Términos clave - Cálculo volumen 2

Términos clave

diferenciación término a término de una serie de potencias: técnica para evaluar la derivada de una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ evaluando la derivada de cada término por separado para crear la nueva serie de potencias $\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x - a)}^{n - 1}$

integración término a término de una serie de potencias: técnica para integrar una serie de potencias $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ integrando cada término por separado para crear la nueva serie de potencias $C + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \frac{{(x - a)}^{n + 1}}{n + 1}$

integral no elemental: integral para la que la antiderivada del integrando no puede expresarse como una función elemental

intervalo de convergencia: conjunto de números reales x para los que converge una serie de potencias

Polinomio de Maclaurin: un polinomio de Taylor centrado en 0; el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en 0 es el enésimo polinomio de Maclaurin para $f$

polinomios de Taylor: el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en $x = a$ es $p_{n} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f ″ (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}$

radio de convergencia: si existe un número real $R > 0$ tal que una serie de potencias centrada en $x = a$ converge para $| x - a | < R$ y diverge para $| x - a | > R,$ entonces R es el radio de convergencia; si la serie de potencias solo converge en $x = a,$ el radio de convergencia es $R = 0;$ si la serie de potencias converge para todos los números reales x, el radio de convergencia es $R = \infty$

serie binomial: la serie de Maclaurin para $f (x) = {(1 + x)}^{r};$ está dada por
${(1 + x)}^{r} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{r (r - 1) ⋯ (r - n + 1)}{n!} x^{n} + ⋯$ para $| x | < 1$

serie de Maclaurin: una serie de Taylor para una función $f$ en $x = 0$ se conoce como serie de Maclaurin para $f$

serie de potencias: una serie de la forma $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ es una serie de potencias centrada en $x = 0;$ una serie de la forma $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ es una serie de potencias centrada en $x = a$

serie de Taylor: una serie de potencias en a que converge a una función $f$ en algún intervalo abierto que contenga a

teorema de Taylor con resto: para una función $f$ y el enésimo polinomio de Taylor para $f$ en $x = a,$ el resto $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x)$ satisface $R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}$
para algún c entre x y a; si existe un intervalo I que contiene a y un número real M tal que $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ para todo x en I, entonces $| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}$