Sustitución - Cálculo volumen 2

1.5 Sustitución

Objetivos de aprendizaje

1.5.1 Utilizar la sustitución para evaluar integrales indefinidas.
1.5.2 Utiliza la sustitución para evaluar integrales definidas.

El teorema fundamental del cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar las sumas de Riemann. Este método no obstante tiene el inconveniente de que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinaremos una técnica, llamada integración por sustitución, que nos ayudará a encontrar antiderivadas. En concreto, este método nos ayuda a encontrar las antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada en cadena.

Al principio, el planteamiento del procedimiento de sustitución puede no parecer lo bastante evidente. Sin embargo, es una tarea principalmente visual, es decir, el integrando le muestra lo que debe hacer; es cuestión de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que debemos ver? Buscamos un integrando de la forma $f [g (x)] g^{'} (x) d x .$ Por ejemplo, en la integral $\int {(x^{2} - 3)}^{3} 2 x d x,$ tenemos $f (x) = x^{3}, g (x) = x^{2} - 3,$ y $g' (x) = 2 x .$ Entonces,

f [g (x)] g^{'} (x) = {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x),

y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta.

El método se llama de sustitución porque sustituimos parte del integrando por la variable u y parte del integrando por du. También se denomina cambio de variables porque cambiamos las variables para obtener una expresión más fácil de trabajar para aplicar las reglas de integración.

Teorema 1.7

Sustitución con integrales indefinidas

Supongamos que $u = g (x),,$ donde $g^{'} (x)$ es continua en un intervalo, supongamos que $f (x)$ es continua en el rango correspondiente de g, y que $F (x)$ es una antiderivada de $f (x) .$ Entonces,

\begin{matrix} \int f [g (x)] g^{'} (x) d x & = \int f (u) d u \\ = F (u) + C \\ = F (g (x)) + C . \end{matrix}

(1.19)

Prueba

Sean f, g, u y F los especificados en el teorema. Entonces

\begin{matrix} \frac{d}{d x} F (g (x)) & = F^{'} (g (x)) g^{'} (x) \\ = f [g (x)] g^{'} (x) . \end{matrix}

Al integrar ambos lados con respecto a x, vemos que

\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Si ahora sustituimos $u = g (x),$ y $d u = g' (x) d x,$ obtenemos

\begin{matrix} \int f [g (x)] g^{'} (x) d x & = \int f (u) d u \\ = F (u) + C \\ = F (g (x)) + C . \end{matrix}

□

Volviendo al problema que analizamos originalmente, supongamos que $u = x^{2} - 3$ y luego $d u = 2 x d x .$ Reescriba la integral en términos de u:

{\int \underset{u}{\underset{︸}{(x^{2} - 3)}}}^{3} \underset{d u}{\underset{︸}{(2 x d x)}} = \int u^{3} d u .

Al utilizar la regla de la potencia para las integrales, tenemos

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C .

Sustituya la expresión original de x en la solución:

\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{{(x^{2} - 3)}^{4}}{4} + C .

Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Integración por sustitución

Fíjese bien en el integrando y seleccione una expresión $g (x)$ dentro del integrando para establecerlo igual a u. Seleccionemos $g (x) .$ de manera que $g^{'} (x)$ también forma parte del integrando.
Sustituya $u = g (x)$ y $d u = g^{'} (x) d x .$ en la integral.
Ahora deberíamos ser capaces de evaluar la integral con respecto a u. Si la integral no puede ser evaluada, tenemos que devolvernos y seleccionar una expresión diferente para usarla como u.
Evalúe la integral en términos de u.
Escriba el resultado en términos de x y la expresión $g (x) .$

Ejemplo 1.30

Uso de la sustitución para encontrar una antiderivada

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada $\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x .$

Solución

El primer paso es elegir una expresión para u. Elegimos $u = 3 x^{2} + 4$ porque entonces $d u = 6 x d x,$ y ya tenemos du en el integrando. Escriba la integral en términos de u:

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x = \int u^{4} d u .

Recuerde que du es la derivada de la expresión elegida para u, sin importar lo que haya dentro del integrando. Ahora podemos evaluar la integral con respecto a u:

\begin{array}{l} \int u^{4} d u & = \frac{u^{5}}{5} + C \\ = \frac{{(3 x^{2} + 4)}^{5}}{5} + C . \end{array}

Análisis

Podemos comprobar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Escogiendo un valor para C de 1, suponemos que $y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1 .$ Tenemos

y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1,

así que

\begin{matrix} y^{'} & = (\frac{1}{5}) 5 {(3 x^{2} + 4)}^{4} 6 x \\ = 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} . \end{matrix}

Esta es exactamente la expresión con la que empezamos dentro del integrando.

Punto de control 1.25

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada $\int 3 x^{2} {(x^{3} - 3)}^{2} d x .$

A veces tenemos que ajustar las constantes de nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo.

Ejemplo 1.31

Utilizar la sustitución con la alteración

Utilice la sustitución para calcular $\int z \sqrt{z^{2} - 5} d z .$

Solución

Reescriba la integral como $\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z .$ Supongamos que $u = z^{2} - 5$ y $d u = 2 z d z .$ Ahora tenemos un problema porque $d u = 2 z d z$ y la expresión original solo tiene $z d z .$ Tenemos que alterar nuestra expresión para du o la integral en u será el doble de grande de lo que debería ser. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación du por $\frac{1}{2} .$ podemos resolver este problema. Por lo tanto,

\begin{matrix} u & = z^{2} - 5 \\ d u & = 2 z d z \\ \frac{1}{2} d u & = \frac{1}{2} (2 z) d z = z d z . \end{matrix}

Escriba la integral en términos de u, pero saque la $\frac{1}{2}$ fuera del símbolo de integración:

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z = \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u .

Integre la expresión en u:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u & = (\frac{1}{2}) \frac{u^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} + C \\ = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{3}) u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} {(z^{2} - 5)}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Punto de control 1.26

Utilice la sustitución para calcular $\int x^{2} {(x^{3} + 5)}^{9} d x .$

Ejemplo 1.32

Uso de la sustitución con integrales de funciones trigonométricas

Utilice la sustitución para evaluar la integral $\int \frac{sen t}{{cos}^{3} t} d t .$

Solución

Sabemos que la derivada de $cos t$ ¿es $− sen t,$ así que establecemos $u = cos t .$ Entonces $d u = − sen t d t .$ Sustituyendo en la integral, tenemos

\int \frac{sen t}{{cos}^{3} t} d t = − \int \frac{d u}{u^{3}} .

Al evaluar la integral, obtenemos

\begin{matrix} − \int \frac{d u}{u^{3}} & = − \int u^{−3} d u \\ = − (- \frac{1}{2}) u^{−2} + C . \end{matrix}

Volviendo a poner la respuesta en términos de t, obtenemos

\begin{matrix} \int \frac{sen t}{{cos}^{3} t} d t & = \frac{1}{2 u^{2}} + C \\ = \frac{1}{2 {cos}^{2} t} + C . \end{matrix}

Punto de control 1.27

Utilice la sustitución para evaluar la integral $\int \frac{cos t}{{sen}^{2} t} d t .$

A veces necesitamos manipular una integral de forma más complicada que simplemente multiplicar por o dividir entre una constante. Tenemos que eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando finalicemos, u debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver la variable original en términos de u. El siguiente ejemplo debería aclararnos esta técnica.

Ejemplo 1.33

Cómo encontrar una antiderivada mediante la sustitución en u

Utilice la sustitución para calcular la antiderivada $\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x .$

Solución

Supongamos que $u = x - 1,$ entonces $d u = d x .$ Pero esto no tiene en cuenta la x en el numerador del integrando. Necesitamos expresar x en términos de u. Si los valores de $u = x - 1,$ entonces $x = u + 1 .$ Ahora podemos reescribir la integral en términos de u:

\begin{array}{l} \int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x & = \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int \sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u . \end{array}

A continuación integramos de la forma habitual, sustituimos u por la expresión original, y factorizamos y simplificamos el resultado. Por lo tanto,

\begin{matrix} \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u & = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + 2 u^{1 / 2} + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3 / 2} + 2 {(x - 1)}^{1 / 2} + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} [\frac{2}{3} (x - 1) + 2] + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + \frac{6}{3}) \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x + \frac{4}{3}) \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{1 / 2} (x + 2) + C . \end{matrix}

Punto de control 1.28

Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida $\int {cos}^{3} t sen t d t .$

Sustitución de integrales definidas

La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian.

Teorema 1.8

Sustitución con integrales definidas

Supongamos que $u = g (x)$ y supongamos que $g^{′}$ es continua en un intervalo $[a, b],$ y que f es continua en el rango de $u = g (x) .$ Entonces,

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .

Aunque no demostraremos formalmente este teorema, lo justificamos con algunos cálculos. A partir de la regla de sustitución de integrales indefinidas, si $F (x)$ es una antiderivada de $f (x),$ tenemos

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Entonces

\begin{matrix} \int_{a}^{b} f [g (x)] g^{'} (x) d x & = {F (g (x)) |}_{x = a}^{x = b} \\ = F (g (b)) - F (g (a)) \\ = {F (u) |}_{u = g (a)}^{u = g (b)} \\ = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u, \end{matrix}

(1.20)

y obtenemos el resultado deseado.

Ejemplo 1.34

Uso de la sustitución para evaluar una integral definida

Utilice la sustitución para evaluar $\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x .$

Solución

Supongamos que $u = 1 + 2 x^{3},$ así que $d u = 6 x^{2} d x .$ Como la función original incluye un factor de x² y $d u = 6 x^{2} d x,$ multiplicamos ambos lados de la ecuación du por $1 / 6 .$ Entonces,

\begin{matrix} d u & = & 6 x^{2} d x \\ \frac{1}{6} d u & = & x^{2} d x . \end{matrix}

Para ajustar los límites de la integración, tenga en cuenta que cuando $x = 0, u = 1 + 2 (0) = 1,$ y cuando $x = 1, u = 1 + 2 (1) = 3 .$ Entonces

\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x = \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u .

Al evaluar esta expresión, obtenemos

\begin{matrix} \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u & = (\frac{1}{6}) (\frac{u^{6}}{6}) |_{1}^{3} \\ = \frac{1}{36} [{(3)}^{6} - {(1)}^{6}] \\ = \frac{182}{9} . \end{matrix}

Punto de control 1.29

Utilice la sustitución para evaluar la integral definida $\int_{−1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y .$

Ejemplo 1.35

Uso de la sustitución con una función exponencial

Utilice la sustitución para evaluar $\int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x .$

Solución

Supongamos que $u = 4 x^{2} + 3 .$ Entonces, $d u = 8 x d x .$ Para ajustar los límites de integración, observamos que cuando $x = 0, u = 3,$ y cuando $x = 1, u = 7 .$ Así que nuestra sustitución da como resultado

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x & = \frac{1}{8} \int_{3}^{7} e^{u} d u \\ = \frac{1}{8} e^{u} |_{3}^{7} \\ = \frac{e^{7} - e^{3}}{8} \\ \approx 134,568. \end{matrix}

Punto de control 1.30

Utilice la sustitución para evaluar $\int_{0}^{1} x^{2} cos (\frac{π}{2} x^{3}) d x .$

La sustitución puede ser solo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y puede ser necesario reescribir las funciones trigonométricas utilizando una identidad trigonométrica antes de aplicar la sustitución. Además, tenemos la opción de sustituir la expresión original por u después de encontrar la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de integración. Estos dos enfoques se muestran en el Ejemplo 1.36.

Ejemplo 1.36

Uso de la sustitución para evaluar una integral trigonométrica

Utilice la sustitución para evaluar $\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ .$

Solución

Utilicemos primero una identidad trigonométrica para reescribir la integral. La identidad trigonométrica ${cos}^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ nos permite reescribir la integral como

\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ = \int_{0}^{π / 2} \frac{1 + cos 2 θ}{2} d θ .

Entonces,

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} (\frac{1 + cos 2 θ}{2}) d θ & = \int_{0}^{π / 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ) d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ . \end{matrix}

Podemos evaluar la primera integral tal cual, pero para evaluar la segunda integral necesitamos hacer una sustitución. Supongamos que $u = 2 θ .$ Entonces, $d u = 2 d θ,$ o $\frac{1}{2} d u = d θ .$ Además, cuando $θ = 0, u = 0,$ y cuando $θ = π / 2, u = π .$ Expresando la segunda integral en términos de u, tenemos

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ & = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) \int_{0}^{π} cos u d u \\ = \frac{θ}{2} |_{θ = 0}^{θ = π / 2} + \frac{1}{4} sen u |_{u = 0}^{u = θ} \\ = (\frac{π}{4} - 0) + (0 - 0) = \frac{π}{4} . \end{matrix}

Sección 1.5 ejercicios

254.

¿Por qué la sustitución en u se denomina cambio de variable?

255.

2. Si los valores de $f = g \circ h,$ al invertir la regla de la cadena, $\frac{d}{d x} (g \circ h) (x) = g^{'} (h (x)) h^{'} (x),$ debe tomar $u = g (x)$ o $u = h (x) ?$

En los siguientes ejercicios, compruebe cada identidad utilizando la diferenciación. Entonces, utilizando la sustitución en u indicada, identifique f tal que la integral tome la forma $\int f (u) d u .$

256.

$\int x \sqrt{x + 1} d x = \frac{2}{15} {(x + 1)}^{3 / 2} (3 x - 2) + C; u = x + 1$

257.

Para $x > 1 : \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 1}} d x = \frac{2}{15} \sqrt{x - 1} (3 x^{2} + 4 x + 8) + C; u = x - 1$

258.

$\int x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x = \frac{1}{12} {(4 x^{2} + 9)}^{3 / 2} + C; u = 4 x^{2} + 9$

259.

$\int \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x = \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2} + 9} + C; u = 4 x^{2} + 9$

260.

$\int \frac{x}{{(4 x^{2} + 9)}^{2}} d x = - \frac{1}{8 (4 x^{2} + 9)}; u = 4 x^{2} + 9$

En los siguientes ejercicios calcule la antiderivada mediante la sustitución indicada.

261.

$\int {(x + 1)}^{4} d x; u = x + 1$

262.

$\int {(x - 1)}^{5} d x; u = x - 1$

263.

$\int {(2 x - 3)}^{−7} d x; u = 2 x - 3$

264.

$\int {(3 x - 2)}^{−11} d x; u = 3 x - 2$

265.

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x; u = x^{2} + 1$

266.

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x; u = 1 - x^{2}$

267.

$\int (x - 1) {(x^{2} - 2 x)}^{3} d x; u = x^{2} - 2 x$

268.

$\int (x^{2} - 2 x) {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2} d x; u = x^{3} - 3 x^{2}$

269.

$\int {cos}^{3} θ d θ; u = sen θ$ $(Pista : {cos}^{2} θ = 1 - {sen}^{2} θ).$ grandes.

270.

$\int {sen}^{3} θ d θ; u = cos θ$ $(Pista : {sen}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ).$

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables adecuado para determinar la integral indefinida.

271.

$\int x {(1 - x)}^{99} d x$

272.

$\int t {(1 - t^{2})}^{10} d t$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{−3} d x$

274.

$\int {(7 x - 11)}^{4} d x$

275.

$\int {cos}^{3} θ sen θ d θ$

276.

$\int {sen}^{7} θ cos θ d θ$

277.

$\int {cos}^{2} (π t) sen (π t) d t$

278.

$\int {sen}^{2} x {cos}^{3} x d x$ $(Pista : {sen}^{2} x + {cos}^{2} x = 1).$ grandes.

279.

$\int t sen (t^{2}) cos (t^{2}) d t$

280.

$\int t^{2} {cos}^{2} (t^{3}) sen (t^{3}) d t$

281.

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}} d x$

282.

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

283.

$\int \frac{y^{5}}{{(1 - y^{3})}^{3 / 2}} d y$

284.

${\int cos θ (1 - cos θ)}^{99} sen θ d θ$

285.

${\int (1 - {cos}^{3} θ)}^{10} {cos}^{2} θ sen θ d θ$

286.

$\int (cos θ - 1) {({cos}^{2} θ - 2 cos θ)}^{3} sen θ d θ$

287.

$\int ({sen}^{2} θ - 2 sen θ) {({sen}^{3} θ - 3 {sen}^{2} θ)}^{3} cos θ d θ$

En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el área bajo la curva utilizando sumas de Riemann a la izquierda con 50 términos, y luego use la sustitución para hallar la respuesta exacta.

288.

[T] $y = 3 {(1 - x)}^{2}$ en $[0, 2]$

289.

[T] $y = x {(1 - x^{2})}^{3}$ en $[−1, 2]$

290.

[T] $y = sen x {(1 - cos x)}^{2}$ en $[0, π]$

291.

[T] $y = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ en $[−1, 1]$

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para evaluar la integral definida.

292.

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

293.

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

294.

$\int_{0}^{2} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t$

295.

$\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{\sqrt{1 + t^{3}}} d t$

296.

$\int_{0}^{π / 4} {sec}^{2} θ tan θ d θ$

297.

$\int_{0}^{π / 4} \frac{sen θ}{{cos}^{4} θ} d θ$

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral indefinida $\int f (x) d x$ con constante $C = 0$ utilizando la sustitución en u. Luego, grafique la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. Si es posible, estime un valor de C que habría que añadir a la antiderivada para hacerla igual a la integral definida $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t,$ con a el punto final izquierdo del intervalo dado.

298.

[T] $\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x - 6} d x$ en $[−3, 2]$

299.

[T] $\int \frac{cos (ln (2 x))}{x} d x$ en $[0, 2]$

300.

[T] $\int \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 4}} d x$ en $[−1, 2]$

301.

[T] $\int \frac{sen x}{{cos}^{3} x} d x$ en $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

302.

[T] $\int (x + 2) e^{– x^{2} - 4 x + 3} d x$ en $[−5, 1]$

303.

[T] $\int 3 x^{2} \sqrt{2 x^{3} + 1} d x$ en $[0, 1]$

304.

Si los valores de $h (a) = h (b)$ en $\int_{a}^{b} g' (h (x)) h' (x) d x,$ ¿qué puede decir sobre el valor de la integral?

305.

¿Es la sustitución $u = 1 - x^{2}$ en la integral definida $\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x^{2}} d x$ es correcta? Si no, ¿por qué no?

En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para demostrar que cada integral definida es igual a cero.

306.

$\int_{0}^{π} {cos}^{2} (2 θ) sen (2 θ) d θ$

307.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} t cos (t^{2}) sen (t^{2}) d t$

308.

$\int_{0}^{1} (1 - 2 t) d t$

309.

$\int_{0}^{1} \frac{1 - 2 t}{(1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2})} d t$

310.

$\int_{0}^{π} sen ({(t - \frac{π}{2})}^{3}) cos (t - \frac{π}{2}) d t$

311.

$\int_{0}^{2} (1 - t) cos (π t) d t$

312.

$\int_{π / 4}^{3 π / 4} {sen}^{2} t cos t d t$

313.

Demuestre que el valor promedio de $f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ es el mismo que el valor medio de $f (c x)$ en el intervalo $[\frac{a}{c}, \frac{b}{c}]$ por $c > 0 .$

314.

Halle el área bajo el gráfico de $f (t) = \frac{t}{{(1 + t^{2})}^{a}}$ entre $t = 0$ y $t = x$ donde $a > 0$ y $a \neq 1$ es fijo, y evalúe el límite como $x \to \infty .$

315.

Halle el área bajo el gráfico de $g (t) = \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{a}}$ entre $t = 0$ y $t = x,$ donde $0 < x < 1$ y $a > 0$ es fijo. Evalúe el límite como $x \to 1 .$

316.

El área de un semicírculo de radio 1 puede expresarse como $\int_{–1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x .$ Utilice la sustitución $x = cos t$ para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral.

317.

El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es el eje x de $x = - a$ a $x = a$ y con un eje menor que es el eje y de $y = − b$ al $y = b$ se puede escribir como $\int_{− a}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x .$ Utilice la sustitución $x = a cos t$ para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral.

318.

[T] El siguiente gráfico es de una función de la forma $f (t) = a sen (n t) + b sen (m t) .$ Estime los coeficientes a y b, y los parámetros de frecuencia n y m. Utilice estas estimaciones para aproximar $\int_{0}^{π} f (t) d t .$

Gráfico de una función de la forma dada sobre [0, 2pi], que tiene seis puntos de inflexión. Se encuentran justo antes de pi/4, justo después de pi/2, entre 3pi/4 y pi, entre pi y 5pi/4, justo antes de 3pi/2, y justo después de 7pi/4 en torno a 3, -2, 1, -1, 2 y -3. Comienza en el origen y termina en (2pi, 0). Interseca el eje x entre pi/4 y pi/2, justo antes de 3pi/4, pi, justo después de 5pi/4, y entre 3pi/2 y 4pi/4.

319.

[T] El siguiente gráfico es de una función de la forma $f (x) = a cos (n t) + b cos (m t) .$ Estime los coeficientes a y b y los parámetros de frecuencia n y m. Utilice estas estimaciones para aproximar $\int_{0}^{π} f (t) d t .$

Gráfico de una función de la forma dada en [0, 2pi]. Comienza en (0,1) y termina en (2pi, 1). Tiene cinco puntos de inflexión, situados justo después de pi/4, entre pi/2 y 3pi/4, pi, entre 5pi/4 y 3pi/2, y justo antes de 7pi/4 en torno a -1,5, 2,5, -3, 2,5 y -1. Interseca el eje x entre 0 y pi/4, justo antes de pi/2, justo después de 3pi/4, justo antes de 5pi/4, justo después de 3pi/2, y entre 7pi/4 y 2pi.