Fracciones parciales - Cálculo volumen 2

3.4 Fracciones parciales

Objetivos de aprendizaje

3.4.1 Integrar una función racional utilizando el método de las fracciones parciales.
3.4.2 Reconocer factores lineales simples en una función racional.
3.4.3 Reconocer los factores lineales repetidos en una función racional.
3.4.4 Reconocer los factores cuadráticos de una función racional.

Hemos visto algunas técnicas que nos permiten integrar funciones racionales específicas. Por ejemplo, sabemos que

\int \frac{d u}{u} = ln | u | + C y \int \frac{d u}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} {tan}^{–1} (\frac{u}{a}) + C .

Sin embargo, aún no disponemos de una técnica que nos permita abordar cocientes arbitrarios de este tipo. Por lo tanto, no es inmediatamente obvio cómo evaluar $\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x .$ Sin embargo, sabemos por el material desarrollado anteriormente que

\int (\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}) d x = ln | x + 1 | + 2 ln | x - 2 | + C .

De hecho, al obtener un denominador común, vemos que

\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} .

En consecuencia,

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int (\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}) d x .

En esta sección, examinamos el método de descomposición en fracciones parciales, que nos permite descomponer funciones racionales en sumas de funciones racionales más simples y fáciles de integrar. Utilizando este método, podemos reescribir una expresión como: $\frac{3 x}{x^{2} - x - 2}$ en la forma $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2} .$

La clave del método de descomposición en fracciones parciales es poder anticipar la forma que adoptará la descomposición de una función racional. Como veremos, esta forma es predecible y muy dependiente de la factorización del denominador de la función racional. También es muy importante tener en cuenta que la descomposición en fracciones parciales se puede aplicar a una función racional $\frac{P (x)}{Q (x)}$ solo si $deg (P (x)) < deg (Q (x)) .$ En el caso de que $deg (P (x)) \geq deg (Q (x)),$ debemos realizar primero la división larga para reescribir el cociente $\frac{P (x)}{Q (x)}$ en la forma $A (x) + \frac{R (x)}{Q (x)},$ donde $deg (R (x)) < deg (Q (x)) .$ A continuación, hacemos una descomposición en fracciones parciales de $\frac{R (x)}{Q (x)} .$ El siguiente ejemplo, aunque no requiere la descomposición en fracciones parciales, ilustra nuestra aproximación a las integrales de funciones racionales de la forma $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ donde $deg (P (x)) \geq deg (Q (x)) .$

Ejemplo 3.28

Integración de $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ donde $deg (P (x)) \geq deg (Q (x))$

Evalúe $\int \frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} d x .$

Solución

Dado que $deg (x^{2} + 3 x + 5) \geq deg (x + 1),$ realizamos la división larga para obtener

\frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} = x + 2 + \frac{3}{x + 1} .

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int \frac{x^{2} + 3 x + 5}{x + 1} d x & = \int (x + 2 + \frac{3}{x + 1}) d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3 ln | x + 1 | + C . \end{matrix}

Medios

Visite este sitio web para repasar la división larga de polinomios.

Punto de control 3.17

Evalúe $\int \frac{x - 3}{x + 2} d x .$

Para integrar $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ donde $deg (P (x)) < deg (Q (x)),$ hay que empezar por factorizar $Q (x) .$

Factores lineales no repetidos

Si $Q (x)$ se puede factorizar como $(a_{1} x + b_{1}) (a_{2} x + b_{2}) … (a_{n} x + b_{n}),$ donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes $A_{1}, A_{2},… A_{n}$ que satisfacen

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{a_{n} x + b_{n}} .

La prueba de que tales constantes existen está fuera del alcance de este curso.

En el siguiente ejemplo, vemos cómo utilizar fracciones parciales para integrar una función racional de este tipo.

Ejemplo 3.29

Fracciones parciales con factores lineales no repetidos

Evalúe $\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x .$

Solución

Dado que $deg (3 x + 2) < deg (x^{3} - x^{2} - 2 x),$ comenzamos por factorizar el denominador de $\frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} .$ Podemos ver que $x^{3} - x^{2} - 2 x = x (x - 2) (x + 1) .$ Por lo tanto, hay constantes $A,$ $B,$ y $C$ que satisfacen

\frac{3 x + 2}{x (x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x + 1} .

Ahora debemos hallar estas constantes. Para ello, empezamos por obtener un denominador común a la derecha. Por lo tanto,

\frac{3 x + 2}{x (x - 2) (x + 1)} = \frac{A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)}{x (x - 2) (x + 1)} .

Ahora, fijamos los numeradores iguales entre sí, obteniendo

3 x + 2 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2) .

(3.8)

Hay dos estrategias diferentes para hallar los coeficientes $A,$ $B,$ y $C .$ Nos referimos a ellos como el método de igualar coeficientes y el método de sustitución estratégica.

Regla: método de igualar coeficientes

Reescriba la Ecuación 3.8 en la forma

3 x + 2 = (A + B + C) x^{2} + (− A + B - 2 C) x + (−2 A) .

Al igualar los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones

\begin{matrix} A + B + C & = & 0 \\ - A + B - 2 C & = & 3 \\ - 2 A & = & 2. \end{matrix}

Para resolver este sistema, primero observamos que $−2 A = 2 \Rightarrow A = −1 .$ Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones obtenemos el sistema

\begin{matrix} B + C & = & 1 \\ B - 2 C & = & 2. \end{matrix}

Multiplicando la segunda ecuación por $−1$ y sumando la ecuación resultante a la primera se obtiene

−3 C = 1,

lo que a su vez implica que $C = - \frac{1}{3} .$ Sustituyendo este valor en la ecuación $B + C = 1$ se obtiene $B = \frac{4}{3} .$ Así, al resolver estas ecuaciones se obtiene $A = −1,$ $B = \frac{4}{3},$ y $C = - \frac{1}{3} .$

Es importante señalar que el sistema producido por este método es consistente si y solo si hemos establecido la descomposición correctamente. Si el sistema es inconsistente, hay un error en nuestra descomposición.

Regla: método de sustitución estratégica

El método de sustitución estratégica se basa en el supuesto de que hemos establecido la descomposición correctamente. Si la descomposición se establece correctamente, debe haber valores de $A,$ $B,$ y $C$ que satisfacen la Ecuación 3.8 para todos los valores de $x .$ Es decir, esta ecuación debe ser cierta para cualquier valor de $x$ que nos interesa sustituir en ella. Por lo tanto, al elegir los valores de $x$ con cuidado y sustituyéndolos en la ecuación, podemos hallar $A,$ $B,$ y $C$ fácilmente. Por ejemplo, si sustituimos $x = 0,$ la ecuación se reduce a $2 = A (−2) (1) .$ Si resolvemos para $A$ se obtiene $A = −1 .$ A continuación, sustituyendo $x = 2,$ la ecuación se reduce a $8 = B (2) (3),$ o su equivalente $B = 4 / 3 .$ Por último, sustituimos $x = −1$ en la ecuación y obtenemos $−1 = C (–1) (−3) .$ Resolviendo, tenemos $C = - \frac{1}{3} .$

Es importante tener en cuenta que si intentamos utilizar este método con una descomposición que no se ha establecido correctamente, todavía podemos hallar valores para las constantes, pero estas constantes no tienen sentido. Si optamos por utilizar el método de la sustitución estratégica, conviene comprobar el resultado recombinando los términos algebraicamente.

Ahora que tenemos los valores de $A,$ $B,$ y $C,$ reescribimos la integral original:

\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x = \int (− \frac{1}{x} + \frac{4}{3} . \frac{1}{(x - 2)} - \frac{1}{3} . \frac{1}{(x + 1)}) d x .

Evaluando la integral obtenemos

\int \frac{3 x + 2}{x^{3} - x^{2} - 2 x} d x = − ln | x | + \frac{4}{3} ln | x - 2 | - \frac{1}{3} ln | x + 1 | + C .

En el siguiente ejemplo, integramos una función racional en la que el grado del numerador no es menor que el grado del denominador.

Ejemplo 3.30

Dividir antes de aplicar las fracciones parciales

Evalúe $\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x .$

Solución

Dado que $grado (x^{2} + 3 x + 1) \geq grado (x^{2} - 4),$ debemos realizar la división larga de polinomios. Esto da como resultado

\frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} .

A continuación, realizamos una descomposición en fracciones parciales de $\frac{3 x + 5}{x^{2} - 4} = \frac{3 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} .$ Tenemos

\frac{3 x + 5}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} .

Por lo tanto,

3 x + 5 = A (x + 2) + B (x - 2) .

Al resolver para $A$ y $B$ utilizando cualquiera de los dos métodos, obtenemos $A = 11 / 4$ y $B = 1 / 4 .$

Reescribiendo la integral original, tenemos

\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x = \int (1 + \frac{11}{4} . \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{4} . \frac{1}{x + 2}) d x .

La evaluación de la integral produce

\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 4} d x = x + \frac{11}{4} ln | x - 2 | + \frac{1}{4} ln | x + 2 | + C .

Como vemos en el siguiente ejemplo, puede ser posible aplicar la técnica de descomposición en fracciones parciales a una función no racional. El truco consiste en convertir la función no racional en una función racional mediante una sustitución.

Ejemplo 3.31

Aplicar fracciones parciales tras una sustitución

Evalúe $\int \frac{cos x}{{sen}^{2} x - sen x} d x .$

Solución

Empecemos por suponer que $u = sen x .$ En consecuencia, $d u = cos x d x .$ Después de hacer estas sustituciones, tenemos

\int \frac{cos x}{{sen}^{2} x - sen x} d x = \int \frac{d u}{u^{2} - u} = \int \frac{d u}{u (u - 1)} .

Aplicando la descomposición en fracciones parciales a $1 / u (u - 1)$ da como resultado $\frac{1}{u (u - 1)} = - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} .$

Por lo tanto,

\begin{matrix} \int \frac{cos x}{{sen}^{2} x - sen x} d x & = − ln | u | + ln | u - 1 | + C \\ = − ln | sen x | + ln | sen x - 1 | + C . \end{matrix}

Punto de control 3.18

Evalúe $\int \frac{x + 1}{(x + 3) (x - 2)} d x .$

Factores lineales repetidos

Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tienen denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma ${(a x + b)}^{n},$ donde $n$ es un número entero positivo mayor o igual a $2 .$ Si el denominador contiene el factor lineal repetido ${(a x + b)}^{n},$ entonces la descomposición debe contener

\frac{A_{1}}{a x + b} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}} .

Como vemos en nuestro siguiente ejemplo, la técnica básica utilizada para resolver los coeficientes es la misma, pero requiere más álgebra para determinar los numeradores de las fracciones parciales.

Ejemplo 3.32

Fracciones parciales con factores lineales repetidos

Evalúe $\int \frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} d x .$

Solución

Tenemos $grado (x - 2) < grado ({(2 x - 1)}^{2} (x - 1)),$ por lo que podemos proceder a la descomposición. Dado que ${(2 x - 1)}^{2}$ es un factor lineal repetido, incluya $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{{(2 x - 1)}^{2}}$ en la descomposición. Por lo tanto,

\frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1} .

Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, tenemos

x - 2 = A (2 x - 1) (x - 1) + B (x - 1) + C {(2 x - 1)}^{2} .

(3.9)

A continuación, utilizamos el método de igualar coeficientes para hallar los valores de $A,$ $B,$ y $C .$

x - 2 = (2 A + 4 C) x^{2} + (−3 A + B - 4 C) x + (A - B + C) .

Igualando los coeficientes se obtiene $2 A + 4 C = 0,$ $−3 A + B - 4 C = 1,$ y $A - B + C = –2 .$ Resolviendo este sistema se obtiene $A = 2,$ $B = 3,$ y $C = −1 .$

Como alternativa, podemos utilizar el método de la sustitución estratégica. En este caso, sustituyendo $x = 1$ y $x = 1 / 2$ en la Ecuación 3.9 produce fácilmente los valores $B = 3$ y $C = −1 .$ A estas alturas, puede parecer que nos hemos quedado sin buenas opciones para $x,$ sin embargo, como ya tenemos valores para $B$ y $C,$ podemos sustituir estos valores y elegir cualquier valor para $x$ no utilizado anteriormente. El valor $x = 0$ es una buena opción. En este caso, obtenemos la ecuación $−2 = A (–1) (–1) + 3 (–1) + (–1) {(–1)}^{2}$ o, de forma equivalente, $A = 2 .$

Ahora que tenemos los valores de $A,$ $B,$ y $C,$ reescribimos la integral original y la evaluamos:

\begin{matrix} \int \frac{x - 2}{{(2 x - 1)}^{2} (x - 1)} d x & = \int (\frac{2}{2 x - 1} + \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1}) d x \\ = ln | 2 x - 1 | - \frac{3}{2 (2 x - 1)} - ln | x - 1 | + C . \end{matrix}

Punto de control 3.19

Establezca la descomposición en fracciones parciales para $\int \frac{x + 2}{{(x + 3)}^{3} {(x - 4)}^{2}} d x .$ (No halle los coeficientes ni complete la integración).

El método general

Ahora que empezamos a hacernos una idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, vamos a esbozar el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Descomposición en fracciones parciales

Para descomponer la función racional $P (x) / Q (x),$ utilice los siguientes pasos:

Asegúrese de que $grado (P (x)) < grado (Q (x)) .$ Si no es así, realice la división larga de polinomios.
Factorice $Q (x)$ en el producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles. Un cuadrático irreducible es un cuadrático que no tiene ceros reales.
Suponiendo que deg(P(x))<deg(Q(x)),deg(P(x))<deg(Q(x)), los factores de Q(x)Q(x) determinan la forma de la descomposición de P(x)/Q(x).P(x)/Q(x).
1. Si $Q (x)$ se puede factorizar como $(a_{1} x + b_{1}) (a_{2} x + b_{2}) … (a_{n} x + b_{n}),$ donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes $A_{1}, A_{2}, . . . A_{n}$ que satisfacen
  
  $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{a_{1} x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2} x + b_{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{a_{n} x + b_{n}} .$
2. Si $Q (x)$ contiene el factor lineal repetido ${(a x + b)}^{n},$ entonces la descomposición debe contener
  
  $\frac{A_{1}}{a x + b} + \frac{A_{2}}{{(a x + b)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n}}{{(a x + b)}^{n}} .$
3. Para cada factor cuadrático irreducible $a x^{2} + b x + c$ que $Q (x)$ contiene, la descomposición debe incluir
  
  $\frac{A x + B}{a x^{2} + b x + c} .$
4. Para cada factor cuadrático irreducible repetido ${(a x^{2} + b x + c)}^{n},$ la descomposición debe incluir
  
  $\frac{A_{1} x + B_{1}}{a x^{2} + b x + c} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}} + \dots + \frac{A_{n} x + B_{n}}{{(a x^{2} + b x + c)}^{n}} .$
5. Una vez que determine la descomposición adecuada, halle las constantes.
6. Por último, reescriba la integral en su forma descompuesta y evalúela utilizando las técnicas desarrolladas anteriormente o las fórmulas de integración.

Factores cuadráticos simples

Ahora vamos a ver la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recordemos que el factor cuadrático $a x^{2} + b x + c$ es irreducible si $a x^{2} + b x + c = 0$ no tiene ceros reales, es decir, si $b^{2} - 4 a c < 0 .$

Ejemplo 3.33

Expresiones racionales con un factor cuadrático irreductible

Evalúe $\int \frac{2 x - 3}{x^{3} + x} d x .$

Solución

Dado que $deg (2 x - 3) < deg (x^{3} + x),$ factorice el denominador y proceda a la descomposición en fracciones parciales. Dado que $x^{3} + x = x (x^{2} + 1)$ contiene el factor cuadrático irreducible $x^{2} + 1,$ incluya $\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$ como parte de la descomposición, junto con $\frac{C}{x}$ para el término lineal $x .$ Así, la descomposición tiene la forma

\frac{2 x - 3}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x} .

Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, obtenemos la ecuación

2 x - 3 = (A x + B) x + C (x^{2} + 1) .

Al resolver para $A, B,$ y $C,$ obtenemos $A = 3,$ $B = 2,$ y $C = −3 .$

Por lo tanto,

\frac{2 x - 3}{x^{3} + x} = \frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x} .

Sustituyendo de nuevo en la integral, obtenemos

\begin{matrix} \int \frac{2 x - 3}{x^{3} + x} d x & = \int (\frac{3 x + 2}{x^{2} + 1} - \frac{3}{x}) d x \\ = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x - 3 \int \frac{1}{x} d x & Separe la integral. \\ = \frac{3}{2} ln | x^{2} + 1 | + 2 {tan}^{−1} x - 3 ln | x | + C . & Evalúe cada integral. \end{matrix}

Nota: Podemos reescribir $ln | x^{2} + 1 | = ln (x^{2} + 1),$ si lo deseamos, ya que $x^{2} + 1 > 0 .$

Ejemplo 3.34

Fracciones parciales con un factor cuadrático irreductible

Evalúe $\int \frac{d x}{x^{3} - 8} .$

Solución

Podemos empezar por factorizar $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) .$ Vemos que el factor cuadrático $x^{2} + 2 x + 4$ es irreducible ya que $2^{2} - 4 (1) (4) = −12 < 0 .$ Utilizando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos

\frac{1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2 x + 4} .

Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, esto se convierte en

1 = A (x^{2} + 2 x + 4) + (B x + C) (x - 2) .

Aplicando cualquiera de los dos métodos, obtenemos $A = \frac{1}{12}, B = - \frac{1}{12}, y C = - \frac{1}{3} .$

Reescribiendo $\int \frac{d x}{x^{3} - 8},$ tenemos

\int \frac{d x}{x^{3} - 8} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x - 2} d x - \frac{1}{12} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x .

Podemos ver que

$\int \frac{1}{x - 2} d x = ln | x - 2 | + C,$ pero $\int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x$ requiere un poco más de esfuerzo. Empecemos por completar el cuadrado en $x^{2} + 2 x + 4$ para obtener

x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 .

Suponiendo que $u = x + 1$ y en consecuencia $d u = d x,$ vemos que

\begin{matrix} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2 x + 4} d x & = \int \frac{x + 4}{{(x + 1)}^{2} + 3} d x & \begin{matrix} Complete el cuadrado en el \\ denominador. \end{matrix} \\ = \int \frac{u + 3}{u^{2} + 3} d u & \begin{matrix} Sustituya u = x + 1, x = u - 1, \\ y d u = d x . \end{matrix} \\ = \int \frac{u}{u^{2} + 3} d u + \int \frac{3}{u^{2} + 3} d u & Separe el numerador. \\ = \frac{1}{2} ln | u^{2} + 3 | + \frac{3}{\sqrt{3}} {tan}^{−1} \frac{u}{\sqrt{3}} + C & Evalúe cada integral. \\ = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 2 x + 4 | + \sqrt{3} {tan}^{–1} (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + C . & \begin{matrix} Reescriba en términos de x y \\ simplifique. \end{matrix} \end{matrix}

Sustituyendo de nuevo en la integral original y simplificando da como resultado

\int^{​} \frac{d x}{x^{3} - 8} = \frac{1}{12} ln | x - 2 | - \frac{1}{24} ln | x^{2} + 2 x + 4 | - \frac{\sqrt{3}}{12} {tan}^{–1} (\frac{x + 1}{\sqrt{3}}) + C .

También en este caso podemos dejar de lado el valor absoluto si lo deseamos, ya que $x^{2} + 2 x + 4 > 0$ para todo $x .$

Ejemplo 3.35

Cálculo de un volumen

Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada por el gráfico de $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ y el eje x en el intervalo $[0, 1]$ alrededor del eje y.

Solución

Empecemos por dibujar la región que se va a girar (vea la Figura 3.11). A partir del dibujo, vemos que el método de capas cilíndricas es una buena opción para resolver este problema.

Esta figura es el gráfico de la función f(x) = x^2/(x^2+1)^2. Es una curva sobre el eje x. Es decreciente en el segundo cuadrante, se cruza en el origen y aumenta en el primer cuadrante. Entre x = 0 y x = 1, hay un área sombreada bajo la curva.

Figura 3.11 Podemos utilizar el método de capas cilíndricas para calcular el volumen de revolución obtenido al girar la región mostrada alrededor del eje y.

El volumen está dado por

V = 2 π \int_{0}^{1} x . \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x = 2 π \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x .

Dado que $deg ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 4 > 3 = deg (x^{3}),$ podemos proceder a la descomposición en fracciones parciales. Tenga en cuenta que ${(x^{2} + 1)}^{2}$ es un factor cuadrático irreducible repetido. Utilizando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos

\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 1)}^{2}} .

Hallando un denominador común e igualando los numeradores se obtiene

x^{3} = (A x + B) (x^{2} + 1) + C x + D .

Resolviendo, obtenemos $A = 1,$ $B = 0,$ $C = −1,$ y $D = 0 .$ Sustituyendo de nuevo en la integral, tenemos

\begin{matrix} V & = 2 π \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ = 2 π \int_{0}^{1} (\frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) d x \\ = 2 π (\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{2} . \frac{1}{x^{2} + 1}) |_{\begin{matrix} 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 1 \end{matrix}} \\ = π (ln 2 - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

Punto de control 3.20

Establezca la descomposición en fracciones parciales para $\int \frac{x^{2} + 3 x + 1}{(x + 2) {(x - 3)}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}} d x .$

Sección 3.4 ejercicios

Exprese la función racional como una suma o diferencia de dos expresiones racionales más sencillas.

182.

$\frac{1}{(x - 3) (x - 2)}$ grandes.

183.

$\frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x + 2)}$ grandes.

184.

$\frac{1}{x^{3} - x}$

185.

$\frac{3 x + 1}{x^{2}}$

186.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1}$ (Pista: Utilice primero la división larga)

187.

$\frac{2 x^{4}}{x^{2} - 2 x}$

188.

$\frac{1}{(x - 1) (x^{2} + 1)}$ grandes.

189.

$\frac{1}{x^{2} (x - 1)}$ grandes.

190.

$\frac{x}{x^{2} - 4}$

191.

$\frac{1}{x (x - 1) (x - 2) (x - 3)}$ grandes.

192.

$\frac{1}{x^{4} - 1} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}$ grandes.

193.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{3 x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ grandes.

194.

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}}$

195.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 20 x^{2} + 3 x + 31}{(x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar cada una de las siguientes integrales.

196.

$\int \frac{d x}{(x - 3) (x - 2)}$ grandes.

197.

$\int \frac{3 x}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

198.

$\int \frac{d x}{x^{3} - x}$

199.

$\int \frac{x}{x^{2} - 4} d x$

200.

$\int \frac{d x}{x (x - 1) (x - 2) (x - 3)}$ grandes.

201.

$\int \frac{2 x^{2} + 4 x + 22}{x^{2} + 2 x + 10} d x$

202.

$\int \frac{d x}{x^{2} - 5 x + 6}$

203.

$\int \frac{2 - x}{x^{2} + x} d x$

204.

$\int \frac{2}{x^{2} - x - 6} d x$

205.

$\int \frac{d x}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

206.

$\int \frac{d x}{x^{4} - 10 x^{2} + 9}$

Evalúe las siguientes integrales que tienen factores cuadráticos irreducibles.

207.

$\int \frac{2}{(x - 4) (x^{2} + 2 x + 6)} d x$

208.

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4} d x$

209.

$\int \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6}{x^{3} + 2 x^{2}} d x$

210.

$\int \frac{x}{(x - 1) {(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}} d x$

Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar las siguientes integrales.

211.

$\int \frac{3 x + 4}{(x^{2} + 4) (3 - x)} d x$

212.

$\int \frac{2}{{(x + 2)}^{2} (2 - x)} d x$

213.

$\int \frac{3 x + 4}{x^{3} - 2 x - 4} d x$ (Pista: Utilice el teorema de la raíz racional).

Utilice la sustitución para convertir las integrales en integrales de funciones racionales. A continuación, utilice las fracciones parciales para evaluar las integrales.

214.

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{36 - e^{2 x}} d x$ (Indique la respuesta exacta y el equivalente decimal. Redondee a cinco decimales).

215.

$\int \frac{e^{x} d x}{e^{2 x} - e^{x}} d x$

216.

$\int \frac{sen x d x}{1 - {cos}^{2} x}$

217.

$\int \frac{sen x}{{cos}^{2} x + cos x - 6} d x$

218.

$\int \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} d x$

219.

$\int \frac{d t}{{(e^{t} - e^{− t})}^{2}}$

220.

$\int \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

221.

$\int \frac{d x}{1 + \sqrt{x + 1}}$

222.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$

223.

$\int \frac{cos x}{sen x (1 - sen x)} d x$

224.

$\int \frac{e^{x}}{{(e^{2 x} - 4)}^{2}} d x$

225.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

226.

$\int \frac{1}{2 + e^{– x}} d x$

227.

$\int \frac{1}{1 + e^{x}} d x$

Utilice la sustitución dada para convertir la integral en una integral de una función racional, y luego evalúela.

228.

$\int \frac{1}{t - \sqrt[3]{t}} d t t = x^{3}$

229.

$\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} d x; x = u^{6}$

230.

Grafique la curva $y = \frac{x}{1 + x}$ en el intervalo $[0, 5] .$ A continuación, halle el área de la región limitada por la curva, el eje x y la línea $x = 4 .$

Esta figura es un gráfico de la función y = x/(1 + x). El gráfico solo está en el primer cuadrante. Comienza en el origen y aumenta en el primer cuadrante. La curva se detiene en x = 5.

231.

Calcule el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por $y = 1 / \sqrt{x (3 - x)},$ $y = 0,$ $x = 1,$ y $x = 2$ se gira alrededor del eje x.

232.

La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea es una función del tiempo dada por $v (t) = \frac{88 t^{2}}{t^{2} + 1} .$ Calcule la distancia que ha recorrido la partícula después de $t = 5$ seg.

Resuelva el problema de valor inicial para x en función de t.

233.

$(t^{2} - 7 t + 12) \frac{d x}{d t} = 1, (t > 4, x (5) = 0)$ grandes.

234.

$(t + 5) \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1, t > − 5, x (1) = tan 1$

235.

$(2 t^{3} - 2 t^{2} + t - 1) \frac{d x}{d t} = 3, x (2) = 0$

236.

Halle la coordenada x del centroide del área delimitada por

$y (x^{2} - 9) = 1,$ $y = 0, x = 4, y x = 5 .$ (Redondee la respuesta a dos decimales).

237.

Calcule el volumen generado al girar el área delimitada por $y = \frac{1}{x^{3} + 7 x^{2} + 6 x}, x = 1, x = 7, y y = 0$ alrededor del eje y.

238.

Halle el área delimitada por $y = \frac{x - 12}{x^{2} - 8 x - 20},$ $y = 0, x = 2, y x = 4 .$ (Redondee la respuesta a la centésima más cercana).

239.

Evalúe la integral $\int \frac{d x}{x^{3} + 1} .$

Para los siguientes problemas, utilice las sustituciones $tan (\frac{x}{2}) = t,$ $d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t,$ $sen x = \frac{2 t}{1 + t^{2}},$ y $cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} .$

240.

$\int \frac{d x}{3 - 5 sen x}$

241.

Halle el área bajo la curva $y = \frac{1}{1 + sen x}$ entre $x = 0$ y $x = π .$ (Asuma que las dimensiones están en pulgadas).

242.

Dada $tan (\frac{x}{2}) = t,$ derive las fórmulas $d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t,$ $sen x = \frac{2 t}{1 + t^{2}},$ y $cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} .$

243.

Evalúe $\int \frac{\sqrt[3]{x - 8}}{x} d x .$

3.4 Fracciones parciales

Objetivos de aprendizaje

Ejemplo 3.28

Integración de ∫P(x)Q(x)dx,∫P(x)Q(x)dx, donde deg(P(x))≥deg(Q(x))deg(P(x))≥deg(Q(x))

Solución

Medios

Punto de control 3.17

Factores lineales no repetidos

Ejemplo 3.29

Fracciones parciales con factores lineales no repetidos

Solución

Regla: método de igualar coeficientes

Regla: método de sustitución estratégica

Ejemplo 3.30

Dividir antes de aplicar las fracciones parciales

Solución

Ejemplo 3.31

Aplicar fracciones parciales tras una sustitución

Solución

Punto de control 3.18

Factores lineales repetidos

Ejemplo 3.32

Fracciones parciales con factores lineales repetidos

Solución

Punto de control 3.19

El método general

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Descomposición en fracciones parciales

Factores cuadráticos simples

Ejemplo 3.33

Expresiones racionales con un factor cuadrático irreductible

Solución

Ejemplo 3.34

Fracciones parciales con un factor cuadrático irreductible

Solución

Ejemplo 3.35

Cálculo de un volumen

Solución

Punto de control 3.20

Sección 3.4 ejercicios

Integración de $\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x,$ donde $deg (P (x)) \geq deg (Q (x))$