←
Sustitución trigonométrica

3.3 Sustitución trigonométrica

Objetivos de aprendizaje

  • 3.3.1 Resolver problemas de integración que impliquen la raíz cuadrada de una suma o diferencia de dos cuadrados.

En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a2 −x2 ,a2 −x2 , a2 +x2 ,a2 +x2 , y x2 −a2 ,x2 −a2 , donde los valores de aa son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Integrales que implican a2 −x2 a2 −x2

Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a2 −x2 ,a2 −x2 , considere la integral ∫9−x2 dx.∫9−x2 dx. Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x=3senθ,x=3senθ, tenemos dx=3cosθdθ.dx=3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos

∫9−x2 dx=∫​9−(3senθ)2 3cosθdθ.∫9−x2 dx=∫​9−(3senθ)2 3cosθdθ.

Tras simplificar, tenemos

∫​9−x2 dx=∫​91−sen2 θcosθdθ.∫​9−x2 dx=∫​91−sen2 θcosθdθ.

Supongamos que 1−sen2 θ=cos2 θ,1−sen2 θ=cos2 θ, ahora tenemos

∫​9−x2 dx=∫​9cos2 θcosθdθ.∫​9−x2 dx=∫​9cos2 θcosθdθ.

Suponiendo que cosθ≥0,cosθ≥0, tenemos

∫​9−x2 dx=∫​9cos2 θdθ.∫​9−x2 dx=∫​9cos2 θdθ.

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea.

Para evaluar las integrales que implican a2 −x2 ,a2 −x2 , hacemos la sustitución x=asenθx=asenθ y dx=acosθ.dx=acosθ. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de a2 −x2 a2 −x2 es [−a,a].[−a,a]. Por lo tanto, −a≤x≤a.−a≤x≤a. En consecuencia, −1≤xa≤1.−1≤xa≤1. Dado que el rango de senxsenx en [−(π/2 ),π/2 ][−(π/2 ),π/2 ] es [−1,1],[−1,1], hay un ángulo único θθ que satisface −(π/2 )≤θ≤π/2 −(π/2 )≤θ≤π/2 por lo que senθ=x/a,senθ=x/a, o, de forma equivalente, de modo que x=asenθ.x=asenθ. Si sustituimos x=asenθx=asenθ en a2 −x2 ,a2 −x2 , obtenemos

a2 −x2 =a2 −(asenθ)2 Supongamos quex=asenθdonde−π2 ≤θ≤π2 .Simplifique.=a2 −a2 sen2 θSaque el factor comúna2 .=a2 (1−sen2 θ)Sustituya1−sen2 x=cos2 x.=a2 cos2 θTome la raíz cuadrada.=|acosθ|=acosθ.a2 −x2 =a2 −(asenθ)2 Supongamos quex=asenθdonde−π2 ≤θ≤π2 .Simplifique.=a2 −a2 sen2 θSaque el factor comúna2 .=a2 (1−sen2 θ)Sustituya1−sen2 x=cos2 x.=a2 cos2 θTome la raíz cuadrada.=|acosθ|=acosθ.

Dado que cosθ≥0cosθ≥0 en −π2 ≤θ≤π2 −π2 ≤θ≤π2 y a>0,a>0, |acosθ|=acosθ.|acosθ|=acosθ. Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x=asenθ,x=asenθ, podemos convertir una integral que implique un radical en una integral que incluya funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos volver a convertir la solución en una expresión que implique x.x. Para ver cómo hacer esto, vamos a empezar por suponer que 0<x<a.0<x<a. En este caso, 0<θ<π2 .0<θ<π2 . Dado que senθ=xa,senθ=xa, podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura 3.4 como ayuda para expresar los valores de cosθ,cosθ, tanθ,tanθ, y las funciones trigonométricas restantes en términos de x.x. Se puede demostrar que este triángulo produce realmente los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en θθ para todo θθ que satisface −π2 ≤θ≤π2 .−π2 ≤θ≤π2 . Es útil observar que la expresión a2 −x2 a2 −x2 aparece en realidad como la longitud de un lado del triángulo. Por último, si θθ aparece solo, utilizamos θ=sen−1(xa).θ=sen−1(xa).

Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como "a", el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como raíz cuadrada de (a^2 - x^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sen(theta) = x/a.
Figura 3.4 Un triángulo de referencia puede ayudar a expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θθ en términos de x.x.

Lo esencial de este debate se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a2 −x2 a2 −x2

  1. Una buena idea es asegurarse de que la integral no se puede evaluar fácilmente de otra manera. Por ejemplo, si bien este método puede aplicarse a integrales de la forma ∫1a2 −x2 dx,∫1a2 −x2 dx, ∫xa2 −x2 dx,∫xa2 −x2 dx, y ∫xa2 −x2 dx,∫xa2 −x2 dx, cada una de ellas se puede integrar directamente mediante fórmula o mediante una simple sustitución en u.
  2. Realice la sustitución x=asenθx=asenθ y dx=acosθdθ.dx=acosθdθ. Nota: Esta sustitución da como resultado a2 −x2 =acosθ.a2 −x2 =acosθ.
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.4 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=sen−1(xa).θ=sen−1(xa).

El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo 3.21

Integración de una expresión que implica a2 −x2 a2 −x2

Evalúe ∫​9−x2 dx.∫​9−x2 dx.

Solución

Comience por hacer las sustituciones x=3senθx=3senθ y dx=3cosθdθ.dx=3cosθdθ. Dado que senθ=x3,senθ=x3, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como 3, el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como raíz cuadrada de (9 – x^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sen(theta) = x/3.
Figura 3.5 Se puede construir un triángulo de referencia para el Ejemplo 3.21.

Por lo tanto,

∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 − ( 3 sen θ ) 2 3 cos θ d θ Sustituya x = 3 sen θ y d x = 3 cos θ d θ . = ∫ ​ 9 ( 1 − sen 2 θ ) 3 cos θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 9 cos 2 θ 3 cos θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ . = ∫ ​ 3 | cos θ | 3 cos θ d θ Tome la raíz cuadrada. = ∫ ​ 9 cos 2 θ d θ Simplifique. Dado que − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , cos θ ≥ 0 y | cos θ | = cos θ . = ∫ ​ 9 ( 1 2 + 1 2 cos ( 2 θ ) ) d θ Utilice la estrategia para integrar una potencia par de cos θ . = 9 2 θ + 9 4 sen ( 2 θ ) + C Evalúe la integral. = 9 2 θ + 9 4 ( 2 sen θ cos θ ) + C Sustituya sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ . = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + 9 2 . x 3 . 9 − x 2 3 + C Sustituya sen −1 ( x 3 ) = θ y sen θ = x 3 . Utilice el triángulo de referencia para ver que cos θ = 9 − x 2 3 y haga esta sustitución. = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + x 9 − x 2 2 + C . Simplifique. ∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 − ( 3 sen θ ) 2 3 cos θ d θ Sustituya x = 3 sen θ y d x = 3 cos θ d θ . = ∫ ​ 9 ( 1 − sen 2 θ ) 3 cos θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 9 cos 2 θ 3 cos θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ . = ∫ ​ 3 | cos θ | 3 cos θ d θ Tome la raíz cuadrada. = ∫ ​ 9 cos 2 θ d θ Simplifique. Dado que − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , cos θ ≥ 0 y | cos θ | = cos θ . = ∫ ​ 9 ( 1 2 + 1 2 cos ( 2 θ ) ) d θ Utilice la estrategia para integrar una potencia par de cos θ . = 9 2 θ + 9 4 sen ( 2 θ ) + C Evalúe la integral. = 9 2 θ + 9 4 ( 2 sen θ cos θ ) + C Sustituya sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ . = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + 9 2 . x 3 . 9 − x 2 3 + C Sustituya sen −1 ( x 3 ) = θ y sen θ = x 3 . Utilice el triángulo de referencia para ver que cos θ = 9 − x 2 3 y haga esta sustitución. = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + x 9 − x 2 2 + C . Simplifique.

Ejemplo 3.22

Integración de una expresión que implica a2 −x2 a2 −x2

Evalúe ∫4−x2 xdx.∫4−x2 xdx.

Solución

Primero haga las sustituciones x=2 senθx=2 senθ y dx=2 cosθdθ.dx=2 cosθdθ. Dado que senθ=x2 ,senθ=x2 , podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. El cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como raíz cuadrada de (4 – x^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sen(theta) = x/2.
Figura 3.6 Se puede construir un triángulo de referencia para el Ejemplo 3.22.

Por lo tanto,

∫ 4 − x 2 x d x = ∫ 4 − ( 2 sen θ ) 2 2 sen θ 2 cos θ d θ Sustituya x = 2 sen θ y = 2 cos θ d θ . = ∫ 2 cos 2 θ sen θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ y simplifique. = ∫ 2 ( 1 − sen 2 θ ) sen θ d θ Sustituya sen 2 θ = 1 − cos 2 θ . = ∫ ​ ( 2 csc θ − 2 sen θ ) d θ Separe el numerador, simplifique y utilice csc θ = 1 sen θ . = 2 ln | csc θ − cot θ | + 2 cos θ + C Evalúe la integral. = 2 ln | 2 x − 4 − x 2 x | + 4 − x 2 + C . Utilice el triángulo de referencia para reescribir la expresión en términos de x y simplifique. ∫ 4 − x 2 x d x = ∫ 4 − ( 2 sen θ ) 2 2 sen θ 2 cos θ d θ Sustituya x = 2 sen θ y = 2 cos θ d θ . = ∫ 2 cos 2 θ sen θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ y simplifique. = ∫ 2 ( 1 − sen 2 θ ) sen θ d θ Sustituya sen 2 θ = 1 − cos 2 θ . = ∫ ​ ( 2 csc θ − 2 sen θ ) d θ Separe el numerador, simplifique y utilice csc θ = 1 sen θ . = 2 ln | csc θ − cot θ | + 2 cos θ + C Evalúe la integral. = 2 ln | 2 x − 4 − x 2 x | + 4 − x 2 + C . Utilice el triángulo de referencia para reescribir la expresión en términos de x y simplifique.

En el siguiente ejemplo, vemos que a veces podemos elegir entre varios métodos.

Ejemplo 3.23

Integración de una expresión que implica a2 −x2 a2 −x2 Dos maneras

Evalúe ∫​x31−x2 dx∫​x31−x2 dx de dos maneras: primero utilizando la sustitución u=1−x2 u=1−x2 y luego utilizando una sustitución trigonométrica.

Solución

Método 1

Supongamos que u=1−x2 u=1−x2 y por lo tanto x2 =1−u.x2 =1−u. Por lo tanto, du=–2xdx.du=–2xdx. En este caso, la integral se convierte en

∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = − 1 2 ∫ ​ x 2 1 − x 2 ( −2 x d x ) Haga la sustitución. = − 1 2 ∫ ​ ( 1 − u ) u d u Amplíe la expresión. = − 1 2 ∫ ( u 1 / 2 − u 3 / 2 ) d u Evalúe la integral. = − 1 2 ( 2 3 u 3 / 2 − 2 5 u 5 / 2 ) + C Reescriba en términos de x . = − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 + C . ∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = − 1 2 ∫ ​ x 2 1 − x 2 ( −2 x d x ) Haga la sustitución. = − 1 2 ∫ ​ ( 1 − u ) u d u Amplíe la expresión. = − 1 2 ∫ ( u 1 / 2 − u 3 / 2 ) d u Evalúe la integral. = − 1 2 ( 2 3 u 3 / 2 − 2 5 u 5 / 2 ) + C Reescriba en términos de x . = − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 + C .

Método 2

Supongamos que x=senθ.x=senθ. En este caso, dx=cosθdθ.dx=cosθdθ. Mediante esta sustitución, tenemos

∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = ∫ ​ sen 3 θ cos 2 θ d θ = ∫ ​ ( 1 − cos 2 θ ) cos 2 θ sen θ d θ Supongamos que u = cos θ . Por lo tanto, d u = − sen θ d θ . = ∫ ​ ( u 4 − u 2 ) d u = 1 5 u 5 − 1 3 u 3 + C Sustituya cos θ = u . = 1 5 cos 5 θ − 1 3 cos 3 θ + C Utilice un triángulo de referencia para ver que cos θ = 1 − x 2 . = 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 – 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + C . ∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = ∫ ​ sen 3 θ cos 2 θ d θ = ∫ ​ ( 1 − cos 2 θ ) cos 2 θ sen θ d θ Supongamos que u = cos θ . Por lo tanto, d u = − sen θ d θ . = ∫ ​ ( u 4 − u 2 ) d u = 1 5 u 5 − 1 3 u 3 + C Sustituya cos θ = u . = 1 5 cos 5 θ − 1 3 cos 3 θ + C Utilice un triángulo de referencia para ver que cos θ = 1 − x 2 . = 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 – 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + C .

Punto de control 3.14

Reescriba la integral ∫x325−x2 dx∫x325−x2 dx utilizando la sustitución trigonométrica adecuada (no evalúe la integral).

Integración de expresiones que implican a2 +x2 a2 +x2

Para las integrales que contienen a2 +x2 ,a2 +x2 , consideremos primero el dominio de esta expresión. Dado que a2 +x2 a2 +x2 se define para todos los valores reales de x,x, limitamos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar x=atanθx=atanθ o x=acotθ.x=acotθ. Cualquiera de estas sustituciones podría funcionar, pero la sustitución estándar es x=atanθx=atanθ o, de forma equivalente, tanθ=x/a.tanθ=x/a. Con esta sustitución, suponemos que −(π/2 )<θ<π/2 ,−(π/2 )<θ<π/2 , por lo que también tenemos θ=tan–1(x/a).θ=tan–1(x/a). El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a2 +x2 a2 +x2

  1. Compruebe si la integral se puede evaluar fácilmente utilizando otro método. En algunos casos, es más conveniente utilizar un método alternativo.
  2. Sustituya x=atanθx=atanθ y dx=asec2 θdθ.dx=asec2 θdθ. Esta sustitución da como resultado
     a2 +x2 =a2 +(atanθ)2 =a2 (1+tan2 θ)=a2 sec2 θ=|asecθ|=asecθ.a2 +x2 =a2 +(atanθ)2 =a2 (1+tan2 θ)=a2 sec2 θ=|asecθ|=asecθ. (Dado que −π2 <θ<π2 −π2 <θ<π2 y secθ>0secθ>0 en este intervalo, |asecθ|=asecθ.)|asecθ|=asecθ.)
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 3.7 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=tan–1(xa).θ=tan–1(xa). (Nota: El triángulo de referencia se basa en la suposición de que x>0;x>0; sin embargo, las razones trigonométricas producidas a partir del triángulo de referencia son las mismas que las razones para las que x≤0,)x≤0,)
Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como la raíz cuadrada de (a^2+x^2), el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como "a". A la izquierda del triángulo aparece la ecuación tan(theta) = x/a.
Figura 3.7 Se puede construir un triángulo de referencia para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θθ en términos de x.x.

Ejemplo 3.24

Integración de una expresión que implica a2 +x2 a2 +x2

Evalúe ∫dx1+x2 ∫dx1+x2 y diferencie para comprobar la solución.

Solución

Comience con la sustitución x=tanθx=tanθ y dx=sec2 θdθ.dx=sec2 θdθ. Dado que tanθ=x,tanθ=x, dibuje el triángulo de referencia en la siguiente figura.

Esta figura es un triángulo rectángulo. Tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como la raíz cuadrada de (1+x^2), el cateto vertical está marcado como "x" y el cateto horizontal está marcado como 1. A la izquierda del triángulo aparece la ecuación tan(theta) = x/1.
Figura 3.8 El triángulo de referencia para el Ejemplo 3.24.

Por lo tanto,

∫ d x 1 + x 2 = ∫ sec 2 θ sec θ d θ Sustituya x = tan θ y d x = sec 2 θ d θ . Esta sustitución hace que 1 + x 2 = sec θ . Simplifique. = ∫ ​ sec θ d θ Evalúe la integral. = ln | sec θ + tan θ | + C Utilice el triángulo de referencia para expresar el resultado en términos de x . = ln | 1 + x 2 + x | + C . ∫ d x 1 + x 2 = ∫ sec 2 θ sec θ d θ Sustituya x = tan θ y d x = sec 2 θ d θ . Esta sustitución hace que 1 + x 2 = sec θ . Simplifique. = ∫ ​ sec θ d θ Evalúe la integral. = ln | sec θ + tan θ | + C Utilice el triángulo de referencia para expresar el resultado en términos de x . = ln | 1 + x 2 + x | + C .

Para comprobar la solución, diferencie:

d d x ( ln | 1 + x 2 + x | ) = 1 1 + x 2 + x . ( x 1 + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 + x . x + 1 + x 2 1 + x 2 = 1 1 + x 2 . d d x ( ln | 1 + x 2 + x | ) = 1 1 + x 2 + x . ( x 1 + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 + x . x + 1 + x 2 1 + x 2 = 1 1 + x 2 .

Dado que 1+x2 +x>01+x2 +x>0 para todos los valores de x,x, podríamos reescribir ln|1+x2 +x|+C=ln(1+x2 +x)+C,ln|1+x2 +x|+C=ln(1+x2 +x)+C, si se desea.

Ejemplo 3.25

Evaluar ∫dx1+x2 ∫dx1+x2 Utilizando una sustitución diferente

Utilice la sustitución x=senohθx=senohθ para evaluar ∫dx1+x2 .∫dx1+x2 .

Solución

Porque senohθsenohθ tiene un rango de todos los números reales y 1+senoh2 θ=cosh2 θ,1+senoh2 θ=cosh2 θ, también podemos utilizar la sustitución x=senohθx=senohθ para evaluar esta integral. En este caso, dx=coshθdθ.dx=coshθdθ. En consecuencia,

∫ d x 1 + x 2 = ∫ cosh θ 1 + senoh 2 θ d θ Sustituya x = senoh θ y d x = cosh θ d θ . Sustituya 1 + senoh 2 θ = cosh 2 θ . = ∫ cosh θ cosh 2 θ d θ cosh 2 θ = | cosh θ | = ∫ cosh θ | cosh θ | d θ | cosh θ | = cosh θ dado que cosh θ > 0 para todo θ . = ∫ cosh θ cosh θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 1 d θ Evalúe la integral. = θ + C Dado que x = senoh θ , sabemos que θ = senoh −1 x . = senoh −1 x + C . ∫ d x 1 + x 2 = ∫ cosh θ 1 + senoh 2 θ d θ Sustituya x = senoh θ y d x = cosh θ d θ . Sustituya 1 + senoh 2 θ = cosh 2 θ . = ∫ cosh θ cosh 2 θ d θ cosh 2 θ = | cosh θ | = ∫ cosh θ | cosh θ | d θ | cosh θ | = cosh θ dado que cosh θ > 0 para todo θ . = ∫ cosh θ cosh θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 1 d θ Evalúe la integral. = θ + C Dado que x = senoh θ , sabemos que θ = senoh −1 x . = senoh −1 x + C .

Análisis

Esta respuesta es muy diferente a la obtenida mediante la sustitución x=tanθ.x=tanθ. Para ver que las soluciones son las mismas, establezca y=senoh−1x.y=senoh−1x. Por lo tanto, senohy=x.senohy=x. De esta ecuación obtenemos:

ey−e−y2 =x.ey−e−y2 =x.

Después de multiplicar ambos lados por 2 ey2 ey y reescribiendo, esta ecuación se convierte en:

e2 y−2 xey−1=0.e2 y−2 xey−1=0.

Utilice la ecuación cuadrática para resolver ey:ey:

ey=2 x±4x2 +42 .ey=2 x±4x2 +42 .

Simplificando, tenemos:

ey=x±x2 +1.ey=x±x2 +1.

Dado que x–x2 +1<0,x–x2 +1<0, el caso debe ser que ey=x+x2 +1.ey=x+x2 +1. Por lo tanto,

y=ln(x+x2 +1).y=ln(x+x2 +1).

Por último, obtenemos

senoh−1x=ln(x+x2 +1).senoh−1x=ln(x+x2 +1).

Después de hacer la observación final de que, como x+x2 +1>0,x+x2 +1>0,

ln(x+x2 +1)=ln|1+x2 +x|,ln(x+x2 +1)=ln|1+x2 +x|,

vemos que los dos métodos diferentes producen soluciones equivalentes.

Ejemplo 3.26

Hallar una longitud de arco

Calcule la longitud de la curva y=x2 y=x2 en el intervalo [0,12 ].[0,12 ].

Solución

Debido a que dydx=2 x,dydx=2 x, la longitud de arco está dada por

∫ 0 1 / 2 1 + ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x . ∫ 0 1 / 2 1 + ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x .

Para evaluar esta integral, utilice la sustitución x=12 tanθx=12 tanθ y dx=12 sec2 θdθ.dx=12 sec2 θdθ. También tenemos que cambiar los límites de la integración. Si x=0,x=0, entonces θ=0θ=0 y si x=12 ,x=12 , entonces θ=π4.θ=π4. Por lo tanto,

∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x = ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 θ 1 2 sec 2 θ d θ Después de la sustitución, 1 + 4 x 2 = tan θ . Sustituya 1 + tan 2 θ = sec 2 θ y simplifique. = 1 2 ∫ 0 π / 4 sec 3 θ d θ Derivamos esta integral en la sección anterior. = 1 2 ( 1 2 s θ tan θ + 1 2 ln | sec θ + tan θ | ) | 0 π / 4 Evalúe y simplifique. = 1 4 ( 2 + ln ( 2 + 1 ) ) . ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x = ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 θ 1 2 sec 2 θ d θ Después de la sustitución, 1 + 4 x 2 = tan θ . Sustituya 1 + tan 2 θ = sec 2 θ y simplifique. = 1 2 ∫ 0 π / 4 sec 3 θ d θ Derivamos esta integral en la sección anterior. = 1 2 ( 1 2 s θ tan θ + 1 2 ln | sec θ + tan θ | ) | 0 π / 4 Evalúe y simplifique. = 1 4 ( 2 + ln ( 2 + 1 ) ) .

Punto de control 3.15

Reescriba ∫​x3x2 +4dx∫​x3x2 +4dx utilizando una sustitución que implique tanθ.tanθ.

Integración de expresiones que implican x2 −a2 x2 −a2

El dominio de la expresión x2 −a2 x2 −a2 es (−∞,−a]∪[a,+∞).(−∞,−a]∪[a,+∞). Por lo tanto, o bien x≤−ax≤−a o x≥a.x≥a. Por lo tanto, xa≤−1xa≤−1 o xa≥1.xa≥1. Dado que estos intervalos corresponden al rango de secθsecθ en el conjunto [0,π2 )∪(π2 ,π],[0,π2 )∪(π2 ,π], tiene sentido utilizar la sustitución secθ=xasecθ=xa o, de forma equivalente, x=asecθ,x=asecθ, donde 0≤θ<π2 0≤θ<π2 o π2 <θ≤π.π2 <θ≤π. La sustitución correspondiente para dxdx es dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integrales que implican x2 −a2 x2 −a2

  1. Compruebe si la integral no se puede evaluar utilizando otro método. Si es así, podemos considerar la aplicación de una técnica alternativa.
  2. Sustituya x=asecθx=asecθ y dx=asecθtanθdθ.dx=asecθtanθdθ. Esta sustitución da produce
    x2 −a2 =(asecθ)2 −a2 =a2 (sec2 θ−1)=a2 tan2 θ=|atanθ|.x2 −a2 =(asecθ)2 −a2 =a2 (sec2 θ−1)=a2 tan2 θ=|atanθ|.

     Para x≥a,x≥a, |atanθ|=atanθ|atanθ|=atanθ y para x≤−a,x≤−a, |atanθ|=−atanθ.|atanθ|=−atanθ.
  3. Simplifique la expresión.
  4. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas.
  5. Utilice los triángulos de referencia de la Figura 3.9 para reescribir el resultado en términos de x.x. Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ=sec−1(xa).θ=sec−1(xa). (Nota: Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las razones trigonométricas son diferentes dependiendo de si x≥ax≥a o x≤−a.)x≤−a.)
Esta figura tiene dos triángulos rectángulos. El primer triángulo está en el primer cuadrante del sistema de coordenadas xy y tiene un ángulo marcado como theta. Este ángulo está opuesto al lado vertical. La hipotenusa está marcada como "x", el cateto vertical está marcado como la raíz cuadrada de (x^2-a^2) y el cateto horizontal está marcado como "a". El cateto horizontal está en el eje x. A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sec(theta) = x/a, x>a. También aparecen las ecuaciones sen(theta)= la raíz cuadrada de (x^2-a^2)/x, cos(theta) = a/x y tan(theta) = la raíz cuadrada de (x^2-a^2)/a. El segundo triángulo está en el segundo cuadrante, con la hipotenusa marcada como -x. El cateto horizontal está marcado como –a y está en el eje x negativo. El cateto vertical está marcado como raíz cuadrada de (x^2-a^2). A la izquierda del triángulo aparece la ecuación sec(theta) = x/a, x<-a. También aparecen las ecuaciones sen(theta)= la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2)/x, cos(theta) = a/x y tan(theta) = la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2)/a.
Figura 3.9 Utilice el triángulo de referencia adecuado para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θθ en términos de x.x.

Ejemplo 3.27

Hallar el área de una región

Halle el área de la región entre el gráfico de f(x)=x2 −9f(x)=x2 −9 y el eje x en el intervalo [3,5].[3,5].

Solución

En primer lugar, dibuje un gráfico aproximado de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura.

Esta figura es el gráfico de la función f(x) = la raíz cuadrada de (x^2-9). Es una curva creciente que comienza en el eje x en 3 y está en el primer cuadrante. Debajo de la curva sobre el eje x hay una región sombreada delimitada a la derecha en x = 5.
Figura 3.10 El cálculo del área de la región sombreada requiere evaluar una integral con una sustitución trigonométrica.

Podemos ver que el área es A=∫35x2 −9dx.A=∫35x2 −9dx. Para evaluar esta integral definida, sustituya x=3secθx=3secθ y dx=3secθtanθdθ.dx=3secθtanθdθ. También debemos cambiar los límites de la integración. Si x=3,x=3, entonces 3=3secθ3=3secθ y por lo tanto θ=0.θ=0. Si x=5,x=5, entonces θ=sec−1(53).θ=sec−1(53). Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos

Área = ∫ 3 5 x 2 − 9 d x = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 tan 2 θ sec θ d θ Utilice tan 2 θ = 1 − sec 2 θ . = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 2 θ − 1 ) sec θ d θ Expanda. = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 3 θ − sec θ ) d θ Evalúe la integral. = ( 9 2 ln | sec θ + tan θ | + 9 2 s θ tan θ ) − 9 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Simplifique. = 9 2 s θ tan θ − 9 2 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Evalúe. Utilice sec ( sec −1 5 3 ) = 5 3 y tan ( sec −1 5 3 ) = 4 3 . = 9 2 . 5 3 . 4 3 − 9 2 ln | 5 3 + 4 3 | − ( 9 2 . 1 . 0 − 9 2 ln | 1 + 0 | ) = 10 − 9 2 ln 3 . Área = ∫ 3 5 x 2 − 9 d x = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 tan 2 θ sec θ d θ Utilice tan 2 θ = 1 − sec 2 θ . = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 2 θ − 1 ) sec θ d θ Expanda. = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 3 θ − sec θ ) d θ Evalúe la integral. = ( 9 2 ln | sec θ + tan θ | + 9 2 s θ tan θ ) − 9 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Simplifique. = 9 2 s θ tan θ − 9 2 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Evalúe. Utilice sec ( sec −1 5 3 ) = 5 3 y tan ( sec −1 5 3 ) = 4 3 . = 9 2 . 5 3 . 4 3 − 9 2 ln | 5 3 + 4 3 | − ( 9 2 . 1 . 0 − 9 2 ln | 1 + 0 | ) = 10 − 9 2 ln 3 .

Punto de control 3.16

Evalúe ∫dxx2 −4.∫dxx2 −4. Supongamos que x>2 .x>2 .

Sección 3.3 ejercicios

Simplifique las siguientes expresiones escribiendo cada una de ellas con una sola función trigonométrica.

126.

4 − 4 sen 2 θ 4 − 4 sen 2 θ

127.

9 sec 2 θ − 9 9 sec 2 θ − 9

128.

a 2 + a 2 tan 2 θ a 2 + a 2 tan 2 θ

129.

a 2 + a 2 senoh 2 θ a 2 + a 2 senoh 2 θ

130.

16 cosh 2 θ − 16 16 cosh 2 θ − 16

Utilice la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio como el cuadrado de un binomio o el cuadrado de un binomio más una constante.

131.

4 x 2 − 4 x + 1 4 x 2 − 4 x + 1

132.

2 x 2 − 8 x + 3 2 x 2 − 8 x + 3

133.

− x 2 − 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4

Integre utilizando el método de sustitución trigonométrica. Exprese la respuesta final en términos de la variable.

134.

∫ d x 4 − x 2 ∫ d x 4 − x 2

135.

∫ d x x 2 − a 2 ∫ d x x 2 − a 2

136.

∫ 4 − x 2 d x ∫ 4 − x 2 d x

137.

∫ d x 1 + 9 x 2 ∫ d x 1 + 9 x 2

138.

∫ x 2 d x 1 − x 2 ∫ x 2 d x 1 − x 2

139.

∫ d x x 2 1 − x 2 ∫ d x x 2 1 − x 2

140.

∫ d x ( 1 + x 2 ) 2 ∫ d x ( 1 + x 2 ) 2

141.

∫ x 2 + 9 d x ∫ x 2 + 9 d x

142.

∫ x 2 − 25 x d x ∫ x 2 − 25 x d x

143.

∫ θ 3 d θ 9 − θ 2 ∫ θ 3 d θ 9 − θ 2

144.

∫ d x x 6 − x 2 ∫ d x x 6 − x 2

145.

∫ x 6 − x 8 d x ∫ x 6 − x 8 d x

146.

∫ d x ( 1 + x 2 ) 3 / 2 ∫ d x ( 1 + x 2 ) 3 / 2

147.

∫ d x ( x 2 − 9 ) 3 / 2 ∫ d x ( x 2 − 9 ) 3 / 2

148.

∫ 1 + x 2 d x x ∫ 1 + x 2 d x x

149.

∫ x 2 d x x 2 – 1 ∫ x 2 d x x 2 – 1

150.

∫ x 2 d x x 2 + 4 ∫ x 2 d x x 2 + 4

151.

∫ d x x 2 x 2 + 1 ∫ d x x 2 x 2 + 1

152.

∫ x 2 d x 1 + x 2 ∫ x 2 d x 1 + x 2

153.

∫ –1 1 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 d x ∫ –1 1 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 d x

En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones x=senohθ,coshθ,x=senohθ,coshθ, o tanhθ.tanhθ. Exprese las respuestas finales en términos de la variable x.

154.

∫ d x x 2 – 1 ∫ d x x 2 – 1

155.

∫ d x x 1 − x 2 ∫ d x x 1 − x 2

156.

∫ x 2 – 1 d x ∫ x 2 – 1 d x

157.

∫ x 2 – 1 x 2 d x ∫ x 2 – 1 x 2 d x

158.

∫ d x 1 − x 2 ∫ d x 1 − x 2

159.

∫ 1 + x 2 x 2 d x ∫ 1 + x 2 x 2 d x

Utilice la técnica de completar el cuadrado para evaluar las siguientes integrales.

160.

∫ 1 x 2 − 6 x d x ∫ 1 x 2 − 6 x d x

161.

∫ 1 x 2 + 2 x + 1 d x ∫ 1 x 2 + 2 x + 1 d x

162.

∫ 1 − x 2 + 2 x + 8 d x ∫ 1 − x 2 + 2 x + 8 d x

163.

∫ 1 − x 2 + 10 x d x ∫ 1 − x 2 + 10 x d x

164.

∫ 1 x 2 + 4 x − 12 d x ∫ 1 x 2 + 4 x − 12 d x

165.

Evalúe la integral sin usar cálculo: ∫−339−x2 dx.∫−339−x2 dx.

166.

Halle el área encerrada por la elipse x2 4+y2 9=1.x2 4+y2 9=1.

167.

Evalúe la integral ∫dx1−x2 ∫dx1−x2 utilizando dos sustituciones diferentes. En primer lugar, supongamos que x=cosθx=cosθ y evalúe utilizando la sustitución trigonométrica. En segundo lugar, supongamos que x=senθx=senθ y utilice la sustitución trigonométrica. ¿Las respuestas son las mismas?

168.

Evalúe la integral ∫dxxx2 –1∫dxxx2 –1 utilizando la sustitución x=secθ.x=secθ. A continuación, evalúe la misma integral utilizando la sustitución x=cscθ.x=cscθ. Demuestre que los resultados son equivalentes.

169.

Evalúe la integral ∫xx2 +1dx∫xx2 +1dx utilizando la forma ∫1udu.∫1udu. A continuación, evalúe la misma integral utilizando x=tanθ.x=tanθ. ¿Los resultados son los mismos?

170.

Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral ∫xx2 +1dx.∫xx2 +1dx. ¿Por qué ha elegido este método?

171.

Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral ∫x2 x2 –1dx.∫x2 x2 –1dx. ¿Por qué ha elegido este método?

172.

Evalúe ∫–11xdxx2 +1∫–11xdxx2 +1

173.

Halle la longitud de arco de la curva en el intervalo especificado: y=lnx,[1,5].y=lnx,[1,5]. Redondee la respuesta a tres decimales.

174.

Halle el área superficial del sólido que se genera al girar la región delimitada por los gráficos de y=x2 ,y=0,x=0,yx=2 y=x2 ,y=0,x=0,yx=2 alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a tres decimales).

175.

La región delimitada por el gráfico de f(x)=11+x2 f(x)=11+x2 y el eje x entre x=0x=0 y x=1x=1 se gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera.

Resuelva el problema de valor inicial de y en función de x.

176.

( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0 ( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0

177.

( 64 − x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3 ( 64 − x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3

178.

Halle el área delimitada por y=2 64−4x2 ,x=0,y=0,yx=2 .y=2 64−4x2 ,x=0,y=0,yx=2 .

179.

Un tanque de almacenamiento de petróleo puede describirse como el volumen generado cuando se gira el área delimitada por y=1664+x2 ,x=0,y=0,x=2 y=1664+x2 ,x=0,y=0,x=2 alrededor del eje x. Calcule el volumen del tanque (en metros cúbicos).

180.

Durante cada ciclo, la velocidad v (en pies por segundo) de un dispositivo robotizado de soldadura está dada por v=2 t−144+t2 ,v=2 t−144+t2 , donde t es el tiempo en segundos. Determine la expresión del desplazamiento s (en pies) en función de t si s=0s=0 cuando t=0.t=0.

181.

Halle la longitud de la curva y=16−x2 y=16−x2 entre x=0x=0 y x=2 .x=2 .