Cálculo de las funciones hiperbólicas

2.9 Cálculo de las funciones hiperbólicas

Objetivos de aprendizaje

2.9.1 Aplicar las fórmulas de las derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas.
2.9.2 Aplicar las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas y sus integrales asociadas.
2.9.3 Describir las condiciones habituales de aplicación de una curva catenaria.

En Introducción a funciones y gráficos se presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección veremos las fórmulas de diferenciación e integración de las funciones hiperbólicas y sus inversas.

Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas

Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como

senoh x = \frac{e^{x} - e^{– x}}{2} y cosh x = \frac{e^{x} + e^{– x}}{2} .

Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de $senoh x$ y $cosh x .$ Los gráficos de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene seis gráficos. El primer gráfico marcado como "a" es de la función y = senh(x). Es una función creciente desde el 3.º cuadrante, pasando por el origen hasta el primer cuadrante. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de la función y=cosh(x). Es decreciente en el segundo cuadrante hasta la intersección y=1, luego se convierte en una función creciente. El tercer gráfico marcado como "c" es de la función y=tanh(x). Es una función creciente desde el tercer cuadrante, pasando por el origen, hasta el primer cuadrante. El cuarto gráfico está marcado como "d" y es de la función y=coth(x). Tiene dos partes, una en el tercer cuadrante y otra en el primer cuadrante con una asíntota vertical en el eje y. El quinto gráfico está marcado como "e" y es de la función y=sech(x). Es una curva sobre el eje x, que aumenta en el segundo cuadrante, hasta el eje y en y = 1 y luego disminuye. El sexto gráfico está marcado como "f" y es de la función y=csch(x). Tiene dos partes, una en el tercer cuadrante y otra en el primer cuadrante con una asíntota vertical en el eje de la y.

Figura 2.81 Gráficos de las funciones hiperbólicas.

Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si se observa $senoh x$ tenemos

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (senoh x) & = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{– x}}{2}) \\ = \frac{1}{2} [\frac{d}{d x} (e^{x}) - \frac{d}{d x} (e^{– x})] \\ = \frac{1}{2} [e^{x} + e^{– x}] = cosh x . \end{matrix}

De la misma manera, $(d / d x) cosh x = senoh x .$ Resumimos las fórmulas de diferenciación de las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla.

$f (x)$ grandes.	$\frac{d}{d x} f (x)$ grandes.
$senoh x$	$cosh x$
$cosh x$	$senoh x$
$tanh x$	${sech}^{2} x$
$coth x$	$− {csch}^{2} x$
$sech x$	$− sech x tanh x$
$csch x$	$− csch x coth x$

Tabla 2.2 Derivadas de las funciones hiperbólicas

Comparemos las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: $(d / d x) sen x = cos x$ y $(d / d x) senoh x = cosh x .$ Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en el signo: $(d / d x) cos x = − sen x,$ pero $(d / d x) cosh x = senoh x .$ A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar.

Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales.

\begin{matrix} \int senoh u d u & = & cosh u + C & \int {csch}^{2} u d u & = & − coth u + C \\ \int cosh u d u & = & senoh u + C & \int sech u tanh u d u & = & − sech u + C \\ \int {sech}^{2} u d u & = & tanh u + C & \int csch u coth u d u & = & − csch u + C \end{matrix}

Ejemplo 2.47

Diferenciación de funciones hiperbólicas

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} (senoh (x^{2}))$ grandes.
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$

Solución

Utilizando las fórmulas de la Tabla 2.2 y la regla de la cadena, obtenemos

$\frac{d}{d x} (senoh (x^{2})) = cosh (x^{2}) . 2 x$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x senoh x$

Punto de control 2.47

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} (tanh (x^{2} + 3 x))$ grandes.
$\frac{d}{d x} (\frac{1}{{(senoh x)}^{2}})$

Ejemplo 2.48

Integrales con funciones hiperbólicas

Evalúe las siguientes integrales:

$\int x cosh (x^{2}) d x$
$\int tanh x d x$

Solución

Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos.

Supongamos que $u = x^{2} .$ Entonces, $d u = 2 x d x$ y

$\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} senoh u + C = \frac{1}{2} senoh (x^{2}) + C .$
Supongamos que $u = cosh x .$ Entonces, $d u = senoh x d x$ y

$\int tanh x d x = \int \frac{senoh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C .$

Observe que $cosh x > 0$ para todo $x,$ por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener

$\int tanh x d x = ln (cosh x) + C .$

Punto de control 2.48

Evalúe las siguientes integrales:

$\int {senoh}^{3} x cosh x d x$
$\int {sech}^{2} (3 x) d x$

Cálculo de funciones hiperbólicas inversas

Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla.

Función	Dominio	Rango
${senoh}^{−1} x$	$(− \infty, \infty)$ grandes.	$(− \infty, \infty)$ grandes.
${cosh}^{−1} x$	$[1, \infty)$ grandes.	$[0, \infty)$ grandes.
${tanh}^{−1} x$	$(–1, 1)$ grandes.	$(− \infty, \infty)$ grandes.
${coth}^{−1} x$	$(− \infty, –1) \cup (1, \infty)$ grandes.	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$ grandes.
${sech}^{−1} x$	$(0, 1]$	$[0, \infty)$ grandes.
${csch}^{−1} x$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$ grandes.	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Tabla 2.3 Dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas

Los gráficos de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura.

Esta figura tiene seis gráficos. El primer gráfico marcado como "a" es de la función y = senh^-1(x). Es una función creciente desde el 3.º cuadrante, pasando por el origen hasta el primer cuadrante. El segundo gráfico está marcado como "b" y es de la función y=cosh^-1(x). Se encuentra en el primer cuadrante, comenzando en el eje x en 2 y aumentando. El tercer gráfico marcado como "c" es de la función y=tanh^-1(x). Es una función creciente desde el tercer cuadrante, pasando por el origen, hasta el primer cuadrante. El cuarto gráfico está marcado como "d" y es de la función y=coth^-1(x). Tiene dos partes, una en el tercer cuadrante y otra en el primer cuadrante con una asíntota vertical en el eje de la y. El quinto gráfico está marcado como "e" y es de la función y=sech^-1(x). Es una curva decreciente en el primer cuadrante que se detiene en el eje x en x = 1. El sexto gráfico está marcado como "f" y es de la función y=csch^-1(x). Tiene dos partes, una en el tercer cuadrante y otra en el primer cuadrante con una asíntota vertical en el eje de la y.

Figura 2.82 Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas.

Para calcular las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos

\begin{matrix} y & = & {senoh}^{−1} x \\ senoh y & = & x \\ \frac{d}{d x} senoh y & = & \frac{d}{d x} x \\ cosh y \frac{d y}{d x} & = & 1 . \end{matrix}

Recordemos que ${cosh}^{2} y - {senoh}^{2} y = 1,$ por lo que $cosh y = \sqrt{1 + {senoh}^{2} y} .$ Entonces,

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {senoh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de forma similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla.

$f (x)$ grandes.	$\frac{d}{d x} f (x)$ grandes.
${senoh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
${cosh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$
${tanh}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${coth}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${sech}^{−1} x$	$\frac{−1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$
${csch}^{−1} x$	$\frac{−1}{\| x \| \sqrt{1 + x^{2}}}$

Tabla 2.4 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

Observe que las derivadas de ${tanh}^{−1} x$ y ${coth}^{−1} x$ son los mismos. Así, cuando integramos $1 / (1 - x^{2}),$ tenemos que seleccionar la antiderivada adecuada en función del dominio de las funciones y de los valores de $x .$ Las fórmulas de integración que involucran a las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera.

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {senoh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C si | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C si | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

Ejemplo 2.49

Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} ({senoh}^{−1} (\frac{x}{3}))$ grandes.
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$

Solución

Utilizando las fórmulas de la Tabla 2.4 y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados:

$\frac{d}{d x} ({senoh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$

Punto de control 2.49

Evalúe las siguientes derivadas:

$\frac{d}{d x} ({cosh}^{−1} (3 x))$ grandes.
$\frac{d}{d x} {({coth}^{−1} x)}^{3}$

Ejemplo 2.50

Integrales con funciones hiperbólicas inversas

Evalúe las siguientes integrales:

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Solución

Podemos utilizar la sustitución en $u$ en ambos casos.

Supongamos que $u = 2 x .$ Entonces, $d u = 2 d x$ y tenemos

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C .$
Supongamos que $u = 3 x .$ Entonces, $d u = 3 d x$ y obtenemos

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C .$

Punto de control 2.50

Evalúe las siguientes integrales:

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x, x > 2$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} d x$

Aplicaciones

Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes. Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria. Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes.

Una imagen de cadenas que cuelgan entre postes y adoptan la forma de una catenaria.

Figura 2.83 Las cadenas entre estos postes adoptan la forma de una catenaria (créditos: modificación del trabajo de OKFoundryCompany, Flickr).

Las funciones hiperbólicas pueden utilizarse para modelar catenarias. En concreto, las funciones de la forma $y = a cosh (x / a)$ son catenarias. La Figura 2.84 muestra el gráfico de $y = 2 cosh (x / 2) .$

Esta figura es un gráfico. Es de la función f(x)=2cosh(x/2). La curva disminuye en el segundo cuadrante hacia el eje y. Interseca el eje y en y = 2. Entonces la curva se vuelve creciente.

Figura 2.84 Una función coseno hiperbólico tiene la forma de una catenaria.

Ejemplo 2.51

Uso de una catenaria para calcular la longitud de un cable

Supongamos que un cable colgante tiene la forma $10 cosh (x / 10)$ por $−15 \leq x \leq 15,$ donde $x$ se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies).

Solución

Recuerde de la sección $2.4$ que la fórmula de la longitud de arco es

Longitud de arco = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Tenemos $f (x) = 10 cosh (x / 10),$ por lo que $f^{'} (x) = senoh (x / 10) .$ Entonces

\begin{matrix} Longitud de arco & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {senoh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

Recordemos que $1 + {senoh}^{2} x = {cosh}^{2} x,$ por lo que tenemos

\begin{matrix} Longitud de arco & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {senoh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 senoh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [senoh (\frac{3}{2}) - senoh (- \frac{3}{2})] = 20 senoh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42,586 pies . \end{matrix}

Punto de control 2.51

Supongamos que un cable colgante tiene la forma $15 cosh (x / 15)$ por $−20 \leq x \leq 20 .$ Determine la longitud del cable (en pies).

Sección 2.9 ejercicios

377.

[T] Halle expresiones para $cosh x + senoh x$ y $cosh x - senoh x .$ Utilice una calculadora para representar gráficamente estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta.

378.

A partir de las definiciones de $cosh (x)$ y $senoh (x),$ calcule sus antiderivadas.

379.

Demuestre que $cosh (x)$ y $senoh (x)$ satisfacen $y ″ = y .$

380.

Utilice la regla del cociente para verificar que $tanh (x)' = {sech}^{2} (x) .$

381.

Derive ${cosh}^{2} (x) + {senoh}^{2} (x) = cosh (2 x)$ de la definición.

382.

Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para $senoh (2 x) .$

383.

Pruebe que $senoh (x + y) = senoh (x) cosh (y) + cosh (x) senoh (y)$ cambiando la expresión a exponenciales.

384.

Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para $cosh (x + y) .$

En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones y gráfico dados junto con la función para garantizar que su respuesta sea correcta.

385.

[T] $cosh (3 x + 1)$ grandes.

386.

[T] $senoh (x^{2})$

387.

[T] $\frac{1}{cosh (x)}$ grandes.

388.

[T] $senoh (ln (x))$

389.

[T] ${cosh}^{2} (x) + {senoh}^{2} (x)$ grandes.

390.

[T] ${cosh}^{2} (x) - {senoh}^{2} (x)$

391.

[T] $tanh (\sqrt{x^{2} + 1})$ grandes.

392.

[T] $\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}$

393.

[T] ${senoh}^{6} (x)$ grandes.

394.

[T] $ln (sech (x) + tanh (x))$

En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones dadas.

395.

$cosh (2 x + 1)$ grandes.

396.

$tanh (3 x + 2)$ grandes.

397.

$x cosh (x^{2})$ grandes.

398.

$3 x^{3} tanh (x^{4})$ grandes.

399.

${cosh}^{2} (x) senoh (x)$ grandes.

400.

${tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)$ grandes.

401.

$\frac{senoh (x)}{1 + cosh (x)}$ grandes.

402.

$coth (x)$ grandes.

403.

$cosh (x) + senoh (x)$ grandes.

404.

${(cosh (x) + senoh (x))}^{n}$

En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones.

405.

${tanh}^{−1} (4 x)$ grandes.

406.

${senoh}^{−1} (x^{2})$ grandes.

407.

${senoh}^{−1} (cosh (x))$ grandes.

408.

${cosh}^{−1} (x^{3})$ grandes.

409.

${tanh}^{−1} (cos (x))$ grandes.

410.

$e^{{senoh}^{−1} (x)}$ grandes.

411.

$ln ({tanh}^{−1} (x))$ grandes.

En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones.

412.

$\int \frac{d x}{4 - x^{2}}$

413.

$\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}$

414.

$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

415.

$\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

416.

$\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

417.

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$

418.

$\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1}$

En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece a la ecuación $d v / d t = g - v^{2} .$

419.

Demuestre que $v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)$ satisface esta ecuación.

420.

Derive la expresión anterior para $v (t)$ integrando $\frac{d v}{g - v^{2}} = d t .$

421.

[T] Estime la caída de un cuerpo en $12$ segundos calculando el área bajo la curva de $v (t) .$

En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un cable que cuelga por su propio peso tiene una pendiente $S = d y / d x$ que satisface $d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}} .$ La constante $c$ es la relación entre la densidad del cable y la tensión.

422.

Demuestre que $S = senoh (c x)$ satisface esta ecuación.

423.

Integre $d y / d x = senoh (c x)$ para calcular la altura del cable $y (x)$ si $y (0) = 1 / c .$

424.

Haga un dibujo del cable y determine hasta qué punto se hunde en $x = 0 .$

En los siguientes ejercicios, resuelva cada problema.

425.

[T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen $2$ m de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación $y = 2 cosh (x / 2) - 1 .$ Calcule la pendiente de la catenaria en el poste de la valla de la izquierda.

426.

[T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen cuatro metros de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación $y = 4 cosh (x / 4) - 3 .$ Calcule la longitud total de la catenaria (longitud de arco).

427.

[T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por $y = 10 cosh (x / 10) .$ Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Qué observa?

428.

Una línea telefónica es una catenaria descrita por $y = a cosh (x / a) .$ Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Confirma esto su respuesta a la pregunta anterior?

429.

Demuestre la fórmula de la derivada de $y = {senoh}^{−1} (x)$ diferenciando $x = senoh (y) .$ (Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas).

430.

Demuestre la fórmula de la derivada de $y = {cosh}^{−1} (x)$ diferenciando $x = cosh (y) .$

(Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas).

431.

Demuestre la fórmula de la derivada de $y = {sech}^{−1} (x)$ diferenciando $x = sech (y) .$ (Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas).

432.

Compruebe que ${(cosh (x) + senoh (x))}^{n} = cosh (n x) + senoh (n x) .$

433.

Demuestre la expresión para ${senoh}^{−1} (x) .$ Multiplique $x = senoh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})$ entre $2 e^{y}$ , a la vez que resolvemos para $y .$ ¿Coincide su expresión con el libro de texto?

434.

Demuestre la expresión para ${cosh}^{−1} (x) .$ Multiplique $x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})$ entre $2 e^{y}$ , a la vez que resolvemos para $y .$ ¿Coincide su expresión con el libro de texto?