Ejercicios de repaso

Verdadero o falso. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que todas las funciones $f$ y $g$ son continuas en sus dominios.

439.

Si los valores de $f (x) > 0, f^{'} (x) > 0$ para todo $x,$ entonces la regla de la derecha subestima la integral $\int_{a}^{b} f (x) .$ Utilice un gráfico para justificar su respuesta.

440.

$\int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \int_{a}^{b} f (x) d x$

441.

Si $f (x) \leq g (x)$ para todo $x \in [a, b],$ entonces $\int_{a}^{b} f (x) \leq \int_{a}^{b} g (x) .$

442.

Toda función continua tiene una antiderivada.

Evalúe las sumas de Riemann $L_{4} y R_{4}$ en las siguientes funciones en el intervalo especificado. Compare su respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o utilice una calculadora para definir la respuesta.

443.

$y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ en $[−1, 1]$

444.

$y = ln (x^{2} + 1)$ en $[0, e]$

445.

$y = x^{2} sen x$ en $[0, π]$

446.

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ en $[1, 4]$

Evalúe las siguientes integrales.

447.

$\int_{–1}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) d x$

448.

$\int_{0}^{4} \frac{3 t}{\sqrt{1 + 6 t^{2}}} d t$

449.

$\int_{π / 3}^{π / 2} 2 sec (2 θ) tan (2 θ) d θ$

450.

$\int_{0}^{π / 4} e^{{cos}^{2} x} sen x cos x d x$

Calcule la antiderivada.

451.

$\int \frac{d x}{{(x + 4)}^{3}}$

452.

$\int x ln (x^{2}) d x$

453.

$\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}} d x$

454.

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} d x$

Halle la derivada.

455.

$\frac{d}{d t} \int_{0}^{t} \frac{sen x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

456.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{3}} \sqrt{4 - t^{2}} d t$

457.

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{ln (x)} (4 t + e^{t}) d t$

458.

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{cos x} e^{t^{2}} d t$

Los siguientes problemas consideran el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora

Año	Variación en 5 años ($)
1980	0
1985	−5.468.750
1990	−755.495
1995	–73.005
2000	–29.768
2005	–918
2010	–177

459.

Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es de 12 dólares, halle el costo medio por gigabyte de RAM en 1980.

460.

El costo promedio por gigabyte de RAM puede aproximarse mediante la función $C (t) = 8, 500, 000 {(0,65)}^{t},$ donde $t$ se mide en años desde 1980 y $C$ es el costo en dólares. Halle el costo promedio por gigabyte de memoria RAM entre 1980 y 2010.

461.

Halle el costo promedio de 1GB de RAM entre 2005 y 2010.

462.

La velocidad de la bala de un rifle puede aproximarse por $v (t) = 6.400 t^{2} - 6.505 t + 2.686,$ donde $t$ es segundos después del disparo y $v$ es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad durante el primer medio segundo después del disparo $0 \leq t \leq 0,5 .$ ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en 0,5 segundos?

463.

¿Cuál es la velocidad media de la bala durante el primer medio segundo?