) = 2,6962$

4.10

$y = 2 + C e^{x^{2} + 3 x}$

4.11

$y = \frac{4 + 14 e^{x^{2} + x}}{1 - 7 e^{x^{2} + x}}$

4.12

Problema de valor inicial:

$\frac{d u}{d t} = 2,4 - \frac{2 u}{25}, u (0) = 3$

$Solución: u (t) = 30 - 27 e^{− t / 50}$

4.13

Problema del valor inicial
$\frac{d T}{d t} = k (T - 70), T (0) = 450$
$T (t) = 70 + 380 e^{k t}$
Aproximadamente $114$ minutos.

4.14

$\frac{d P}{d t} = 0,04 (1 - \frac{P}{750}), P (0) = 200$
$P (t) = \frac{3.000 e^{0,04 t}}{11 + 4 e^{0,04 t}}$
Después de $12$ meses, la población será $P (12) \approx 278$ conejos.

4.15

$y' + \frac{15}{x + 3} y = \frac{10 x - 20}{x + 3}; p (x) = \frac{15}{x + 3}$ y $q (x) = \frac{10 x - 20}{x + 3}$

4.16

$y = \frac{x^{3} + x^{2} + C}{x - 2}$

4.17

$y = - 2 x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

4.18

$\begin{matrix} \frac{d v}{d t} & = & − v - 9,8 \\ v (0) & = & 0 \end{matrix}$
$v (t) = 9,8 (e^{− t} - 1)$ grandes.
$\underset{t \to \infty}{lím} v (t) = \underset{t \to \infty}{lím} (9,8 (e^{− t} - 1)) = −9,8 m/s \approx - 21,922 mph$

4.19

Problema de valor inicial:

$8 q^{'} + \frac{1}{0,02} q = 20 sen 5 t, q (0) = 4$

$q (t) = \frac{10 sen 5 t - 8 cos 5 t + 172 e^{−6,25 t}}{41}$

Sección 4.1 ejercicios

1.

$1$

3.

$3$

5.

$1$

7.

$1$

19.

$y = 4 + \frac{3 x^{4}}{4}$

21.

$y = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$

23.

$y = 2 e^{− 1 / x}$

25.

$u = {sen}^{−1} (e^{−1 + t})$

27.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}} - 1$

29.

$y = C - x + x ln x - ln (cos x)$ grandes.

31.

$y = C + \frac{4^{x}}{ln (4)}$ grandes.

33.

$y = \frac{2}{3} \sqrt{t^{2} + 16} (t^{2} + 16) + C$

35.

$x = \frac{2}{15} \sqrt{4 + t} (3 t^{2} + 4 t - 32) + C$

37.

$y = C x$

39.

$y = 1 - \frac{t^{2}}{2}, y = - \frac{t^{2}}{2} - 1$

41.

$y = e^{− t}, y = − e^{− t}$

43.

$y = 2 (t^{2} + 5), t = 3 \sqrt{5}$

45.

$y = 10 e^{−2 t}, t = - \frac{1}{2} ln (\frac{1}{10})$ grandes.

47.

$y = \frac{1}{4} (41 - e^{−4 t}),$ nunca

49.

La solución cambia de creciente a decreciente en $y (0) = 0$

51.

La solución cambia de creciente a decreciente en $y (0) = 0$

53.

$v (t) = −32 t + a$

55.

$0$ ft/s.

57.

$4,86$ metros

59.

$x = 50 t - \frac{15}{π^{2}} cos (π t) + \frac{3}{π^{2}}, 2$ horas $1$ minuto

61.

$y = 4 e^{3 t}$

63.

$y = 3 - 2 t + t^{2}$

65.

$y = \frac{1}{k} (e^{k t} - 1)$ y de $y = x$

Sección 4.2 ejercicios

67.

Un gráfico del campo de direcciones dado con una línea plana dibujada en el eje. Las flechas apuntan hacia arriba para y < 0 y hacia abajo para y > 0. Cuanto más cerca están del eje x, más horizontales son las flechas, y cuanto más lejos están, más verticales son.

69.

$y = 0$ es un equilibrio estable

71.

Un campo de direcciones con flechas horizontales en y = 0 e y = 2. Las flechas apuntan hacia arriba para y > 2 y para y < 0. Las flechas apuntan hacia abajo para 0 < y < 2. Cuanto más cerca están las flechas de estas líneas, son más horizontales, y cuanto más lejos, son más verticales. Se dibuja una solución que sigue a y = 2 en el cuadrante dos, pasa por (0, 1) y luego sigue el eje x.

73.

$y = 0$ es un equilibrio estable y $y = 2$ es inestable

75.

Un campo de direcciones sobre los cuatro cuadrantes. A medida que t va de 0 a infinito, las flechas se vuelven cada vez más verticales después de ser horizontales más cerca de x = 0.

77.

Un campo de direcciones en [-2, 2] en los ejes x y y. Las flechas apuntan ligeramente hacia abajo y hacia la derecha en [-2, 0] y se vuelven gradualmente verticales en [0, 2].

79.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en y = 1 y y = -1. Las flechas apuntan hacia arriba para y < -1 y para y > 1. Las flechas apuntan hacia abajo para -1 < y < 1. Cuanto más cerca estén las flechas de estas líneas, más horizontales serán, y cuanto más lejos estén, más verticales serán.

81.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha para casi todos los puntos en [-2, 2] en los ejes x y y. Cerca del origen, las flechas se vuelven más horizontales, apuntan hacia la parte superior derecha, se vuelven más horizontales y vuelven a apuntar hacia la derecha.

83.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x y x = -3. Por encima del eje x y para x < -3, las flechas apuntan hacia abajo. Para x > -3, las flechas apuntan hacia arriba. Por debajo del eje x y para x < -3, las flechas apuntan hacia arriba. Para x > -3, las flechas apuntan hacia abajo. Cuanto más lejos del eje x y de x = -3, las flechas se vuelven más verticales, y cuanto más cerca, más horizontales.

85.

E

87.

A

89.

B

91.

A

93.

C

95.

$2,24,$ exacta: $3$

97.

$7,739364,$ exacta: $5 (e - 1)$ grandes.

99.

$−0,2535$ exacta: $0$

101.

$1,345,$ exacta: $\frac{1}{ln (2)}$ grandes.

103.

$−4,$ exacta: $− 1 / 2$

105.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x y en y = 4. Las flechas debajo del eje x y encima de y = 4 apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Las flechas entre el eje x y y = 4 apuntan hacia arriba y hacia la derecha.

107.

$y' = 2 e^{t^{2} / 2}$

109.

$2$

111.

$3,2756$

113.

$2 \sqrt{e}$

Tamaño de paso	Error
$h = 1$	$0,3935$
$h = 10$	$0,06163$
$h = 100$	$0,006612$
$h = 1.000$	$0,0006661$

115.

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en el eje x. Por encima del eje x, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Debajo del eje x, las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Cuanto más cerca están las flechas del eje x, son más horizontales, y cuanto más lejos están del eje x, son más verticales.

117.

$4,0741 e^{−10}$

Sección 4.3 ejercicios

119.

$y = e^{t} - 1$

121.

$y = 1 - C e^{− t}$

123.

$y = C x e^{−1 / x}$

125.

$y = \frac{1}{C - x^{2}}$

127.

$y = - \frac{2}{C + ln x}$

129.

$y = C e^{x} (x + 1) + 1$

131.

$y = sen (ln t + C)$ grandes.

133.

$y = − ln (e^{– x})$ grandes.

135.

$y = \frac{1}{\sqrt{2 - e^{x^{2}}}}$

137.

$y = {tanh}^{−1} (\frac{x^{2}}{2})$ grandes.

139.

$x = sen (1 - t + t ln t)$ grandes.

141.

$y = ln (ln (5)) - ln (2 - 5^{x})$ grandes.

143.

$y = C e^{−2 x} + \frac{1}{2}$

Un campo de direcciones con flechas horizontales que apuntan hacia la derecha en y = 0,5. Por encima de 0,5, las flechas se inclinan hacia abajo y hacia la derecha y son cada vez más verticales cuanto más lejos están de y = 0,5 Por debajo de 0,5, las flechas se inclinan hacia arriba y hacia la derecha y son cada vez más verticales cuanto más lejos están de y = 0,5.

145.

$y = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{C - e^{x}}}$

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Son horizontales en el eje y. Cuanto más lejos estén las flechas del eje, más verticales serán. Apuntan hacia arriba por encima del eje x y hacia abajo por debajo del eje x.

147.

$y = C e^{– x} x^{x}$

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Las flechas son planas en y = 1. Cuanto más lejos están las flechas de ese punto, más inclinadas se vuelven. Apuntan hacia arriba por encima de esa línea y hacia abajo por debajo de ella.

149.

$y = \frac{r}{d} (1 - e^{− d t})$

151.

$y (t) = 10 - 9 e^{– x / 50}$

153.

$134,3$ kilogramos

155.

$720$ segundos

157.

$24$ horas $57$ minutos

159.

$T (t) = 20 + 50 e^{−0,125 t}$

161.

$T (t) = 20 + 38,5 e^{−0,125 t}$

163.

$y = (c + \frac{b}{a}) e^{a x} - \frac{b}{a}$

165.

$y (t) = c L + (I - c L) e^{− r t / L}$

167.

$y = 40 (1 - e^{−0,1 t}), 40$ g/cm²

Sección 4.4 ejercicios

169.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha. Las flechas son horizontales a lo largo del eje x. Las flechas apuntan hacia abajo por encima del eje x y por debajo del eje x. Cuanto más alejadas están las flechas del eje x, más verticales se vuelven las líneas.

$P = 0$ semiestable

171.

$P = \frac{10 e^{10 x}}{e^{10 x} + 4}$

173.

$P (t) = \frac{10.000 e^{0,02 t}}{150 + 50 e^{0,02 t}}$

175.

$69$ horas $5$ minutos

177.

$8$ años $11$ meses

179.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo para P < 1.000, que apuntan hacia arriba para 1.000 < P < 8.500, y que apuntan hacia abajo para P > 8.500. Justo por encima de P = 8.500, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha.

181.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Alrededor de y = 4.000, las flechas son más horizontales. Cuanto más lejos están las flechas de esta línea, más verticales se vuelven.

$P_{1}$ semiestable

183.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia arriba para P < 10.000 y flechas que apuntan hacia abajo para P > 10.000.

$P_{2} > 0$ estable

185.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia la derecha en P = 0. Por debajo de 0, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Por encima de 0, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Cuanto más se alejan de 0, más verticales se vuelven las flechas.

$P_{1} = 0$ es semiestable

187.

$y = \frac{−20}{4 \times 10^{−6} - 0,002 e^{0,01 t}}$

189.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan horizontalmente hacia la derecha a lo largo de y = 2 y y = 10. Para P < 2, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Para 2 < P < 10, las flechas apuntan hacia arriba y hacia la derecha. Para P > 10, las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha. Cuanto más lejos están las flechas de 2 y 10, más inclinadas se vuelven, y cuanto más cerca están de 2 y 10, más horizontales se vuelven.

191.

$P (t) = \frac{850 + 500 e^{0,009 t}}{85 + 5 e^{0,009 t}}$

193.

$13$ años meses

195.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia abajo y hacia la derecha para P < 0, hacia arriba para 0 < P < 1.000, y hacia abajo para P > 1.000. Cuanto más lejos están las flechas de P = 0 y P = 1.000, más verticales se vuelven, y cuanto más cerca están, son más horizontales.

197.

$31,465$ días

199.

Septiembre de $2008$

201.

$\frac{K + T}{2}$

203.

$r = 0,0405$

205.

$α = 0,0081$

207.

Logística: $361,$ Umbral: $436,$ Gompertz: $309 .$

Sección 4.5 ejercicios

209.

Sí

211.

Sí

213.

$y' - x^{3} y = sen x$

215.

$y' + \frac{(3 x + 2)}{x} y = − e^{x}$

217.

$\frac{d y}{d t} - y x (x + 1) = 0$

219.

$e^{x}$

221.

$− ln (cosh x)$ grandes.

223.

$y = C e^{3 x} - \frac{2}{3}$

225.

$y = C x^{3} + 6 x^{2}$

227.

$y = C e^{x^{2} / 2} - 3$

229.

$y = C tan (\frac{x}{2}) - 2 x + 4 tan (\frac{x}{2}) ln (sen (\frac{x}{2}))$ grandes.

231.

$y = C x^{3} - x^{2}$

233.

$y = C {(x + 2)}^{2} + \frac{1}{2}$

235.

$y = \frac{C}{\sqrt{x}} + 2 sen (3 t)$

237.

$y = C {(x + 1)}^{3} - x^{2} - 2 x - 1$

239.

$y = C e^{{senoh}^{−1} x} - 2$

241.

$y = x + 4 e^{x} - 1$

243.

$y = - \frac{3 x}{2} (x^{2} - 1)$ grandes.

245.

$y = 1 - e^{{tan}^{−1} x}$

247.

$y = (x + 2) ln (\frac{x + 2}{2})$ grandes.

249.

$y = 2 e^{2 \sqrt{x}} - 2 x - 2 \sqrt{x} - 1$

251.

$v (t) = \frac{g m}{k} (1 - e^{− k t / m})$

253.

$40,451$ segundos

255.

$\sqrt{\frac{g m}{k}}$

257.

$y = C e^{x} - a (x + 1)$

259.

$y = C e^{x^{2} / 2} - a$

261.

$y = \frac{e^{k t} - e^{t}}{k - 1}$

Ejercicios de repaso

263.

F

265.

T

267.

$y (x) = \frac{2^{x}}{ln (2)} + x {cos}^{−1} x - \sqrt{1 - x^{2}} + C$

269.

$y (x) = ln (C - cos x)$ grandes.

271.

$y (x) = e^{e^{C + x}}$

273.

$y (x) = 4 + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - sen x$

275.

$y (x) = - \frac{2}{1 + 3 (x^{2} + 2 sen x)}$ grandes.

277.

$y (x) = –2 x^{2} - 2 x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

279.

Un campo de direcciones con flechas que apuntan hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de una curva logarítmica que se acerca al infinito negativo a medida que x va a cero y aumenta a medida que x va al infinito.

$y (x) = C e^{– x} + ln x$

281.

Euler: $0,6939,$ solución exacta: $y (x) = \frac{3^{x} - e^{−2 x}}{2 + ln (3)}$

283.

$\frac{40}{49}$ segundos

285.

$x (t) = 5.000 + \frac{245}{9} - \frac{49}{3} t - \frac{245}{9} e^{− 5 / 3 t}, t = 307,8$ segundos

287.

$T (t) = 200 (1 - e^{− t / 1.000})$

289.

$P (t) = \frac{1.600.000 e^{0,02 t}}{9840 + 160 e^{0,02 t}}$