Términos clave

convergencia absoluta: si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ converge, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ se dice que converge absolutamente

convergencia condicional: si la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge, pero la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ diverge, la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ se dice que converge condicionalmente

convergencia de una serie: una serie converge si la secuencia de sumas parciales de esa serie converge

criterio de la raíz: para una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n},$ supongamos que $ρ = \underset{n \to \infty}{lím} \sqrt[n]{| a_{n} |};$ si $0 \leq ρ < 1,$ la serie converge absolutamente; si $ρ > 1,$ la serie diverge; si $ρ = 1,$ la prueba no es concluyente

criterio del cociente: para una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos distintos de cero, supongamos que $ρ = \underset{n \to \infty}{lím} | a_{n + 1} / a_{n} |;$ si $0 \leq ρ < 1,$ la serie converge absolutamente; si $ρ > 1,$ la serie diverge; si $ρ = 1,$ la prueba no es concluyente

delimitada por debajo: una secuencia ${a_{n}}$ está delimitada por debajo si existe una constante $M$ tal que $M \leq a_{n}$ para todos los enteros positivos $n$

delimitada por encima de: una secuencia ${a_{n}}$ está delimitada por encima si existe una constante $M$ tal que $a_{n} \leq M$ para todos los enteros positivos $n$

divergencia de una serie: una serie diverge si la secuencia de sumas parciales de esa serie diverge

estimación del resto: para una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos positivos $a_{n}$ y una función continua y decreciente $f$ tal que $f (n) = a_{n}$ para todos los enteros positivos $n,$ el resto $R_{N} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ satisface la siguiente estimación:

$\int_{N + 1}^{\infty} f (x) d x < R_{N} < \int_{N}^{\infty} f (x) d x$

fórmula explícita: una secuencia puede ser definida por una fórmula explícita tal que $a_{n} = f (n)$

límite de una secuencia: el número real $L$ a la que converge una secuencia se llama límite de la secuencia

prueba de comparación: si $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ para todo $n \geq N$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge; si $a_{n} \geq b_{n} \geq 0$ para todo $n \geq N$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge

prueba de comparación de límites: supongamos que $a_{n}, b_{n} \geq 0$ para todo $n \geq 1 .$ Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} \to L \neq 0,$ entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ ambas convergen o ambas divergen; si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} \to 0$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converge. Si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} / b_{n} \to \infty,$ y $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge

prueba de divergencia: si $\underset{n \to \infty}{lím} a_{n} \neq 0,$ entonces la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ diverge

prueba de la integral: para una serie $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ con términos positivos $a_{n},$ si existe una función continua y decreciente $f$ tal que $f (n) = a_{n}$ para todos los enteros positivos $n,$ entonces

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} y \int_{1}^{\infty} f (x) d x$

ambas convergen o ambas divergen

prueba de series alternadas: para una serie alternada de cualquier forma, si $b_{n + 1} \leq b_{n}$ para todos los enteros $n \geq 1$ como de $b_{n} \to 0,$ entonces una serie alternada converge

relación de recurrencia: una relación de recurrencia es una relación en la que un término $a_{n}$ en una secuencia se define en términos de términos anteriores en la secuencia

secuencia: una lista ordenada de números de la forma $a_{1}, a_{2}, a_{3},…$ es una secuencia

secuencia aritmética: una secuencia en la que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma, se llama secuencia aritmética

secuencia convergente: una secuencia convergente es una secuencia ${a_{n}}$ para la que existe un número real $L$ tal que $a_{n}$ está arbitrariamente cerca de $L$ siempre y cuando $n$ es lo suficientemente grande

secuencia delimitada: una secuencia ${a_{n}}$ está delimitada si existe una constante $M$ tal que $| a_{n} | \leq M$ para todos los enteros positivos $n$

secuencia geométrica: una secuencia ${a_{n}}$ , en la que la relación $a_{n + 1} / a_{n}$ es la misma para todos los enteros positivos, $n$ se llama secuencia geométrica

secuencia no delimitada: una secuencia que no está delimitada se llama no delimitada

serie armónica: la serie armónica toma la forma

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯$

serie geométrica: una serie geométrica es una serie que se puede escribir de la forma

$\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯$

serie infinita: una serie infinita es una expresión de la forma

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

serie telescópica: una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales

series alternadas: una serie de la forma $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n + 1} b_{n}$ o $\sum_{n = 1}^{\infty} {(–1)}^{n} b_{n},$ donde $b_{n} \geq 0,$ se denomina serie alternada

suma parcial: la $k −ésima$ suma parcial de la serie infinita $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ es la suma finita

$S_{k} = \sum_{n = 1}^{k} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{k}$

término: el número $a_{n}$ en la secuencia ${a_{n}}$ se llama el $ené simo$ término de la secuencia

variable de índice: el subíndice utilizado para definir los términos de una secuencia se llama índice